Optimización Resueltos

Transcripción

1 Optimizción de Funciones º Bcto Plntemiento resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito en cd esquin se doblrá. Cuál debe ser el ldo del cudrdito cortdo pr que el volumen de l cj resultnte se máimo? A prtir del enuncido puede seguirse el proceso que se detll continución:. Determinr el objetivo del problem: lo que h que hcer máim o mínim. En el ejemplo nterior el objetivo es que el volumen de l cj se máimo.. Epresr en form de función tl objetivo. L cj es un prism rectngulr: volumen áre de l bse por l ltur. Pr mejor comprensión conviene hcer un dibujo. Si se cort un cudrdito de ldo, el volumen de l cj obtenid será: V ( )( ) V 768. Los puntos máimos o mínimos se encuentrn, si eisten, entre ls soluciones de V 0. V Se obtienen,5, 8 08 (hemos simplificdo). Pr ver cuál de ellos es el máimo hcemos V sustituimos. Como V (,5) 0 V (,) 0, el máimo se d pr,5. Est es l solución buscd. Not: El vlor, no es posible, pues cm no d pr cortr dos trozos de tmño, cd uno. Noviembre de 05 P-

2 Optimizción de Funciones º Bcto PAJ05. Se dispone de un tel metálic de 00 metros de longitud pr vllr un región como l de l figur. Cuáles son los vlores de e que hcen que el áre encerrd se máim? (,5 puntos) Solución: Se trt de un problem de optimizción. Objetivo: que el áre de l figur se máim. L figur está formd por un triángulo equilátero de ldo por un rectángulo de ldos e. Áre del triángulo: A T. Vése l figur. L ltur del triángulo es: h Áre del rectángulo: A R Áre totl: A Condición: perímetro de l figur 00 m 00 + Sustituendo en l epresión nterior, se tiene: 50 A( ) 50 Est función lcnz el máimo en ls soluciones de A () 0 que hcen negtiv A (). 6 A ( ) (6 6 ) 6 Como A ( ) 0, pr ese vlor hlldo se tendrá el máimo buscdo. 50(6 ) El vlor de será: 50. Noviembre de 05 P-

3 Optimizción de Funciones º Bcto. Se dispone de un tel metálic de 00 metros de longitud pr vllr un región rectngulr. Cuáles son los vlores de e, dimensiones del rectángulo, que hcen que el áre del romboide, formdo por l unión de los puntos medios de los ldos, se máim? (,5 puntos) Solución: Se trt de un problem de optimizción. Objetivo: que el áre del romboide se máim. Su áre es l mitd que l del rectángulo. Por tnto: Áre del romboide: A R. Condición: perímetro del rectángulo 00 m 00 + Sustituendo en l epresión nterior, se tiene: 50 A( ) 5 Est función lcnz el máimo en ls soluciones de A () 0 que hcen negtiv A (). A ( ) Como A ( ) 0, pr ese vlor hlldo se tendrá el máimo buscdo. El vlor de será: 5. Por tnto, tnto el rectángulo como el romboide son cudrdos. El rectángulo tendrá ldo 5; el romboide será un cudrdo de ldo 5. Noviembre de 05 P-

4 Optimizción de Funciones º Bcto. Consider l función f ( ) un punto de su gráfic, M, situdo en el primer cudrnte ( 0, 0). Si por el punto M se trzn prlels los ejes de coordends, su intersección con OX OY determin dos puntos, A B, respectivmente. ) Hz un gráfic de los elementos del problem. b) Hll ls coordends del punto M que hce que el rectángulo OAMB teng áre máim. Solución: ) L curv es un prábol. Puede representrse dndo vlores. L situción es l siguiente. b) Si el punto M (, ), ls coordends de A B son: A (, 0) B (0, ). El áre del rectángulo será: S Como, sustituendo se tiene: S( ) ( ) El máimo de S() se d en ls soluciones de S () 0 que hgn negtiv S (). S ( ) 0 (est últim no vle) Como S ( ) 6, se tiene que S () 6 < 0; luego pr ese vlor de se tendrá l superficie máim. Por tnto M (, ). Noviembre de 05 P-

5 Optimizción de Funciones º Bcto. Un imprent recibe el encrgo de diseñr un crtel con ls siguientes crcterístics: l zon impres debe ocupr 00 cm, el mrgen superior debe medir cm, el inferior cm, los márgenes lterles cm cd uno. Clcul ls dimensiones que debe tener el crtel de modo que se utilice l menor cntidd de ppel posible. Solución: Si ls dimensiones de l prte impres son por, el crtel será como el que dibujmos. L cntidd de ppel que se necesit, que se dese que se mínim, es: S ( + 8) ( + 5) Con l condición de que 00 00/ Sustituendo en S, qued: S ( ) ( 8) 5 S ( ) 5 0 Est función es mínim en ls soluciones de S 0 que hcen positiv S. 800 S ( ) S ( ) S () ,5 0 0 Como pr ese vlor S es positiv se tiene l solución mínim buscd. Ls dimensiones del crtel deben ser: ncho: lto: 5 5,5 0 Noviembre de 05 P-5

6 Optimizción de Funciones º Bcto 5. De todos los prisms rectos de bse cudrd tles que el perímetro de un cr lterl es de 0 cm, hll ls dimensiones del que tiene volumen máimo. Solución: Si es el ldo de l bse e l ltur del prism, el volumen será V. Est es l función que se dese hcer máim. Se sbe que Luego V( ) (5 ) 5 El máimo de V se d en l solución de V 0 que hce negtiv V. V ( ) 0 (0 ) ; V ( ) 0 6 L derivd se nul pr 0 0. Como V (!0) 0 < 0, pr ese vlor se tiene el máimo buscdo. Ls dimensiones serán 0 0 5; el volumen 500 cm. Noviembre de 05 P-6

7 Optimizción de Funciones º Bcto 6. De todos los rectángulos de digonl 6, encontrr ls dimensiones del de perímetro máimo. Solución: Los rectángulos son de l form Su perímetro es P +, siendo l relción entre los ldos 6. Despejndo ( 7 ) sustituendo en P qued: P( ) 7 El máimo de P se obtiene en ls soluciones de P () que hcen negtiv P (). ( ) P ( ) En vez de hcer P (), porque result engorros, podemos estudir el signo de P () izquierd derech de 6. Así, si < 6, P () > 0 P() es creciente. si > 6, P () < 0 P() es decreciente Como l función crece l izquierd de 6 decrece su derech, pr 6 se d el máimo de P(). Si el ldo 6, el otro ldo vle tmbién 6. Así pues, se trt de un cudrdo de ldo 6. Noviembre de 05 P-7

8 Optimizción de Funciones º Bcto 7. Clculr l bse l ltur de un triángulo isósceles de perímetro 8 áre máim. Solución: Se el triángulo de l figur. Su perímetro vle Por Pitágors: h h 8 Sustituendo el vlor de 6 6 h 6 h El áre del triángulo es A. 6 Sustituendo h por su vlor, A( ) Pr que A se máim: A () 0 A () < 0: 8 A ( ) , 8/ En vez de clculr l derivd segund, que result mu engorroso, estudimos el crecimiento el decrecimiento de A(). Pr < 0 no tiene sentido ver el signo de A. Pr 0 < < 8/, A () > 0 A() crece. Pr > 8/, A () < 0 A() decrece. Como l función crece l izquierd de 8/ decrece su derech, en 8/ se d el máimo. Por tnto, l bse pedid es 8/, mientrs que l ltur vldrá h 6 (8/ ) Noviembre de 05 P-8

