ELASTICIDAD. Autor: Jorge Perelli Botello

Transcripción

1 Joge Peelli Botello LSTICIDD uto: Joge Peelli Botello

2 Joge Peelli Botello ste documento es una ecopilación de la teoía aplicada a la esolución de poblemas de lasticidad. No tiene, po tanto, el igo teóico que se puede enconta en cualquiea de los conocidos numeosos libos que tatan de este asunto, a que su objeto es constitui una guía de la teoía más impotante e indispensable paa pode esolve los poblemas más habituales de la mateia. speo que sea inteesante paa todos los que lo usen uego que sean geneosos en pedona los eoes, que a buen seguo eisten.

3 Joge Peelli Botello ÍNDIC CPÍTULO - PRINCIPIOS FUNDMNTLS D L LSTICIDD LINL..- Sólido elástico..- Hipótesis básicas de la lasticidad lineal..- cuaciones que intevienen en el cálculo elástico. CPÍTULO - NÁLISIS D TNSIONS..- Concepto de tensión. Vecto tensión..- sfueos..- cuaciones de equilibio inteno..4- Tenso de tensiones..5- Cambio de ejes..6- Tensiones diecciones pincipales..7- lipsoide de tensiones..8- Tensión octaédica..9- Tensiones tangenciales máimas..- Descomposición del tenso de tensiones. CPÍTULO - MOVIMINTOS Y DFORMCIONS..- Desplaamientos..- Defomación longitudinal..- Defomación tansvesal..4- pesión de las defomaciones en función de los desplaamientos..5- Movimientos de sólido ígido..6- Tenso de defomaciones..7- cuaciones de compatibilidad de defomaciones..8- Descomposición del tenso de defomaciones. CPÍTULO 4- RLCIONS CONSTITUTIVS O MIXTS. 4.- Le de Hooke unidimensional. 4.- Coeficiente de Poisson. 4.- Le de Hooke genealiada.

4 Joge Peelli Botello 4.4- Módulo de igide tansvesal Módulo de compesión cuaciones de Lamé. CPÍTULO 5- LSTICIDD BIDIMNSIONL. 5.- Intoducción. 5.- Defomación plana. 5.- Tensión plana Tensiones sobe un plano Cículo de Moh Repesentación gáfica Función de i. CPÍTULO 6- LSTICIDD N COORDNDS POLRS. 6.- lasticidad plana en coodenadas polaes. 6.- Tensiones pincipales. 6.- stados ailsiméticos Tubo cicula sometido a pesiones adiales Cagas concentadas en cuñas Chapa con talado Tensiones en suelo bajo caga epatida. CPÍTULO 7- MÉTODO D RYLIH-RITZ. 7.- negía potencial total. 7.- negía elástica. 7.- negía potencial Método de Raleigh-Rit. CPÍTULO 8- TORSIÓN. 8.- Intoducción. 8.- Tosión en sección cicula. 8.- Tosión en sección cualquiea. Método de las tensiones o de Pandtl Tosión en sección cualquiea. Método de los desplaamientos o de Saint Venant Método de Raleigh-Rit paa tosión. 4

5 Joge Peelli Botello CPÍTULO - PRINCIPIOS FUNDMNTLS D L LSTICIDD LINL.- SÓLIDO LÁSTICO La lasticidad lineal estudia el compotamiento del sólido elástico, definido como un sistema de puntos mateiales defomable, continuo, elástico, homogéneo e isótopo. Defomable: l aplica cagas se defoma. Continuo: La distibución de masa es continua. Se puede deiva en el intevalo. lástico: l etia las cagas desapaecen las defomaciones. Lineal: si se aplica el doble de caga, apaecen el doble de defomaciones. Homogéneo: Las popiedades no vaían de un punto a oto. Isótopo: Las popiedades no cambian con la diección..- HIPÓTSIS BÁSICS D L LSTICIDD LINL l sólido es continuo pemanece continuo bajo la acción de las cagas eteioes. l pincipio de supeposición de efectos es válido, en vitud de la linealidad. iste un único estado de eposo sin tensiones en el sólido, al cual se vuelve cuando cesan las acciones..- CUCIONS QU INTRVIN N L CÁLCULO LÁSTICO Todas las ecuaciones del cálculo elástico son lineales, se pueden clasifica en tes gandes gupos: CUCIONS D QUILIBRIO O STÁTICS: Relacionan las fueas actuantes con las tensiones. CUCIONS D COMPTIBILIDD O CINMÁTICS: Repesentan las condiciones de compatibilidad ente los movimientos del sólido sus defomaciones. CUCIONS CONSTITUTIVS O MIXTS: Relacionan las tensiones con las defomaciones. 5

