Sebastián Martín Ruiz. Aplicaciones de la Función de Smarandache y las Funciones Prima y Coprima

Transcripción

1 Sebastá Martí Ruz Alcacoes de la Fucó de Saradache y las Fucoes Pra y Cora log / / j j s j s j s j Aerca Research Press Rehoboth 00

2 Sebastá Martí Ruz Avda. de Regla 43 Choa 550 Cádz Sa Aerca Research Press Rehoboth 00

3 ste lbro uede edrse e ael reso e: Boos o Dead ProQuest Iforato & Learg Uversty of Mcrofl Iteratoal 300 N. Zeeb Road P.O. Box 346 A Arbor MI USA Tel.: Custoer Servce htt://wwwlb.u.co/bod/ y está e teret e: Publshg Ole Co. Seattle Washgto State htt://publshgole.co Revsores: José Adrés Araro Saalo araro@us.es Doctor e Mateátcas y rofesor ttular del deartaeto de Mateátca alcada de la Uversdad de Sevlla. Atoo Pérez Saz aerez4@latea.tc.ec.es Profesor del I..S. Salvador Dalí Madrd. Pedro Real Jurado real@us.es Doctor e Mateátcas y rofesor ttular del deartaeto de ateátca alcada de la Uversdad de Sevlla. Coyrght 00 by Aerca Research Press ad Sebasta Mart Ruz Rehoboth Box 4 NM 873 USA Muchos lbros uede ser bajados de teret e la dreccó: htt:// ISBN: Deósto legal: Ireso e los stados Udos de Aérca

4 Cotedos: Caítulo : La Fucó de Saradache Alcada a los Núeros Perfectos - 4 Caítulo : U Resultado Obtedo Para la Fucó de Saradache - 6 Caítulo 3: Ua Cogrueca co la Fucó de Saradache - 0 Caítulo 4: Ua Recurreca Para Obteer los Núeros Pros Usado la Fucó Pra de Saradache - 4 Caítulo 5: l Téro Geeral de la Sucesó de los Núeros Pros y la fucó Pra de Saradache - 7 Caítulo 6: xresoes de la Fucó Cora de Saradache - 0 Caítulo 7: Nuevos Núeros Pros - 3

5 Caítulo : La Fucó de Saradache Alcada a los Núeros Perfectos. La fucó de Saradache se defe coo sgue: S es el eor etero ostvo tal que S! es dvsble or. [] este artículo vaos a ver cual es el valor que toa esta fucó cuado es u úero erfecto de la fora sedo u úero ro. Lea : Sea sedo u ro ar e u etero tal que: 0 e! 3 L log dode e! es el exoete de e la descooscó factoral de!. x es el ayor etero eor o gual que x. x Teeos que S. Deostracó: Dado que GCD GCDMáxo coú dvsormcd teeos que S ax{ S S } S. Por tato S. S robaos que! es dvsble or etoces tedreos la gualdad. dode es el claro que! e! e! L e s! s éso ro e la descooscó factoral de! s! or lo que: e s. stá e! e! e s! s! L De dode se deduce que :! e! e! e! s L s 4

6 es u etero ostvo ues e! 0. Por tato se tee que S. Prooscó : S es u úero erfecto de la fora co u etero ostvo tal que es ro teeos que S. Deostracó: Por el lea es sufcete robar que e!. S robaos que: habreos robado la rooscó ya que: Coo es etero teeos que e! Probar es lo so que robar ero coo es etero esto es equvalete a robar. Para robar vaos a cosderar la fucó: real. x f x x x úero sta fucó tee dervada y su dervada es f x x l. f será crecete s x l > 0 y resolvedo x: ll x > '587 l artcular f es crecete x. Por tato x f x f 0 es decr x 0 x Por lo cual: etero. Y esto rueba la rooscó. x. 5

7 JMPLOS: 6 3 S S S S887 Referecas: [] C. Dutrescu ad R. Müller: To joy s a Peraet Cooet of Matheatcs. SMARANDACH NOTIONS JOURNAL Vol. 9 No

