Apdo. Postal CP 7600 Querétaro, México; 2 Centro de Investigación en Matemáticas

Transcripción

1 DETERMINACIÓN DE LA FRACCIÓN DE FRANJA EN CALIBRACIÓN DE BLOQUES PATRÓN MEDIANTE REGULARIZACIÓN ROBUSTA calo galván y maiano ivea Cento Nacional de Metología Apdo. Potal - CP 76 Queétao, México; cgalvan@cenam.mx Cento de Invetigación en Matemática Apdo potal 4, Guanajuato, Gto., Mexico 36; mivea@cimat.mx Reumen: La mateialización de la unidad de longitud del SI (el meto), eta baada en medicione inteeomética de bloue patón. La incetidumbe de calibación de lo bloue patón tiene inmicuido vaio actoe impotante; uno de ello e la deteminación de la acción de anja de lo inteeogama ue genea el expeimento de calibación de lo bloue patón. En ete tabajo e peenta un nuevo modelo paa la deteminación de la acción anja, baado en la técnica de egulaización en el poceamiento de imágene. Ete modelo pemite la deteminación no olo de la ae del inteeogama, ino también de lo elemento de iluminación incluido en la ecuación de inteeencia de do hace de luz coheente. INTRODUCCION La unidad de longitud del itema intenacional (SI), el meto, e una de la unidade má impotante paa la ciencia y la tecnología. La mateialización de la unidad etá baada en medicione inteeomética de bloue patón, iendo eto lo etándae mateiale má uado paa mantene la tazabilidad en metología dimenional. Eto e emplean en la compaacione intenacionale de medicione inteeomética paa aegua la exactitud de la unidad, ue e epoducida en lo dieente paíe. El CENAM cuenta con un inteeómeto de bloue patón TESA, ue e un inteeómeto Michelon con una coniguación Twyman-Geen. Lo bloue a medi on pegado obe una platina cicula con excelente calidad en planicidad, eta platina e uada como epejo de upeicie a medi, aí como la calidad de la caa de medición de lo bloue patón. Ademá el epejo de eeencia en el aeglo Twyman-Geen e inclinado paa obtene anja a lo lago de la imagen de la platina con el bloue. El deplazamiento accional de la anja obe el bloue patón con elación a la anja localizada en la platina e conocido con el nombe de acción de anja. Empleando do láee, con ditinta longitude de onda y haciendo uo del algoitmo de exceo de anja e puede etima el valo de deviación del bloue epecto a la longitud nominal ue el uuaio debe popociona al itema. El inteeómeto en u conjunto, tiene enoe paa ealiza medicione de la condicione ambientale (paa la coección del índice de eacción del aie), aí como de la tempeatua de la platina paa hace ajute con epecto a la tempeatua de eeencia ( C). Un punto impotante en ete itema e la deteminación de la acción de anja ue tiene el cento del bloue con epecto a la platina de eeencia. El algoitmo oiginal incluye, en u análii, olo la ubicación de lo valle de la unción coenoidal, paa la deteminación del coimiento, lo cual no pemite una deteminación de la oma del bloue bajo medición. El peente tabajo peenta un modelo ue pemite el análii de la imágene de inteeencia de manea completa, ademá e actible ecupea lo elemento de iluminación incluido en la ecuación de inteeencia de do hace de luz coheente[]. El peente tabajo eta oganizado de la iguiente manea. La egunda ección contiene una decipción de la técnica de egulaización en poceamiento de imágene. La iguiente ección contiene la aplicación de la técnica de egulaización en imágene de patone de anja con tabajo ya publicado. La cuata ección contiene el modelo popueto paa la olución del poblema de bloue patón, aí como lo eultado obtenido al aplica ete modelo a inteeogama obtenido con el inteeometo TESA. REGULARIZACIÓN EN IMÁGENES En el campo del poceamiento de imágene genealmente e encuenta el poblema de econtui un campo ˆ a pati de dato obevado con uido g, ete poblema e genealmente, mal planteado. Po ejemplo, conideando el iguiente modelo g = F ( ˆ ) η donde η e uido aditivo y F e, en geneal, un opeado no lineal ue e aume conocido. La inomación ue e tiene del campo olo e g, aí como el opeado ue e aplicado obe lo dato, Simpoio de Metología Mayo