9 Optimizción de Funciones º Bcto 8. El perímetro de l ventn del dibujo mide 6 metros. Los dos ldos superiores formn entre sí un ángulo de 90º. Clcul l longitud de los ldos b pr que el áre de l ventn se máim. Solución: Suponemos que los dos ldos superiores son igules (el enuncido no lo dice, pero sí lo sugiere l figur). Si su medid es se tendrá: Por Pitágors: b b b El perímetro es: b 6 b 6 6 b( ) El áre de l ventn es l sum del áre de l sección rectngulr más l de l sección tringulr: 6 b( ) b A b b Pr que A se máim: A 0; A < 0. b ( A( b) ) b Si ( ) b 6 A ( b) 0 b ( ) A ( b) 0 luego, pr el vlor de b hlldo se tiene el máimo de A. 6( ) 6 6 b Noviembre de 05 P-9

10 Optimizción de Funciones º Bcto 9. Tenemos que hcer dos chps cudrds de dos distintos mteriles. Los dos mteriles tienen precios respectivmente de euros por centímetro cudrdo. Cómo henos de elegir los ldos de los cudrdos si queremos que el coste totl se mínimo si demás nos piden que l sum de los perímetros de los dos cudrdos h de ser de un metro? (,5 puntos) Solución: Sen los cudrdos siguientes: Perímetro + 00 cm Superficie + Coste + Despejndo en l ecución del perímetro: 00 5 Sustituimos en l epresión del coste: C( ) (5 ) C ( ) El coste será mínimo en l solución de C () 0 que hg positiv C (). C ( ) Como C () 0 > 0, pr ese vlor de 5 se obtiene el mínimo buscdo. Por tnto, los ldos deben ser de 5 cm de cm. Noviembre de 05 P-0

11 Optimizción de Funciones º Bcto 0. Descomponer el número e en dos sumndos positivos de form que l sum de los logritmos neperinos de los sumndos se máim (,5 puntos). Clculr dich sum ( punto) Solución: Sen los sumndos e : Se dese que S() ln + ln(e ) se máim. El máimo se d en ls soluciones de S () 0 que hcen negtiv S (). e S ( ) 0 0 e ( e ) ( e ) e 0 e Como S ( ) es sum de dos números negtivos, S () < 0 pr culquier ( e ) e vlor de ; en consecuenci, pr se tendrá el máimo buscdo. L sum pedid es: e e e S ln ln ln (ln e ln ) ln Noviembre de 05 P-

12 Optimizción de Funciones º Bcto. Con 60 centímetros de lmbre se construen dos triángulos equiláteros cuos ldos miden e. Qué vlores de e hcen que l sum de ls áres de los triángulos se mínim. (,5 puntos) Solución: L ltur del triángulo de ldo es: h, l del triángulo de ldo es, h Se cumple que Se dese que S S se mínim. S ( ) Sustituendo 0, se tiene: S ( (0 ) ) ( 0 00) Pr que S se mínim: S 0 S > 0: S ( 0) 0 0 Como S 0, pr ese vlor de 0 se tiene el mínimo buscdo. En consecuenci, los ldos será 0 e 0; o se, dos triángulos equiláteros igules. Noviembre de 05 P-

13 Optimizción de Funciones º Bcto. Epres el número 60 como sum de tres números positivos de form que el segundo se doble del primero. Si el producto de los tres es máimo, determin el vlor de dicho producto. Solución: Sen,, z los números. Se sbe que ; que + + z 60 + z 60 z 60 El producto de los tres números es: P z (60 ) El producto en función de es: P() Este producto es máimo en los vlores de que cumplen que P () 0 P () > 0 P () ( + 0) 0 0; 0/. Como P () se tiene que P (0/) 0 < 0. Por tnto, el producto será máimo cundo 0/. Los otros dos números son 80/; z El producto máimo es P 0 7, Noviembre de 05 P-

14 Optimizción de Funciones º Bcto. Se dese construir un prlelepípedo rectngulr de 9 litros de volumen tl que un ldo de l bse se doble que el otro. Determinr ls longitudes de sus ldos pr que el áre totl de sus 6 crs se mínim. Solución: Si su ltur es h, el volumen de este prlelepípedo vle: V h h El áre totl de sus 6 crs es: A ( ) + ( h) + ( h) A + 6h Como V h 9 Sustituendo en A: A( ) 7 h 9 Est función es mínim en ls soluciones de A 0 que hcen positiv A. 7 A ( ) Como 5 A ( ) 8 > 0 pr todo > 0, pr se tiene l solución mínim. Por tnto, el ldo más lrgo vldrá, l ltur h 9 (/ ) Noviembre de 05 P-

15 Optimizción de Funciones º Bcto. Dd l función f ( ) se pide: ) ( punto). Hllr l ecución de l rect tngente su gráfic en el punto (, f ( )) pr > 0. b) ( punto). Hllr los puntos de corte de l rect tngente hlld en el prtdo ) con los dos ejes coordendos. c) ( punto). Hllr el vlor de > 0 que hce que l distnci entre los dos puntos hlldos se mínim. Solución: ) L ecución de l rect tngente f() en el punto (, f ( )) es: f ( ) f ( )( ) En este cso: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Se tendrá: ( ) b) Corte con eje OY, (se hce 0). Punto 0,. Corte con eje OX, (l 0) 0. c) L distnci entre los dos puntos de corte es: d (). Punto,0 D. Est distnci será mínim cundo lo se su cudrdo, d. El vlor mínimo se d en ls soluciones de D 0 que hgn D > 0. (Derivmos con respecto.) 8 D (l solución se descrt) Como D 8 > 0, pr se drá el vlor mínimo. Noviembre de 05 P-5

16 Optimizción de Funciones º Bcto Un observdor se encuentr frente un cudro colgdo de un pred verticl. El borde inferior del cudro está situdo un distnci sobre el nivel de los ojos del observdor, el borde superior un distnci b. A qué distnci de l pred debe siturse el observdor pr que el ángulo bjo el que ve el cudro se el máimo? b α β b tg ( α + β ) ; tgα + tgβ tgα. tgβ b puesto que tg β, result: b ( tg α + ) ( tgα. ) b ; tgα ( + ) b ; ( b ) tgα + b ( b ) α rctg ; como lo que h que mimizr es α tenemos l función + b derivr pr clculr el etremo. Derivndo se obtiene: dα d ( b )( + b) ( + b) ( b ) + + b ( b ) 0; de donde ( b )( + b) 0 ± b que en nuestro cso solo nos servirá l solución positiv, es decir b que lo estudimos en el dominio de l función que es R. 0 b L derivd en 0 es positiv pues viene determind por el signo de l epresión b(b-) que es positiv tod vez que b> mbos son positivos. L derivd en b es negtiv pues viene determind por el signo de l epresión b-(b) < 0. H un máimo. b A prtir de este momento no volveremos comprobr si el vlor que nul l derivd determin un máimo o un mínimo slvo que h necesidd de discernir. Dmos por hecho l optimizción estblecid en el enuncido del problem. Noviembre de 05 P-6

17 Optimizción de Funciones º Bcto Determinr l rzón entre el rdio de l bse l ltur de un cilindro que, con el volumen ddo, teng l superficie totl mínim. r V V πr h ; h πr h S T π rh + πr S T V r + πr Si l superficie totl h de ser mínim, l derivd respecto l rdio se nul en dicho mínimo, es decir: V V V + π r 0 de donde, r h por tnto l relción entre r π V π π r el rdio l ltur es h Hllr el áre totl máim de un cilindro inscrito en un esfer de rdio R. r R A πr + πr, R + r R r A π en r: π r + r R r ; derivndo e igulndo 0, se obtiene l ecución bicudrd 5r - 5R r + R 0, de donde r 5 ± 5 R 0 Obtenemos pr r dos posibles soluciones r R 0 Noviembre de 05 P-7