8 7 Caítulo : U Resultado Obtedo Para la Fucó de Saradache Ya defos la fucó de Saradache coo sgue: Ss el eor etero ostvo tal que S! es dvsble or. [] Vaos a ver que valor toa esta fucó ara co u etero y u úero ro. Prevaete se requere u Lea. Lea Ν log L dode x es el ayor etero eor o gual que x. Deostracó: Vaos a ver e rer lugar el valor que toa log. S : < y or tato log log <. Y s : [ ] log log log De dode se deduce que: [ ] log < y or lo cual: [ ] log s Ahora vaos a ver los valores que toa ara :

9 S : S < : Veaos cuato vale la sua total: Por tato: Prooscó: úero ro : S Deostracó: Cosdereos e! exoete del úero e la descooscó factoral de!. Teeos: e! L 3 log 8

10 9 Y usado el lea se tee: [ ] [ ] e log! L Por tato: Ν Ν ad!! Y or últo teeos el resultado: S Referecas: [] C. Dutrescu ad R. Müller: To joy s a Peraet Cooet of Matheatcs. SMARANDACH NOTIONS JOURNAL VOL 9: No

11 Caítulo 3: Ua Cogrueca co la Fucó de Saradache La fucó de Saradache se defe coo sgue: S es el eor etero tal que S! es dvsble or. [] este artículo vaos a ver el valor que toa S od ara los eteros coreddos etre: 97. S - S - od

12 S - S - od

13 S - S - od Se ve claraete e la tabla que solo hay 4 excecoes ara 97

14 Veaos e detalle las 4 excecoes de la tabla: 8 7 S 8-5 od S 5-7 od S od S 9-47 od 9 Observaos que e estos 4 casos se tee que sedo u ro y ás au S od Cuestó Irresuelta: Podeos obteer ua fórula geeral que os dé e fucó de el valor S od ara todos los valores eteros ostvos de?. Referecas: [] Saradache Notos Joural Vol. 9 No

15 Caítulo 4:Ua Recurreca Para Obteer los Núeros Pros Usado la Fucó Pra de Saradache. Teorea: Cosdereos la fucó: Para u etero ostvo: F j j j se tee: F ara todo dode { } so los úeros ros y x es la arte etera de x. Se observa que el cooceto de solo deede del cooceto de y el cooceto de los ros aterores es ecesaro. Deostracó: Suogaos que heos ecotrado ua fucó P co la sguete roedad: s es couesto P 0 s es ro sta fucó es llaada Fucó Pra de Saradache Ref.. Cosdereos el sguete roducto: P S < < P ya que : so todos couestos. 4

16 S P 0 ya que P 0 Por tato la sua: P P P La seguda sua es cero ya que todos los roductos tee el factor P 0. Por tato teeos la sguete relacó de recurreca: P Veaos que odeos ecotrar P co la roedad edda. Cosdereos: j j 0 s s j j o j L Deducos de esta relacó: d j j j dode d es el úero de dvsores de. 5

17 6 S es ro d or tato: 0 d S es couesto > d or tato: 0 < < d d De aquí se obtee la fucó ra de Saradache P que es: j j P j etero Co esto está robado el teorea. Referecas: []. Burto Saradache Pre ad Core fuctos. []F. Saradache Collected Paers Vol II Kshev Uversty Press Kshev 997.

18 Caítulo 5: l Téro Geeral de la Sucesó de los Núeros Pros y la Fucó Pra de Saradache. Cosdereos la fucó d úero de dvsores de u úero etero ostvo.heos ecotrado la sguete exresó ara esta fucó: x Floor[x] d Heos robado esta exresó e el artículo ateror. Deducos de aquí la sguete fucó: d G sta fucó es llaada fucó ra de Saradache Referecas Toa los sguetes valores: 0 G s s es es ro couesto Cosdereos ahora π úero de úeros ros eores o guales que. s sle robar que: π G 7

19 Se tee tabé que: π 0 S S C π Vereos desués que codcoes tee que culr C. Por tato teeos la sguete exresó ara -éso úero ro: C π s obteeos C que solo deeda de esta exresó será el téro geeral de la sucesó de los úeros ros ya que π está e fucó de G y G está e fucó de d que solo deede de. Por tato la exresó solo deede de. Cosdereos C log Ya que log se rueba fáclete la desgualdad: log Tabé es ecesaro que: log π S corobaos la desgualdad: π log < 8

