El cálculo en carreras de ingeniería: un estudio cognitivo

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1 Relime Vol. 0, Núm., marzo, 007, pp El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo Leopoldo Zuñiga RESUMEN E este artículo se reporta u estudio cogitivo de carácter cualitativo e relació al apredizaje de los coceptos de fució de dos variables y de derivada parcial, e el cotexto de la igeiería. Se sostiee que e escearios didácticos cotextualizados se propicia u apredizaje co sigificado para el estudiate, co setido e el ámbito de su futura área profesioal. Esto motivó la ivestigació sobre lo que sucede a ivel cogitivo e los alumos e este tipo de ambietes didácticos. Se describe los referetes teóricos para el estudio del fucioamieto cogitivo e u acto metal de apredizaje (como el proceso de resolució de u problema), y se preseta el aálisis sobre los resultados de la puesta e escea del diseño de u esceario didáctico co u grupo de estudiates de igeiería. PALABRAS CLAVE: Apredizaje, cotexto, fucioamieto cogitivo, igeiería. ABSTRACT This paper reports a cogitive study of a qualitative character i relatio to the learig of the two variable fuctios ad partial derivative cocepts i the egieerig cotext. It defeds the fact that didactic settigs i cotext ca be coducive to a logical meaigful learig for the studet with sese i the future professioal area. This motivated us to research what happeed at cogitive levels for studets i this type of didactic eviromet. The theoretical framework is described by the study of cogitive fuctioig i a metal act of learig (the process of resolvig problem). The aalysis reports the experiece which results i the implemetatio of didactic settig desigs with oe group of egieerig studets. KEY WORDS: Learig, cotext, cogitive fuctioig, egieerig. Fecha de recepció: 0 de Mayo de 006 / Fecha de aceptació: 4 de Noviembre de 006. Escuela de Igeiería y Ciecias, Istituto Tecológico y de Estudios Superiores de Moterrey (ITESM), Campus Sa Luis Potosí, México.

2 46 Relime RESUMO Este artigo se reporta a um estudo cogitivo de caráter qualitativo em relação a apredizagem dos coceitos de fução de duas variáveis e de derivada parcial, em um cotexto de egeharia. Fudameta-se que em ceários didáticos cotextualizados se propicia uma apredizagem com sigificado para o estudate, com setido o âmbito de sua futura área profissioal. Isso motivou a ivestigação sobre o que sucede a ível cogitivo, os aluos, esse tipo de ambiete didático. Descrevem-se os refereciais teóricos para o estudo do fucioameto cogitivo em um ato metal de apredizagem (como o processo de resolução de um problema), e se apreseta a aálise sobre os resultados de um local em cea do plaejameto de um ceário didático com um grupo de estudates de egeharia. PALAVRAS CHAVE: Apredizagem, cotexto, fucioameto cogitivo, egeharia. RÉSUMÉ Das cet article o fait le rapport d ue étude cogitif à caractère qualitative e ce qui cocere l appretissage des cocepts à propos des foctios à deux variables et des dérivées partielles, das le cotexte de l igéierie. Il e ressort que das des situatios didactiques e cotexte, l appretissage acquiert u sigifié, porteur de ses das so eviroemet scolaire. Ceci a décleché ue recherche sur ce qui se passe chez les étudiats au iveau cogitif das ce gere de situatios didactiques. O décrit les référets théoriques pour l étude du foctioemet cogitif das u acte metal d appretissage puis o présete les résultats de l expériece de mise e oeuvre du desig d ue situatio didactique avec u groupe d étudiats d igéierie. MOTS CLÉS: Appretissage, cotexte, foctioemet cogitif, igéierie. INTRODUCCIÓN E el ámbito de la ivestigació e didáctica de las matemáticas es bastate coocido que la eseñaza habitual del cálculo se basa e la trasmisió de coocimietos co u éfasis muy marcado e el desarrollo de habilidades algebraicas y se desatiede el discerimieto itelectual para la compresió de ideas, ocioes y coceptos. Tal situació ha sido abordada e diversos trabajos e los que se muestra desde argumetacioes teóricas hasta propuestas para mejorar la calidad del apredizaje, las cuales icluye tato los coocimietos previos

3 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 47 que ecesitaría teer u estudiate para teer éxito e el estudio de cálculo, como la elaboració de materiales didácticos (Farfá, 99 & 994; Artigue, 995; Dolores, 999; Salias et al., 00). Por ejemplo, Moreo (005) idica que: "La eseñaza de los pricipios del cálculo resulta bastate problemática, y auque seamos capaces de eseñar a los estudiates a resolver de forma más o meos mecáica alguos problemas estádar, o bie a realizar alguas derivadas o itegrales, tales accioes está muy lejos de lo que supodría ua verdadera compresió de los coceptos y métodos de pesamieto de esta parte de las matemáticas". U problema importate ligado a esta situació es que el coocimieto geeralmete se trata fuera de cotextos apropiados. Así, cuado se pretede mostrar a los estudiates la utilidad de los coteidos que se estudia, a lo más que se llega e u curso comú de cálculo es a resolver los llamados problemas de aplicació que se propoe e los textos, que casi uca correspode a la realidad. Esto tiee cosecuecias egativas cuado los que aprede so estudiates que e el ejercicio de su profesió requiere de coocimietos y habilidades que les permita resolver problemas de verdad. Tal es el caso de quiees se prepara e carreras de igeiería. Camarea (990) mecioa que "parte de la problemática e igeiería es que la matemática se ecuetra totalmete desviculada de las asigaturas de la igeiería, y la realidad del igeiero reclama esta viculació que e materia de educació está e tierra de adie". Particularmete, e los programas de estudio correspodietes a los cursos de cálculo para igeiería se puede leer, por ejemplo, que su objetivo cosiste e proporcioar al alumo los coocimietos fudametales del cálculo que será utilizados e la iterpretació, plateamieto y resolució de problemas específicos de su carrera; si embargo, i e dichos programas i e los textos que se sugiere para los cursos so mecioados o tratados. Y más todavía: e comuicacioes persoales co profesores que imparte dichos cursos señala que, si bie tiee algua idea, o cooce problemas o situacioes específicas de las carreras profesioales; por tato, se limita a eseñar, cuado mucho, el tipo de aplicacioes coteidas e los textos que lleva los alumos. Hay varios reportes e toro a esta situació de los profesores de matemáticas e el ivel superior de eseñaza. Moreo (005) hace referecia a ua ivestigació sobre las creecias de los docetes e idica que alguos maestros de matemáticas de las carreras de biología y química recooce su "deficiete formació alejada de los modelos químicos y biológicos, y la ifluecia que esto tiee e su eseñaza, pues les impide dar explicacioes covicetes de algo que i domia i cooce suficietemete". Por otra parte, e etrevistas co profesores que imparte cursos de especialidad e igeiería, dode se supoe que emplea sus coocimietos de cálculo, afirma que realmete ecesita muy poco de estos coceptos, debido a que o se ivolucra co las deduccioes de métodos o fórmulas, sólo las usa. Y como el tipo de problemas o va más allá de los rutiarios ejercicios típicos que se preseta e los libros de texto de uso comú, o se ecesita más. Estas situacioes, producto de la experiecia, creecias y costumbres de los