18 Optimizción de Funciones º Bcto 5 5 r R, cuos respectivos vlores de son 0 R R Vemos entonces cuánto vle el áre lterl en mbos csos: En el primer cso el áre vle: π R ( + 5) En el segundo cso el áre vle: π R ( + 5) que es inferior l nterior. Por tnto l 5 solución es: πr ( + 5) L fábric A debe unirse medinte un crreter con un líne férre rectilíne en l que se encuentr el pobldo B. L distnci AC desde l fábric hst el ferrocrril es igul, en tnto que l distnci BC por el ferrocrril es igul b. El costo del trnsporte de ls mercncís por l crreter es k veces (k>) mor que por el ferrocrril. En que punto D del segmento BC h que trzr l crreter desde l fábric pr que el costo del trnsporte de ls mercncís desde l fábric A hst el pobldo B se el mínimo? A b- B D C Si supongo que el precio por unidd de distnci por tren es, por crreter es k. Por tnto l función coste es: k. + b- Ahor bien +, por tnto l función coste es: C( ) k + + b Noviembre de 05 P-8

19 Optimizción de Funciones º Bcto k C '( ) ; C () 0 implic + k por tnto el punto D h de estr del pueblo B un distnci por l líne del ferrocrril igul b- k A 0 Km de tu cs te cuerds que te hs dejdo el gu corriendo, lo que te cuest 0 pts. l hor. Volver cs un velocidd constnte de Km/h te cuest en combustible 9+(/0) pts. el Km. ) Cuánto te cuest volver cs km/h (en combustible)? b) Cuánto tiempo trds en llegr cs si vijs es velocidd? c) Cuánto te cuest el consumo de gu mientrs regress cs? d) A qué velocidd debes regresr cs pr que el coste totl de consumo de gu combustible se mínimo. SOLUCION: ) 0 [9+(/0)] 90 + pesets. b) t 0/ hors c) 00/ pesets d) 00/ h de ser minimo; derivndo -00/ + 0 : de donde 0 Km/h Un fábric situd Km. de l orill de un río rectilíneo, h de trnsportr sus producto un ciudd situd en l orill del río 80 Km del punto de éste más próimo de l fábric. El trnsporte de mercncís en cmión cuest 0 pts por toneld km el trnsporte en gbrr por el río cuest 50 pts. por toneld km. En qué punto de l orill se deberí crgr l mercncí en gbrrs pr que el coste totl del trnsporte se mínimo? ; + Coste 0. 5 Km (80-) ; derivndo se obtiene Noviembre de 05 P-9

20 Optimizción de Funciones º Bcto De un chp redond de hojlt se cort un sector circulr que se enroll en form de un embudo cónico. Cuál debe ser el ángulo del sector pr que el embudo teng el volumen máimo? R El perímetro de l bse del cono es πr-r R(π) ddo que su vez es πr, result que: R r R( π ) π l ltur del cono es R r r R(π ) Así pues el volumen es V π. R r, sustituendo r por su vlor π en función de, derivndo respecto e igulndo 0 se obtiene que π 6 por tnto el ángulo que determin el vso cónico es π Noviembre de 05 P-0

21 Optimizción de Funciones º Bcto Un grnjero compr un terner de 70 Kg por 8000 pts. Alimentr l niml cuest 5 pts l dí l terner ument de peso 0,5 Kg cd dí. Por otro ldo, cd dí que ps, el vlor del niml en el mercdo disminue, de modo que el vlor l cbo de t dís, dependiendo del peso del niml es (00-(t/8)) pts por Kilo. Clculr: ) Peso de l terner l cbo de t dís b) Vlor totl de l terner en el mercdo l cbo de t dís. c) Coste totl invertido en esos t dís, incluendo l compr l limentción. d) Gnnci obtenid por el grnjero si vende l terner los t dís (l gnnci será el vlor de l terner en ese instnte menos los costes invertidos) e) Cuándo deben vender l terner pr obtener l máim gnnci? ) ,5t b) (00-(t/8))( ,5t) c) t d) (00-(t/8))( ,5t) - ( t) e) Derivndo l epresión d) e igulndo 0, result t 0 dís. Entre todos los rectángulos que tienen el áre dd S, hllen quel que: ) teng el menor perímetro; ) teng l menor digonl: ) Sen e l ltur bse respectivmente del rectángulo.. S; de donde S/ ( + S) S El perímetro P (+), cu derivd es: result l únic solución posible S por tnto S, e igulndo 0, L solución es un cudrdo de ldo S ) L menor digonl: d + S + derivndo e igulndo 0, result: S S por tnto Noviembre de 05 P-

22 Optimizción de Funciones º Bcto Hllr l mor áre del rectángulo inscrito en un círculo de rdio R Sen l bse ltur respectivmente del rectángulo. Obtenemos l relción: R +, de donde R. El Are es entonces Derivndo e igulndo 0 se obtiene: A R R - 0, por tnto R R, Hllr en l hipérbol el punto más próimo l punto (, 0) Se (, ) el punto buscdo. H que hcer l distnci (, 0) mínim, es decir ( ) ; sbemos que d +, con lo que + 6 d, derivndo d e igulndo 0, result 6-0, de donde, por tnto ±. Los puntos buscdos son (,) (,-) Hllr en l prábol el punto más próimo l punto (, /) Igul que en ejercicio nterior result l ecución ( ) + ( ). 0; 0, de donde, Solución: (,) d ( ) + ( ), derivndo e igulndo 0, Noviembre de 05 P-

23 Optimizción de Funciones º Bcto Hllr el áre máim de un rectángulo cuos dos vértices cen en los ejes X e Y de un sistem crtesino de coordends, el tercero en el punto (0,0) el curto está en l prábol El re es (- ), cu derivd es -, igulndo 0, ±. Solo nos vle l solución positiv. El áre máim es. Hllr l pendiente de l rect que ps por el punto A(,) que cort l primer cudrnte de coordends en el triángul de áre mínim. ( + )( + b) El áre del triángulo es A, hor bien, los triángulos BP PA son semejntes, por tnto b/ /. Sustituendo por /b en l ecución del áre, result + b + b que A, derivndo e igulndo 0, result b - 8 0, por lo que b, en consecuenci l pendiente de l rect m + n que ps por (,) por (,0) es -. puesto que es el vlor de m l resolver el sistem m+n 0m+n Hllr l longitud del ldo del trpecio que teng el perímetro mínimo entre todos los trpecios isósceles con áre prefijd S ángulo α entre el ldo l bse inferior. En el desrrollo del problem sustituiremos el ángulo por α l ltur es.sen α L bse menor es. L bse mor es +.cos α Perímetro ( + +.cos α) El áre de un trpecio es l semisum de ls bses por l ltur: Noviembre de 05 P-

