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- Samuel Herrero Palma
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1 ea ta zabal zazu Uversdad del País Vasco Departaeto de Arqutectura y Tecología de oputadores upv ehu Tea 4_ Ssteas LTI Procesado dgtal de age y sodo Defcó y prcpal vetaja Aálss teporal de la respuesta de los ssteas LTI Respuesta a pulso ovolucó: Respuesta a pulso y propedades del sstea Ssteas bdesoales Aálss frecuecal de los ssteas LTI ovolucó e el doo de la frecueca Respuesta frecuecal Fltros y fltro deal Ssteas bdesoales Descrpcó recursva de los ssteas LTI. Ecuacoes e dferecas. Ssteas bdesoales Relacó co h Resolucó de las ecuacoes e dferecas Ecuacoes e dferecas y establdad. 4.
2 Ssteas LTI: defcó U sstea T es LTI Lear Te-Ivarat s cuple dos propedades: Lealdad T [ ax ax ] at [ x ] at[ x ] a, a, x, x x a x a T y x T a x T a y Ivaraza a desplazaetos varaza e el tepo S T[ x ] y etoces T[ x ] y x, x y T x y T 4.
3 Ssteas LTI: prcpal vetaja Para aalzar el coportaeto del sstea os basta coocer su respuesta a algú tpo de señal básco por ejeplo pulso a partr del cual, se pueda costrur cualquer señal La respuesta a cualquer etrada la podreos obteer suado y desplazado la respuesta a esa señal básca Dferetes señales báscas da lugar a dsttos tpos de aálss: Ipulsos udad Aálss teporal Susodes Aálss frecuecal 4.3
4 Descoposcó de ua señal e pulsos ualquer señal se puede expresar coo cobacó de pulsos x δ x x δ x δ x x δ x δ x 3 δ 3 4.4
5 Respuesta a pulso de u sstea Dado u sstea T, se llaa respuesta a pulso del sstea a la señal: [ δ ] h T Es decr, a la salda del sstea cuado la etrada es la fucó pulso udad δ δ h T U sstea LTI queda copletaete caracterzado por su respuesta a pulso, porque coo cualquer señal se puede descopoer e sua de pulsos, basta coocer esta respuesta para coocer la respuesta a cualquer señal. 4.5
6 Respuesta a cualquer señal. ovolucó Dado u sstea T LTI, del que cooceos su respuesta a pulso h x y T[ x ] T Para ua etrada cualquera x expresada coo sua de pulsos la salda será: Por ser leal Y por ser varate y T x δ [ ] y x T δ y x h x h x y h A esta operacó se la llaa covolucó y se represeta edate u. La salda de u sstea LTI es la covolucó de la etrada y de la respuesta a pulso. 4.6
![cualquera x expresada coo sua de pulsos la salda será: Por ser leal Y por ser varate y T x δ [ ]](/docs-images/48/20727499/images/page_6.jpg "y x T δ y x h x h x y h A esta operacó se la llaa covolucó y se represeta edate u.")
7 Iterpretacó gráfca de la covolucó I x y h y x h x h Desde el puto de vsta de la señal de etrada, la covolucó puede calcularse suado las respuestas producdas por cada puto de la etrada respuestas a pulso. x h y x h x h x h x 3 h 3 4.7
8 Iterpretacó gráfca de la covolucó II x y h y x h x h Desde el puto de vsta de la señal de salda, la covolucó e u state puede calcularse suado las respuestas producdas por todos los putos de la etrada e ese state x y h h 4.8
9 Propedades de la covolucó y por tato de los ssteas LTI outatva: x h h x x h h x Asocatva: x h h x h h A partr de estas propedades, puede verse que la coexó e sere de ssteas LTI cuple: x y x y h h h h x y h h 4.9
10 Propedades de la covolucó y por tato de los ssteas LTI Dstrbutva: x h h x h x h Por tato, la coexó e paralelo de ssteas LTI cuple: h x y h x y h h 4.