4 48 Relime profesores, así como de su imersió e el sistema didáctico habitual, repercute directamete e el apredizaje de los estudiates y crea ideas falsas tato sobre lo que se debe (qué y cómo) apreder como sobre la importacia de la matemática e su formació. E diversos trabajos se mecioa las cosecuecias egativas de estas situacioes. Artigue (995) señala: "Numerosas ivestigacioes realizadas muestra, co covergecias sorpredetes, que si bie se puede eseñar a los estudiates a realizar de forma más o meos mecáica alguos cálculos de derivadas y primitivas y a resolver alguos problemas estádar, se ecuetra grades dificultades para hacerlos etrar e verdad e el campo del cálculo y para hacerlos alcazar ua compresió satisfactoria de los coceptos y métodos de pesamieto que so el cetro de este campo de las matemáticas. Estos estudios tambié muestra de maera clara que, frete a las dificultades ecotradas, la eseñaza tradicioal y, e particular, la eseñaza uiversitaria, aú si tiee otras ambicioes, tiede a cetrarse e ua práctica algorítmica y algebraica del cálculo y a evaluar e esecia las competecias adquiridas e este domiio. Este feómeo se covierte e u círculo vicioso: para teer iveles aceptables de éxito, se evalúa aquello que los estudiates puede hacer mejor, y esto es, a su vez, cosiderado por los estudiates como lo esecial, ya que es lo que se evalúa " Esta problemática codicioa el ambiete e el aula, la disposició de los estudiates para apreder y su actitud ate los uevos coocimietos. Saber matemáticas sigifica, para los alumos, teer algua habilidad e la resolució de ecuacioes, desarrollar procedimietos, aplicar fórmulas y métodos. Rara vez u estudiate cocibe a las matemáticas como algo que le pueda ser útil más allá de eso, y cuado llega a suceder, o es del todo claro. Qué se puede hacer? Cómo vicular los coteidos matemáticos co las áreas que pueda iteresar al estudiate? Al respecto, Camarea (000) mecioa: "La matemática e cotexto: ayuda al estudiate a costruir su propio coocimieto de ua matemática co sigificado, co amarres firmes y o volátiles; refuerza el desarrollo de habilidades matemáticas, mediate el proceso de resolver problemas viculados co los itereses del alumo..." De esta maera, atediedo a la idea de que los estudiates de igeiería será e su futura vida profesioal usuarios de Se etiede por sistema didáctico habitual a aquel e que el profesor tiee el rol pricipal e el proceso de eseñaza-apredizaje, mietras que los estudiates asume ua actitud pasiva. El apredizaje sucede pricipalmete por repetició, o por descubrimieto, lo cual coduce a u apredizaje producto del éfasis e la mecaizació del saber (esto o sigifica que el apredizaje por repetició sea erróeo o iadecuado, sio que resulta isuficiete); además, la didáctica empleada está determiada por el discurso de los libros de texto. Las sesioes de clase se diseña para el cumplimieto a los programas de estudio (que, e muchos casos, está elaborados e fució a la estructura de coteidos de los libros de texto). E buea medida, tales situacioes se debe a que los profesores de matemáticas o tiee ua capacitació profesioal e docecia (mucho meos e didáctica de las matemáticas), lo cual provoca que su trabajo como docetes se guíe casi exclusivamete por las experiecias vividas como estudiates, su percepció de lo que sigifica ser u bue profesor, y lo que dicta los programas y libros de texto oficiales.

5 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 49 la matemática, y que requiere e su formació de situacioes que les muestre la utilidad de los coocimietos matemáticos e su área de especialidad, este trabajo se iscribe e la líea de ivestigació que aborda la problemática de la eseñaza de las matemáticas e cotexto. Particularmete, su objetivo cosiste e dotar de sigificado a los objetos y procesos matemáticos del cálculo, mediate el diseño de ua situació-problema e el cotexto de la igeiería, a fi de ivestigar su impacto e el apredizaje de los estudiates detro del aspecto cogitivo. Cabe señalar que etre los atecedetes de estudios sobre matemática e cotexto realizados e México se cueta co el Diseño de u curso de ecuacioes difereciales e el cotexto de los circuitos eléctricos (Camarea, 987), el Aálisis de Fourier e el cotexto del aálisis de señales eléctricas y electromagéticas (Camarea, 993) y La serie de Fourier e el cotexto de la trasferecia de masa (Muro, 000), mietras que e el ámbito mudial podemos mecioar a Riorda & Noyce (00) y Meyer & Diopolus (00). Icluso se está desarrollado alguos proyectos, como el Core- Plus Mathematics Project, llevado a cabo por ivestigadores de las istitucioes Wester Michiga Uiversity, Uiversity of Michiga, Uiversity of Marylad y Uiversity of Iowa. Sus productos didácticos ha sido publicados bajo el título Cotemporary mathematics i cotext: a uified approach (Hirsch et al., 003). Si embargo, para los fies de este trabajo es elemetal cosiderar que prácticamete o se ha realizado estudios sobre el cálculo e el cotexto de la igeiería, atediedo a las fucioes cogitivas que está ivolucradas e el apredizaje de los estudiates. Se etiede por fucioes cogitivas a los prerrequisitos básicos para que se de e forma satisfactoria las operacioes metales y, e geeral, el procesamieto de la iformació e situacioes de apredizaje, por ejemplo, al resolver u problema (esto se describe co mayor detalle e el marco teórico del trabajo). Las ivestigacioes citadas propoe argumetos teóricos, estudia el impacto del diseño y la puesta e escea de situacioes-problema e cotexto y hace propuestas didácticas, mas o reporta u estudio específico y detallado de lo que sucede e las fucioes cogitivas de quie aprede. Todo parece idicar e dichos trabajos que, cuado el apredizaje ocurre e situacioes cotextualizadas, se obtiee mejores resultados; de maera cocreta, por la motivació que se provoca e los alumos y el sigificado específico e el área de iterés que, se supoe, adquiere las ocioes, ideas y coceptos matemáticos. Pero si esto es así, qué sucede e la mete del estudiate?, qué elemetos de orde cogitivo está implicados e el apredizaje? EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Para ateder la problemática de la eseñaza y el apredizaje de las matemáticas e carreras profesioales de igeiería es ecesario costruir propuestas sobre estructuras didácticas alterativas que posibilite u mejor apredizaje, que tega sigificado e los procesos igeieriles prácticos cercaos al iterés de los estudiates y dode el estudio del cálculo adquiera setido. E aras de tal propósito, resulta idispesable idagar sobre el fucioamieto cogitivo de los estudiates cuado se