6 Joge Peelli Botello CPÍTULO - NÁLISIS D TNSIONS.- CONCPTO D TNSIÓN. VCTOR TNSIÓN Sea un sólido elástico en equilibio, sometido a un sistema de fueas etenas. Paa investiga lo que sucede en el inteio del cuepo, se cota po un plano imaginaio, dividiendo el sólido en dos pates. l equilibio en cada una de las pates equiee la pesencia de fueas intenas actuando en el plano de cote. Si se toma la fuea actuante F sobe una poción, se define el vecto tensión en un punto de la siguiente manea: F t lim d F d VCTOR TNSIÓN TOTL N UN PUNTO SOBR UN PLNO Po tanto, el vecto tensión depende de la situación del punto de la oientación del plano de cote. l vecto n es unitaio pependicula al plano que define. n n n n n n n n Las tensiones son fueas po unidad de supeficie; po tanto, en el S.I. sus unidades son MPa o kn/m. Componentes del vecto tensión: Las componentes intínsecas del vecto tensión son: n t : tensión nomal : tensión tangencial 6

7 Joge Peelli Botello Tensión nomal: MÓDULO n T t VCTOR n Tensión tangencial: MÓDULO t VCTOR t n un cubo de dimensiones infinitesimales, las tensiones que apaecen son las siguientes: La notación σ ij - ij obedece a lo siguiente: l pime subíndice indica qué eje es pependicula al plano en el que actúa la componente. l segundo subíndice epesa a qué eje es paalela la componente. l convenio de signos es: Paa la caa con i positivo como veso, la tensión es positiva si lleva j en sentido positivo. Paa la caa con i positivo como veso, la tensión es positiva si lleva el sentido de j. 7

8 Joge Peelli Botello.- SFURZOS Las tensiones actuantes en una sección pueden se sustituidas po un sistema de fueas equivalentes denominadas esfueos. n geneal, los esfueos consisten en una fuea ail, dos cotantes, dos momentos flectoes un momento toso. d d Q N M Q M M Paa obtene los esfueos, ha que intega las tensiones. XIL: N d CORTNTS: Q d Q d MOMNTOS FLCTORS: M d M d MOMNTO TORSOR: M ( d 8

9 Joge Peelli Botello.- CUCIONS D QUILIBRIO INTRNO Las componentes de tensión en un sólido genealmente vaían de un punto a oto. n un caso bidimensional, las tensiones actuantes en un elemento difeencial de caas d d de espeso unidad son las siguientes: + d + d f + d f d + O d d f, f : Fueas po unidad de volumen (peso popio, fuea centífuga. Paa que eista equilibio, se tiene que cumpli: F H = ; F V = ; M = Tomando momentos especto a O, las tensiones nomales las fueas de masa dan momentos nulos. Se tiene: d d d d d d d d d d Po tanto, despeciando los téminos infinitesimales de tece oden:, análogamente Si ahoa se hace F H =, se tiene: ( d d d ( d d d f d d 9

10 Joge Peelli Botello Se puede hace también F V =. Simplificando, se tiene: CUCIONS D QUILIBRIO INTRNO N TNSIONS (D enealiando paa tes dimensiones: CUCIONS D QUILIBRIO INTRNO N TNSIONS (D f f f f f

11 Joge Peelli Botello.4- TNSOR D TNSIONS Se conoce el estado tensional en un punto cuando, paa cada oientación, se puede obtene el vecto tensión asociado t n. sta aplicación lineal ente los vectoes t n n (nomal a dicha oientación constitue un tenso T, que define el estado tensional en el punto. t n T n FÓRMUL D CUCHY Las componentes del tenso de tensiones son: T TNSOR D TNSIONS Sustituendo las componentes en la Fómula de Cauch, se tiene: t t t n n n