2 eta inomación no e uiciente paa obtene una etimación adecuada del campo, po ello e debe inclui el concepto de egulaización paa acota el intevalo de olucione. Eto igniica, ue e neceaia cieta inomación a pioi del itema e deci, e deben hace conideacione aceca de la etuctua del modelo, paa ue e intoduzca en el poceo de ecupeación. La olución egulaizada de e calculada mediante la minimización de la uncional de enegía U[]: donde U ( ) ˆ = a g minu () ( ) D( ) λr( ) = () El temino de dato D, etablece ue la econtucción, debe e conitente con lo dato obevado g. El témino de egulaización R impone una penalización en el cao de ue e viole el conocimiento a pioi ue e etablece, mienta ue la contibución elativa de cada témino a la enegía global eta peada po el paámeto λ conocido como paámeto de egulaización. En el maco de la etimación bayeiana, el témino de dato e ecogido como el negativo de la logveoimilitud. Aí po ejemplo, i e aume ue el elemento de uido e un modelo Gauiano, ete témino puede e expeado como: D ( ) = ( F( ) ) e L g En la ecuación anteio =(x, y) epeenta una poición en la lattice de píxele L. La eticcione impueta po el conocimiento a pioi on, bajo ete maco, incopoada en la oma de un modelo de campo aleatoio makoviano (CAM) paa, de tal oma ue el elemento de egulaización toma la oma de la uma obe toda la pandilla de un itema de vecindad dado, de un conjunto de uncione de potencial opotada po ea pandilla. Po ejemplo e puede toma una vecindad de un píxel con u cuato vecino má cecano {( x, y), ( x, y), ( x, y ), ( x, ) } N = y y una pandilla de tamaño, ue coeponde a pae de píxele hoizontale y veticale, del tal R tome la oma iguiente: oma ue ( ) R ( ) = ( ) ρ (3), L Lo anteio expea el modelo de eote i e conidea a la unción ρ como un potencial cuadático obe la pimea dieencia ente lo miembo de la pandilla ρ ( ) = ( ) En ete cao, el témino de egulaización e cuadático y homogéneo. Ete potencial cuadático coeponde a la conideación a pioi de ue lo dato oiginale ˆ on globalmente uave. REGULARIZACIÓN EN ANÁLISIS DE FRANJAS El modelo de anja en poceamiento de imágene eta dado po la ecuación de inteeencia de do hace de luz coheente a lo cuale e le incluye una inclinación del elemento de eeencia con el in de obtene una ecuencia potadoa, ete euema puede e expeado como: ( x, y) a( x, y) b( x, y) co( ϖ x φ ( x y) ) h =, (4) donde la incógnita paa el modelo e el elemento de ae φ, ue e encuenta en el témino coenoidal de la ecuación. Lo elemento etante de la ecuación on elemento debido a la iluminación y popiedade de elactancia tanto de la platina como del mimo bloue paa el cao de la medición de bloue patón. El elemento de potadoa eta dento del coeno, expeado como ϖ. Exiten ya vaio tabajo paa el poblema de ae con egulaización como el ilto de cuadatua obuto, y el ilto de cuadatua adaptable, peo no conidean lo elemento de iluminación e u contexto. Ademá plantean el modelo de uavidad global ue no e cumple paa el modelo de anja en bloue patón[3]. ANÁLISIS DE FRANJAS CON REGULARIZACIÓN CON POTENCIALES CON CONDICIÓN DE REPOSO ADAPTABLE Siguiendo el poceo de egulaización planteado anteiomente, paa la ecuación de inteeencia (4), e puede plantea lo elemento de unción de enegía, aí el elemento de dato e puede expea como D( a, b, ) = ( a b co( ϖ x ) g ) (5) L Si e conidea como eticción el concepto de uavidad global, el elemento de egulaización paa el modelo de eote e puede expea tal y como e planteó en el modelo oiginal (ecuación 3). Peo ete modelo no e aplicable al modelo de bloue patón, pue paa ete cao e tienen alto abupto debido a la peencia de do cuepo en el análii. Paa eolve el poblema anteio e han peentado vaio modelo, uno de ello e la conideación de x Simpoio de Metología Mayo