24 Optimizción de Funciones º Bcto ( + +.cosα) S. senα senα +.cosα. senα, de donde S cosα. senα, sustituendo en l fórmul del perímetro se obtiene: senα S cosα. senα S + senα S P ( + +.cos α) + senα senα senα Derivndo P, se obtiene S + senα 0, de donde S senα Por el punto (, /) se trzn rects que cortn los semiejes positivos en los puntos B C. Hllr l ecución de quell rect pr l que el segmento BC tiene l longitud mínim. L distnci entre B C viene dd por d ( + b) + ( c + ) Observemos que por semejnz de triángulos c/ /b, de donde c /b tenemos: d ( + b) + + ( b ) Sustituendo en l epresión de l distnci, si derivmos e igulmos 0 llegmos l epresión: ( + b ) + ( + )( ) 0, simplificndo se obtiene l ecución b b 8b + 6b -b - 0 que por Ruffini se descompone en (b+)(8b -) 0. L solución b- no es válid por tnto l solución es b / c. L ecución de l rect pedid es o + 5 Hllr los ángulos gudos del triángulo rectángulo que tiene el áre máim entre todos los triángulos en los que l sum de ls longitudes de uno de los ctetos l hipotenus es constnte. Se un cteto (bse del triángulo) e l hipotenus. El otro cteto, por el teorem de Pitágors es. El re es A. Como + k, k-, de donde Noviembre de 05 P-

25 Optimizción de Funciones º Bcto ( k ) k k A ; Derivndo e igulndo 0, se obtiene: k 6k 0; k( k ) 0; e α 60º β0º. k k, cos α / /. Por tnto Determinr los ángángulos del triángulo ABC de áre máim, si se d l longitud de su bse BC sbemos que el ángulo BAC vle Se obtiene entonces: En l resolución del problem sustituiremos el vlor del ángulo por α los 80º los epresmos en rdines por π Si descomponemos el triángulo en los dos triángulos rectángulos de l figur, obtenemos que los ctetos que conformn sus bses se obtienen del cálculo de ls tngentes de de l tngente de π-(α+). c tg +, hor bien tg (π-(α+)) - tg (α+), sí pues: tg( π ( α + )) c tg ; de donde tg( α + ) c tg tg( α + ) L función mimizr, el áre del triángulo, es: c A. tg tg( α + ) ecución:, si derivmos respecto de e igulmos 0, llegmos l tg ± tg( α + ) Dos csos: Si tg tg( α + ), entonces α + π +. Solución no válid pues α π Si tg tg( α + ), entonces tenemos que α + π -, de donde el ángulo buscdo π α π α es por tnto el tercero es Noviembre de 05 P-5

26 Optimizción de Funciones º Bcto Determinr los ldos del rectángulo de áre máim inscrit en l elipse: + de form que los ldos b del rectángulo sen prlelos los ejes de l elipse. Se, l mitd de l bse e l mitd de l ltur. Despejndo de l ecución de l elipse se tiene: b. El áre del rectángulo es., es decir b, derivndo respecto e igulndo 0, se obtiene l ecución: b - 0, de donde 0 (No vle) rectángulo es b l ltur es b b, de donde l bse del Clculr el áre máim del trpecio inscrito en un semicírculo de rdio R, de form que l bse inferior del trpecio se el diámetro del semicírculo. ( + R) R A ( + R) ( R ), derivndo respecto de e igulndo 0, llegmos que R/. e Por tnto el áre pedid es: R R Noviembre de 05 P-6

27 Optimizción de Funciones º Bcto L sección de un túnel tiene l form de un rectángulo que termin en un semicírculo. Determinr el rdio del semicírculo con el que el áre de l sección será l máim si el perímetro de l sección es igul p. Si llmmos l rdio del semicírculo e l ltur del rectángulo, el perímetro p + + π, El áre de l sección es A + π / De l primer ecución tenemos que (p-- π)/ Por lo que el áre qued en función de del siguiente modo: A p- -π /; derivndo respecto de e igulndo 0 se obtiene: p - - π 0, de donde p/(π+) Por qué punto de l elipse + se debe trzr un tngente de form que b se l mínim el áre del triángulo formdo por est tngente los semiejes positivos O O? Se l rect tngente m + n Por tnto A (0,n) B (-n/m, 0) El áre del triángulo es -n /m Pr obtener l relción eistente entre m n prtimos del hecho de que l rect es tngente, es decir que solmente tiene un único punto de corte con l elipse, por lo que l resolver el sistem de mbs ecuciones obtenemos un ecución de segundo grdo en cuo discriminnte tiene que ser 0, de donde se obtiene que n m + b ; sustituendo en l epresión del áre, result: m b A, derivndo respecto de m e igulndo 0 tenemos que: m b m ; n b. De este modo he obtenido l rect tngente que v hcer mínim b el áre del triángulo que es + b Como me piden el punto P, hemos de resolver el sistem formdo por ls ecuciones de l elipse de l rect, obteniendo de dicho sistem que b ; que son ls coordends respectivmente del punto P. Noviembre de 05 P-7

28 Optimizción de Funciones º Bcto Un hoj de crtón tiene l form de un rectángulo con ldos b. Cortndo por sus ángulos cudrdos doblndo ls prtes sobreslientes de l figur cruciforme, obtenemos un cj biert por rrib, cu ltur es igul l ldo del cudrdo. Cuál debe ser el ldo del cudrdo pr que el volumen de l cj se el máimo? Volumen de l cj es V (-).(b-). Derivndo respecto de, otenemos -(b-)-(-). + (-)(b-) 0 -(+b) + b 0 + b ( 6 + b b Hllr l ltur de un prism regulr tringulr de volumen máimo inscrito en un esfer de rdio R. En primer lugr un prism regulr tringulr es quel cus bses son sendos triángulos equiláteros ls rists que determinn l ltur son perpendiculres ls bses. Se el ldo del triángulo. Se l mitd de l ltur. Obtenemos l siguiente figur: Vmos verigur el cteto del triángulo rectángulo (rojo) cuo otro cteto e hipotenus respectivmente son, R. Vemos el triángulo que conform l bse: Como el triángulo es / equilátero, l situción es l de l figur. Por tnto cos0º, de donde c c Por tnto l relción entre ls dos vribles e, endo l primer figur (triángulo rectángulo rojo) es + c R, o lo que es lo mismo + R Como el volumen del prism es Are de l bse por l ltur. Tenemos: V.. Sustituendo por su vlor obtenido en l relción nterior, result que V (R ), derivndo e igulndo 0 R - 9 0, de donde: R R, por tnto l ltur del prism que hce el volumen máimo es Noviembre de 05 P-8

29 Optimizción de Funciones º Bcto Un círculo de rdio R está dividido en dos segmentos con l rect l lejd del centro del círculo un distnci h. Entre todos los rectángulos inscritos en el menor de dichos segmentos, hllr el de áre máim. El áre del rectángulo es. L relción entre e es: R + (h+) Despejndo R h + ( ) El áre es entonces R ( h + ) derivndo e igulndo 0, se obtiene l ecución de segundo grdo siguiente: + 6h + (h -R h + h + 8R ) 0, cu solución es que es l ltur del rectángulo inscrito de áre máim, por tnto l distnci del centro l ldo del rectángulo prlelo l rect l es h + + h h + R Hllr el volumen máimo de un cilindro cuo perímetro en su sección il es. Así pues, el volumen pedido es π / 6 8 L sección il es el rectángulo coloredo, cuo perímetro es R +, de donde (-R)/. El volumen del círculo es: V πr.; es decir V (πr -πr )/, derivndo e igulndo 0 se obtiene: πr - πr 0; R 0 (No vle) R /6. por tnto /6 Clculr el volumen de un cilindro cu áre totl es S. Sirviéndonos de l figur nterior, se R el rdio de l bse e l ltur. S πr + πr. Por tnto (S-πR )/ πr El volumen es V πr. (SR-πR )/, derivndo e igulndo 0: S - 6πR 0 de donde R S S S S/6π.. El volumen pedido es V 6π 6π Un lt de conservs tiene form cilíndric. Hllr ls dimensiones más ventjoss de l lt, es decir determinr l relción entre el dimetro de l bse l ltur del cilindro con l que teng el volumen máimo con l superficie totl prefijd. Sirviéndonos de l figur nterior, se R el rdio de l bse e l ltur. S πr + πr. Por tnto (S-πR )/ πr El volumen es V πr. (SR-πR )/, derivndo e igulndo 0: S - 6πR 0 Noviembre de 05 P-9

