Métodos Estadísticos aplicados a la Ingeniería. 1º Ingeniería Industrial

Transcripción

1 Métodos Estadístcos aplcados a la Igeería º Igeería Idustral º cuatrestre 8/9

2 Itroduccó - Qué es la Estadístca? La estadístca es la ceca que se ocupa del dseño de experetos o ecuestas edate uestras, para obteer ua catdad deterada de foracó lo ás efcazete posble, y del uso ópto de esta foracó para hacer ferecas co respecto a ua poblacó. Objectvos portates de la estadístca Muestreo Descrpcó de datos Estacó Cotraste de hpótess Medcó de relacoes Predccó

3 Tea - Estadístca Descrptva La estadístca descrptva egloba los procedetos que resue la foracó que cotee u cojuto de datos.. Coceptos geerales.. Poblacó estadístca o colectvo Cojuto de refereca sobre el cual se va a recoger las observacoes. Puede ser fta o fta... Udad estadístca o dvduo U eleeto de la poblacó (persoa, objeto, algo abstracto,...).. Muestra Subcojuto de eleetos de la poblacó. El úero de eleetos es el taaño de la uestra...4 Varables Estadístcas Ua característca herete al dvduo o udad estadístca. Por ejeplo: Ua persoa tee las característcas: altura, peso, taaño de zapato, color de los ojos, sexo,... Puede ser edbles (varables cuattatvas (peso, altura, taaño de zapato,...)) o o edbles (varables cualtatvas (color de los ojos, sexo)). Las dferetes foras que puede ostrar ua varable cualtatva se llaa odaldades. Por ejeplo: el estado cvl tee las odaldades casado, soltero y vudo; el sexo tee las odaldades varó y hebra. Ua varable estadístca puede ser dscreta o cotua. Ua varable estadístca se llaa dscreta cuado el cojuto de sus valores posbles es uerable. Por ejeplo, el úero de autoóvles fabrcados daraete e ua fábrca, el úero de fallos de ua áqua a la hora,... Ua varable estadístca se llaa cotua cuado puede toar valores etre dos dsttos, por uy próxos que los fjeos. Por ejeplo, el tepo de duracó de u suceso, el peso de u objeto,... E lo que sgue, supodreos que el orde e que se recoge los datos es rrelevate (s o, teeos que utlzar étodos especales para seres teporales).. Dstrbucoes de frecuecas para datos uércos Supogaos que teeos u cojuto de datos uércos de taaño, x, x,...,, de ua varable X. Etre los datos hay ( ) dsttos valores { x } { x x },,..., x. Podeos resur u cojuto de datos por ua tabla de valores observados de la varable y sus frecuecas de aparcó tato absolutas coo relatvas... Frecueca absoluta La frecueca absoluta de x j, fa( xj) cojuto de datos., es el úero de veces que se observa x j e el

4 .. Frecueca relatva La frecueca relatva de x j, fr( xj), es f r ( x ) j ùero de veces que se observa x etre los datos j.. Frecueca acuulada Suele ser útl tabé clur frecuecas acuuladas (tato absolutas, Fa( xj) relatvas, Fr( xj), coo ). Estas frecuecas acuuladas so spleete suas de las frecuecas defdas ates...4 Tabla de frecuecas Podeos resur los valores observados y sus frecuecas e ua tabla coo e el sguete ejeplo. Ejeplo. Los sguetes datos se ha obtedo al observar el úero de fallos de u sstea eléctrco Podeos costrur la sguete tabla para resurlos. x j fa( xj) ( ) fr xj Fa( xj) Fr( xj),667,667,5 5,467 8,67 88,74,667 8,9 4 9,75 7,975 5,67 9,997 6,8, E esta tabla se observa que,67% de los datos tee el valor y que 97,5% tee u valor eor o gual a Agrupaeto Cuado el úero de valores dsttos que toe ua varable dscreta sea grade, o cuado la varable sea cotua, covee agrupar los datos e tervalos de clases, elegdos de fora que o se perda ucha foracó.

