FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Transcripción

1 UNDAMENTO DEL ANÁLII MATICIAL DE ETUCTUA ATICULADA Prof. Carlo Navarro Departamento de Meánia de Medio Contino y Teoría de Etrtra

2 MATIZ DE IGIDEZ DE UNA BAA BIATICULADA itema de referenia qe vamo a tilizar: y L -y: itema de eje loale de la barra -: itema de eje globale de la etrtra Para el állo matriial de etrtra de barra e neeario emplear do itema de referenia para eprear toda la magnitde qe intervienen. Por tanto, en todo lo qe ige, pondremo definido do itema de oordenada: no, qe denominaremo global, y qe erá omún para toda la barra de la etrtra y, para ada na de la barra de la etrtra, n itema de referenia (qe denominaremo loal) en el qe el eje tendrá la direión de la barra y entido vendrá definido dede el qe onideremo ndo iniio de la barra al qe onideremo ndo final de la mima.

3 Planteamiento en eje loale: y N N ε σ E δ L N A E δ L EA N ó N EA δ L EA y N L δ

4 Ndo de la barra y deplazamiento: y Manteniendo el ndo fijo, veamo qé ferza e neearia apliar en el ndo para onegir n deplazamiento en diho ndo: y Ndo Emplearemo el ímbolo prima ando qeramo a magnitde referida a lo eje loale de la barra

5 y Ndo ' ' E. () Pero en el ndo apareerá na ferza horizontal de valor igal a la anterior pero de igno ontrario ' ' E. ()

6 Hagamo lo mimo para el ndo manteniendo el ndo fijo: y Ndo Ndo y Ndo ' ' E. ()

7 Para eqilibrar eta ferza ( ) en el ndo tendrá qe atar na ferza igal y de igno ontrario a la anterior, por lo qe: y Ndo ' ' E. (4)

8 i planteáramo n etado de arga y de deplazamiento genério obre la barra qe etamo analizando: y podríamo eribir: ' ' ' ' { } [ e ' K ]{ ' } Vetor deplazamiento de lo ndo en eje loale Vetor de arga en lo ndo en eje loale Matriz de rigidez del elemento en eje loale de la barra

9 CAO DE UNA ETUCTUA ATICULADA DE DO BAA ALINEADA

10 Analiemo, ahora el problema motrado en la figra:,,, i, para ada na de la barra, e onidera qe ndo origen oinide on el ndo de nmeraión má baja de la etrtra, y ndo final on el de nmeraión má alta, lo eje globale de la etrtra y lo loale de ada barra on paralelo.

11 y ( ), ( ), y ( ), ( ), EQUILIBIO DEL NUDO : ( ),, ( ),

12 )' ( ' ' )' ( Eaión ferza-deplazamiento para la barra (eje loale): Eaión ferza-deplazamiento para la barra (eje loale):

13 )'' ( )' ( Elemento Elemento Como qiera qe tenemo tre ndo en ete problema vamo a añadir na línea má a la eaione matriiale qe hemo planteado de manera tal qe:

14 )'' ( )' ( )'' ( )' ( Elemento Elemento Elemento Elemento

15 )'' ( )' ( i, ahora mamo amba eaione matriiale (proeo onoido omo enamblaje en el análii matriial de etrtra), tendríamo:, ( ), ( ), Como el ndo de oneión de la do barra (ndo ) debe etar en eqilibrio, debe verifiare qe:

16 Matriz de rigidez de la etrtra Vetor de arga eteriore en ndo Vetor de deplazamiento nodale Por tanto, podemo plantear en eje globale de la etrtra:

17 Vetor de arga eteriore en ndo Vetor de deplazamiento nodale K Matriz de rigidez de la etrtra

18 Pero la etrtra qe tengamo qe allar pede er má ompliada qe la qe aabamo de ver:

19 ,, y θ y y y y itema de referenia de la barra itema de referenia global de la etrtra elaión entre ferza en etremo de barra y deplazamiento nodale (en eje loale):

20 elaión entre la ferza en lo etremo de barra, en eje globale, y la mima epreada en eje loale. (Pao de eje globale a loale) y y y y θ θ

21 θ θ θ θ θ θ θ θ o en en o o en en o y y y θ y y

22 θ θ en o y y Vetor de ferza nodale en oordenada loale Vetor de ferza nodale en oordenada globale θ θ θ θ θ θ θ θ o en en o o en en o y y

23 { } [ ] { } globale eje T loale eje T [ ] T T {} [ ]{ } loale eje globale eje T [ ] T { } [ ]{ } T { } [ ] { } T T

24 Propiedad importante de la matriz de tranformaión T La matriz de tranformaión T e ortogonal: invera oinide on tranpeta T T T

25 elaión entre lo deplazamiento en lo etremo de barra, en eje loale, y lo mimo epreado en eje globale. y y y y θ θ

