CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

Transcripción

1 CICUITOS DE COIENTE ALTENA 1.- INTODUCCIÓN Un crcuto de corrente alterna consta de una combnacón de elementos (resstencas, capacdades y autonduccones) y un generador que sumnstra la corrente alterna. Orgen de un voltaje alterno Una f.e.m. alterna se produce medante la rotacón de una bobna con velocdad angular ω constante dentro de un campo magnétco unforme producdo entre los polos de un mán. El generador de corrente alterna es un dspostvo que converte la energía mecánca en energía eléctrca. El generador más smple consta de una espra rectangular que gra en un campo magnétco unforme. Cuando la espra gra, el flujo del campo magnétco a través de la espra camba con el tempo. Se produce una fem. Los extremos de la espra se conectan a dos anllos que gran con la espra, tal como se ve en la fgura. Las conexones al crcuto externo se hacen medante escobllas estaconaras en contacto con los anllos. S conectamos una bomblla al generador veremos que por el flamento de la bomblla crcula una corrente que hace que se ponga ncandescente, y emte tanta más luz cuanto mayor sea la velocdad con que gra la espra en el campo magnétco. ecordemos que la fuerza electromotrz que se produce en un conductor vene dada por la fórmula: E = l. v x B Sendo l la longtud del conductor, v la velocdad y B la Intensdad del campo magnétco. La f.e.m. creada en cada nstante dependerá de la poscón del conductor en relacón al campo magnétco, de manera que s la espra gra a una velocdad angular constante la f.e.m. nstantánea responderá a la fórmula: E = l. ω. r. B. sen (ω. t) de donde se obtene la expresón: v= 0 sen(ω t) Expresón del voltaje nstantáneo, en un crcuto de corrente alterna, la E (f.e.m.) se ha susttudo por la v de voltaje o tensón eléctrca, recuerda que se mde en voltos. 1

2 0 v= 0 sen(ω t) Los térmnos de la anteror expresón son: v -> valor nstantáneo, dstnto para cada nstante de tempo varía entre un máxmo y un mínmo, y pasando por cero. 0 -> alor máxmo de la onda, es el valor máxmo o de pco que puede alcanzar el valor nstantáneo. ω ->velocdad angular o pulsacón es la velocdad con que graría el nducdo en rad/s. f-> frecuenca de la onda: se mde en cclos por segundo (herzos) ω = π/t = π f T-> período de la onda, es el tempo que tarda en dar una vuelta el nducdo en el generador. Se mde en segundos. Tempo que tardan los electrones en modfcar y volver a recuperar el sentdo de crculacón. T = 1/f El sstema de dstrbucón de energía eléctrca en Europa tene unfcada la frecuenca a 50 Hz, calcula la pulsacón ω y el período T. alor efcaz de la onda. Ya sabemos que el voltaje de las nstalacones eléctrcas de nuestras casas es de 0, acabamos de descrbr qué es el valor nstantáneo y el valor máxmo del voltaje alterno. Podríamos pensar que esos 0 hacen referenca al valor máxmo, veamos que lo que desgnan es el valor efcaz, éste se defne como. alor efcaz es aquel valor de la f.e.m. que debería tener una corrente contnua para producr la msma energía en el msmo tempo y con la msma resstenca. Matemátcamente se calcula con la fórmula: o Para la onda senodal toma sempre el valor: ef = Acabamos de descrbr la onda de f.e.m. o voltaje, cuando conectemos el generador de voltaje a un componente crculará una ntensdad o corrente con la msma forma de onda que el voltaje, de manera que

3 todas las característcas de la onda de tensón que hemos descrto srven para la onda de ntensdad o corrente. EPESENTACIÓN ECTOIAL DE UNA ONDA SENOIDAL Acabamos de ver la representacón de una onda senodal como la gráfca de una funcón trgonométrca. Cuando a un crcuto de C.A. formado por dstntos componentes, resstencas, condensadores, bobnas, se le aplca un voltaje alterno de una frecuenca determnada, sobre cada componente del msmo aparecen unos valores de voltaje e ntensdad cuya onda tambén tene la forma senodal y la frecuenca del generador, pero con ampltudes y desfases que dependen de los valores de los componentes del crcuto. El estudo de estos crcutos requere utlzar una representacón de las ondas senclla, lo haremos de la sguente manera: Una onda senodal a=a m sen(ω t) puede representarse por medo de un vector de módulo a m que gra en sentdo anthoraro con velocdad constante ω. Ondas senodales smultáneas En los crcutos que resolveremos más adelante ntervenen varas magntudes relaconadas entre sí que varían con el tempo. Son ondas senodales smultáneas, sempre que tengan la msma frecuenca, cosa que se dará en todos los casos, se pueden representar vectoralmente. S dos ondas senodales de gual frecuenca alcanzan sus valores máxmos y mínmos al msmo tempo, se dce que están en fase. S sus máxmos y mínmos no concden las ondas están desfasadas. 3

