fluido Emilio Rivera Chávez Contenido

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1 4 Euaione difereniale del flujo fluido Conenido 41 Inroduión 4 Euaión diferenial de oninuidad 43 Euaión diferenial de anidad de moimieno 44 lujo Neo de anidad de moimieno a raé de la uerfiie de onrol de un olumen de onrol diferenial 45 Cambio de anidad de moimieno denro del olumen de onrol 46 Euaión diferenial de anidad de moimieno 47 Euaión de Euler 48 Euaión de Naier Soke- luido newoniano 49 Ineraión de la euaión de Euler- Euaión de Bernoulli Bibliorafía Emilio Riera Cháe

2 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 41 Inroduión En el aíulo anerior e han eudiado la lee fundamenale del flujo fluido la que han ido ereada maemáiamene en forma de euaione inerale ara un olumen de onrol arbirario i bien ea euaione on imorane or u aliaión ráia dado que ermien ealuar lobalmene un deerminado flujo fluido e araerian or rabajar on alore romedio de la roiedade del flujo fluido Sin embaro eien iuaione en la que e neeario onoer la ariaión de la roiedade del flujo de un uno a oro Una forma de reoler ee roblema e aliar la euaione inerale a un olumen de onrol diferenial ara obener la euaione de flujo ara un uno del flujo fluido En ee aíulo e obendrá la ereión diferenial de la euaione de oninuidad riniio de oneraión de la maa de anidad de moimieno eunda le de Newon de la meánia a arir de u forma ineral Eien re méodo diferene ara obener la euaione difereniale del flujo fluido: Uiliando el álulo eorial- En ee ao no e neeia ninún raonamieno fíio adiional ue e raa de obener la ereione difereniale a arir de la ereione inerale iuiendo un riuroo roedimieno maemáio Aliando la euaione inerale a un olumen de onrol elemenal- Se obienen la euaione difereniale al llear la ereión reulane al ie haiendo uando el olumen e hae infinieimal Aliando la euaione báia del iema a un olumen elemenal- De ee modo e obienen direamene la euaione difereniale ara un olumen elemenal mediane balane de maa anidad de moimieno enería 4 Euaión diferenial de oninuidad Como e reordará la euaión ineral de oninuidad ea dada or: 41 d La euaión diferenial de oninuidad que no e ma que la le de oneraión de la maa uede er obenida omo e elió en el eírafe anerior de aria manera En ee ao uiliaremo el eorema de Gau ara onerir la ineral de uerfiie del rimer miembro de la euaión ineral de oninuidad 41 en una ineral de olumen Suiuendo 4 en 41 e obiene: d 4 d d Lleando el eundo miembro de la euaión al rimer miembro ermuando la deriada on la ineral e obiene: d d 1

3 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae d Para que la ineral ea ero ueo que el olumen de onrol e arbirario neeariamene e debe umlir que: 43 Ea úlima euaión e la forma diferenial de la euaión de oninuidad Para flujo ermanene: 44 Y ara flujo inomreible 44 La euaión 43 uede er ereada en ualquier iema de oordenada Aí or ejemlo en oordenada areiana: 45 El reulado anerior uede obenere direamene or aliaión de la euaión 41 al olumen elemenal morado en la fiura 41 El eudiane e enarará de omrobar ee eho V Y V d V Z V V V d V Z V d V Y iura 41 lujo de maa a raé de la 6 ara de un olumen de onrol diferenial