30 Optimizción de Funciones º Bcto S de donde R S 6π S/6π.. l relción pedid es R/ 6π S 6π Result que diámetro de l bse ltur hn de tener el mismo vlor. Cómo debe ser un clder constituid por un cilindro remtdo en dos semiesfers, con ls predes del grosor prefijdo, pr que l cpcidd prefijd v pr su construcción se emplee l cntidd mínim de mteril? Buscremos sus dimensiones r h. El volumen prefijdo es: v π r +υ π r + π r h ; de donde h υ - r + π r π r Y h que minimizr l superficie totl que es: S π r + π rh, sustituendo h por l epresión nterior 8 υ S π r derivndo respecto de r e igulndo 0, r υ obtenemos que r h 0. Con lo que l clder tiene que ser un esfer de π υ rdio π Determinr l rzón entre el rdio de l bse l ltur de un cilindro que, con el volumen ddo, teng l superficie totl mínim. V πr h, de donde h V/πr. S πr + πrh, sustituendo h en l últim epresión result que S (πr + V/r), V V derivndo respecto r e igulndo 0, result que r, siendo h π V π ( ) π Si psmos todo potencis frccionris result: r h V (π ) V (π ) π V V π (π ) Noviembre de 05 P-0

31 Optimizción de Funciones º Bcto Recordemos: V πr h/ PROBLEMAS CON CONOS: Are lterl πrg (g es l genertriz, r el rdio de l bse h es l ltur) Hllr l ltur del cono de volumen máimo, inscrito en un esfer de rdio R. V π (+R)/ R - π ( R )( + R) V derivndo respecto de e igulndo 0, obtenemos l ecución: -(+R) + R - 0 ; - - R + R 0 de donde R/, por tnto l ltur pedid es R + R/ R/ Hllr l ltur del cono de volumen mínimo circunscrito en un esfer de rdio R. Los triángulos OPC OAB son semejntes pues tienen un ángulo común O un ángulo recto en P A respectivmente. Por tnto tenemos l siguiente relción de semejnz: + R + ( + R), elevndo l cudrdo: R ( + R) + ( + R) ( + R) ( + R) ; R R R ( R). El volumen del cono es V π ( + R) por tnto + R ( + R) V π, derivndo respecto de e igulndo 0, obtenemos R. Por tnto l ltur del cono pedid es R. ; Noviembre de 05 P-

32 Optimizción de Funciones º Bcto En un cono, en el que el rdio de l bse es igul R l ltur H, está inscrito el cilindro de volumen máimo. Hllr el rdio de l bse l ltur de dicho cilindro. Los triángulos OCA ADB son obvimente semejntes de donde se obtiene l relción de semejnz siguiente: H H, despejndo result: ; R R H ( R ) H- El volumen del cilindro es: R cilindro, es decir H- es H/ V π π H ( R ) (H-), derivndo respecto de e R igulndo 0, result que R/ l ltur del Hllr el áre lterl mínim de un cono de volumen V Se g l genertriz del cono, h l ltur r el rdio de l bse. Sbemos que V π r h / el áre lterl es π r g. Ahor bien, g r + h Por lo que el áre lterl se trnsform en π. r. r + h π. r + h r Ddo que h V/π r, el áre lterl en función del Volumen ddo de l vrible r: A L r 9V π r + π. r 6, derivndo con respecto r e igulndo 0 obtenemos: 9V, por tnto el áre lterl mínim es π π simplificndo es epresión, el resultdo es: V V 6 +, π π 6 8V π 7 6 πv Hllr el volumen máimo de un cono con l genertriz l dd. V π r h / l r + h l r + h V π (l - h ).h / ; derivndo respecto de h e igulndo 0, h Así pues el volumen pedido es π l 7 l l r Noviembre de 05 P-

33 Optimizción de Funciones º Bcto Hllr el volumen mínimo de un cono circunscrito un semiesfer de rdio R (se supone que ls bses de l semiesfer del cono están en un mismo plno son concéntrics). Despejndo de es relción se obtiene que Los triángulos rectángulos APB ABC son semejntes pues tienen los tres ángulos igules. Obteniendo l siguiente relción de semejnz: R + R R El volumen del cono es V π Rπ R cu derivd es: Rπ. R 9( R R ). Rπ 0, 9Rπ ( - R ) - πr 0; 6πR - 9πR 0; Rπ ( -R ) 0. de donde R por tnto R. Por tnto el volumen es. π R Consideremos un hz de rects que psn por el punto M(,b), donde >0 b>0, que cortn los semiejes positivos OX OY. Hllen l longitud mínim del segmento PQ, donde P Q son los puntos de intersección de un rect del hz con los semiejes positivos. L función que h que minimizr es l distnci entre P Q que es: ( + ) + ( b + ) L relción entre e viene dd por l semejnz de los triángulos rectángulos de hipotenuss PM MQ, es decir: L función distnci es: b b, de donde b ( + + ) + ( b ), derivndo e igulndo 0 tenemos: Noviembre de 05 P-

34 Optimizción de Funciones º Bcto b b ( + ) + ( b + )( ) 0, se sigue: (+)( - b ) 0. b b b. L distnci pedid es: b ( + ( b ) + ( + b b ) Un piedr h sido lnzd velocidd inicil prefijd v bjo el ángulo respecto l horizonte. Desprecindo l resistenci del ire, determinr con qué ángulo, l distnci de vuelo de l piedr será l máim. L distnci máim se lcnz en el vlor de v cos. t, cundo 0 es decir v.sen. t t 0. de donde t 0 (l piedr no h recorrido ningún espcio) t vsen. Por tnto h de ser máim l función v cos. v. sen v sen. Derivndo respecto de e igulndo 0, tenemos: v cos 0, de donde cos 0 ; π/; π/ Con el fin de reducir el rozmiento del liquido por ls predes de un cnl, el áre que el gu humedece debe ser l menor posible. Demostrr que l mejor form de un cnl bierto rectngulr con el re de l sección trnsversl prefijd, es tl que, con ell, l nchur del cnl es dos veces mor que su ltur. Se A el re de l sección trnsversl, esto es b A de donde A/b L superficie de rozmiento del gu es: S + b ( que hemos tomdo como longitud del cnl ) Sustituendo, result que S (A + b )/b, derivndo respecto de b e igulndo 0, result b - A - b A A A 0, de donde b A, quedndo A demostrdo que l nchur () es doble que l ltur (b). Noviembre de 05 P-

35 Optimizción de Funciones º Bcto De un tronco redondo se cort un vig de sección trnsversl rectngulr. Considerndo que l resistenci de l vig es proporcionl h, donde es l bse h l ltur del rectángulo, hllr l rzón h/ con l que l vig tendrá resistenci máim. Considermos el diámetro del tronco igul (L relción será l mism independientemente del diámetro del tronco) h +, h - R k..h, siendo k l constnte de proporcionlidd. - 0, de donde R k( - ), derivndo respecto de e igulndo 0, tenemos 6 h h, de donde Un recipiente con pred verticl de ltur h se encuentr sobre un plno horizontl. De un orificio en l pred del recipiente flue un chorro. Determinr l posición del orificio con l que el lcnce del chorro será el máimo si l velocidd del líquido que flue es igul g, donde es l profundidd del orificio (Le de Torricelli) h gt, de donde t g El espcio recorrido en sentido horizontl es gt Mientrs que en sentido verticl es un cíd libre, es decir gt El chorro lleg l suelo cundo en verticl h recorrido h-, es decir: ( h), en consecuenci el espcio recorrido en sentido ( h) horizontl totl es g. h, derivndo respecto de e igulndo 0 g llegmos l ecución - h 0, de donde h/, es decir que el gujero debe encontrrse en medio del recipiente. Noviembre de 05 P-5