5 ..6 Eleccó de los tervalos Decdr el úero de clases a cosderar. Este úero debe ser etre 5 y. Ua regla frecueteete utlzada e la práctca es escoger el etero ás próxo a, sedo el úero de datos, pero covee probar co dsttos úeros de clases y escoger aquel que proporcoe ua descrpcó ás clara (cuado represetaos las frecuecas e ua gráfca, coo u hstograa). Para splfcar es usual seleccoar los lítes de clase que defe los tervalos, de aera que éstos sea de la sa logtud. Cada observacó tee que clasfcarse s abgüedad e u solo tervalo. Por ejeplo [-7), [7-), [-9),... Los úeros extreos de los tervalos se llaa ltes reales de clase. Al cetro del tervalo le llaareos arca de clase. Ejeplo. Los sguetes 9 datos represeta el tepo (e horas) etre dos fallos cosecutvos de ua áqua.,57,6449 6,65 4,54,46 7,789,69,8,449,577,98,954 4,669,677,64,9 4,65,8548,86,55,949,95,976,58 7,4964 8,5,949,576,9,7,7,94,788,558,8,666,9646 5,857,898 5,978,4,75 4,8,54,569 9,98,7487,575,857,7 6,5,578,7,748,567,,898 8,,678,5947,466,687,8994,8,58,957,659,949,4,7 5,9698,7856,958,475,76,8949,76,49,4,8654,674,554,8,8956,75,9,4995 6,9,47,4 Para estos datos el recorrdo de los datos es xá x xí, 949, 7, 8. S defos tervalos co ua apltud de ua udad, y epezaos co u prer tervalo co arca de clase de,5, tervalos abarca el capo de los datos. Co estos tervalos podeos producr la sguete tabla: Itervalo Marca de Clase(x) f ( x) ( ) a fr x F ( x) ( ) a Fr x,-,,5 4,4555 4,4556,-,,5, 6,6889,-,,5 9, 7,7889,-4,,5, 74,8 4,-5, 4,5 4,444 78,8667 5,-6, 5,5, 8,9 6,-7, 6,5, 84,9 7,-8, 7,5, 86,9556 8,-9, 8,5, 88,9778 9,-, 9,5, 89,9889,-,,5, 9, 4

6 Veos que 45,55% de los datos tee u valor eor de, y que 78,89% tee u valor eor que,.. Represetacoes gráfcas E la Estadístca las represetacoes gráfcas tee u papel uy portate, puesto que para los seres huaos, es ucho ás fácl terpretar ua represetacó gráfca de foracó uérca, que u gra cojuto de úeros... Represetacoes gráfcas para datos uércos S teeos u cojuto de datos uércos, podeos represetar la foracó que cotee utlzado varas represetacoes gráfcas. A cotuacó cosderaos las ás utlzadas.... Dagraa de barras Utlzado para datos de varables dscretas y e geeral para dstrbucoes de frecuecas de datos s agrupar e tervalos. Se traza u par de ejes cartesaos y los dsttos valores de la varable se coloca e la abscsa. Sobre cada uo de ellos se levata ua barra cuya altura es la frecueca (absoluta o relatva) de dcho valor. Para los datos de Ejeplo. podeos producr el sguete dagraa de barras (co frecuecas absolutas). 4 Frecueca absoluta x Hstograa La represetacó gráfca ás frecuete para datos agrupados es el hstograa. Sobre cada tervalo de clase se levata u rectágulo cuya área sea gual a la frecueca de la clase. A la altura de u rectágulo se le llaa desdad del tervalo de clase. Para los datos de Ejeplo. teeos el sguete hstograa. 5