26 y y elaión entre lo deplazamiento en lo etremo de barra, en eje loale, y lo mimo epreado en eje globale. Vetor de deplazamiento nodale en eje loale Vetor de deplazamiento nodale en eje globale

27 { } [ ] { } globale eje T loale eje T [ ] T T {} [ ]{ } loale eje globale eje T [ ] T { } [ ] { } T T { } [ ]{ } T

28 { } [ ] T T {} eje loale eje globale { } [ ] T { } [ e ][ ] T { } eje loale T K T eje globale eje globale y, omo: { } [ T ]{ } {} [ ][ ] [ ] T T K e T { } eje globale eje globale ó: {} [ ][ ] [ ] T T K e T { }

29 [ ] [ ][ ] K e T K e [ T ] T eje globale eje loale { } [ ] e { } eje globale K eje globale eje globale [ e ] K eje globale iendo: EA L

30 EJEMPLO: L Número Área de barra A A A P L

31 4 6 GDL DEL ITEMA ETUCTUAL 5 NUDO HOIZONTAL () VETICAL () GDL CONEIONE BAA NUDO INICIAL NUDO INAL

32 erza y deplazamiento (*) en lo ndo de la etrtra epreado en eje globale,,,,,, (*) e etá realizando n planteamiento general en lo qe ige. i algna omponente de ferza o deplazamiento reltara er nla, poteriormente erá anlada.

33

34 Elemento Elemento Elemento elaión entre ferza y deplazamiento nodale en eje globale:

35 Elemento EPANIÓN DE LA ELACIONE ANTEIOE:

36 Elemento

37 Elemento

38 mando la eaione matriiale anteriore:

39 Eqilibrio de ndo:,,,,,,

40 ,,,,,,

41 P L L a) En relaión a la ferza eteriore (teniendo en enta la ligadra a qe e enentra ometida la etrtra):, pe no hay ferza eterior apliada en el ndo egún el eje. -P, qe e la ferza eterior apliada a la etrtra en ee ndo., pe el ndo no e enentra oaionado en la direión. Por tanto, del vetor de ferza ólo tenemo inógnita:,,

42 P L L b) En relaión a lo deplazamiento:, por enontrare impedido lo deplazamiento del ndo, por enontrare impedido el deplazamiento del ndo en la direión. En remen, lo deplazamiento inógnita del problema on, también, :,,.

43 P L L

44 P L L P

45 Vetor deplazamiento de la etrtra (en eje globale): P

46 a podríamo determinar la ferza qe atúan en lo etremo de toda y ada na de la barra de la etrtra: j j i i yj j yi i y la reaione:

47 Cállo de la deformaione de ada barra (en eje loale) ε ' L L ' L L [ ] [ ] {} eje loale ' ' ' ' [ ] T T {} eje globale y y

48 [ ] {} [ ]{} [ ] L L L ε globale eje globale eje

49 Cállo de la tenione y aile en ada elemento Tenión: σ Eε E L E L ( ' ' ) [ ]{} eje globale N Eferzo ail: EAε EA L EA L ( ' ' ) [ ]{} eje globale

50 Cómo enamblar diretamente la matriz de rigidez de la etrtra?

51 L L P

52 4 6 GDL DEL ITEMA ETUCTUAL 5 NUDO HOIZONTAL () VETICAL () GDL Coneione ó Inidenia BAA NUDO INICIAL NUDO INAL

53 d d d d d d d d 4 4 d d d d Elemento Elemento Elemento elaión entre ferza en ada gdl ( i ) y lo deplazamiento en ada gdl (d i ) en eje globale:

54 ENAMBLAJE DE LA MATIZ DE IGIDEZ 6 5 4

55 d d d d d d d d 4 4 d d d d Elemento Elemento Elemento Matrie de rigidez de lo elemento (en eje globale):

56 IMÉTICA - 6

57 4 5 6 / / / / / / / 4 5 IMÉTICA - / / 6 /

58 4 5 6 / / - / / / / / 4 5 IMÉTICA - / / 6 /

59 MATIZ DE IGIDEZ DE LA ETUCTUA

60 4 5 6 / / - / / / / / 4 IMÉTICA - 5 / / 6 /

61 ignifiado fíio de la matriz de rigidez

62 i onideramo, en general, na matriz de rigidez de la forma: K y la relaión arga-deplazamiento: d d d

63 La primera eaión e: d d d Eqilibrio de ferza en el ndo ignifiado de lo elemento de la olmna de la matriz K: Qé ede i d, d, d? Lo gdl y e mantienen in deplazamiento y el gdl fre n deplazamiento nidad en la direión de erza atando egún el gdl debido a n deplazamiento nidad del gdl erza atando egún el gdl debido a n deplazamiento nidad del gdl erza atando egún el gdl debido a n deplazamiento nidad del gdl De manera imilar e podría ver qé ignifiado fíio tienen lo otro término de la matriz de rigidez

64 En general: K ij erza atante en el gdl i debida a n deplazamiento nidad del gdl j manteniendo el reto de gdl del itema fijo