12 Joge Peelli Botello.5- CMBIO D JS Si se desea cambia la base de efeencia, es peciso epesa los vectoes t n en esa nueva base, también el tenso de tensiones. CMBIO D BS n T t n T t BS NTIU BS NUV Se considea una mati de cambio de base que elaciona los nuevos vectoes con los antiguos, de la siguiente manea: n n t t Las columnas de son los vectoes unitaios de los nuevos ejes efeidos a la antigua base. es una mati otogonal ( T. Po lo tanto: t n T n T t De donde: n T n T n T t T ntonces: T T T

13 Joge Peelli Botello.6- TNSIONS Y DIRCCIONS PRINCIPLS De caa a dimensiona una estuctua, un poblema impotante coesponde a la deteminación de los valoes máimo mínimo del módulo del vecto de tensiones las diecciones de los planos coespondientes. n este caso, la tensión total t es paalela a la nomal n no eisten tensiones tangenciales. Las diecciones de los planos se denominan pincipales las tensiones, tensiones pincipales. t T n n T I O, lo que es lo mismo: ste es un poblema de obtención de autovaloes de autovectoes. Ha que tene en cuenta lo siguiente: Los autovaloes de una mati simética son todos eales. Los coespondientes autovectoes son otogonales. Resulta la siguiente ecuación cúbica: I I I Con los siguientes invaiantes: I tensión cúbica I I Si se adoptan como ejes de coodenadas los pincipales, el tenso de tensiones es diagonal: T I II III

14 Joge Peelli Botello Las tensiones pincipales se odenan de mao a meno: I II III Ha que tene siempe la pecaución de compoba que los autovectoes son unitaios pependiculaes ente sí. Si ha dos tensiones pincipales iguales, el elipsoide de tensiones es de evolución, po lo que eiste un conjunto infinito de paejas de diecciones pincipales. Obtención de autovaloes autovectoes con la calculadoa pogamable HP-48 Intoduci la mati. Teclea MTH, MTR, V. Sale el vecto de autovaloes en ( los autovectoes po columnas en (. Se coesponden ente sí po el mismo oden. Como no salen unitaios, ha que nomalialos. Se intoduce el autovecto en [ ] se pulsa NTR dos veces. Pulsa MTH, VCTR, BS da el módulo del vecto. Pulsa a se tiene el autovecto nomaliado. Repeti el poceso con los otos dos autovectoes. Compoba que esultan pependiculaes ente sí. HP-49 Teclea MTH, MTRIX, V e intoduci la mati con MTRW. Salen los autovectoes po columnas en la última fila los autovaloes. Se puede hace también con la tecla MTRICS. Todo lo demás es igual que en la HP-48, aunque también se puede hace: n 4 BS

15 Joge Peelli Botello.7- LIPSOID D TNSIONS s el luga geomético de los etemos del vecto de tensiones, al vaia los planos que pasan po el punto. Si se considea el oigen de coodenadas en el punto, se tiene: = t = t = t Y la ecuación del elipsoide de tensiones es: sta ecuación puede simplificase si se adoptan como ejes de coodenadas los pincipales, quedando: 5

16 Joge Peelli Botello 6.8- TNSIÓN OCTÉDRIC l vecto tensión octaédica da una idea de la magnitud de la tensión en un punto (de cuánto está de cagado. Utiliando como base de efeencia los ejes pincipales: n III n II n I n l vecto tensión octaédica epesenta la tensión que se poduce en los planos nomales a la ecta bisecti de los ejes pincipales, es deci, al plano cua nomal es: n III II I III II I n T t Las tensiones nomales tangenciales son: TNSIÓN NORML OCTÉDRIC TNS. TNNCIL OCTÉDRIC ( III II I T t n ( ( ( III II III I II I t

17 Joge Peelli Botello.9- TNSIONS TNNCILS MÁXIMS Si se desean obtene las tensiones tangenciales máimas, la solución se encuenta en los planos bisectoes de los planos pincipales. l valo de la tensión tangencial máima es: MX ( I III l vecto que define la diección donde se encuenta la tensión tangencial máima es: n ( n I n III 7

18 Joge Peelli Botello 8.- DSCOMPOSICIÓN DL TNSOR D TNSIONS l tenso de tensiones efeido a los ejes pincipales puede descomponese en dos: tenso esféico tenso desviado. l tenso esféico tiene todos los valoes de la diagonal pincipal iguales a la tensión nomal octaédica. l tenso desviado es la difeencia ente el total el esféico. no no no no no no T Siendo: no