11 Descrpcó etrada-salda de los ssteas LTI oocda h la covolucó os proporcoa la descrpcó etradasalda de cualquer sstea LTI. o desarrollado el suatoro: y x h x h h x y K h x h x h x h x K Esta descrpcó es uy seclla y fácl de aejar y os servrá para estudar las propedades de estos ssteas. A la versa, dada la descrpcó etrada-salda de u sstea LTI podeos obteer drectaete h Ejeplo: y.5x x x h 4.
12 Ssteas FIR e IIR Ua clasfcacó uy habtual de los ssteas LTI es la sguete: U sstea LTI es u sstea FIR Fte Ipulse Respose s su respuesta a pulso es de logtud fta h e u úero fto de putos U sstea LTI es u sstea IIR Ifte Ipulse Respose s su respuesta a pulso es de logtud fta : h e u úero fto de putos ota: La descrpcó vsta hasta ahora covolucó, e el caso de los ssteas IIR o es uy aejable 4.
13 h y propedades del sstea: eora Decr que u sstea LTI o tee eora equvale a decr que: es decr: h para h δ o y x h U sstea LTI tee eora fta de orde M s cuple: es decr: h para < y para > M y M h x U sstea LTI tee eora fta s cuple: h para < y o exste M tal que h para > es decr: y h x M h h
14 h y propedades del sstea : causaldad U sstea LTI será causal s cuple; h para < h Por extesó se dce que ua señal x es causal s cuple; x para < La respuesta de u sstea LTI causal a ua etrada causal se puede escrbr: y x h U sstea LTI se dce que es atcausal s cuple; h para > h 4.4
15 h y propedades del sstea : establdad Para aalzar s u sstea LTI es estable hay que estudar s la respuesta a ua etrada acotada es tabé acotada x acotada M < / x La respuesta podeos escrbrla edate la covolucó: y y h x h x h x Por tato, s h es absolutaete suable, es decr: h Etoces el sstea es estable. < M h M Los ssteas FIR sepre so estables 4.5
16 Ssteas bdesoales Geeralzado los coceptos aterores a u sstea T LTI bdesoal: La respuesta a pulso es la salda de T para ua etrada pulso udad [ δ, ] H, T H, caracterza copletaete el coportaeto del sstea T, y la respuesta a cualquer etrada puede obteerse edate la covolucó Y, X, H, X, H, áscara H, Y, X, Ejeplo de terpretacó gráfca co respuesta a pulso de taaño 3x3: 4.6
17 Aálss frecuecal de los ssteas LTI Idea de partda: trabajar co las señales e el doo de la frecueca, es decr, descopoer las señales e susodes expoecales coplejas Por qué es teresate? E el doo de la frecueca la covolucó se coverte e u producto. E ssteas LTI, las susodes cuple ua propedad que o verfca otras señales: La respuesta de u sstea LTI a ua etrada susodal es otra susode de la sa frecueca pero de dferete apltud y fase 4.7
18 ovolucó e el doo de la frecueca ovolucó y DTFT: DTFT x x X F X F ovolucó crcular y DFT:, x x DFT X X sedo l x x x l x l 4.8
19 Respuesta a ua susode de u sstea LTI Aalzareos prero la respuesta a ua expoecal copleja agara pura de frecueca F: x e jπf h y h x h e jπf jπf jπf e h e y e jπf H F H F La salda es otra expoecal copleja de la sa frecueca F, ultplcada por u valor coplejo HF, que depede de la frecueca y se llaa respuesta frecuecal. HF es la DTFT de la respuesta a pulso jπf j πf Para ua susode: x cosπf e e y j πf j πf jπf arg[ H F ] jπf arg[ H F ] e H F e H F H F e e F arg[ H ] y H F cos π F 4.9
20 Respuesta frecuecal Utlzado la trasforada de Fourer es uy fácl aalzar el coportaeto de u sstea LTI e el doo frecuecal X F HF YF DTFT h H F h e j πf Por la propedad de covolucó, la ecuacó del coportaeto del sstea es:: X F H F Y F X F H F Y F arg [ X F ] arg[ H F ] arg[ Y F ] X F Y F F H F F F 4.