6 50 Relime efreta a u esceario de apredizaje del cálculo cotextualizado e igeiería, para teer elemetos que de luz sobre la forma e que sucede el apredizaje de ocioes y coceptos matemáticos e ese tipo de escearios. Se etiede que el fucioamieto cogitivo e u acto de apredizaje que está determiado tato por las operacioes metales comparacioes, sítesis, aálisis que posibilita la iteriorizació y codificació de coocimietos, como por las fucioes cogitivas descritas e el marco teórico que subyace e el ivel operativo; es decir, las fucioes que posibilita la maiobrabilidad para trasformar y adecuar las represetacioes metales e juego durate el acto de apredizaje. De tal modo, se defiió el problema de ivestigació mediate la preguta qué sucede e el aspecto cogitivo e los estudiates de cálculo cuado el proceso de apredizaje se realiza e escearios cotextualizados de la igeiería? Esto surgió como respuesta a la ecesidad de estudiar los aspectos cogitivos mecioados e experiecias de apredizaje, detro del cotexto de la igeiería. Además, se recooce que la situació e la práctica educativa que reclama tal ivestigació está marcada por u hecho que revela la experiecia e las aulas, al meos e los primeros iveles de educació superior: la creecia geeralizada (o al meos ua duda costate) e los estudiates de que las matemáticas poco les será útiles e su futuro ámbito profesioal. Se sabe que u atecedete directamete ligado a este hecho radica e que el proceso de apredizaje que ha vivido los estudiates e los iveles básicos está caracterizado por las tedecias de eseñaza tradicioal; e ese setido, su experiecia co las matemáticas o ha sido tal vez la más coveiete. Aquí, se cree que uo de los factores co ifluecia decisiva es que tato los programas de estudio como las ideas didácticas e los textos de cálculo está basados e ua estructura que propicia diversos coflictos e el apredizaje, como señala Catoral & Miró (000): "la eseñaza habitual del aálisis matemático logra que los estudiates derive, itegre, calcule límites elemetales si que sea capaces de asigar u setido más amplio a las ocioes ivolucradas e su compresió. De modo que au siedo capaces de derivar ua fució, o pueda recoocer e u cierto problema la ecesidad de ua derivació". Ahora bie, situacioes como ésta provoca que los estudiates se forme ua image coceptual restrigida, y e muchos casos erróea, sobre el estudio y utilidad de las matemáticas. E particular, parece ser que para ellos el cálculo sólo es ua serie de fórmulas, reglas o métodos si beeficio, lo cual predispoe su fucioamieto cogitivo. La actitud de los estudiates hacia el apredizaje de las matemáticas o es la misma cuado o hay motivació o iterés por estudiar algo que, desde su perspectiva, o les resulta provechoso i e su formació profesioal i e su futuro campo laboral. Etoces, se cosidera que el aspecto cogitivo es fudametal e la ivestigació didáctica actual, ya que puede ofrecer iformació respecto a lo que sucede e la mete del que aprede. Se hace pertiete ivestigar cómo u sujeto obtiee coocimieto cuado se efreta a ua situació problemática ueva, e u esceario de su iterés, e iteractúa co os recursos de que dispoe e su memoria, tato de orde cogitivo fucioal y operativo el estado de sus

7 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 5 capacidades, e térmios de fucioes cogitivas y operacioes metales como los que atañe a sus coocimietos matemáticos previos. Dado el problema de ivestigació e esta forma, el objetivo de uestro trabajo fue aalizar las fucioes cogitivas 3 de los estudiates de cálculo e experiecias de apredizaje de sus coteidos e el cotexto de la igeiería. Cabe señalar que se supoe que los estudiates tiee mejor compresió cuado los coteidos se trata e cotexto y, por cosiguiete, se etiede a su vez que los estudiates logra u mejor apredizaje si es sigificativo (Ausubel et al., 978); es decir, si los uevos coocimietos se trata e u proceso cosistete e que los pesamietos, expresados simbólicamete de modo o arbitrario y objetivo, se ue co los coocimietos ya existetes e el sujeto para producir el apredizaje. Por ello, el diseño de experiecias didácticas tiee que permitir ua relació itecioada (o arbitraria) y sustacial (o al pie de la letra) co los coocimietos e ideas del alumo, pues el idividuo debe desarrollar ua serie de estrategias que le permita adquirir u coocimieto, almacearlo y recuperarlo cuado sea ecesario. La eficacia de este apredizaje se ecuetra e fució de su sigificatividad, o de las técicas memorísticas, lo cual es acorde co las ideas sobre la matemática e cotexto. De esta forma, resulta esecial la ivestigació sobre cómo se logra ese apredizaje, e térmios de los elemetos cogitivos implicados e el proceso dode se adquiere el coocimieto. Esto justifica el iterés por abordar el aálisis de las fucioes cogitivas que soporta los procesos de pesamieto y posibilita el ivel de operatividad metal adecuado para que suceda el apredizaje. MARCO TEÓRICO El propósito de estudiar el apredizaje e situacioes cotextualizadas obligó a realizar ua búsqueda de referetes teóricos que soportara el aálisis de todos los factores implicados e el desarrollo del proceso dode se implata las experiecias de apredizaje del cálculo e cotexto y, por ede, e el propio proceso de coceptuació que cociere a las ocioes matemáticas. Por tato, el soporte teórico debía teer como compoete cetral al aálisis de los aspectos cogitivos que ocurre e cada etapa del proceso de resolució de u problema cotextualizado (Camarea, 000). Estos so: plateamieto del problema; determiació de las costates y variables del problema; icorporació de los temas y coceptos matemáticos ecesarios para abordar el problema; obteció del modelo matemático del problema; solució matemática del modelo matemático; solució e iterpretació e térmios del problema. Aquí se icluye la compresió de la situació, el proceso de resolució y la emisió de la respuesta. Hay teorías que ha sido pesadas (al meos e su orige) para estudiar los procesos de coceptuació progresiva de las estructuras matemáticas (Piaget, 978; Vergaud, 990), lo cual implica u aálisis e fució de las etapas del desarro- 3 De acuerdo a la teoría de fucioes cogitivas utilizada e la ivestigació, y que se describirá e los siguietes párrafos.