36 Optimizción de Funciones º Bcto Hllr l longitud mínim del segmento que divide l triángulo equilátero de ldo en dos figurs de áres igules El áre del triángulo equilátero de ldo es, puesto que l bse es l ltur. Por tnto, si el segmento d divide l triángulo en dos figurs de igul áre, el áre del triángulo que qued determindo en l prte inferior es 8 Teniendo en cuent que HB /tg 60, tenemos: ( + ), despejndo de est relción, result 8 Por otr prte l función que h que minimizr es d + epresión nterior result: d, sustituendo por l + ( ), derivndo respecto de e igulndo 0, llegmos l ecución simplificd: , de donde Sustituendo en el vlor de d, obtenemos que l longitud mínim del segmento que divide l triángulo en dos áres igules es d Un foco cuelg sobre el centro de un mes redond de rdio r. A qué ltur de l mes debe estr el foco pr que l iluminción de un objeto que se encuentre en el borde de l mes se l mejor posible? (L iluminción es directmente proporcionl l coseno del ángulo de incidenci de los ros luminosos e inversmente proporcionl l cudrdo de l distnci l foco de luz) i.cos Se I donde i es l intensidd de luz, el d ángulo de incidenci de l distnci del foco l objeto ilumindo en el borde de l mes. Puesto que d +r r/tg. Tenemos que i.cos i.cos. sen I, derivndo respecto r ( + cot g r de e igulndo 0, result l ecución trigonométric: Noviembre de 05 P-6

37 Optimizción de Funciones º Bcto sen (cos sen ) 0 de donde sen0 lo descrtmos por ser 0. por tnto resolvemos el otro fctor obteniendo.cos - sen 0 entonces tg, de donde tg Pero sbemos que tg r/, por tnto r De un tronco redondo de diámetro d se debe cortr un vig de sección rectngulr. Cuáles deben ser ls dimensiones de dich vig pr que est teng un resistenci l fleión máim, sbiendo que l resistenci l fleión es proporcionl l producto de l nchur por el cudrdo de l ltur de l sección. R k..h, puesto que d h + R k. (d - ) kd - k. Derivndo respecto de e igulndo 0 obtenemos kd - k 0, de donde d h d Determinr l ltur mínim h OA de l puert de un torre verticl pr que trvés de ell se pued introducir en l torre un brr rigid de longitud l, cuo etremo resblrá lo lrgo de l líne de tierr AB. L nchur de l torre es d < l L líne roj es l brr de longitud l. Tenemos que l h. sec + d. cos ec h ( l d.cos ec). cos derivndo respecto de e igulndo 0 tenemos: h' d cot g.cos ec.cos l. sen + d. sen.cos ec d l. sen 0 d d d sen, rcsen l l l d d con lo que h l d. cos ec( rcsen ).cos rcsen l l Sbemos que cosec (rcsen ) cos(rcsen ). Así pues / l d l d l ( l d )( l d ) h l d.. l l d ( l d d l l l ) Noviembre de 05 P-7

38 Optimizción de Funciones º Bcto Hci un río cu nchur es igul, bjo un ángulo recto, se h construido un cnl de nchur b. Hllr l longitud máim de un tronco que puede psr del río l cnl. L longitud del tronco es AB+BC, es decir que l b. sec +. cos ec, derivmos respecto del ángulo tenemos: b. sen.cos l' bsec. tg + cos ec.cot g + cos sen igulndo 0 bsen +.cos 0, dividiendo por cos b. tg b tg, rctg b l b. sec rctg +.cosecrctg b b Sbemos que sec.rctgα /cos(rctgα), como cosα b.sec rctg b + b b b b + b Sbemos tmbien que cosec(rctgα) /sen(rctgα), como.cos ecrctg b De donde: b + + b + tg α senα + tg α b + b + b b l + + b + + b b b Noviembre de 05 P-8

39 Optimizción de Funciones º Bcto. En un concurso se d cd prticipnte un lmbre de dos metros de longitud pr que doblándolo convenientemente hgn con el mismo un cudrilátero con los cutro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tntos euros como decímetros cudrdos teng de superficie el cudrilátero construido. Clcul rzondmente l cuntí del máimo premio que se pued obtener en este concurso. Condición: + + A(, ) (Función Objetivo) Condición: + - Función Objetivo: A(, ) A() (-) - A ()- A () 0-0 / m. A () - A (/) - < 0 (es un máimo) Solución: 5 dm. e 5 dm., siendo Áre 5 dm. Cuntí máim percibir por el premio 5.. Un jrdinero dispone de 60 metros de lmbre que v utilizr pr cercr un zon rectngulr dividirl en tres prtes. Ls lmbrds de ls divisiones deben quedr prlels uno de los ldos del rectángulo. Qué dimensiones debe tener l zon cercd pr que su áre se l mor posible? A(, ) (Función objetivo) Condición: + 60 Condición: Función: A(, ) 80 A() 0- Noviembre de 05 P-9

40 Optimizción de Funciones º Bcto A () 0- A () 0 0 m. A () - < 0 (el punto es un máimo) Pr 0 m. result m. Solución: 0 m, 0 m.. Se dispone de 00 metros de lmbrd pr vllr un solr rectngulr. Qué dimensiones deberá tener el solr pr que con es lmbrd se limite l mor áre posible? Rzonr el proceso. Función: A(, ) Condición: + 00 Condición: Función: A(, ) A() (00-) 00- A () 00- A () 0 00 m A () - < 0 00 es un máimo, siendo Solución: 00 e 00, es un cudrdo. Un terreno de form rectngulr tiene 00 m v ser vlldo. El precio del metro linel de vll es de euros. Cuáles serán ls dimensiones del solr que hcen que el costo de l vll se mínimo? 00 m Perímetro del vertedero: P + Coste cerc: P ()+() 8+8 (función objetivo) Condición: 00 Condición: Noviembre de 05 P-0

41 Optimizción de Funciones º Bcto Coste cerc: C(, ) 8+8 C() C () 8- C () 0 00 ± 0; Solución válid 0 m. C () 00 C (0) 0.8 > 0 Es un mínimo Pr 0 m., siendo 00 00/0 0 m. Solución: Ls dimensiones del solr son cudrds con 0m. e 0m. 5. Supongmos que el solr del problem nterior tiene 00 m un ldo lo lrgo del río requiere un vll más costos de 5 euros el metro linel. Qué dimensiones drán el costo más bjo? Río Condición: Función objetivo: C(, ) () C() C () Función: C(, ) () Condición: 00 C ()0 5 ± 5 (Solución válid: 5 m.) C () C (5) > 0. 5 Luego, en 5 h un mínimo, siendo 0/. Solución: Ls dimensiones del solr serán en este cso 5 m. e 0/ m. Noviembre de 05 P-