19 Joge Peelli Botello CPÍTULO - MOVIMINTOS Y DFORMCIONS.- DSPLZMINTOS l vecto desplaamiento es una función continua del punto a considea. m u v w.- DFORMCIÓN LONITUDINL La apaición de tensiones en un sólido se poduce no po los movimientos absolutos de sus puntos, sino po las sepaaciones o acecamientos de sus patículas, o sea, po las defomaciones. La defomación longitudinal en una diección es el alagamiento o acotamiento unitaio que epeimenta un elemento lineal infinitamente pequeño, según esa diección, al defomase el sólido. Se considean positivos los alagamientos es adimensional. B B' m B B = 'B' - B B m '.- DFORMCIÓN TRNSVRSL La defomación tansvesal (o tangencial ente dos diecciones pependiculaes ente sí se mide po la semivaiación del ángulo que foman dos segmentos infinitamente pequeños al poducise la defomación del sólido, según ambas diecciones. s positiva si se poduce un ciee del ángulo. C' B, C C B' B, C ' B detemina la contibución de cada lado a la defomación total. 9

20 Joge Peelli Botello.4- XPRSIÓN D LS DFORMCIONS N FUNCIÓN D LOS DSPLZMINTOS Si se supone un caso bidimensional, se tiene: + B ' B' C' D' C D d d u v v v d u + u d u d v d Se tienen, po lo tanto (etapolando a -D, las siguientes defomaciones: Las otaciones son los gios que se poducen en las bisectices de los ángulos que foman los segmentos. u v w v u w v w u w u v w u v

21 Joge Peelli Botello.5- MOVIMINTOS D SÓLIDO RÍIDO Los movimientos que se poducen en un sólido tienen las siguientes componentes: Una taslación de componentes (u o v o w o. Una otación de componentes (,,. Defomaciones longitudinales (. Defomaciones tangenciales (. Las dos pimeas ecogen el movimiento como sólido ígido. o (, (- o (- o Po tanto, los movimientos de sólido ígido seán una suma de TRSLCIÓN + IROS BRZOS. u v SR (,, u SR (,, v w MOVIMINTOS D SÓLIDO RÍIDO SR (,, w Siendo los valoes (u v w los movimientos del cento de gio del sólido los valoes (,, las j otaciones del cento de gio. Consideando las ki valoes constantes, se tiene: u SR v SR w SR (,, k k k (,, k' k' k MOVIMINTOS D SÓLIDO RÍIDO (,, ' k'' k'' k' '

22 Joge Peelli Botello Se pueden compoba los valoes: SR u SR SR SR SR v u SR SR SR SR SR SR SR Los movimientos de sólido ígido no povocan, po tanto, defomaciones longitudinales ni tangenciales.

23 Joge Peelli Botello.6- TNSOR D DFORMCIONS l tenso de defomaciones es: D Los autovectoes del tenso de defomaciones son los mismos que los del tenso de tensiones. Repesentan las diecciones donde no eiste defomación tangencial. Si n es el vecto defomación po unidad de longitud en la diección n, se tiene: n D n De donde se tiene: DFORMCIÓN LONITUDINL: T n n DFORMCIÓN TNNCIL: n La defomación tangencial (o tansvesal máima es: MX I III Y se poduce en la diección: n MX ( n I n III

24 Joge Peelli Botello Cambio de base: D T D Donde es la mati de cambio de base, cuas columnas son los vectoes unitaios de los nuevos ejes efeidos a la base antigua. Defomación angula en un punto O: ' B' d O B O d OB d O d OB son los vectoes unitaios de cada diección. La defomación angula del punto es: O, OB T O d O D d OB d T OB D O d O 4

25 Joge Peelli Botello 5.7- CUCIONS D COMPTIBILIDD D DFORMCIONS Si se conocen las funciones continuas deivables de los desplaamientos, es posible obtene las defomaciones en un punto. n cambio, si se conoce el campo de defomaciones, en geneal no es posible conoce los desplaamientos, ecepto si se satisface una seie de elaciones ente las defomaciones que se denominan ecuaciones de compatibilidad, que son: Paa que el campo de movimientos sea único, además de cumplise estas ecuaciones, el sólido debe se simplemente coneo (sin agujeos.