8 5 Relime llo metal, como idica Vergaud (990), cuado explica el objetivo de su teoría: "Su pricipal fialidad es la de proporcioar u marco que permita compreder las filiacioes y las rupturas etre coocimietos, e los iños y los adolescetes". Y aclara que "las ideas de filiació y de ruptura se refiere igualmete a los apredizajes del adulto, pero estos últimos se efectúa bajo restriccioes que so más del orde de los hábitos y de sesgos de pesamieto adquiridos que relativos al desarrollo del aparato psíquico". El iterés de esta ivestigació estuvo directamete relacioado co esa aclaració de Vergaud; es decir, co lo que sucede respecto a los efectos, e el ivel cogitivo, de tales hábitos y sesgos de pesamieto e situacioes de apredizaje, sobre todo cosiderado que el presete trabajo se hizo co estudiates de cálculo e carreras de igeiería, que se supoe ha alcazado la madurez cogitiva. De este modo, para ateder al objetivo del trabajo se decidió basar sus estudios e dos ideas eseciales: () icluir aspectos del comportamieto psíquico; es decir, para el aálisis del fucioamieto cogitivo se recurrió a la idea de la aalogía etre mete y ordeador como base cietífica de estudio, pero se icorporaro elemetos teóricos que os diera luz sobre los factores iteros e que se basa los procesos metales y que ifluye e las coductas de apredizaje de los estudiates; () implemetar ua forma sistemática de aalizar lo coceriete a la coceptuació de ocioes matemáticas e ua experiecia de apredizaje e cotexto. Para la primera cosideració, se tomó la teoría de las fucioes cogitivas, como la cocibe Feuerstei (977), y para la seguda tato el modelo teórico de la tripleta coceptual feomeologías-geeralizacioes-otacioes, de Godio & Recio (998), como las ocioes de acto matemático-cogitivo y esceario didáctico. Se describe a cotiuació estos recursos teóricos. Las fucioes cogitivas so cosideradas como los prerrequisitos básicos de la iteligecia, subyace e las operacioes metales, ayuda a la iteriorizació de la iformació y permite la autorregulació del orgaismo. La iteriorizació es el pilar básico del apredizaje y de la adaptació y, por tato, de la iteligecia. "Las fucioes cogitivas como actividades del sistema ervioso explica, e parte, la capacidad del idividuo para servirse de la experiecia previa e su adaptació a uevas situacioes" (Feuerstei, 979). Particularmete, este estudio sigue el esbozo teórico presetado e u trabajo aterior (Zúñiga, 004), e el cual se describe las características de cada fase e el procesamieto de la iformació sobre las fucioes cogitivas 4 de Feuerstei, que aparece e el acto metal de 4 Percepció clara: coocimieto exacto y preciso de la iformació. La disfució cogitiva: percepció borrosa cosiste e u proceso pobre e impreciso de los datos de la iformació. Exploració sistemática de ua situació de apredizaje: capacidad para orgaizar y plaificar la iformació. La disfució de la exploració sistemática es la impulsividad ate ua situació de apredizaje, cosistete e ua icapacidad para tratar la iformació de maera sistemática y plaificada. Orgaizació de la iformació: capacidad para utilizar diferetes fuetes de iformació a la vez. Percepció y defiició de u problema: cosiste e la habilidad para delimitar qué pide el problema, qué putos hay que acotar y cómo averiguarlos. Iteriorizació y represetació metal: capacidad para utilizar símbolos

9 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 53 apredizaje implicado e la resolució de u problema, y que se preseta a cotiuació: E la fase de etrada: La compresió implica teer ua percepció clara tato de los datos que se ofrece e el euciado como del estado fial o meta a la que se quiere llegar (los datos proporcioa ua descripció completa del cotexto del problema y de los parámetros bajo los cuales se debe operar). A su vez, para el logro de la percepció clara es ecesario que las fucioes cogitivas de exploració sistemática de ua situació de apredizaje y de orgaizació de la iformació aparezca e forma eficiete. E la fase de elaboració: tica y lo que es propiamete la resolució del problema. Se puede teer dificultades e el desarrollo de la fase de elaboració cuado o se defie co precisió el problema e térmios de la meta a la que se quiere llegar. La búsqueda de ua vía de solució implica la plaificació de la coducta (ua fució cogitiva que está presete e todo el proceso de resolució), así como la recuperació de esquemas e la memoria a largo plazo que ivolucra coocimietos matemáticos, lo cual a su vez requiere de ua coducta comparativa. El proceso de pesamieto para el uso, adecuació o modificació de esquemas previos e la costrucció de las uevas ideas, ocioes o coceptos matemáticos ivolucra, al meos, la capacidad de pesamieto hipotético y la coducta comparativa. La costrucció de coocimieto requiere para la codificació de la iformació correspodiete a las uevas ideas, ocioes y coceptos de la fució cogitiva de iteriorizació y represetació metal, que es ua de las más importates. Como señala Prieto (99): "La iteriorizació es el pilar básico del apredizaje y de la adaptació y, por tato, de la iteligecia". La resolució del problema implica la búsqueda de ua vía de solució (que coecte el estado iicial co el estado meta), pero ates es ecesario que el sujeto sea capaz de percibir y defiir co precisió el problema, lo cual implica que su fució cogitiva de percepció y defiició de u problema surja e forma eficiete. Este es u mometo crucial e el proceso porque costituye el elace etre la compresió de la situació problemáiteros de represetació. La falta o deficiecia de la iteriorizació se maifiesta e la coducta demasiado cocreta y si geeralizació apropiada. Plaificació de la coducta: capacidad para prever la meta que se quiere coseguir utilizado la iformació adquirida previamete. Coducta comparativa: cosiste e la capacidad para realizar todo tipo de comparacioes y relacioar objetos y sucesos aticipádose a la situació. La deficiecia e la coducta comparativa cosiste e la icapacidad para establecer relacioes de semejaza y diferecia etre objetos y sucesos. Pesamieto hipotético: capacidad para establecer hipótesis y comprobarlas, aceptado o rechazado la hipótesis previamete establecida. Comuicació explícita: cosiste e utilizar u leguaje claro y preciso que respoda al problema formulado e la tarea. Esto supoe u cierto ivel de compresió por parte del sujeto. La disfució es la comuicació egocétrica. Precisió y exactitud e las respuestas: capacidad para pesar y expresar la respuesta correcta a u problema o situació geeral de apredizaje. Cotrol de las respuestas: cosiste e la capacidad para reflexioar ates de emitir cualquier tipo de respuesta. El cotrol y la autocorrecció implica procesos metacogitivos.