42 Optimizción de Funciones º Bcto 6. (El Problem del Cble más Corto) Dos postes con longitudes de 6 8 metros respectivmente se colocn verticlmente sobre el piso con sus bses seprds un distnci de 0 metros. Clcule proimdmente l longitud mínim de un cble que pued ir desde l punt de uno de los postes hst un punto en el suelo entre los postes luego hst l punt del otro poste. Función: L cble Condición: 6+ 6+(0-) 0-0 m. L cble L() (0 ) (0 ) L () (0 ) L () (0 ) (0 ) solucion no vlidd > 0 L () ( 6 + ) 6 + ( 0 ) L (0/7) > 0 0/7 es un mínimo L(0/7) Solución: Longitud mínim L(0/7) m. Noviembre de 05 P-

43 Optimizción de Funciones º Bcto 7. (El Primer Problem de l Ventn) Un ventn tiene l form de un rectángulo corondo con un semicírculo. Encuentre ls dimensiones de l ventn que dej psr más luz, si su perímetro mide 5 metros. r L L circunferenci L πr L semicircunferenci π r / Perímetro rectángulo + Perímetro totl ++πr 5 (condición) π r Función: Áre: A(, ) + π 0 ( + π ) Condición: π r π / Función: A(, ) + + A() ( π ) π A () 0 π A ()0 0.m + π A () π < 0. es un máimo 0 ( + π ) 0 / + π 0.7 m Solución: Dimensiones de l ventn: Ancho:. m.; Alto: + r m. Noviembre de 05 P-

44 Optimizción de Funciones º Bcto 8. Ls págins de un libro deben medir cd un 600 cm de áre. Sus márgenes lterles el inferior miden cm. el superior mide cm. Clculr ls dimensiones de l págin que permitn obtener l mor áre impres posible. Alto de l págin impres: -5 Ancho de l págin impres: - Áre impres (-) (-5) (función objetivo) Áre págins 600 (condición) Condición: / Función: A(, ) (-) ( ) A() A () -5+ A ()0 ± 80 ± 0 (L solución negtiv no es válid).800 A ( 0 ) ( ) < 0, es un máimo, siendo Solución: 0 cm. e 5 0 cm. 9. Un hoj de ppel debe contener 8 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior hn de tener cm. cd uno, los lterles cm. Hll ls dimensiones de l hoj pr que el gsto de ppel se mínimo. Función: A(, ) Condición: (-) (-)8 Noviembre de 05 P-

45 Optimizción de Funciones º Bcto Condición: (-) (-)8 0 + Función: A(, ) A() A() 6 0 A () A () (solución negtiv no es válid). A () Solución: 0 e 5. ( ) ( 6)( ) ( )( 6 0) ( ) A (0) > 0, es un mínimo. 0. Un pstor dispone de 000 m de tel metálic pr construir un cerc rectngulr provechndo un pred eistente. Hll ls dimensiones de l cerc pr que el áre encerrd se máim. Función: f(, ) Condición: f(, ) f() (.000-) f().000 f ().000 f () 0 50 f () - f (50) < 0. Por lo tnto, 50 es un máimo. Solución: 50 e Un segmento de longitud de 5 cm. po sus etremos en los semiejes positivos OX OY, de tl mner que form con éstos un triángulo. Hll ls dimensiones del triángulo de áre máim sí construido. 5 Función: f(, ) Condición + 5 Noviembre de 05 P-5

46 Optimizción de Funciones º Bcto Condición: + 5 Función: f(, ) 5 f() 5 f () 5 0 f () 5 0 Solución: 5; 5 f () 0 ± 5 (L solución negtiv no es válid). f ( 5< 0). Por lo tnto, es un máimo.. Se consider un ventn rectngulr en l que el ldo superior se h sustituido por un triángulo equilátero. Sbiendo que el perímetro de l ventn es 6,6 m, hllr sus dimensiones pr que l superficie se máim. Función: A totl A triángulo + A rectángulo Condición: Condición: A totl f(, ) + + f() + (8..5 ) f()..07 f ( ) f ( ) f (.5) < 0. Luego,.5 es máimo. Solución:.5; 0.99 Noviembre de 05 P-6

47 Optimizción de Funciones º Bcto. Dividir un segmento de 6 cm. de longitud en dos prtes, con l propiedd de que l sum de ls áres del cudrdo del triángulo equilátero construidos sobre ellos se máim. A totl A triángulo + A cudrdo Condición: + 6 Condición: Función: A totl Sustituimos obtenemos: f() + (6 ) f (, ) + f() f ( ) 86 f ( ) f ( ) f (0.7) < 0 Luego, en 0.7 es máimo. Solución: 5.; 0.7. Se consider un ventn como l que se indic en l figur (l prte inferior es rectngulr l superior un semicircunferenci). El perímetro de l ventn mide 6 m. Hll ls dimensiones e del rectángulo pr que l superficie de l ventn se máim (Epres el resultdo en función de π). / / π Condición: + + 6, luego π Funcion : f(, ) + π Noviembre de 05 P-7

48 Optimizción de Funciones º Bcto π π f( ) + 8 π f( ) 8 f ( ) ( 8 π ) 8 f ( ) 0 + π π f ''( ) π f ( ) < 0 es un máimo + π + π Solución:.68 ; + π.68 π Entre todos los rectángulos de perímetro m. cuál es el que tiene l digonl menor? Rzonr el proceso seguido. Condición: + 6- Función: f(, ) + ( ) 6 ( ) f + ( ) 6 f + f ( ) Pr f () 0 tenemos que f ( ) 6 ( ) + 6 sustituimos, f () > 0, por lo tnto es mínimo. Solución: e Noviembre de 05 P-8

49 Optimizción de Funciones º Bcto 6. Clcul el áre máim que puede tiene un triángulo rectángulo tl que l sum de l longitudes de sus dos ctetos vle cm. Condición: + ; - Función: Áre f(,) / f(, ) f( ) f( ) f ( ) ( ) f ( ) 0 f ( ) f () < 0 de donde tenemos que es máimo. Solución: e. 7. Hll ls dimensiones del rectángulo de áre máim inscrito en un circunferenci de 0 cm. de rdio. Rzonr el proceso seguido. Condición: + (0) cm Función Áre f(, ) f( ) 00 f ( ) f ( ) 0 ± 0 L solución negtiv no es válid. Noviembre de 05 P-9

50 Optimizción de Funciones º Bcto f ( ) ( ) ( ) 00 f (0 ) < 0 es un mínimo Solución: 0 ; 0 8. En un jrdín con form semicírculo de rdio 0 m se v instlr un prterre rectngulr, uno de cuos ldos está sobre el diámetro el opuesto él tiene sus etremos en l prte curv. Clcul ls dimensiones del prterre pr que su áre se máim. Condición: P(,) pertenece l Circunferenci Función:f(,) ( ) f, ( ) f f ( ) f ( ) 0 ± 5 00 f (5 ) < 0 (máimo) (L solución negtiv no es válid) Solución: Dimensión del prterre será de bse 0 m ; ltur 5 m. Siendo el áre máim de 00 m. Noviembre de 05 P-50

51 Optimizción de Funciones º Bcto 9. Clcule ls dimensiones de tres cmpos cudrdos de modo que: el perímetro de uno de ellos se triple del perímetro de otro, se necesiten ectmente 8 metros de vll pr vllr los tres l sum de ls áres de los tres cmpos se l mínim posible. z Llmmos,, z, los ldos de ls tres prcels. Condiciones: i) z ii) ++z 8 de donde z, entonces Función: S(,,z) + + z S() + (-) +9 S() S () 5-96 pr S () 0 tenemos que 8 S () 5 S (8) > 0, por tnto, es mínimo. Solución: 8 m 0 m z m. 0. Un rquitect quiere construir un jrdín rectngulr en un terreno circulr de 00 metros de rdio. Hll ls dimensiones de dicho jrdín pr que el áre se máim. Condición: + 00, luego tenemos que Función: Áre del jrdín rectngulr 00 Noviembre de 05 P-5