7 .5 Desdad x...5 Polígoo de frecuecas S o heos agrupado los datos e tervalos, el polígoo de frecuecas se obtee uedo los extreos superores de las barras del dagraa de barras. S heos utlzado tervalos de agrupaeto el polígoo de frecuecas se obtee uedo los putos edos de las bases superores de cada rectágulo del hstograa. Ejercco. Producr los polígoos de frecuecas para los datos de Ejeplos. y..... Dagraa de tallo y hojas U étodo se-gráfco de represetar datos uércos, especalete útl cuado el taaño del cojuto de datos es pequeño (eor que 5), es el dagraa de tallo y hojas de Tuey. Para costrur dcho dagraa: Redodear los valores a dos o tres cfras sgfcatvas, expresádolos e udades coveetes. Represetarlos e ua tabla co dos coluas separadas por ua líea vertcal coo sgue:. Para datos co dos dígtos, escrbr a la zquerda de la líea los dígtos de las deceas. Estos dígtos fora el tallo del dagraa. A la derecha, escrbr las udades. Estas últas fora las hojas. Por ejeplo, 95 se escrbe Para datos co tres dígtos el tallo se fora co los dígtos de las ceteas y deceas (escrtos a la zquerda) separados por la líea de las udades. Por ejeplo, 64 se escrbe 6 4. Cada tallo defe ua clase, y se escrbe solo ua vez. Es usual tabé ordear los valores e el tallo e el orde que crece. El úero de hojas represeta la frecueca de dcha clase. S el prer dígto de la clasfcacó varía poco, la ayoría de los datos se agrupa alrededor de u tallo y el dagraa resultate tee poco detalle. E este caso es coveete subdvdr cada tallo e dos o ás partes. Ejeplo. Los sguetes 4 datos represeta el peso de 4 dsttos cerrojos del so tpo e g.:,489,55,48,4,45,44,474,45,86,77,467,58,998,96,467,44 6

8 ,47,4,46,46,4579,57,475,697,458,758,47,9,9,49,4,48,77,4 Para estos datos podeos producr el sguete dagraa de tallo y hojas. Tallo-y-hoja de Peso Kg. N 4 Udad de hoja, (8) Dagraa de putos Otro gráfco uy útl para represetar la dstrbucó de u úero pequeño de datos (eor que 5) es el dagraa de putos. E u dagraa de este tpo, epezaos co ua líea horzotal sufceteete larga para represetar al recorrdo de los datos. Después, cluos ua escala co sufcete detalle para localzar el lugar de cada dato respecto la líea. Para los datos de Ejeplo. podeos costrur el sguete dagraa de putos. Kg :.:. : :.:.. : Peso,,6,4,44,48,5...6 Dagraa de frecuecas acuuladas Podeos costrur u dagraa de este tpo utlzado frecuecas acuuladas (tato absolutas coo relatvas) para datos o agrupados. E la abscsa, epleaos ua escala sufceteete apla para el recorrdo de los datos. Sobre cada dstto valor uérco, colocaos u puto cuya altura sobre la abscsa correspode a la frecueca acuulada correspodete a este valor. Desde cada uo de estos putos trazaos ua recta horzotal que tera e el puto cuya abscsa es el sguete valor uérco observado. Falete, coectaos los extreos de estas rectas horzotales co rectas vertcales. Para los datos de Ejeplo. podeos costrur el sguete dagraa de frecuecas acuuladas. 7

9 Frecueca acuulada (relatva),,8,6,4,, 4 Núero de fallos 5 6 8

10 ...7 Polígoo de frecuecas acuuladas Esta represetacó gráfca es válda para varables estadístcas agrupadas e tervalos. E la abscsa represetaos los dsttos tervalos de clase (solapados). Sobre el extreo superor de cada tervalo colocaos u puto cuya ordeada es la frecueca acuulada (absoluta o relatva) del tervalo correspodete. Falete, coectaos co ua líea recta cada puto y el que sgue para cosegur el polígoo de frecuecas acuuladas. S utlzaos frecuecas acuuladas absolutas, la áxa altura del ulto tervalo tedrá frecueca. Aálogaete, s las frecuecas acuuladas utlzadas so relatvas, la áxa altura alcazada será la udad. Para los datos de Ejeplo. podeos costrur el sguete polígoo de frecuecas acuuladas. Frecueca acuulada (absoluta) Tepo (horas) Represetacoes gráfcas para varables cualtatvas o ordeables Cosderaos el sguete ejeplo. Ejeplo.4 Los sguetes datos represeta los úeros de coches de dsttos colores veddos e España durate el año 996 por ua epresa. (La ptura ás barata es la blaca.) Ptura Núero de coches Blaca 764 Verde 67 Azul 865 Roja 97 E este ejeplo la varable estadístca es cualtatva y o hay u orde atural para las odaldades que uestra. Decos que la varable estadístca (el color de u coche) es o ordable. A cotuacó vaos a troducr las represetacoes gráfcas ás útles para resur la foracó coteda e datos de varables de este tpo. 9