4 Tomando como referenca una de las ondas con orgen de tempos en 0. a 1 = a m1 sen(ω t) El desfase de la segunda onda con respecto a la prmera vendrá dada por el valor de un ángulo. De manera que se podrá expresar de la forma: a = a m sen(ω t - φ) Dos ondas senodales smultáneas de ntensdad tenen la msma frecuenca 50 Hz y valores efcaces de 8 y 4 A. Sabendo que la segunda tene un desfase de π/ de cclo respeto a la otra, hallar las expresones del valor nstantáneo de cada onda. Dos ondas senodales smultáneas de tensón tenen la msma frecuenca 50 Hz y valores efcaces de 6 y 5 A. Sabendo que la segunda tene un desfase de 5 ms en adelanto a la otra, hallar las expresones del valor nstantáneo de cada onda. 4

5 .- ELEMENTOS LINEALES Son aquellos que cuando se conectan a una fuente de tensón alterna senodal, provocan una crculacón de corrente alterna, tambén senodal y de la msma frecuenca. Exsten tres tpos de receptores lneales que se dferencan en el desfase que orgnan entre la tensón que se aplca y la ntensdad de corrente producda. esstvos. Inductvos. Capactvos..1.- Crcuto resstvo Sea un crcuto compuesto por un generador conectado a una resstenca de valor, s la tensón nstantánea del generador vene dada por la expresón: v= m sen(ω t) La ntensdad de corrente que crcula se obtene drectamente aplcando la ley de Ohm: v m. sen ( ωt ) m = = = =. sen ( ωt ) La tensón y la ntensdad tenen la msma frecuenca y están en fase. Llamando I y a los valores de Intensdad y voltaje efcaces, dvdendo entre máxmos se deduce que la ley de Ohm se cumple para los valores efcaces. los valores I = epresentando las magntudes de manera vectoral, se tene. 5

6 ..- Crcuto nductvo Inductanca o bobna. Componente capaz de almacenar energía eléctrca en forma de energía magnétca. Formada por un conductor arrollado en espral sobre un núcleo de herro o ferromagnétco. Autonduccón de una bobna es el flujo magnétco que es capaz de almacenar a una ntensdad determnada. L = Φ m / I Undades: [L] = Henro [Φ m ] = Weber [I] = A Sea un crcuto formado por un generador conectado a una bobna deal, con el voltaje en el generador: v = m sen(ω t) L La varacón de flujo magnétco, produce una f.e.m. dφ ε = dt Para una autonduccón se cumplrá que: aumento de la corrente. d ε = L De sgno negatvo porque se opone al dt ecordando la ley de Ohm para el crcuto: ε Como en este crcuto no hay resstenca, = I. d m sen(ω t)-l = 0 dt De donde m d = sen (ωt ). dt y obtenendo la ntegral: L m = cos( ωt) tenendo en cuenta que sen (ω t-π/) = -cos (ω t) se tene que la ntensdad Lω nstantánea del crcuto es: π = msen ( ωt ) El valor máxmo de la ntensdad será: = m m L.ω se cumple para valores efcaces. I = L. ω Una bobna almacena energía eléctrca en forma de energía magnétca y la devuelve al crcuto, pero con un retraso en la devolucón de energía eléctrca que orgna un desfase postvo de π/, la ntensdad se retrasa respecto a la tensón. 6

7 Una bobna ntroduce en el crcuto una resstenca llamada nductanca, reactanca nductva o mpedanca de la bobna, X L = L.ω = L.. π.f Se conecta una bobna de 00 mh de autonduccón a un voltaje de 0 y 50Hz. Qué ntensdad de corrente crcula a través de la bobna? epresentar gráfcamente los vectores ntensdad y voltaje..3.- Crcuto capactvo Un condensador es un componente capaz de almacenar carga eléctrca. Está formado por dos placas o armaduras separadas por un aslante llamado deléctrco. La capacdad de un condensador es la carga que es capaz de almacenar a un voltaje determnado. Q C = Undades: [C] = F (Farado) [Q] = C (Culombo) [] = (olto) El Farado en la practca es muy grande, por lo que la capacdad normalmente se mde en mcrofarados : 1 μ F = 10-6 F. Supongamos que conectamos un condensador de capacdad C a una fuente de tensón senodal dada por: v = m sen(ω t) C La ntensdad nstantánea del crcuto vene dada por dq = la carga del condenador q vene dado por la dt expresón: q = C. según la defncón de la capacdad C. Así la ntensdad nstantánea vendrá dada por du = C. dt Dervando la expresón del voltaje en funcón del tempo se tene: = C. ω. m cos(ω t) = C. ω. m sen(ω t+π/) Sendo la ntensdad máxma m = C. ω. m 7