52 Optimizción de Funciones º Bcto A (, ) A ( ) 00 El vlor que hg máim el áre, tmbién hrá máim A () los cálculos se simplificn hciendo: ( ) ( ) B ( ) A Se descrt B ( ) 0000 B ( ) m B ( ) 0000 B (70.7) < 0 máimo ( ) Solución: Pr 70.7 result m. Descomponer el número e en dos sumndos positivos de form que l sum de los logritmos neperinos de los sumndos se máim. Clculr dich sum. Condición: + e, de donde tenemos que e- Función: S(,) ln() + ln() S() ln() + ln(e-) e S'( ) S'( ) 0 e e 8 S''( ) S''( ) < 0 e e ( ) luego, tenemos que es máimo. e e L sum pedid será: sum ln + ln e ln. Solución: e/ l sum S -ln. Un empres h decidido mejorr su seguridd instlndo 9 lrms. Un especilist en el tem señl que dd l estructur de l empres sólo puede optr por dos tipos de lrms, de tipo A o de tipo B; demás, firm que l seguridd de l empres se puede epresr como l décim prte del producto entre el número de lrms de tipo A instlds el cudrdo del número de lrms instlds de tipo B. Cuánts lrms de cd tipo se deben instlr en l empres pr mimizr su seguridd? Noviembre de 05 P-5

53 Optimizción de Funciones º Bcto Alrms tipo A Alrms tipo B Condición: + 9, luego 9- Función: L Seguridd se epres como: f(, ) 0 ( 9 ) 0 f (, ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) 0 0 los vlores de l que nuln l primer derivd son f ( ) f (9) > f () < 0 0 luego, 9 es mínimo es máimo. Solución: Será necesrio instlr de tipo A lrms de tipo B 6 lrms.. Clcul dos números que cumpln que l sumrlos resulte 0 l rest de uno de ellos menos el inverso del otro se mínim. Condición: + 0, de donde 0- L función: f(, ) 9 f( ) f ( ) ( 0 ) Como f () 0 tenemos que Noviembre de 05 P-5

54 Optimizción de Funciones º Bcto f ( ) 80 ( 0 ) f (9.5) > 0 mínimo f (0.6) < 0 máimo Solución: 9.5 e Si un cultivdor vlencino plnt 00 nrnjos por hectáre, el rendimiento promedio es de 00 nrnjs por árbol. Por cd árbol dicionl que siembre por hectáre, el cultivdor obtendrá 5 nrnjs menos por árbol. Cuántos árboles por hectáre drán l mejor cosech? Nº nrnjos / hectáre 00 Rendimiento / árbol 00 nrnjs nº árboles plntr R () Rendimiento() ( ) ( ) R( ) R( ) R ( ) R ( ) Solución bsurd. Conclusión: Sin plntr árboles l producción que se obtiene es mejor que si umentmos el número de frutles de est vriedd. 5. El propietrio de un edificio tiene lquildos los 0 pisos del mismo un precio de 600 cd uno. Por cd 60 que el propietrio ument el precio observ que pierde un inquilino. qué precio le convienen lquilr los pisos pr obtener l mor gnnci posible?(aud: llmr nº de 60 que ument o lo que es lo mismo el nº inquilinos perdidos.) 0 pisos 600 euros / cd uno Si ument euros por cd piso cobr 600 +, pero lquil 0 60 pisos. L función es el beneficio obtenido: B ( ) (600 + ) 0 con 0 < < B ( ) Noviembre de 05 P-5

55 Optimizción de Funciones º Bcto B ( ) 0 B ( ) B ( ) B (900) < 0 Es Máimo. 0 Solución: Aumentrá Entre todos los triángulos isósceles (dos ldos igules) de perímetro 0 cm., cuál es el de áre máim? 0 Condición: + 0 h Función: A (, ) A ( ) A ( ) A ( ) A (0) < 0 Es un máimo Solución: 0, 0 7. Pr l fbricción de un determindo producto, se necesit invertir dinero en contrtr empledos comprr máquins. El dueño de l fábric h estimdo que si compr máquins contrt empledos, el número de uniddes de producto que podí fbricr vendrí ddo por l función: f (, ) 90 Cd máquin le supone un inversión de 500 cd contrto de un nuevo empledo otro de 500 Si el empresrio sólo dispone de un presupuesto de 500 pr este fin, determine el número de obreros que debe contrtr el número de máquins que debe comprr pr mimizr l producción. máquins. empledos. Noviembre de 05 P-55

56 Optimizción de Funciones º Bcto Solución:, Condición: f, 90 Función: ( ) 5 5 f( ) 90 f ( ) f f ( ) 0 ; 9 f ( ) f () < 0 Es Máimo. f (9) > 0 Es Mínimo. ( ) Un esmerld pes 6 grs. sbemos que su vlor es proporcionl l cudrdo de su peso. Si prtimos en dos trozos l esmerld, hll el peso que debe tener cd uno de ellos pr que su vlor se mínimo. Condición: peso de un trozo. peso del otro trozo. L función que queremos optimizr es l que nos d el vlor de l esmerld después de dividirl, que dependerá del peso de cd trozo. Función: f (, ) k + k ) k( ) k( + ( 6 ) ) k ( + 56) f (, + f ( ) f ( ) f ( ) k( ) ( ) 0 8 f ( ) k f, considermos k > 0 f (8) > 0 Es mínimo. Solución: 8 grmos e 8 grmos. Noviembre de 05 P-56

57 Optimizción de Funciones º Bcto Ejercicios de mplición 9. L bse menor de un trpecio isósceles mide 6 metros l longitud de los ldos no prlelos es de metros. Clcul cuánto debe medir l bse mor pr que el áre del trpecio se máim. h 6 Condición (por Pitágors): h + h Función: A trpecio ( ) ( 6 ) BASE + bse h + h Atrpecio ( + ) h f(, h) ( ) f( ) + < 0 Se descrt 6 f ( ) f ( ) 0 + > f ( ) f ( ) < 0 es máimo ( ) Solución: + e + (el vlor se descrt) 0. Se divide un lmbre de 00 m de longitud en dos segmentos de longitudes 00-. Con el de longitud se form un triángulo equilátero con el otro segmento se form un cudrdo. Se f() l sum de ls áres del triángulo del cudrdo. Indicr rzondmente pr qué vlor de se obtiene que l sum de ls áres del triángulo del cudrdo es mínim. Noviembre de 05 P-57

58 Optimizción de Funciones º Bcto h / (00-)/ Condición: Altur del triángulo h 6 6 Áre del triángulo 6 tringulo 6 Áre del cudrdo cudrdo 00 Función: triángulo + f() cudrdo 00 f( ) f ( ) f ( ) f ( ) > 0 mínimo 8 ( ) Solución: Pr 8.86 result l sum de áres mínim, siendo 8.86 h. 6. En un crreter trvés del desierto un utomóvil debe de ir desde l ciudd A hst el osis P situdo 500 Km de distnci de A. Puede provechr pr ello un crreter rect que une ls ciuddes A B que le permite ir un velocidd de 00 Km/h, mientrs que por el desierto l velocidd es de 60 Km/h. Sbiendo que l distnci más cort de P l crreter que une ls ciuddes A B es de 00 Km, determin l rut que deberá usr pr ir de A P en el menor tiempo posible. P L rut seguir es AMP A M B 00 Aplicndo el teorem de Pitágors en el triángulo ABP se obtiene: AB En el triángulo MBP se obtiene MP + 00 Noviembre de 05 P-58