10 54 Relime E la fase de salida: La respuesta ha de emitirse utilizado u leguaje claro y preciso e fució de la meta fial del problema formulado; es decir, se debe observar ua comuicació explícita de tal respuesta. Se debe observar capacidad para pesar y expresar la respuesta correcta al problema, así como para reflexioar ates de comuicarla. Debe haber precisió y exactitud e la respuesta y u cotrol e su emisió. Las etapas de la matemática e cotexto (Camarea, 000), mecioadas al iicio de esta secció, está cotempladas detro del esbozo teórico. E la fase de etrada: plateamieto del problema y determiació de las costates y variables. E la fase de elaboració: icorporació de los temas y coceptos matemáticos ecesarios para abordar el problema; obteció del modelo matemático del problema, y solució matemática del modelo matemático. E la fase de salida: solució e iterpretació de la solució e térmios del problema. Además, para el aálisis del apredizaje sobre los coceptos matemáticos ivolucrados e la experiecia, se empleó como apoyo u modelo teórico particular para estudiar las relacioes dialécticas etre pesamieto, leguaje matemático y situacioes-problema, el cual icluye los elemetos cocepto, sigo/símbolo y objeto/cotexto (Godio & Recio, 998). Este modelo tiee las siguietes etidades básicas: las feomeologías, dode se cosidera a las situacioes-problema, las aplicacioes, las tareas específicas y, e geeral, a las etidades extesioales que iduce actividades matemáticas; las otacioes, que abarca a todo tipo de represetacioes materiales ostesivas que ocupa la actividad matemática (térmios, expresioes, símbolos, gráficos, tablas, diagramas, etc.; e geeral, a etidades otacioales), y las geeralizacioes, como ideas matemáticas o abstraccioes (coceptos, proposicioes, procedimietos, teorías; esto es, etidades itecioales). Cabe señalar que, si bie este modelo semiótico ha sido pesado para el estudio de los procesos de iterpretació y comuicació e educació matemática, e este trabajo se le hace ua iterpretació y adecuació persoal para aalizar los elemetos coceptuales sobre los que debe trasitar u estudiate cuado ha compredido ua oció matemática; es decir, si es capaz de recoocer y trasitar por las feomeologías, otacioes y geeralizacioes que lo caracteriza. Esta ivestigació tambié es acorde co la idea de que el estudio matemático tato de los feómeos del mudo real como del matemático coloca al que aprede ate situacioes-problema. Asimismo, que las geeralizacioes matemáticas e esas situacioes so producto de los procesos de geeralizació de las accioes realizadas; es decir, de la geeralizació de esquemas o ivariates de sistemas de accioes, así como de las codicioes de realizació y los resultados de tales accioes, apoyados por el uso de sistemas de sigos. De igual modo, que las etidades otacioales puede ser cadeas de letras o úmeros, pero tambié gráficos, diagramas o icluso objetos físicos, y o tiee sólo ua valecia semiótica, sio que a la vez so istrumetos ostesivos para la actividad matemática (Godio & Recio, 998). Respecto a las ocioes de acto matemático-cogitivo y esceario didáctico,

11 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 55 El estudio de la primera fase se circuscribió al aálisis de los textos e que está basados los cursos de esas áreas, la cosulta a los profesores resposables y la revisió del pla de estudios de la carrera de Igeiería Idustrial y de Sistemas (co especial ateció e los programas aalíticos). Los resultados permitiero observar que hay áreas de especostituye recursos teóricos propios que fue ecesario defiir e el desarrollo de la experiecia (esto se cometa más adelate, e la secció sobre el diseño y las actividades e el aula): El esceario didáctico está costituido por todos los elemetos que coforma el cotexto de la situació problemática, y es el que determia y da setido al estudio de las ideas, ocioes y coceptos matemáticos ecesarios para la resolució del problema que se platea e tal cotexto. Esto icluye tambié los factores extramatemáticos y extraescolares que da orige al diseño de la situacióproblema e cotexto. Co acto matemático-cogitivo os referimos al hecho cocreto del acto metal e que sucede el apredizaje de ua idea, oció o cocepto matemático (o icluso u proceso algorítmico). Se ecuetra costituido por al meos u proceso iterpretativo que, a su vez, cotiee las tres etidades básicas del modelo coceptual de Godio & Recio (998): feomeologías, otacioes y geeralizacioes. U proceso iterpretativo es cada elemeto simbólico que iterviee e el acto metal de resolver u problema, y está coformado tato por la otació simbólica como por lo que represeta e el ámbito de ese problema (iterpretació persoal sobre el térmio proceso iterpretativo, usado por Godio & Recio, 998). Por último, es importate precisar la cocepció de problema que se maeja, pues es u elemeto cetral e el aálisis de la ivestigació. U problema represeta u reto o dificultad que o tiee resolució imediata y posibilita la búsqueda de procedimietos por parte del alumo a partir de sus coocimietos previos. Esta cocepció de problema implica la ovedad, tato e el setido de ua tarea que tiee elemetos uevos que o se comprede, como e la idea de costruir procedimietos o estrategias para su resolució. DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA La ivestigació se realizó e el ámbito de la carrera de Igeiería Idustrial y de Sistemas que ofrece el Istituto Tecológico y de Estudios Superiores de Moterrey (ITESM), Campus Sa Luis Potosí, México. Se trabajó co u grupo de estudiates, etre 9 y años de edad, que había cursado y acreditado dos cursos de cálculo, uo de diferecial y otro de itegral, ambos e ua variable real. La ivestigació se efectuó de acuerdo co dos fases: la primera compredió u estudio previo de carácter didáctico sobre las áreas de especialidad e igeiería dode se usa coocimietos de cálculo, y la seguda a la puesta e escea del diseño y al propio aálisis sobre las fucioes cogitivas.