8 Produce un desfase negatvo de π/. La tensón se retrasa respecto a la ntensdad. Introduce en el crcuto una resstenca llamada capactanca, reactanca capactva o mpedanca del condensador, X = 1 1 c C. ω = C.. π. f Calcula la ntensdad en un crcuto de corrente alterna de 0 de f.e.m. efcaz y frecuenca 50Hz con una resstenca de 8 Ω. Y s susttumos la resstenca por una bobna de 0, H de autonduccón.? Y s es un condensador de 15μF de capacdad.? 3.- IMPEDANCIA A partr de este punto los valores efcaces de Intensdad y oltaje los desgnaremos con las letras I y. Hemos vsto que para los dstntos tpos de receptores la ntensdad efcaz de un crcuto vene dada por: I = I = X L I = X C En los crcutos anterores había un únco componente, s analzamos un crcuto con dstntos receptores conectados entre s debemos de utlzar la magntud llamada mpedanca del crcuto Z. Esta mpedanca engloba tanto la resstenca como las reactancas nductva y capactva. La ley de Ohm para un crcuto de corrente alterna será: I = Z En un crcuto de corrente alterna la mpedanca desempeña el msmo papel que la resstenca en los crcutos de corrente contnua, es la oposcón que ofrece dcho crcuto al paso de la corrente eléctrca, de ahí que se mde en ohmos Ω. 8

9 4.- NÚMEOS COMPLEJOS EN ELECTOTECNIA Un número complejo en su forma bnómca está formado por una parte real y una parte magnara. a + bj a y b son números reales j= = + 3j - 4 = j epresentacón geométrca de los números complejos Los números complejos pueden representarse trazando dos ejes coordenados perpendculares entre s, uno horzontal, llamado eje real, y otro vertcal, llamado eje magnaro. El número a + bj lo representamos medante un vector desde 0 a un punto con la medda de a en el eje real (eje x) y b en el eje magnaro (eje y). A la longtud del vector se le llama módulo y al ángulo que forma con la horzontal complemento. Forma polar de un número complejo Un número complejo se representa en su forma polar ndcando el módulo y el argumento: r φ donde r = a + b y φ= arctg b a a = r cos φ b = r sen φ Números complejos guales Deben de ser guales la parte real y la magnara. sgno. Números complejos conjugados Tenen la msma parte real y la parte magnara camba de Conjugados en forma bnómca a + bj a bj Conjugados en forma polar r φ r -φ Números complejos opuestos tenen las dos partes real e magnara con dstnto sgno. Opuestos en forma bnómca a + bj - a bj Opuestos en forma polar r φ r φ+π 9

10 Operacones con números complejos Suma En forma bnómca se suman la parte real y la magnara: Producto En forma bnómca, se opera como el producto de polnomos tenendo en cuenta que j = -1 En forma polar, se multplcan los módulos y se suman los argumentos. Dvsón En forma bnómca, debe de convertrse el denomnador a número real, multplcando numerador y denomnador por el conjugado del segundo: En forma polar, se dvden los módulos y se restan los argumentos. Utlzacón de los números complejos en los crcutos de corrente alterna. A la hora de resolver problemas en crcutos de C.A. transformaremos las magntudes eléctrcas, ondas de tensón e ntensdad e mpedancas a sus valores complejos para realzar los cálculos, una vez obtendo el resultado en forma compleja lo podemos transformar a su onda en funcón del tempo. Será necesaro recordar la sguente tabla: 10

11 5- CICUITO -L Sea un crcuto donde conectamos un generador de c.a. a una resstenca en sere con una bobna. L v v L v Empleando las formas complejas de las magntudes, se tene que la tensón en el generador se reparte entre la resstenca y la bobna: v = v + v L S tomamos como referenca la ntensdad de corrente, y la representamos en el eje real, las tensones en la resstenca y en la bobna, expresadas en forma compleja son: v = v L = jx L v L φ v v Susttuyendo estos valores en la expresón ncal se tene: v = v + v L = + jx L = ( + jx L ) ecuerda que X L= L.ω La expresón + jx L es la mpedanca compleja del crcuto, cuyo módulo es: Z + X L = y el argumento φ se calcula por trgonometría: tgϕ = X L La ntensdad será una onda en fase con la tensón en la resstenca, lo podemos representar como un fasor de módulo I = Sendo, I y Z los módulos de las magntudes y con un desfase φ respecto de la Z tensón en el generador que vendrá dada por la expresón: tgϕ = X L Ejercco: Un crcuto L en sere, consttudo por una bobna de 100 mh de autonduccón y una resstenca se conecta a una tensón de 0, 50Hz, Calcular: a.- la caída de tensón en la bobna y en la resstenca. b.- El ángulo de desfase entre la tensón y la ntensdad. 11