11 ... Dagraa de rectágulos Este dagraa es uy parecdo a u dagraa de barras. E la abscsa se represeta las dsttas odaldades. La gráfca puede ser ás útl s ordeaos las odaldades de fora que sus odaldades sea o crecetes. Para los datos de Ejeplo.4 podeos costrur el sguete dagraa de rectágulos utlzado las frecuecas absolutas. Núero de Coches Blaca Roja Azul Ptura Verde... Dagraa de sectores Epezado co u círculo, se asga u sector crcular a cada ua de las odaldades sedo la área del sector proporcoal a la frecueca de la odaldad. El águlo asocado co el sector de la -ésa odaldad, e grados, α o, vee dado por: f () a α 6 dode f a () es la frecueca absoluta asocada co la -ésa odaldad y es el úero de observacoes. Tabé suele ser útl ordear los sectores e el dagraa segú el taaño de las frecuecas (para facltar la coparacó de las frecuecas). Para los datos de Ejeplo.4 teeos Modaldad Frecueca α Blaca 764 9, Roja 97 6,8 Azul ,6 Verde 67 46, 58 6 Total El dagraa de sectores asocado a estas frecuecas es el sguete.

12 A zul ( 865, 6,5%) Roja ( 97, 7,7%) Verde ( 67,,9%) Blaca (764, 5,9%).4 Meddas de cetralzacó Heos vsto e la seccó. que podeos obteer ua descrpcó gráfca de u cojuto de datos utlzado varos foras de gráfco. Estos gráfcos daros u suaro global de la dstrbucó de los datos cotedos e u cojuto. Tabé hay varos valores uércos que podeos usar para resur las característcas de u cojuto de datos (uércos). Nos llaaos estos valores uércos estadístcos y faclta el estudo y coparacó de uestras. Dos tpos de estadístcos uy portates so ellos que proporcoe suaros del cetro de la dstrbucó de los datos y el vel de la gaa de los datos (o su varabldad). Las eddas que resue estos dos característcas se llaa eddas de cetralzacó y eddas de dspersó, respectvaete. Tabé hay eddas que resue el vel de asetría y aputaeto de ua uestra coo vereos e la seccó.6. Es portate teer e cueta que estas eddas so foratvas para datos hoogéeos y o tee ucho setdo s teeos u cojuto de datos forado por datos de dsttos poblacoes. S los datos de ua uestra vee de dsttos poblacoes es ás adecuado dvdr los datos e dstto grupos (asocados co los dstto poblacoes) y calcular las eddas característcas para cada uo de los grupos. E el resto de esta seccó cosderaos e ás detalle las eddas de cetralzacó ás frecueteete usadas. Supogaos e lo sucesvo que teeos las observacoes x,..., x de ua varable estadístca X. { }.4. La eda artétca.4.. Defcó La eda de cetralzacó que es ás frecueteete utlzada e la estadístca (sobre todo e la estadístca clásca) es la eda artétca, x, que se defe coo: x x + x x x