12 56 Relime Uo de los problemas más desafiates para el cotrol de la cotamiació del agua lo preseta la idustria del curtido de pieles. Los deshechos de esta idustria so químicamete complejos. Se caracteriza por valores elevados e la demada de oxígeo bioquímico, los sólidos volátiles y otras mecialidad de la igeiería idustrial como el aálisis de regresió y el aálisis y diseño de experimetos dode se ocupa coocimietos de cálculo. De maera particular, se idetificó u coocimieto de especialidad, el método de míimos cuadrados para el ajuste de curvas, e el que aparece coocimietos de cálculo como las fucioes de dos variables idepedietes, la derivada parcial y el cálculo de extremos de fucioes. La seguda fase compredió las siguietes etapas: a) Se diseñó la situació-problema e cotexto que fue presetada a los estudiates y se determiaro las actividades específicas del proceso a realizar e el aula. b) Se realizó la experiecia de apredizaje, mediate la aplicació de la situació problemática cotextualizada al grupo de estudiates ya mecioado, que llevaba el curso de Matemáticas para Igeiería III (cálculo multivariable y ua itroducció al cálculo vectorial). Fuero coformados equipos para trabajo colaborativo y se abordó la situació problemática. c) Se llevó a cabo el aálisis cogitivocualitativo e el proceso de implemetació de la experiecia, desde la perspectiva de Feuerstei, así como respecto al modelo teórico del triágulo feomeologías-geeralizacioes-otacioes. La recolecció de datos se hizo mediate grabacioes e video y de los materiales que escribiero los alumos. Esta última fase se efoca e el diseño de ua experiecia de apredizaje e el cotexto de la Igeiería Idustrial y de Sistemas, particularmete e el método de ajuste de curvas llamado de míimos cuadrados (resultado de la primera fase), como se describe a cotiuació. EL DISEÑO Y LAS ACTIVIDADES EN EL AULA E ateció a los objetivos de la ivestigació y los resultados del estudio previo primera fase, se decidió aprovechar ua situació que desde hace años es u problema ambietal e ciertas zoas aledañas a la ciudad de Sa Luis Potosí: la cotamiació por residuos de sustacias químicas que realiza alguas empresas. De hecho, alguos casos ha sido documetados y dados a coocer a la opiió pública e medios iformativos como la presa y la televisió. Iclusive, cietíficos de la Uiversidad Autóoma de Sa Luis Potosí ha efectuado estudios experimetales (toma de muestras y su aálisis) que ha sido tema para estudios de posgrado. Esta problemática se dio a coocer y se discutió co los estudiates, previo al desarrollo de la experiecia, y costituyó uo de los factores que diero setido al problema matemático estudiado e el aula; además, situó el esceario didáctico global e el cotexto específico de la igeiería idustrial. El diseño de la experiecia fue el siguiete:

13 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 57 dicioes de cotamiació. Actualmete, se tiee u problema serio co este tipo de cotamiació e las cercaías de la ciudad de Sa Luis Potosí, y se les está ivitado a cotribuir e la solució del problema. De acuerdo co los estudios realizados, lo que se ecesita e estos mometos es determiar u modelo matemático para el comportamieto de este feómeo y poder etoces estimar elemetos e relació co la cotamiació producida. Cosidérese los datos experimetales de la tabla (ver Tabla ), los cuales se obtuviero de 33 muestras de desperdicios que se trata químicamete e u estudio realizado e la empresa potosia Pieles Naturales del Cetro, durate el periodo compredido etre agosto de 00 y eero de 00. Se preseta las lecturas de la reducció porcetual del total de sólidos (x) y de la reducció porcetual de demada de oxígeo químico (y) para esas 33 muestras. Qué modelo matemático propodría para el comportamieto de estos datos experimetales? Se orgaizó al grupo e cuatro equipos de trabajo, co tres itegrates, mietras que el trabajo se realizó e seis sesioes de 75 miutos cada ua. Es importate mecioar que presetamos a los estudiates el esceario diseñado ates de abordar cualquier coteido de cálculo diferecial e varias variables, co el objetivo de que la situació problemática motivara y diera setido al estudio de los coocimietos matemáticos ecesarios para resolverla. Tabla La secuecia de actividades para la resolució del problema fue la siguiete: era. sesió: Reducció Demada de de sólidos, oxígeo químico, y x (%) (%) Presetació de la situació problemática (por escrito). Los estudiates lee y discute sobre ella (trabajo colaborativo). Se pide a los estudiates que describa por escrito lo que se solicita, lo que cooce y lo que descooce, así como el plateamieto de ua estrategia de solució. Se les ecarga que ivestigue e toro a lo que descooce de la situació (extra clase).

14 58 Relime a. sesió: Se discute sobre lo ivestigado y, co base e ello, se iduce a los estudiates a trabajar la idea básica del método de míimos cuadrados. Se deduce e iteracció grupal y por equipos la expresió matemática (*) 5 que resulta al usar dicha idea. Se cuestioa a los estudiates sobre qué se debe hacer para cotiuar el proceso de resolució. Se discute la aturaleza de la expresió última (*). Se pide a los estudiates que realice u ejercicio particular co sólo cuatro datos uméricos (extra clase). 3ra. sesió: Se discute el trabajo extra clase y la expresió (*). Se dedica la sesió al estudio de fucioes de dos variables. 4a. sesió: Se discute acerca de las codicioes para que ocurra u valor extremo (e térmios de pedietes de rectas y plaos). Se estudia el cocepto de derivada parcial y la forma de calcularla. 5a. sesió: Se cotiúa la última actividad de la sesió aterior. Se deduce el criterio para determiar valores extremos. Se solicita a los estudiates que aalice la expresió (*) ya escrita como fució y e térmios de todo lo estudiado hasta el mometo. 6a. sesió: Se determia e forma geeral el sistema de ecuacioes para determiar la pediete y la ordeada al orige, y se resuelve. Se pide a los estudiates que etregue por escrito todo el proceso de resolució del problema. Ates de presetar el desarrollo de la experiecia y el estudio cogitivo correspodiete, cabe resaltar u hecho que resultó fudametal durate el proceso de implemetació de las actividades diseñadas: la ecesidad de defiir los elemetos teóricos co base e los cuales se habría de realizar el aálisis cogitivo respecto a los actos de apredizaje e todo el proceso de resolució de la situacióproblema e cotexto. Para el diseño particular e cuestió, era ecesario precisar el papel que jugaba los actos cocretos; por ejemplo, recoocer o iterpretar la expresió: [ yi ( mx i + b) ] como u ete matemático susceptible de difereciació, las ideas y ocioes matemáticas ivolucradas e la coceptuació de la derivada parcial, y el acto de apredizaje del método para calcular u extremo de ua fució de dos variables. 5 (*) [ y ( )] i mxi + b