4 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 43 Euaión diferenial de anidad de moimieno La euaión diferenial de anidad de moimieno e la forma diferenial de la eunda le de Newon del moimieno ara el flujo fluido Por ello ara obener la euaión diferenial de oninuidad e uiliará la forma ineral de ea euaión orreondiene a un olumen de onrol arbirario maia u erfiie d 431 Suma de fuera eerna máia uerfiiale que aúan obre el olumen de onrol Cambio de anidad de moimieno denro del olumen de onrol lujo neo de anidad de moimieno a raé de la uerfiie de onrol Aliando ea euaión a un olumen de onrol elemenal diidiendo miembro a mimbro enre el olumen lleando ea raón al ie uando el olumen iende a ero e obiene la euaión que ermie alular la ariaión de la anidad de moimieno en un uno del flujo fluido Aí maia u erfiie d 43 Cada uno de lo érmino de la euaión anerior erán ealuado or earado 431 Balane de la fuera eerna La fuera eerna que aúan obre el olumen de onrol eán aruada en do aeoría: uera máia debida a la aión de lo amo de fuera fuera uerfiiale debida a la enione normale aneniale que e manifiean or efeo reión a la aión ioa uera máia debida a la aion del amo raiaional Ea fuera ea rereenada or el rimer érmino del rimer miembro de la euaión 43 onreamene e refiere al eo del olumen elemenal de fluido onenido denro del olumen de onrol que en el límie e redue a un uno La maa del olumen de onrol elemenal e: m Enone la fuera máia or unidad de olumen erá: ra ra ra d 433 3

5 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae uera uerfiiale debida a la ioidad reión Y YΔY Z Z Δ a Direión Z ZΔZ Y Y YY YΔY b Direión Y Y ZY Z Y Δ ZY Z ΔZ YY Y Y YΔY ZZ Z Direión Z Z Y Y Z Δ ZZ Z ΔZ iura 4 En la fiura e mueran la omonene areiana en la re direione de la fuera uerfiiale que aúan obre un olumen de onrol diferenial 4

6 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 5 En la fiura 4 e muera la diera fuera que aúan obre la uerfiie de onrol Para imlifiar la umaoria de fuera uerfiiale e onideraran la re direione oroonale or earado Direión Con referenia a la fiura 4 a e iene: u Diidiendo la ereión anerior enre el olumen lleando al límie uando el olumen de onrol iende a ero e iene: u u inalmene aliando la definiión de deriada de una funión e obiene: 434 De manera análoa e ueden obener ereione imilare ara la omonene en la ora do direione: Direión De la fiura 4 b 435 Direión iura La fuera uerfiial reulane erá: 437 Y u u Z u k j i erfiial u

7 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae La enione que dan luar a la fuera uerfiiale omo a e dijo ane on debida a la reión al efeo de la ioidad debido al moimieno que e manifiea omo un radiene de eloidad Debido a ello la enione normale e ueden erear omo la uma de ambo efeo: ii ii 438 Suiuendo la relaión anerior en la euaión 437 rearuando lo érmino onenienemene e iene: u erfiial i j k i 439 Ea úlima ereión uede er eria en forma omaa uiliando oeradore eoriale enoriale Aí el rimer érmino de la euaión rereena el radiene de reión omo e io en el aíulo i j k Por ora are el eundo ermino de ea euaion que rereena lo efuero ioo uede er ereado omo la dierenia del enor de efuero ioo ij j k i ij 431 j k ij Enone la fuera uerial nea en un uno del flujo fluido uede er ereada ai: u erfiial 431 uera eerna nea Enone la fuera nea auando obre el olumen de onrol uando ee e redue a un uno ea dada or: ij 4313 maia u erfiial uera de raedad uera de reión ij uera ioa uera máia uera uerfiial 6

8 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 7 44 lujo Neo de anidad de moimieno a raé de la uerfiie de onrol de un olumen de onrol diferenial En la fiura e muera el flujo de anidad de moimieno a raé de la 6 ara del olumen de onrol Enone el flujo neo eará dado or: 441 Lleando al límie el eundo miembro de la euaión e iene: 44 Realiando la oeraione de deriaión indiada en el lado dereho de la euaión rearuando e obiene: 443 VV VV Y VV Y Y Y VV Y Z Z VV Z Z VV Z iura 43 lujo de anidad de moimieno a raé de la 6 ara de un olumen de onrol diferenial

