Programación Matemática. Profesor: Juan Pérez Retamales

Transcripción

1 Programació Matemática Profesor: Jua Pérez Retamales

2 Capítulo 2: Ua breve visita a los métodos de puto Iterior Programació Matemática

3 Los métodos de puto iterior, tal como su ombre lo idica, busca al iterior del domiio para llegar al puto óptimo. El método simplex, como sabemos lo hace mediate la ispecció de los vértices o SBF.

4 E térmios teóricos los métodos de puto iterior so más eficietes que el método Simplex. Si embargo e la práctica esto o se ha plasmado del todo e los solvers debido a lo muy depurado, estudiado y optimizado que está el Simplex. E la actualidad y co el correr del tiempo esta situació se ha veido revirtiedo, pricipalmete porque se ha abordado co más fuerza la NLP, la cual usa métodos de puto iterior, lo cual a su vez a hecho que e el caso de LP, éstos sea cada vez más eficietes.

5 El método Simplex lametablemete podría llegar a recorrer todos los vértices e su búsqueda del óptimo (clásico ejemplo del cubo de Klee-Mity). (tiempo expoecial) Los métodos de barrera o tiee ese problema, e efecto se puede demostrar que preseta tiempo poliomial de resolució co respecto al tamaño de la istacia. Este tipo de métodos fue defiido origialmete para NLP, y por problemas de cálculo o se masificaro. Pero

6 U poco de historia de los que marca hitos: G. Datzig e 947 Simplex (tiempo expoecial) L. Khachiya e 979 Método del elipsoide (tiempo poliomial) N. Karmarkar e 984 Método de puto iterior (tiempo poliomial, ha sido bie estudiado)

7 E térmios metodológicos la secuecia es: Simplex Elipsoide Karmarkar Primales duales (barrera logarítmica)

8 Método Elipsoide Qué es eso?: La idea es ir ecerrado la regió de iterés e cada paso, e ua elipsoide, la cual cada vez es más pequeña. Elipse k Elipse k+ z k+ z k

9 Método de Karmarkar Idea: Trasformar el PPL a u formato particular para Karmarkar. Que cosiste básicamete e escalar y cetrar el problema al Simplex uitario, luego ecotrar ua direcció de mejora, moverse segú u largo de paso, ecotrar u uevo puto, y volver a trasformar el espacio (se reduce). Este método sigue hasta que la solució es meor que ua cierta medida pequeña positiva de covergecia.

10 Imágees de diarios desde clase de profesor R. Vaderbei.

11 Imágees de diarios desde clase de profesor R. Vaderbei.

12 Imágees de diarios desde clase de profesor R. Vaderbei.

13 Método de Karmarkar

14 Método de Karmarkar mi z sa.. Ax x. Rago S c x 2. x,..., es factible A, * 3. z A i A c, x m S x : x ; x ; i,..., i i

15 Método de Karmarkar.- Iicializar 2.- Defiir x x diag A Ax c x c A B Proyecció del gradiete t t d I B B B B c x 3.- Cálculo de paso 4.- Criterio deteció cx cx k k, típico 2/3 pequeño x x k k xx t xx d d TERMINAR Ir a paso x x x y t t T x T y x x x y

16 Método de Karmarkar Esquema ilustrativo Radio f SIMPLEX Gradiete Proyectado

17 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar

18 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO : Idetificar el problema y escribirlo e forma caóica micx sa.. Ax x b

19 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 2: Platear el problema dual max b sa. A c

20 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 3: Miimizar la brecha primal dual, y platear el problema micx b sa. Ax A b c x,

21 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 4: Poer el problema del Paso 3 e forma estádar micx b sa. Ax hp b A hd c x,, hd, hp

22 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 5-a: Itroducir ua restricció del tipo gra M co el objetivo de hacer patete que el problema es acotado y, segú esta cota ormalizarlo. Q "grade" tal que: m x hd hp Q i i i i i i

23 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 5-b: Itroducir la ueva restricció e el problema y formular mi sa. cx b Ax hp b A hd c m x hd hp Q i i i i i i x,, hd, hp

24 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 6: Variable de holgura para ueva restricció mi sa. cx b Ax hp b A hd c m x hd hp hq Q i i i i i i x,, hd, hp, hq

25 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 7: Utilizamos la restricció auxiliar t= para hacer ulos los RHS. micx b sa. Ax hp bt A hd ct m i i i i i m x hd hp hq Qt i x hd hp hq t Q i i i i i i x,, hd, hp, hq, t

26 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 8: Utilizamos u cambio de las variables e el factor (Q+) y t x Q y Q hd Q y hp Q y hq Q y t Q y x hd hp hq mi sa. m i m i i xi hdi i hpi hq t i x hd hp hq x x hp t cy hd y b Ay y by Ay y cy y t y y y y y Qy y y y y y t i i i i

27 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 9: Hacer que la variable evaluada e e*(/) sea factible. Para lo cual se usa ua variable artificial que haga la pega la llamamos y b, (b de brecha ). Siempre existirá uos vectores, escalares y ua costate grade talque. mi cy y b My sa. x hp t b m i m i hd t 2 b i xi hdi i hpi hq t 3 b i x hd hp hq b x Ay y by V y Ay y cy V y y i i i i b y y y y y Qy v y y y y y y t y