12 6.- CICUITO -C Sea un crcuto donde conectamos un generador de c.a. a una resstenca en sere con un condensador. C v v C v Empleando las formas complejas de las magntudes, se tene que la tensón en el generador se reparte entre la resstenca y el condensador: v = v + v C S tomamos como referenca la ntensdad de corrente, y la representamos en el eje real, las tensones en la resstenca y en el condensador, expresadas en forma compleja son: v = v c = - jx C Susttuyendo estos valores en la expresón ncal se tene: v C φ v v v = v + v C = - jx c = ( - jx c ) ecuerda que 1 X C = ω.c La expresón - jx C es la mpedanca compleja del crcuto, cuyo módulo es: Z + X C = y el argumento φ se calcula por trgonometría: tgϕ = X C La ntensdad será una onda en fase con la tensón en la resstenca, lo podemos representar como un fasor de módulo I = Sendo, I y Z los módulos de las magntudes y con un desfase φ respecto de la Z tensón en el generador que vendrá dada por la expresón: X tgϕ = C = 1. C. ω Ejercco un crcuto de corrente alterna, almentado por un generador de 0, 50 Hz, está consttudo por una resstenca de 5 Ω y un condensador de 100μF de capacdad. Hallar: a.- La mpedanca equvalente del crcuto. b.- La Intensdad efcaz. c.- La tensón en cada uno de los elementos. 1

13 7.- CICUITO -L-C Sea un crcuto donde conectamos un generador de c.a. a una resstenca en sere con una bobna y un condensador. L C v v v L vc Empleando las formas complejas de las magntudes, se tene que la tensón en el generador se reparte entre la resstenca y el condensador: v = v + v L + v C S tomamos como referenca la ntensdad de corrente, y la representamos en el eje real, las tensones en la resstenca y en el condensador, expresadas en forma compleja son: v L v v L -v c φ v v = v L = jx L v c = - jx C v C Susttuyendo estos valores en la expresón ncal se tene: v = v + v L + v c = + jx L - jx c = [ + j (X L - X c )] La expresón + j (X L - X c )es la mpedanca compleja del crcuto, cuyo módulo es: Z = + ( X ) L X C y el argumento φ se calcula por trgonometría: tgϕ = X X L C La ntensdad será una onda en fase con la tensón en la resstenca, lo podemos representar como un fasor de módulo I = Sendo, I y Z los módulos de las magntudes y con un desfase φ respecto de la Z tensón en el generador que vendrá dada por la expresón anteror, este ángulo puede ser postvo, negatvo o valer 0: S X L > X c, tg φ > 0, predomna la componente nductva, tensón adelantada a la ntensdad. S X L < X c, tg φ < 0, predomna la componente capactva, tensón retrasada a la ntensdad. S X L = X c, tg φ = 0, se dce que el crcuto está en resonanca y la tensón está en fase con la ntensdad. 13

14 Ejercco, un crcuto de corrente alterna, almentado por un generador de 0, 50 Hz, está consttudo por una resstenca de 15 Ω, una bobna L=50 mh y un condensador de 100μF de capacdad. Hallar: a.- La mpedanca equvalente del crcuto. b.- La Intensdad efcaz y el ángulo de desfase con el voltaje. c.- La tensón en cada uno de los elementos. d.- epresentar gráfcamente las tensones y la ntensdad Ejercco, Un generador de 0 50Hz, está conectado a un crcuto formado por, una resstenca, una bobna, y un condensador =10 Ω, L= 0,H, C=500 μf. Hallar: a.- La mpedanca del crcuto. b.- La ntensdad efcaz. c.- El voltaje en cada uno de los componentes conectados. esultados: Z=57,35 Ω; I = 3,836 A; = 38,36 L = 41,03 C =4,4 Ejercco, La resstenca de un crcuto de C.A. es de 0 Ω, su reactanca nductva es 40 Ω, y su reactanca capactva, 30 Ω, Calcular: a.- La mpedanca del crcuto. b.- La ntensdad de corrente que pasará por él al conectarlo a una tensón de 4. c.- El ángulo de desfase. esultados: Z=,4 Ω; I = 10 A; φ=6,57º 14