13 S teeos la dstrbucó de frecuecas de los dsttos valores toados por los datos x,..., x ), veos que: (es decr, { } x xjfa ( ) ( ) ( xj) + + ( ) x f x... j a j j xf x x f x a a j j x f ( x ) j r j Es decr, equvaleteete, podeos calcular el valor de x utlzado la fórula ( ) j r j j x x f x Cosderado esta ulta fórula veos que la eda artétca es ua sua poderada (o cobacó leal) de los dsttos valores, co los pesos defdos por sus frecuecas de observacó. Utlzado las frecuecas asocadas co los datos de Ejeplo., la eda artétca de estos datos es x (,667) (,8) 8, 867. E el caso de Ejeplo. teeos 9 datos dsttos, etoces: x (,57 +, ,4)/9 88,5/9, Propedades de la eda artétca La sua de las desvacoes de u cojuto de datos respecto de la eda es cero. Es decr, ( x x). La sua de los cuadrados de las desvacoes de los valores respecto de su eda es Qs () x s es ía cuado s x. ía. Es decr que ( ) S ua uestra de datos tee ua eda x, ua seguda uestra de datos tee ua eda x,... ua -ésa uestra de datos tee eda x, etoces la eda artétca, x, de todos los N x x datos es: dode x j es el j-éso dato de la -éso uestra. j N x j

14 Supogaos que observaos los valores de las dos varables estadístcas X e Y para x x y,..., y, etoces dvduos. Es decr, teeos los datos {,..., } e { } x+ y x+ y. S a es u costate, ax ax. S x x a x a +, etoces x +. b b.4. La edaa La edaa tabé tee u papel uy portate e la estadístca (sobre todo e los étodos o-paraetrcos y los uevos étodos robustos). Ordeado los datos e fora crecete, la edaa se defe coo el valor que deja gual úero de observacoes ferores que superores a el. S hay u úero par de datos esta defcó o proporcoa u valor úco y para esta caso toaos coo valor edao la eda artétca de los dos cetrales. Por ejeplo, s teeos el cojuto de datos { 4445,,,,,,, }, ordeado los datos e fora crecete teeos {,,, 4445,,,, }. Los dos valores cetrales so y 4 y su eda artétca es,5. Ordeado los datos de Ejeplo. e fora crecete, obteeos: Los dos valores cetrales so abos. Etoces, la edaa es su eda artétca ( + )/..4. La oda La oda se defe coo el valor de ua uestra de datos que tee la ayor frecueca. Para los datos de Ejeplo. la oda es el valor (co ua frecueca absoluta de 8). E Ejeplo. teeos 9 valores dsttos de ua varable cotua etoces la oda o es úca (cada ua de los 9 observacoes tee ua frecueca de uo). No obstate, utlzado agrupaeto para esto tpo de datos, podeos defr el tervalo odal coo el tervalo co la frecueca áxa. Por los datos de Ejeplo, (co ua frecueca absoluta de 4).. el tervalo odal es [ ).5 Meddas de dspersó A cada edda de cetralzacó podeos asocarle ua edda de la varabldad de los datos respecto a ella.

15 .5. La varaza Ua edda asocada co la eda es la varaza de ua uestra, ~ s, defdo por: ( ) ~ s x x S teeos la dstrbucó de frecuecas de los dsttos valores que toa los datos, podeos calcular el valor de ~ s utlzado la fórula: ( j ) r( j) ~ s x x f x j (Muchos autores defe la varaza de ua uestra coo: s ( x porque tee certas propedades portates. Mtab, por ejeplo, utlza esta defcó. Obvaete, s es grade, ~ s y s será uy parecdas.) Coo podeos ver, la varaza es la eda de los cuadrados de las desvacoes de los valores respecto de su eda. Es cuado todos los valores cocde co la eda. E realdad o es ecesaro calcular las desvacoes para calcular la varaza porque: x x x ( ) x.5. La desvacó típca.5.. Defcó Es spleete la raíz cuadrada postva de la varaza, es decr: ( ) ~ s x x ó s ( x 4