26 Joge Peelli Botello 6.8- DSCOMPOSICIÓN DL TNSOR D DFORMCIONS. l igual que el tenso de tensiones, el tenso de defomaciones efeido a los ejes pincipales puede descomponese en dos: tenso esféico tenso desviado. l tenso esféico tiene todos los valoes de la diagonal pincipal iguales. l tenso desviado es la difeencia ente el total el esféico. m m m m m m D Siendo: m l tenso esféico epesenta un estado de defomación donde sólo eiste cambio de volumen. l tenso desviado epesenta un estado donde no ha defomación volumética, sino únicamente cambio de foma.

27 Joge Peelli Botello CPÍTULO 4- RLCIONS CONSTITUTIVS O MIXTS Son las elaciones ente tensiones defomaciones. 4.- LY D HOOK UNIDIMNSIONL L L 4.- COFICINT D POISSON n ealidad, al aplica una tensión en un cuepo elástico, lineal, homogéneo e isótopo se poducen defomaciones en la diección de la tensión en el esto de diecciones. : Coeficiente de Poisson. s adimensional; depende también del mateial da una idea de la compesibilidad del sólido. Debe se <.5. Si =.5 el cuepo es incompesible. 7

28 Joge Peelli Botello LY D HOOK NRLIZD DFORMCIÓN CÚBIC TNSIÓN CÚBIC 4.4- MÓDULO D RIIDZ TRNSVRSL s un coeficiente que depende también del mateial MÓDULO D COMPRSIÓN s oto coeficiente que depende del mateial. V V e s ( ( K

29 Joge Peelli Botello CUCIONS D LMÉ Son las ecuaciones que dan las tensiones en función de las defomaciones. Con: ( ( CONSTNT D LMÉ e Relaciones ente constantes: ( ( ( 9 6 ( 9 ( K K K K K K K K K K K e e e

30 Joge Peelli Botello CPÍTULO 5- LSTICIDD BIDIMNSIONL 5.- INTRODUCCIÓN s habitual ecui a simplificaciones basadas en supone que el sólido puede dividise en ebanadas, con compotamientos independientes ente ellas. isten dos tipos de simplificaciones: Defomación plana: Se supone que el tenso de defomaciones es una mati de en todos los puntos del sólido elástico. Sólo ha defomaciones en dos diecciones. Tensión plana: Se supone que el tenso de tensiones es una mati de en todos los puntos del sólido elástico. Sólo ha tensiones en dos diecciones.

31 Joge Peelli Botello 5.- DFORMCIÓN PLN Se suele poduci en sólidos pismáticos con geneatices paalelas al eje, de longitud mu laga con especto a la anchua altua de la base, bajo fueas nomales a las geneatices. Todas las secciones nomales al eje se defoman po igual se mantienen, duante la defomación, planas pependiculaes al eje. Se suele aplica en vigas, baas, cables, túneles, pesas de gavedad, etc. D T Po lo tanto: DFORMCIONS TNSIONS ( Las divesas elaciones quedan de la siguiente manea: cuaciones de equilibio: f f f cuaciones constitutivas: ( ( ( ( cuación de compatibilidad:

32 Joge Peelli Botello Fómulas de Lamé: e con ( ( e ( e Movimientos: u = u (, v = v (, w = cte Defomaciones: u v v u Condiciones de contono: Se aplican las siguientes: SUPRFICIS LTRLS: No eisten fueas en el contono lateal con componentes sobe la diección de las geneatices. p p p SUPRFICIS XTRMS ( = ; = L: Las fueas en las secciones etemas deben se nomales a éstas. cuaciones de Beltami-Mitchell: f f ( con

33 Joge Peelli Botello 5.- TNSIÓN PLN Se supone tensión plana en sólidos con el espeso según el eje mu pequeño en compaación con la anchua la altua, sometidos a un sistema de cagas contenido en su plano medio, po lo que esultan nulas las componentes de la tensión en el eje. Se suele aplica en placas, chapas, lajas, etc. D T Po lo tanto: ( DFORMCIONS TNSIONS Las divesas elaciones quedan de la siguiente manea: cuaciones de equilibio: f f f cuaciones constitutivas: ( ( cuación de compatibilidad:

34 Joge Peelli Botello 4 Fómulas de Lamé: ( ( ( ( Defomaciones: u v w v u Condiciones de contono: Se aplican las siguientes: SUPRFICIS LTRLS: No eisten fueas en el contono lateal con componentes sobe la diección de las geneatices. p p p SUPRFICIS XTRMS ( = ; = L: No ha fueas aplicadas. p p p cuaciones de Beltami-Mitchell: f f ( ( con

35 Joge Peelli Botello TNSIONS SOBR UN PLNO t n n * n T t sen n cos cos sen n n T t n t t n t T Las epesiones de las componentes son: cos ( ( sen cos ( sen Las tensiones pincipales son:, II I

36 Joge Peelli Botello Con las siguientes diecciones pincipales: tg( Con el citeio de signos habitual, se considean positivos los siguientes sentidos: 6

37 Joge Peelli Botello 5.5- CÍRCULO D MOHR l cículo de Moh epesenta el estado tensional en los puntos de un sólido de foma gáfica. CNTRO:, ó I II, RDIO: ó I II (, ma II I (, ' 7

38 Joge Peelli Botello n el cículo de Moh, los ángulos se duplican en magnitud cambian su sentido de gio. ma I II Las diecciones con tensiones tangenciales máimas foman 45 con las pincipales. ma I II II ' I ' ma ma ma ma ' I ' II 8

39 Joge Peelli Botello 5.6- RPRSNTCIÓN RÁFIC isten vaias familias de cuvas que se pueden epesenta en dos dimensiones: Isostáticas: Son las cuvas envolventes de las tensiones pincipales. Indican las taectoias que siguen los flujos de tensiones dento de la piea. Son tangentes en cada punto a las diecciones pincipales. Como ha dos familias de diecciones pincipales pependiculaes ente sí, ha también dos familias de cuvas isostáticas otogonales en cada punto. Su ecuación es: d d ( Isoclinas: Son cuvas que unen puntos donde las tensiones pincipales tienen una inclinación fija. Su ecuación es: tg( cte Isobaas: Son el luga geomético de los puntos paa los cuales una tensión pincipal tiene valo constante. Ha dos familias: I, II cte Líneas de máima tensión tangencial: Son las cuvas envolventes de las tensiones tangenciales máimas. d d 9

40 Joge Peelli Botello Líneas isocomáticas: Son el luga geomético de los puntos donde cte. I II cte ma I II cte Isopacas: lo lago de ellas, la suma de tensiones pincipales es constante. cte Puntos singulaes: n ellos, las tensiones pincipales son iguales, tanto en valo como en signo. n un punto singula, todas sus diecciones son pincipales. l cículo de Moh se educe a un punto. Puntos neutos: Son los puntos singulaes donde todas las componentes de la tensión son nulas. 4

41 Joge Peelli Botello FUNCIÓN D IRY La función de i o función de tensiones popociona una solución en tensiones al poblema elástico en lasticidad bidimensional, empleándose en defomación plana o en tensión plana. Si es una función de i, se demuesta: f f son fueas másicas Las tensiones así obtenidas satisfacen las ecuaciones de equilibio en dos dimensiones si las fueas de masa f f son constantes, sin impota cómo sea. Paa satisface las condiciones de compatibilidad, debe se biamónica. Como Con los siguientes opeadoes: : Divegencia : Laplaciano Po lo tanto, se tiene: Po tanto, las tensiones povenientes de cualquie función biamónica son solución de algún poblema elástico, al cumpli automáticamente las ecuaciones de equilibio compatibilidad de defomaciones. Si además cumplen las condiciones de contono de nuesto poblema, entonces seán su solución. jemplo: Si, po ejemplo, se toma un polinomio de segundo gado f f

42 Joge Peelli Botello 4 Resulta, po tanto, un campo de tensiones constante. s una función biamónica, solución del siguiente poblema elástico: = = = - = = Si se toma una función de i de tece gado (que es biamónica: Las tensiones seán: TNSIONS LINLS sta función de i es solución del siguiente poblema elástico: = k' = k' = k = k Po lo tanto, la egla páctica a utilia es coge funciones de i dos gados supeioes a las lees de tensiones en los contonos.