21 Ssteas LTI coo fltros selectvos e frecueca. Fltro deal S el objetvo del sstea LTI es dejar pasar selectvaete u rago de frecuecas deterado, se le deoa fltro. Se deoa fltro deal al que cuple: Su gaaca HF es costate e la bada de paso y cero fuera de ella. Su respuesta de fase arghf es leal. jπf e s F < F < F H F co y costates e otros putos S la señal de etrada sólo tee frecuecas e F < F < F Y F H F X F X F e el fltro o caba la fora de la señal H F j πf Ej: Fltro paso bajo deal co frecueca de corte F IDTFT y x F arg H F F F IDTFT h sπ F π Sstea o causal e estable 4.
22 Uso de la DFT para fltrado leal Debdo a la exsteca de algortos FFT rápdos, e uchas ocasoes se utlza la DFT e lugar de la covolucó para fltrar señales. Sea x ua señal fta de logtud L que excta u fltro FIR de logtud M x FIR h y Sabeos que: Y e el doo de la frecueca: y x h Y F X F H F OJO! Para poder usar la DFT la covolucó debe cocdr co la covolucó crcular. Esto sólo se cuple s usaos DFTs de putos apladas co ceros de fora que L M Los cálculos a realzar so: [ x L ] [ h L ] DFT, X IDFT X H y DFT, H, 4.
23 4.3 Ssteas bdesoales: DFT y respuesta frecuecal Todo lo dcho e el tea sobre aálss frecuecal de ssteas LTI udesoales, se puede geeralzar a ssteas bdesoales ágees. Por ejeplo: La DFT de la respuesta a pulso h, de u fltro bdesoal recbe el obre de respuesta frecuecal y caracterza el coportaeto del fltro segú la coposcó frecuecal de la etrada.,, M l M j e h l H π Ejeplo:, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, x x x x x x x x x y, h, l H
24 Ssteas bdesoales: DFT y fltrado E fltros bdesoales, la operacó covolucó puede realzarse edate la DFT. Esto cuado se utlza u algorto rápdo FFT, es de gra terés pues e ágees el coste coputacoal suele ser uy alto. Ejeplo: x, 4x4 56 FFT, X, l 56x56 h, 5x5 56 FFT, H, l 56x56 X y, IFFT, 56 Y, l 56x56 4.4
25 Ssteas IIR y descrpcoes recursvas Qué podeos hacer para aejar ssteas IIR? E alguos casos es fácl ver que exste descrpcoes recursvas equvaletes. Ejeplo: y x x x x 3 x 4 L y y y x Ejercco: alcular la respuesta a pulso del sstea y y x 4.5
26 Ssteas IIR y descrpcoes recursvas y y x Tedreos que calcular la salda para ua etrada pulso udad: x δ x S supoeos que el sstea es causal, la salda será ula para < h h h h δ h h δ h h δ h h δ M L Pero s es atcausal, hay otra solucó h h h δ h h δ h h δ h 3 h δ M L h 4.6
27 Descrpcoes recursvas: ecuacó e dferecas E geeral, se llaa ecuacó e dferecas leal co coefcetes costates de orde a la descrpcó recursva del tpo sguete: a y M b x Puede deostrarse que se trata de u sstea LTI Vetajas: Descrpcó copacta º fto de operacoes Icoveetes: Para calcular u valor de la salda se parte de saldas prevas Se ecesta valores cales de salda Se perde foracó sobre causaldad 4.7
28 Iterpretacó gráfca de las ec. e dferecas x y h y Para calcular la salda de u sstea LTI, dada su ecuacó e dferecas, y supoedo causaldad, debeos hacerlo de odo recursvo y supoedo alguos valores cales: M b x a y y x y b b b b b b b b a a a a a a a 4.8