16 (que es la fórula utlzada por Mtab) La desvacó típca tee las sas desoes que los datos orgales. Para los datos de Ejeplo. x 87, 6, x ( ) 88, 5 y 9. Etoces: ~ 87, 6 88, 5 9 s, ~ s ~ 5 7 y s, 8 9 ( ) 87, 6 88, 5 9 s 5, 87 y s s, Propedades Es varate ate u cabo de orge. Es decr, s Y X + c, ~ s ~ s. Tabé, sy sx. X S Y ( u costate), ~ ~ sx sx sy. Tabé, sy. Utlzado las propedades arrba y las de la eda, teeos el sguete resultado portate: Tpfcacó de ua varable: Sea { x,..., x} ua uestra de datos (de ua varable estadístca X) co eda x y desvacó típca ~ s x y defos la X x varabley ~, etoces: y y s y. s x.5. El coefcete de varacó de Pearso Se deoa coefcete de varacó al cocete: C v que es ua edda relatva de varabldad (y que o tee setdo s x ). E la geería se utlza ucho el coefcete verso, x ~, que se cooce coo coefcete s señal-rudo. Para los datos de Ejeplo., x,9, ~, 8 s,8 y C v, 9,..5.4 La edaa de las desvacoes absolutas Ua edda de dspersó asocada a la edaa, M, es la edaa de las desvacoes absolutas (MEDA) defda por: ~ s x MEDA edaa x M S cooceos la edaa y la MEDA de u cojuto de datos sabeos que, al eos, el 5% de los datos está e el tervalo (M ± MEDA). y x 5

17 Esta edda (coo la edaa) o es afectado por datos extreos (es decr, uy grades o uy pequeños). Laaos eddas que tee esta propedad eddas robustas o resstetes. Ordeado los datos de Ejeplo. e fora crecete, teeos:,7,,466,7,76,8,94,47,659,958,9,4,57,98,95,9,449,475,4995,575,58,55,554,558,577,58,677,7,7,7,75,788,898,8548,8949,8956,8994,949,949,954,957,75,4,86,76,4,9,4,49,46,569,576,54,578,674,687,748,7856,857,8654,898,9646,8,69,976,64,6449,666,678,7487,8,567,5947,8 4,65 4,8 4,54 4,669 5,857 5,978 5,9698 6,5 6,9 6,65 7,789 7,4964 8, 8,5 9,98,949 La edaa de los datos es la eda de los datos,76 y,4, es decr,,. Los valores de las desvacoes absolutas ordeados e fora crecete so:,7,7,477,989,999,8,7,76,8,894,9,47,54,698,76,755,95,9,4,866,95,47,49,47,47,4,4477,56,54,55,554,5596,57,576,578,5985,68,68,68,655,6568,754,754,75,7679,894,84,878,885,8776,889,895,964,945,9644,98,9,,54,6,87,,76,88,67,7,546,557,5478,684,687,464,4644,67,95,998,47,4766 4,554 4,7775 4,895 4,8847 4,96 4,996 6,486 6,66 6,9799 7,47 7,8995 9,646 La edaa de estos valores es la eda de los dos valores cetrales,7679 y,894,797. Es decr, e este caso la MEDA, El recorrdo Coo dcado ates, el recorrdo (o rago) de u cojuto de datos es la dfereca etre sus valores áxo y ío..5.6 Percetles, cuartles y el rago tercuartílco S ordeaos los datos e fora crecete podeos detfcar los percetles y cuartles de su dstrbucó. Llaaos percetl α, P α, al valor que deja ferores o guales a él α% de los datos. Por ejeplo, s el úero de datos es par la edaa es el percetl 5, P 5. Llaaos cuartles a aquellos valores que dvde la dstrbucó de u cojuto de dato e cuatro partes guales. Etoces, el prer cuartl, Q, es 6