15 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 59 Si embargo, o había u térmio, i e la teoría de Feuerstei i e la tripleta coceptual de Godio & Recio (998), co el que se pudiera ubicar e el marco teórico esos actos de apredizaje. Etoces, para vertebrar los elemetos cetrales del aálisis cogitivo (las fucioes cogitivas implicadas, así como los coceptos matemáticos de estudio y sus relacioes e térmios de geeralizacioes, feomeologías y otacioes), hubo ecesidad de asigarle ombre a dichos actos y defiir lo que sigificaba e el aálisis. Así, se defiió el térmio acto matemáticocogitivo y se precisó lo que se etiede por esceario didáctico y procesos iterpretativos (ya mecioado e la secció del marco teórico). El esceario didáctico descrito, que es la base de uestra ivestigació, está coformado por el problema de cotamiació ambietal e las cercaías de la ciudad de Sa Luis Potosí. Aquí, el cotexto e la igeiería queda determiado tato por los resultados del estudio previo sobre las áreas de especialidad e igeiería dode se usa coocimietos de cálculo como por la situació social del problema de cotamiació, que atañe al área de especialidad de la igeiería idustrial. Esto implica que la oció de cotexto se coforma por dos elemetos: el ámbito istitucioal (plaes y programas aalíticos de estudio) y el ámbito extraescolar (situacioes o problemas viculados al quehacer de u igeiero). El uso de los elemetos teóricos e la ivestigació es como se preseta eseguida. PROCESOS INTERPRETATIVOS PARA EL ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES COGNTIVAS Las palabras y expresioes matemáticas que aparece tato e el euciado del problema e cotexto como e el proceso de resolució, y que desecadea procesos iterpretativos, so las siguietes: Modelo matemático, %, x, y, los úmeros (de la tabla), gráfica, putos coordeados, fució de ua variable, fució de dos variables, superficie, diferecia de ordeadas, pediete, ordeada al orige, variables, costates, sumatoria, igualdad, cuadrado (de potecia), derivada parcial, ecuació y solució de u sistema de ecuacioes lieales. E cuato a los procesos iterpretativos, so:. Sobre el euciado: a, modelo matemático sigifica fució; b, % represeta porcetaje; c, las letras x, y desiga valores uméricos (datos experimetales); d, los úmeros e las tablas represeta valores porcetuales.. Sobre el proceso de resolució: a, d i represeta las diferecias verticales etre la recta que se busca y los datos uméricos. Se

16 60 Relime coloca juto al segmeto de recta que ue u puto co la represetació gráfica de la recta que se pide; b, x, y desiga los datos uméricos; c, m y b simboliza la pediete y la ordeada al orige de la recta que se busca, respectivamete; d, y = mx + b traduce la expresió "forma de ua fució líeal" (tambié puede iterpretarse como "la ecuació pediete-ordeada al orige de la recta"); e, y i - mx i + b es la diferecia etre la ordeada y i de cada puto dato umérico y la ordeada de u puto de la recta y = mx + b; f, d i = y i - (mx i +b) figura la equivalecia etre los procesos iterpretativos a y e; g, represeta ua suma de térmios, del primero al -ésimo; h, [ y mx + b) ] i = i ( sigifica la i suma de todas las diferecias etre los putos, datos experimetales y la recta buscada; i, [ yi ( mx i + b) ] determia ua forma válida y coveiete para el trabajo e el registro algebraico y figura la suma de las diferecias etre los putos datos experimetales y la recta, al cuadrado; j, f m, b) = [ yi ( mx i + b) ] ( es ua fució e las variables idepedietes m, y b, (f (m, b) resulta de ua extesió geeralizació de la otació f (x)); k, f ( m, b) f ( m, b) y simboli- m b za las derivadas parciales de f respecto a m y a b; f ( m, b) f ( m, b) l, = 0 y = 0 so m b la pediete ula de f tocate a m y la pediete ula de f e relació a b; m, [ y i ( mx i + b) ]( xi ) es la derivada parcial respecto a m, y [ yi ( mx i + b) ]( ) la derivada parcial que atañe a b;, [ yi ( mx i + b) ]( xi ) = 0 [ y ( mx + b) ]( ) = 0 i es el sistema de ecuacioes que permite determiar m y b, bajo el coocimieto de que la igualació a cero proporcioa los valores de m y b, dode f (m, b) toma su valor extremo míimo. E cada proceso iterpretativo se puede recoocer la dialéctica etre las ideas i

17 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 6 (geeralizacioes), el leguaje simbólico (otacioes) y la situacio matemática e que sucede (feomeologías). Por ejemplo, e c la idea (geeralizació) de icógita o variable está "ecapsulada" e la otació m, b, y el hecho feomeológico queda costituido por la represetació geométrica dode se ubica (plao cartesiao), la cual es producto de la idea que geera el método. Otro ejemplo: e e la idea de diferecia (como ua distacia e el registro gráfico) está represetada por la expresió y i - (mx i +b), y el hecho feomeológico es la situació geométrica e que se emarca (resulta de la idea que origia el método). LOS ACTOS MATEMÁTICOS-COGNITIVOS El aálisis se cetra e los actos matemático-cogitivos de apredizaje fudametales e el proceso de resolució del problema e estudio:. La iterpretació de: [ yi ( mx i + b) ] como ua fució de dos variables.. La coceptuació de la derivada parcial. 3. El proceso para determiar u valor míimo de ua fució de dos variables Cabe señalar que e este último acto el aálisis se hace cosiderado los coocimietos matemáticos que etra e juego; es decir, se aaliza e fució de las ideas, ocioes y coceptos e que se basa el proceso al cual se refiere, o sólo e térmios del proceso como tal. RESULTADOS Y ANÁLISIS Todo el aálisis se efectúa co base e las observacioes sobre el desarrollo de las experiecias de apredizaje, así como e el material de los videos y los escritos e papel de los estudiates sujetos a las experiecias. Las frases e letra cursiva y etre comillas correspode a trascripcioes literales de los alumos. Fase de etrada era sesió Al iicio o se observa dificultades para compreder lo que platea el euciado; si embargo, e el trásito al proceso de resolució surge problemas e la fució cogitiva de percepció y defiició de u problema, ya que los alumos comprede lo que trata la situació problemática, mas o es imediata su percepció del problema por los siguietes desequilibrios: Desequilibrio causado por el efretamieto co iformació ovedosa: "hay cosas que o se cooce y o es claro lo que se pide". Las codicioes e que se aborda la situació problemática hace que los estudiates tega u desequilibrio e sus cocepcioes sobre las formas de eseñaza-apredizaje a las que ha estado expuestos (primero se ha de estudiar los coteidos matemáticos, después las aplicacioes). Aparece cometarios como "pero si todavía o hemos visto ada del curso, cómo lo vamos a resolver?"