29 4.9 Ec. e dferecas y respuesta frecuecal Heos vsto que la respuesta frecuecal de u sstea LTI se obtee calculado la DTFT de la respuesta a pulso Pero s la descrpcó de la que dspoeos es ua ecuacó e dferecas, cóo podeos obteer la respuesta frecuecal? YF HF X F M F j F j DTFT M F X e b F Y e a x b y a π π F X e a e b F Y F j M F j π π F H F X F Y h x y DTFT y h x H F
30 Ssteas bdesoales oo e el caso de la covolucó, tabé las ecuacoes e dferecas puede geeralzarse al caso de los ssteas bdesoales. U sstea LTI bdesoal de tpo IIR e uchos casos puede descrbrse edate ua ecuacó e dferecas del tpo sguete: a y M M, b x, b b b b b b b b b a a a a a a a a Y, Ejeplo de terpretacó gráfca co X, Y, M M 4.3
31 Relacó de la ecuacó e dferecas co h Dada ua ecuacó e dferecas y supoedo causaldad es fácl obteer h uércaete: x δ h y, h y, h y,k y el resultado, e geeral, será de duracó fta sstea IIR Dada h podeos escrbr ua ecuacó e dferecas? El caso de ssteas FIR es trval. La descrpcó etrada - salda ya es ua ecuacó e dferecas de orde ecuacó o recursva M y h x b h,..., M E el caso de ssteas IIR, e geeral o es fácl ecotrar ua ecuacó e dferecas equvalete y adeás o tee por qué exstr. 4.3
32 Resolucó de las ec. e dferecas leales y co coefcetes costates Dada ua ecuacó e dferecas leal co coefcetes costates a y M b x exste étodos be establecdos para su resolucó geeral o uérca. El problea se dvde e dos partes: Prero se obtee la respuesta a etrada ula ecuacó hoogéea a y H La solucó geeral se obtee suado a la solucó de la ecuacó hoogéea y H ua solucó partcular y P que se suele obteer probado fucoes slares a la etrada x. y y y H E realdad, la respuesta a etrada ula tee ucho que ver co la respuesta a pulso P 4.3
33 4.33 H H y y a y susttuyedo la solucó supuesta e la ecuacó: habrá solucoes. Ua por cada raíz del poloo característco. La solucó geeral de la ecuacó hoogéea puede expresarse e fucó de ellas: los coefcetes que so coplejos se calcula poedo que se cupla las codcoes cales. a a a a a K K poloo característco K K K H y raíz de ultplcdad raíces sples suados Obtecó de la respuesta a etrada ula Se supoe que la solucó es u fucó expoecal copleja
34 Obtecó de la respuesta a pulso a partr de ua ec. e dferecas E realdad u pulso es ua etrada ula, salvo e. Por tato, s supoeos causaldad, bastará obteer los valores de salda ecesaros hasta, y de ahí e adelate, utlzar la respuesta a ua etrada ula. Los pasos a segur so: Obteer edate la ecuacó e dferecas los valores cales de la señal de salda. alcular las raíces del poloo característco. h a K, L a, Supoer ua solucó de la fora: K K K > y calcular los coefcetes de fora que se cupla las codcoes cales. 4.34
35 4.35 Para que u sstea LTI sea estable, h debe ser absolutaete suable. Para u sstea descrto co ua ecuacó e dferecas y supoedo causaldad, h es de la fora: < h Sedo las raíces del poloo característco: < < < K K K K K K h a a K Susttuyedo la ecuacó de h e la codcó de establdad: El sstea es estable s y sólo s : < las raíces del poloo característco está detro del círculo udad. Ecuacoes e dferecas y establdad > h K K K
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