18 gual al percetl 5, el segudo, Q, es la edaa (y percetl 5), el tercero, Q, el percetl 75. Por ulto, el rago tercuartílco es la dfereca etre Q y Q. Utlzado los datos ordeados e fora crecete de Ejeplo. veos que el rago es,949 -,7,8; Q P5 (, 55 +, 554), 55; Q P5, ; Q P75 (, 666 +, 678), 67 y etoces el rago tercuartílco e este caso vee dado por Q Q Meddas de asetría y aputaeto Hay varos eddas que podeos usar para resur la asetría o aputaeto de ua dstrbucó. A cotuacó cosderaos eddas relatvas a la eda..6. Dstrbucoes sétrcas y asétrcas Decos que la dstrbucó de frecuecas asocada co u cojuto de datos es sétrca cuado valores de la varable equdstates de u valor cetral tee las sas frecuecas. E este caso, x edaa. Coo podeos ver desde las dstrbucoes de frecuecas de los datos de Ejeplos. y., las dos dstrbucoes o so sétrcas (so asétrcas). El dagraa de barras de la prera y el hstograa del segudo represeta dstrbucoes asétrcas a la derecha (co colas a la derecha). E este caso x edaa. Tabé podeos ecotrar dstrbucoes asétrcas a la zquerda (co colas a la zquerda). Para ua dstrbucó de este tpox edaa..6. Coefcete de asetría de Fsher E u cojuto de datos co ua dstrbucó sétrca respecto a su eda, x, la sua ( x será ula, etras para ua dstrbucó asétrca esta sua crecerá co el vel de la asetría. Se defe el coefcete de asetría de Fsher, C as, coo: C as ( x que es ua eda de asetría adesoal..6. Coefcete de agrupaeto o curtoss Cosderaos los sguetes cuatro dstrbucoes de frecuecas relatvas: Dstrbucó Dstrbucó Dstrbucó Dstrbucó 4 x fr ( x) x fr ( x) x fr ( x) x fr ( x) / 9,45 / 7,5,5 /,5,,,5,7 / 9,45 / 7,5,5 /,5 s ~ 7

19 Veos que todas so sétrcas co edo y ~ s. No obstate, e la prera la frecueca relatva del valor cetral es uy baja, e la seguda es cas la sa que la de los otros dos valores, e la tercera el valor cetral es el ás frecuete y e la cuarta el valor cetral es ucho ás frecuete que los otras dos valores. La dstrbucó de las frecuecas relatvas etre los valores cetrales y los valores extreos defe la característca llaada aputaeto o curtoss. Las dos preras dstrbucoes tee poco aputaeto, la tercera ás y la cuarto ucho. Podeos edr esta propedad de ua dstrbucó edaa el coefcete de aputaeto, defdo coo: C ap ( x s ~ 4 4 Para las cuatro dstrbucoes teeos los sguetes valores de *. Dstrbucó C ap,,4 4,.7 Moetos Se defe el oeto de orde respecto del orge coo: x Los oetos respecto a la eda se defe por: ( x Co estas defcoes, veos que: Tabé veos que: ( x x x x ( x x ( x ~ s 8

20 C as ( x s ~ ~ s ( ) C ap ( x s ~ ~ 4 s 4 ( ) Para los datos de Ejeplo. teeos: x,9, ~ s,8, ( x ( x 4 4 8,9, 8, 9 77, 9 77,9. Etoces C as, 648 y C ap 4 5,. 9, 8 9, 8 ( ) ( ).8 Ejerccos ateátcos.8. Ecuetre el valor de a para que ( x a)..8. Ecuetre el valor a que za ( x a).8. Ecuetre el valor a que za x a..8.4 Deuestre que s ultplcaos todos los valores de ua varable por, la eda y la desvacó típca quedará ultplcadas tabé por ( > )..8.5 Qué trasforacó sufre el coefcete de varacó de Pearso de ua varable X cuado se ultplca sus valores por u costate ( > )? Y s se dvde por?..8.6 Deuestre que s costruos ua varable Z ezclado valores de X y valores de Y, la eda de Z, es: z x y sedo x e y las edas de las varables cales..8.7 Se tee dos dscos co rados y 5 c, respectvaete. Se costruye otra dsco cuya área es la eda de las áreas de los dos dscos orgales. Será su rado tabé la eda de los rados dados? 9

21 .8.8 Se tee valores de ua varable estadístca, { x x},..., que arroja ua eda de 8 y ua desvacó típca de 5. Se costruye los uevos valores y x. Cuato vale y? ( ).8.9 Es certa la gualdad ( x ( x a) ( x a) úero real a? para cualquer.8. Dadas las ses observacoes -,, x,,,, se sabe que su desvacó típca es gual a su coefcete de varacó de Pearso. Se pde: a) Ecotrar el valor de x. b) Ecotrar la eda de la dstrbucó. c) Es la dstrbucó sétrca?