43 Joge Peelli Botello CPÍTULO 6- LSTICIDD N COORDNDS POLRS 6.- LSTICIDD PLN N COORDNDS POLRS + + d d + d d f d f f f son fueas másicas (al se po unidad de áea, deben multiplicase po d d. d cuaciones de equilibio inteno: f f Relaciones desplaamientos-defomaciones: u u v u v v u, v: desplaamientos según las diecciones,. cuación de compatibilidad: ( con 4

44 Joge Peelli Botello 44 Tensión plana: Le de Hooke: ( cuaciones de Lamé: ( Defomación plana: Le de Hooke: ( ( ( cuaciones de Lamé: ( ( ( ( ( Tensoes de tensiones defomaciones: T D Función de i (válida sólo si las fueas de masa son nulas: 4

45 Joge Peelli Botello 6.- TNSIONS PRINCIPLS l tenso de tensiones en dos dimensiones es: T Y las tensiones pincipales esultan: I, II Y las diecciones pincipales son: n I u u tg = O es el ángulo que foma la diección pincipal I con el adio vecto unitaio n la base u, u las diecciones pincipales son: u. n I cos sen n II sen cos Y la ecuación de las cuvas isoclinas es: tg( cte 45

46 Joge Peelli Botello 6.- STDOS XILSIMÉTRICOS n los estados ailsiméticos nomalmente se toma como eje de simetía el eje, como coodenada adial como coodenada angula. Se tiene: Tensiones no nulas:,,, Tensiones nulas: Defomaciones no nulas:,,, Defomaciones nulas: T cuaciones de equilibio inteno: f f cuaciones de compatibilidad intena: Relaciones ente defomaciones movimientos: u u w u w 46

47 Joge Peelli Botello 47 Le de Hooke: cuaciones de Lamé: e con: e s e Función de i: D C B ln( ln( ( C B ln( C B ln(

48 Joge Peelli Botello TUBO CIRCULR SOMTIDO PRSIONS RDILS Sea una tubeía cicula sometida a una pesión inteio unifome p i a una pesión eteio unifome p e. La función de i con simetía ail es: D C B ln( ln( ( n este caso, B = D =. Po tanto: ln( ( C Y las tensiones: C C Las condiciones de contono son: p i p e Resolviendo, se tiene: ( i e i e i e R R R R p p e i i i e e R R R p R p C Y el desplaamiento adial: u Defomaciones (simetía de evolución: u u i i e e p R p R ( (

49 Joge Peelli Botello CRS CONCNTRDS N CUÑS Caga ail: p Caga cotante: q Momento flecto: m p (caga po unidad de longitud cos ( sen p T q (caga po unidad de longitud ( sen sen q T m (caga po unidad de longitud cos( cos( cos( cos( ( cos( ( sen sen m T

50 Joge Peelli Botello 6.6- CHP CON TLDRO Sea una placa ectangula, suficientemente gande, en estado de tensión plana, solicitada po una tacción t en sus bodes d. Si se pefoa un pequeño agujeo, de adio a d, el estado tensional oiginal ( t,, en toda la placa se altea de la siguiente foma: t t a t 4 4 cos( t 4 cos( t 4 sen( n el bode del agujeo: t cos( que en 9 es t 5

51 Joge Peelli Botello 6.7- TNSIONS N SULO BJO CR RPRTID Un poblema fecuente en cimentaciones es detemina el estado tensional de un suelo bajo una caga lineal unifomemente epatida (po ejemplo, un cail de feocail. n este caso, la función de i es: p sen p (kn/m Y las tensiones son: p cos 5

52 Joge Peelli Botello CPÍTULO 7- MÉTODO D RYLIH-RITZ 7.- NRÍ POTNCIL TOTL (PT Un sólido defomable sometido a un sistema de cagas cualquiea estaá, en equilibio, en la posición en la que la enegía potencial total sea mínima. PT=-P V=U-W PT: negía Potencial Total (V : negía lástica (U P: negía potencial o tabajo de las fueas eteioes (W 7.- NRÍ LÁSTIC La epesión geneal de la negía lástica es: U ij ij dv V V dv n lasticidad bidimensional (tensión o defomación plana: U V dv e d 7.- NRÍ POTNCIL La epesión de la enegía potencial es: W F efica V f u i i dv p u i i d Siendo: f i : fueas másicas p i : pesiones 5