28 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar PASO 9 (cot.): cuado M es grade el problema es equivalete a: miy sa. x hp t b hd t 2 b m i i x hd hp hq t 3 b x m i i x hd hp hq b b Ay y by V y Ay y cy V y cy y y y y y y Qy v y by i i i i y y y y y t y i i i i

29 Método de Karmarkar Método para trasformar u problema al formato requerido por Karmarkar Ejemplo (Tarea Hacer): max z x 3x sa.. 2x x 8 x 2 2 x, x 2 2 4x 5

30 Métodos de Barrera (Primal - Dual) La idea de costrucció de la metodología (Ua forma): platear u sistema de ecuacioes que represete la miimizació de la brecha etre el primal y el dual. Tomar u efoque icremetal para solucioarlo. Idetificar los térmios o lieales impoer ua barrera. Platear el uevo problema lieal resultate y resolver. La idea del método es avazar por el iterior del espacio de solucioes factibles, a través de pasos que os acerque al óptimo, los cuales queda defiidos por u factor µ que represeta ua barrera.

31 Métodos de Barrera (Primal - Dual) micx sa.. Ax b x b, i,..., m x i i max b sa. A c c, i,..., i i

32 Métodos de Barrera (Primal - Dual) THC Recuerde otació de filas y columas de A x b, i,..., m i i i c x, i,..., i i i

33 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Se itroduce variables de holgura Ax s b s, i,..., m i s Ax b A w c w, i,..., i w c A

34 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Etoces lo que os queda es lo siguiete Ax s b A w c m s m m = m w x

35 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Ax s b A w c Teemos 2m+2 ecuacioes y 2m+2 icógitas s Qué opia? Podemos Resolverlo? w x

36 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Ax s b s A w c No todas las ecuacioes so lieales w x

37 Métodos de Barrera (Primal - Dual) E efecto, la complejidad que se deriva del THC es la que hace que resolver PPL s sea más complejo que resolver sistemas lieales

38 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Hagamos u poco de modificació al sistema de ecuacioes aterior, a ver si podemos hacer algo co él

39 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Itroducimos valores µ que os permite lidiar co las restriccioes de domiio (desigualdades) Ax s b A w c s m w x

40 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Supogamos que podemos ecotrar u puto iicial, y u paso de avace de modo que: s s w w x x A x x s s b A w w c m

41 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Supogamos que podemos ecotrar u puto iicial, y u paso de avace de modo que: Ax s b Ax s A w c A w s s s s w x w x wx wx m

42 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Supogamos que podemos los térmios icremetales cuadráticos so despreciables, y aproximamos: Ax s b Ax s A w c A w s s s w x wx wx s m wx

43 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Supogamos que podemos los térmios icremetales cuadráticos so despreciables, y aproximamos: Ax s b Ax s A w c A w m s s s w x wx w x Este sí es lieal

44 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Pero que se hace para solucioarlo? Calcular u uevo valor para x =x +x Escoger ua barrera µ meor para la siguiete iteració Repetir el proceso hasta que se cumpla: Ax s b Factibilidad Primal c A w Factibilidad Dual cx b GAP de Dualidad

45 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Veamos otro efoque, que es el clásico para geeralizar. Lo que vimos ates sirve para hacerse ua idea de dóde viee el método, pero a partir de los temas que ya hemos visto.

46 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Efoque de barrera logarítimica: Se itroduce térmios logarítmicos de pealizació e la FO. mi cx log x log s sa.. Ax s b x i i i i

47 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Efoque de barrera logarítimica: Se calcula la fució lagrageaa. log i i i i L cx log x s b Ax s

48 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Efoque de barrera logarítimica: Calculamos las derivadas de la fució lagrageaa. x s x L L x A x x s L L s s L L Ax s b

49 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Efoque de barrera logarítimica: Calculamos las derivadas de la fució lagrageaa. (recordemos que) x x L L x A x x x c A w w x wx

50 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Efoque de barrera logarítimica: Calculamos las derivadas de la fució lagrageaa. s s L L s s s

51 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Efoque de barrera logarítimica: Etoces, e cojuto, las codicioes de óptimo de KKT del problema co barrera logarítmica so: Ax s b A w c s m w x

52 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Efoque de barrera logarítimica: Etoces, e cojuto, las codicioes de óptimo de KKT del problema co barrera logarítmica so: Ax s b s A w c m Lo que es equivalete a la primera deducció que hicimos a partir del problema de brecha primal dual w x

53 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Y cómo se vería lo que hace el método? = = = = =. Recorrido iterior Dibujo de: E. Carreño, et. Al. OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS LINEALES USANDO MÉTODOS DE PUNTO INTERIOR, Scietia Et Techica, Uiversidad Tecológica de Pereira, ISSN 22-7, Mayo 24.

54 Métodos de Barrera (Primal - Dual) Recordar e PL los que marca tedecia so: Datzig Simplex Khachiya Elipsoide Karmarkar Puto Iterior E térmios de métodos, acabamos de ver: Simplex (hasta el casacio) Karmarkar Bases de métodos de barrera (primal-dual) Los métodos de puto iterior so cada vez más eficietes, y cuado efrete istacias de PPL grades, tega u bue solver lieal (CPLEX, Gurobi, etc.), les recomiedo escoger la opció de uso de métodos de puto iterior.