18 6 Relime Estas dificultades se va superado a medida que los sujetos piesa reflexivamete el problema y lo discute para buscar ua defiició coveiete; asimismo, descarta aquellos aspectos icompatibles e icogruetes y utiliza todo tipo de iformació previamete almaceada que tega cierta relació co el problema, lo cual implica el uso de las fucioes cogitivas de exploració sistemática de ua situació de apredizaje y de orgaizació de la iformació. De maera particular, los estudiates recupera sus esquemas sobre el cocepto de fució, los de represetació simbólica y gráfica y, sobre todo, la idea de lo que hay que hacer cuado lo que se tiee es ua colecció de putos (e ua tabla): graficar los putos e u plao coordeado. Esa es la primera idea que aparece e prácticamete todos los equipos de trabajo. Los esquemas previos de represetació de fucioes de ua variable hace que los estudiates tega cofiaza para elaborar ua defiició precisa del problema; además, les crea u setimieto de competecia para abordarlo. Por otra parte, se ota u aspecto de suma importacia e esta fase de etrada: hay ua gra motivació e el grupo por tratar u problema asociado a ua situació real, ligada al área de su formació profesioal. Se percibe e el aula u ambiete propicio para el apredizaje y existe disposició e cada alumo por abordar el problema y colaborar co sus compañeros de equipo. Cabe señalar que ésta era ua situació ya esperada (debido a los resultados de ivestigació co que se cotaba e este aspecto, mecioados e la itroducció de este trabajo); si embargo, se cosidera importate cometarla porque determia la coducta de los estudiates para las fa- ses siguietes e el desarrollo de la experiecia. Si embargo, o se puede presupoer el éxito e cuato al apredizaje de los coteidos de cálculo ivolucrados sólo porque hay motivació y disposició de los alumos para hacer las actividades diseñadas. Fase de elaboració era. sesió Ua vez que los estudiates ha graficado los putos e el plao xy, aparece ideas diversas sobre la estrategia para determiar el modelo que pide el problema. Si embargo, e todas se observa patroes de comportamieto muy similares e los estudiates: plaifica lo que va a hacer, sigue hipótesis, realiza comparacioes y utiliza la evidecia lógica. Por ejemplo, u equipo, luego de discutir, escribe: "itetamos graficar los datos dados e el problema y os dimos cueta que la gráfica o correspodía a ua fució, puesto que se repite varios valores e el eje x". Al platicar co ellos al respecto, señala que plaearo (plaificació de la coducta) graficar para ver si podía determiar la forma de la fució, lo cual implica la suposició (pesamieto hipotético) de que los datos uméricos represeta, precisamete, ua fució. Luego, les surgiero ideas como uir los putos co segmetos de recta, y uo de los estudiates dijo que eso se parecía a ua gráfica como las de códigos de barras, que o recordaba cómo era, pero se hacía co fucioes trigoométricas, hecho que implica ua coducta comparativa; fialmete, advierte que la colecció de putos o represeta ua fució porque hay pares ordeados dode se repite la abscisa. Esto sigifica que recurre a su co-

19 El cálculo e carreras de igeiería: u estudio cogitivo 63 ocimieto previo sobre el cocepto de fució y usa la evidecia lógica para describir el comportamieto de los datos y descartar la posibilidad de ua fució, como había supuesto iicialmete. Otro de los equipos aota: "Primero vimos que es bidimesioal, después graficamos para daros ua idea de la tedecia que tiee la gráfica de la fució; al verla, se os ocurre trazar dos líeas paralelas etre las que se ecuetra todos los putos y después trazar ua ueva recta paralela, exactamete etre las dos primeras rectas". Nuevamete, se plaea graficar y se supoe que los datos represeta ua fució. Si embargo, la estrategia para tratar de hallar el modelo es diferete. Estos alumos supoe que es ua buea idea, dado el comportamieto de los putos, dirigir sus esfuerzos a ecotrar ua recta que pase etre los datos uméricos; tal coducta implica el pesamieto hipotético y el uso de la evidecia lógica. Supoe que es ua buea idea pesar e u modelo lieal, cosiderado la evidecia de la forma e que se comporta los datos. Aquí, se ivita a los estudiates a reflexioar sobre lo que cooce y lo que descooce de la situació problemática. E discusió, primero e equipos y después grupal, se delibera sobre la posibilidad de que exista métodos para realizar lo que se pide se acuerda ivestigar al respecto. a. sesió Se preseta por equipo los resultados de la tarea ecomedada e la sesió aterior. Los estudiates preseta diversos métodos uméricos (el ombre y algua idea de cómo fucioa) tato de correlació como de iterpolació y extrapolació, etre otros. El profesor, detro de todas las posibilidades, iduce al uso del método de míimos cuadrados, y explica sus vetajas e relació co el problema que se está tratado y co los objetivos del curso. Se decide que se itete hallar u modelo lieal para los datos, recuperado la idea de uo de los equipos (ya mecioada). Ua vez estudiadas las ideas básicas e que se fudameta el método, es decir, miimizar el cuadrado de la suma de las diferecias etre cada puto (dato experimetal) y la mejor recta de ajuste, y determia que la expresió que represeta estas ideas es: [ yi ( mxi + b) ] se prosigue co el aálisis de las fucioes cogitivas e térmios de los actos matemático-cogitivos y los procesos iterpretativos descritos ateriormete. ANÁLISIS PARA EL ACTO MATEMÁTICO COGNITIVO Acto matemático-cogitivo: La iterpretació de: [ yi ( mxi + b) ] como ua fució de dos variables.