53 Joge Peelli Botello 7.4- MÉTODO D RYLIH-RITZ s un método numéico paa minimia la negía Potencial Total. n geneal se tienen epesadas las tensiones, defomaciones o movimientos mediante funciones apoimantes i, que dependen de unas constantes c i. stas funciones deben cumpli las condiciones de contono del poblema. Po lo tanto, las constantes c i son las incógnitas del poblema, ha que deiva la función de la negía Potencial Total especto de ellas paa obtene el sistema de ecuaciones que pemita halla la solución. V c V c V c n l método de Raleigh-Rit da una solución apoimada del poblema. 5

54 Joge Peelli Botello CPÍTULO 8- TORSIÓN 8.- INTRODUCCIÓN La tosión apaece cuando la línea de acción de las cagas no pasa po la diecti (línea de unión de los centos de gavedad. M T P M T M T = P d Las unidades son de fuea po distancia. labeo: s la defomación que se poduce en las secciones tansvesales de una piea como consecuencia de la aplicación de un momento toso, que hace que las secciones dejen de se planas. LBO io po tosión: Se aplica el Teoema de Moh paa tosión. ( M ( d J J T : Rigide a tosión 54

55 Joge Peelli Botello 8.-TORSIÓN N SCCIÓN CIRCULR n las secciones ciculaes, tanto macias como anulaes, bajo un momento toso, se poduce lo siguiente: Las secciones planas nomales a la diecti se mantienen bajo tosión planas pependiculaes a la diecti. Po lo tanto, no ha alabeo. Las tensiones vaían linealmente con la distancia al cento son pependiculaes al adio vecto. MX M M J M J M J J: Momento de inecia a tosión. n sección cicula: J R 4 Desplaamientos: u v w (gio po unidad de longitud 55

56 Joge Peelli Botello 8.- TORSIÓN N SCCIÓN CULQUIR. MÉTODO D LS TNSIONS O D PRNDTL Se utilia una función de tensiones paa esolve el poblema, que nada tiene que ve con la función de i. La solución en tensiones es: TNSIONS Con estas tensiones se satisfacen automáticamente las ecuaciones de equilibio, si no eisten fueas de masa. demás, debe cumplise: cons tan te es constante en el contono lateal. n secciones simplemente coneas (sin agujeos esta constante se puede escoge abitaiamente, po lo que se suele toma. Las condiciones de contono en las tapas son: Q M Q d d M J 56

57 Joge Peelli Botello TORSIÓN N SCCIÓN CULQUIR. MÉTODO D LOS DSPLZMINTOS O D SINT VNNT Los desplaamientos de una sección que ha giado son: u v d, ( es la función de alabeo. De los desplaamientos se obtienen las defomaciones. De éstas, po Lamé, las tensiones: Las condiciones que deben cumpli estas tensiones paa se solución del poblema son: cuaciones de equilibio. Condiciones de contono en la supeficie lateal (no ha tensiones. Condiciones de contono en las caas etemas ( tapas, que eciben los momentos. M cuaciones a utilia: De la condición se saca:, ( w v u DSPLZMINTOS DFORMCIONS TNSIONS

58 Joge Peelli Botello De la condición se saca: d sen ds d cos ds : ángulo que foma n con el eje ds d d n plicando Cauch: t T n d / ds d / ds Resolviendo: d ds d ds d ds d ds De la condición se saca: M J J d d Y las condiciones de contono de las tapas ( Q Q se cumplen automáticamente. 58

59 Joge Peelli Botello 8.5- MÉTODO D RYLIH-RITZ PR TORSIÓN ste método sive paa obtene soluciones apoimadas. Se suele aplica, en tosión, utiliando el método de las tensiones. negía lástica: La enegía elástica de defomación po unidad de longitud es: U d d d d negía Potencial: La enegía potencial po unidad de longitud es: W M negía Potencial Total: V=U-W Método de Raleigh-Rit: Se sustituen en las epesiones anteioes las fómulas de M de las tensiones. Paa la función de tensiones se utilia una apoimación igual a: Las funciones i (, a (, i i i se eligen abitaiamente, peo tienen que cumpli cada una i en el contono lateal. Las epesiones de las enegías elástica potencial quedan: U d W d Y ha que deiva V = U W con especto a las constantes a i paa hacelo mínimo: V a i 59