20 9 Obteeos que: ; < C C C C π π π He corobado exeretalete esta desgualdad y las dferecas tede a crecer or lo cual es certa ara todo. Por tato s las desgualdades y so certas ara todo Se tee que el téro geeral de la sucesó de los úeros ros es: log / / j j s j s j s j Referecas: []. Burto Saradache Pre ad Core Fuctos Htt:// [] F. Saradache Collected Paers Vol. II Kshev Uversty Press.

21 0 Caítulo 6: xresoes de la Fucó Cora de Saradache La fucó cora de Saradache se defe de la sguete fora: caso otro sí etre ros so s C 0 L L Vaos a ver dos exresoes de la fucó cora ara. XPRSIÓN : lc C x la arte etera de x. S so ros etre sí: lc or tato: 0 0 C S o so ros etre sí: 0 < < < C lc lc XPRSIÓN : > > ' ' ' ' d d d d d d d d d d C

22 S ros etre s sus dvsores cule : d d' d d' d d ' d > d ' > d d' 0 < < C 0 d d' d d S o so ros etre sí se tee: d d ' d > d ' > C XPRSIÓN 3: Fucó Cora de Saradache ara : C L GCD L S L ros etre sí: GCD L C L 0 S L o so ros etre sí : GCD L > 0 < < C L GCD GCD Referecas:.. Burto Saradache Pre ad Core Fucto. F. Saradache Collected Paers Vol II.. 37Kshev Uversty Press.

23 Caítulo 7: Nuevos Núeros Pros Usado el rograa PROTH de Yves Gallot he ecotrado uevos úeros ros de aroxadaete 3700 dígtos. ste rograa está basado e el sguete teorea: Teorea de Proth 878: Sea N dode <. S exste u úero etero a tal que a N od N se tee que N es ro. l rograa Proth es u test de raldad ara grades úeros de la fora b o b. l rograa está hecho ara trabajar co úeros eores de de dígtos y está otzado ara úero de aroxadaete 000 dígtos. Usado este rograa he ecotrado los sguetes úeros ros: co 370 dígtos a 3 a co 37 dígtos a 5 a co 37 dígtos a 3 a 9363 co 373 dígtos a 5 a 7 Dado que los exoetes de los tres reros úeros es el úero de Saradache S5345 odríaos llaar a este to de úeros ros úeros ros de Saradache. Por otro lado ayudado del rograa MATHMATICA he ecotrado uevos úeros ros que so ua varate de los úeros ros de Ferat. So los sguetes: 3 3 ara s ortate ecoar que ara 7 el úero que se obtee tee 00 dígtos.

24 Chrs Nash ha verfcado los valores 8 hasta 0 este últo tee dígtos obteedo que todos so couestos. Todos tee equeños factores exceto 3. Referecas: [] Mcha Fleure Saradache Factors ad Reverse Factors Saradache Notos Joural Vol [] Chrs Caldwell The Pre Pages 3

25 Bografía: Nací e Choa el rovca de Cádz saña. Me lcecé e ateátcas or la Uversdad de Sevlla e 99. se so año trabajé dado clases de ateátca dscreta e la facultad de forátca de Sevlla. 99 coecé a trabajar e dversos sttutos hgh school de las rovcas de Sevlla y Cádz. 996 ublco rer artículo: "A algebrac detty leadg to Wlso's theore" e la revsta "The Matheatcal Gazette" de Iglaterra. A dcho artículo le ha segudo otros e la sa revsta y e "The Saradache Notos Joural" de "Aerca Research Press". Actualete sgo vestgado co ayuda de u colaborador Azy Arff de Malasa y trabajado e el sttuto de Secudara de localdad de aceto. 4

26 U lbro ara los aates de los úeros: La fucó de Saradache alcada a los úeros erfectos cogruecas. Tabé las fucoes ra y cora de Saradache e coexó co exresoes de los úeros ros. $5.95 5