15 8.- POTENCIA EN CICUITOS C.A Potenca en una resstenca. I v= m sen(ω t) m valor máxmo, m =. = I m sen(ω t) I m valor máxmo, I m =. I La potenca nstantánea será, p = m sen(ω t) I m sen(ω t)= m I m sen (ω t).sen (ω t) = 1 cos (ω t) por trgonometría. La potenca actva P vene dada por la sguente expresón, físcamente es la potenca que se transforma en otro tpo de energía, calor en la resstenca. v= m sen(ω t) Es la expresón del valor medo del producto de onda de voltaje y la de ntensdad. la 1 P = T T 0 m I m sen ( ωt ) dt El resultado de la ntegral defnda es T/ con lo cual la Potenca actva será: Im P = m =. I Sendo e I los valores efcaces del voltaje y la corrente Potenca en una bobna v= m sen(ω t) m valor máxmo, m =. = I m sen(ω t-π/) I m valor máxmo, I m =. I ecordemos que para la bobna: v = m sen(ω t) = I m cos( ωt) La potenca nstantánea será, v = m sen(ω t) L p = p. = - m.i m.sen (ω t). cos(ω t) Por trgonometría. sen (ω t). cos(ω t) = sen (ω t) p = -.I.sen (ω t) S obtenemos el valor medo de la onda obtenda resulta gual a cero, 1 P = T T 0 m I m sen (ωt ) dt 15

16 de manera que la potenca actva que se transforma en la bobna es cero. P = 0 (er gráfco) El sentdo físco de la potenca actva, es el de conversón de energía eléctrca en otro tpo de energía, calorífca, mecánca, la bobna es un elemento que capta energía eléctrca en forma de campo magnétco en uno semcclo de la onda y la devuelve en el semcclo sguente Potenca en un condensador Como las ondas de ntensdad y voltaje están desfasadas 90º gual que en la bobna, la potenca actva que transforma el condensador es cero. Adjuntaremos una explcacón tomada de 16

17 8.4.- Potenca en un crcuto de C.A. con cualquer tpo de carga. Acabamos de ver qué ocurre con la potenca al conectar a un generador una resstenca, una bobna o un condensador, ya hemos analzado crcutos que combnan dferentes componentes, veamos qué ocurre con la potenca. Debe de quedar claro que el únco componente que converte energía actva es la resstenca. En cualquer crcuto al que conectemos una mpedanca Z (resstva, nductva o capactva) tenemos que la corrente estará desfasada un ángulo φ respecto del voltaje. I v= m sen(ω t) m valor máxmo, m =. = I m sen(ω t -φ) I m valor máxmo, I m =. I Gráfcamente lo hemos representado medante vectores: v= m sen(ω t) Z φ v La potenca nstantánea será p = v. = m sen(ω t) I m sen(ω t -φ) Por trgonometría: sen(ω t -φ) = sen(ω t). cos φ cos (ω t). sen φ De manera que la potenca nstantánea será: p = m I m [sen (ω t). cos φ- sen(ω t) cos (ω t). sen φ] S obtenemos el valor medo de esta onda, lo que nos da la potenca actva, nos resultan operacones a las descrtas anterormente, con lo que resulta la potenca actva P en cualquer crcuto de C.A. P=.I.cos φ Al cos φ se le acostumbra a llamar factor de potenca y es un dato muy característco de cualquer crcuto de C.A. o cualquer máquna que lleve asocada a la msma un crcuto, como un motor eléctrco o una máquna de refrgeracón. S ben hemos dcho que la potenca actva, es la potenca real en un crcuto de C.A. porque es la que realmente se converte en otra energía, se acostumbra a hablar de dos térmnos de potenca más. Potenca aparente, es el producto de los valores efcaces de voltaje e ntensdad. S =.I Potenca reactva, nos da dea de la cantdad de energía que el crcuto almacena en forma de campo magnétco o campo eléctrco (en el caso del condensador). La potenca reactva vene dada por la fórmula Q =.I.sen φ, puede ser postva en caso de que sea potenca nductva o negatva en caso de que sea potenca capactva. 17

18 La representacón de las tres potencas de manera vectoral consttuye el llamado Trángulo de potencas de un crcuto, que es equvalente al trángulo formado por los voltajes. Ejercco, Calcular potencas aparente, actva y reactva de los crcutos realzados en los últmos ejerccos. epresentar el trángulo de potencas en los tres casos. 18