9 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 8 Seún la euaión de la oninuidad: 444 Suiuendo ea úlima relaión en la euaión 443 éa úlima oma la iuiene forma: 445 Ereado en forma eorial: Cambio de anidad de moimieno denro del olumen de onrol La ariaión de la anidad de moimieno denro del olumen de onrol or unidad de olumen en el límie uando ee iende a ero ea dado or: d 451 Realiando la oeraión indiada e iene d Euaión diferenial de anidad de moimieno Suiuendo lo reulado dado or la euaione: en 431 e iene la ereión final de la euaión diferenial de anidad de moimieno en forma eorial 461 Aeleraión or ranore Aeleraión loal uera de raedad uera de reión uera ioa Suma de uera eerna Maa or aeleraión

10 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 47 Euaión de Euler Una iuaión ariular de la euaión 461 orreonde al flujo no ioo e deir uando no eien enione de ore e deir: ij ij Por lo ual la euaión diferenial de anidad de moimieno 461 e redue a 471 D D Euaión de Naier Soke- luido newoniano Para un fluido newoniano de ioidad µ ara flujo inomreible la euaión de Newon de la ioidad e uede eneraliar ara flujo ridimenional aí: µ µ µ µ µ µ 481 Por ora are la euaión 461 uede ereare en oordenada reanulare en bae a u re omonene: 9

11 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 1 Comonene : Comonene : Comonene : 48 Suiuendo la euaione 481 en 48 e obiene la euaión de anidad de moimieno ara flujo inomreible de un fluido newoniano de denidad ioidad µ onane; en oordenada reanulare: Comonene Comonene Comonene 483 La euaione ealare aneriore iene la iuiene ereión eorial equialene: D D µ 484 En el aneo e reena el dearrollo de la euaión 484 en lo iema de oordenada má uuale µ µ µ

12 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae 49 Ineraión de la euaión de Euler- Euaión de Bernoulli Para el ao de flujo ideal ermanene e inomreible la ineraión de la euaión de Euler da omo reulado la onoida euaión de Bernoulli Para ello e ealuara la euaión 471 a lo laro de una línea de orriene Uiliando en ee ao la oordenada de raeoria en la que la direión ermanee ienre anene a la raeoria de la aríula fluida línea de orriene fiura 44 θ a d d b iura 43 a lujo ideal rereenado mediane línea de orriene b Elemeno diferenial de fluido morando la fuera máia uerfiiale que aúan obre una aríula fluida Reordamo la euaión 471 de Euler ara flujo ideal in friión 471 En ee ao ariular la omonene de la euaión en la direión on: enθ u o θ u u flujo ermanene u n

13 Prof Emilio Riera Cháe Aune de Clae Suiuendo la ereione 491 en la euaión 471 e iene: enθ u u u 49 Traándoe de un flujo unidireional en la direión la úlima euaión uede eribire del iuiene modo: d d enθ d d muliliando or d diidiendo enre enθ d d d en d d d θ 493 la diferenial de aro d e uede e uede alular mediane la iuiene aroimaión: d θ d d d enθ d enθ d Suiuendo ea ereión en la euaión 493 e inerando e iene: d d d C d C 494 Para flujo inomreible onane enone: C 495 Euaión que erea que ara la ondiione de flujo dada flujo ideal ermanene e inomreible la enería meánia oal ermanee onane en ualquier uno de una línea de orriene Ea euaión omo a e io en el uro de fíia báia e onoida on el nombre de euaión de Bernoulli Bibliorafía Shame H Irin La Meánia de lo luido MGraw-Hill Whie M rank Meánia de luido MGraw-Hill o Rober Inroduión a la Meánia de lo luido MGraw-Hill Huhe William Dinámia de luido MGraw-Hill Wel Jame e al undamenal of momenum hea &ma ranfer John Wile &Son 1