3 "outlie" o píxele ue no cumplen con la conideación de uavidad global (mucho autoe conidean lo outlie como bode en la imagen[4]) ue e algo útil en nueto modelo. Bajo eta conideación M. Rivea y J.L. Maouín [5] poponen, en luga de uncione de potencial con condición de epoo ceo[4], potenciale con condición de epoo adaptable, y tiene la oma: U R = λα ( t) = λ ( t ξ ) La unción ξ debe e etingida a e cecana a en egione uniome y cecana al tamaño del alto en lo bode de. Paa intoduci eta eticcione, ξ e deciben como el poducto de un indicado de bode y una longitud de euilibio con igno, cuyo valo aboluto debe e peueño ( t φ ) = ( t φ ϕ ( t) ) φ α, t t La unción ϕ toma valoe cecano a ceo paa valoe donde e uiea penalización cuadática de t (uavidad), en tanto ue toma valoe cecano a t paa valoe donde e deee ue ea obuta y detecte la peencia de "outlie" o bode en la imagen. Bajo ete concepto, el modelo e ahoa obuto a bode en la imagen, eto e, alto abupto en la ae de la eñal. Peo e tiene oto poblema, y e la etimación de la ecuencia potadoa, pue el eta po debajo o po encima de el valo eal de eta ecuencia implica la intoducción de una pendiente en la ecupeación de la ae, eto e puede ve en la ómula de inteeencia (4). Eta ecuencia potadoa no e poible conocela con exactitud, debido a ue depende de la inclinación del epejo de eeencia y lo método numéico ue exiten no la etiman con gan exactitud (e pobó un método con la tanomada de Fouie popueto po Huntley, y e loga tene una exactitud hata la egunda cia decimal), po ello el modelo anteio de eote no e una olución adecuada pue upone ue el modelo e contante a pedazo y aun cuando el modelo de platina y bloue i lo e, un eo en la etimación de la ecuencia potadoa implica ue e intoduzca una pendiente en la ae. Paa eolve ete poblema e penó en poba la vecindad de egundo oden ue conite de pandilla de te píxele vecino. Po ejemplo, la tiada ue conoman eta vecindad hablando de una eñal de una ola dimenión, on:,, ;,, ;,, El concepto de modelo de eote cambia ahoa po el de placa delgada ue eta omada po te píxele conecutivo. La enegía del modelo de placa eulta de apoxima la egunda deivada po lo témino de egunda dieencia: donde: = = y = En bae a lo anteio e puede contui el modelo con condición de epoo adaptable paa la placa, uedando la unción de ete modelo como ( ) = [ ] α ξ Eta unción debe tene popiedade imilae a la eueida po el modelo de eote. Paa ete cao on:. Debe e cecana a ceo paa valoe peueño de. Paa valoe gande de debe e cecano al valo del alto 3. En el cao de ue ea peueño, en tanto ue ea gande, entonce la unción debe e cecana al valo gande, en el cao inveo de valoe también debe paecee al valo gande. La idea de paecee al valo gande e paa elimina u eecto en la uncional de enegía completa Paa cumpli con eta popiedade e popone ua una unción de la iguiente oma ( φ ) = ( φ, ϕ ( ) φ, ϕ ( ) φ, α, (6) Ahoa el modelo e denomiá placa con condición de igidez adaptable. E impotante nota, ue ete modelo de placa tiene la popiedad, donde e localicen lo bode, el modelo e compota como unción de eote. El modelo anteio olo neceita detemina la oma de la unción ϕ, la cual puede e tomada de manea imple, como una unción ue buue bode en toda la zona, lo cual implica ue ϕ ( t ) = t, i e utituye eta expeión en la ecuación (6) e puede llega a una ecuación donde e incluye tanto el témino de dato, como el de egulaización el cual contiene lo elemento de iluminación del modelo: Simpoio de Metología 3 Mayo

4 Figua. a) Dato intético paa valoe de ae (línea continua), y de iluminación (valo de A en línea punteada y en punto el valo de B. b) Dato ecupeado con el modelo de plaga con igidez adaptable, e pueden obeva lo bode encontado po el modelo en la pate cental de la imagen. Al modelo oiginal e le agegó uido blanco gauiano con media y deviación etánda Figua. a) Dato eale obevado con el inteeómeto con el lae ojo. b) Dato ecupeado con el modelo de placa con igidez adaptable, e ve la ae (intevalo de 6-8), elemento de iluminación (intevalo ), y lo bode detectado, lo cuale coinciden con el cambio buco en ae e iluminación. (, b, φ, ) = ( a b co( ϖ ) g ) U a λ γ β L φ, L, L, L, ( φ ϕ( ) φ ϕ( )), ( a a a φ ϕ( a a ) φ ϕ( a a )), ( b b b φ ϕ( b b ) φ ϕ( b b )), Ete modelo puede e aplicado po el hecho de ue cambio en lo eecto de iluminación coinciden con cambio buco en ae, pue e eiee a cambio de cuepo en el modelo. RESULTADOS En eta ección e decibián lo eultado obtenido, tanto con imágene intética ue elejan el compotamiento del modelo oiginal, como con dato obtenido diectamente del inteeómeto TESA. La igua a, mueta una eñal de dato intético paa el valo de ae y de iluminación (A y B) de acuedo a la iguiente expeione:,,,,,5x i x 97y x 65 φ ( x) =,,5x en oto cao A ( x ) =,6 i x 97 y x 65 en oto cao B ( x ) =,5 i x 97 y x 65,9 en oto cao Lo límite paa indica el alto ueon eleccionado de acuedo al algoitmo oiginal. A lo dato oiginale e le agegó uido blanco paa petuba lo dato oiginale y ve la eitencia del modelo ante eta cicuntancia. El cambio en la condicione de iluminación, e le puede atibui a dieencia de mateial ente lo elemento bajo análii. La igua b, contiene lo eultado obtenido con el modelo popueto. Se puede obeva ue lo eultado obtenido on atiactoio, pue detecta la pendiente en la ae, ademá encuenta en la poición coecta (con una deviación de ± píxel) lo bode de la imagen. Lo dato oigen ueon tomado de la igua a. Simpoio de Metología 4 Mayo

5 Figua 3. Reultado paa un inteeogama en do dimenione uando el modelo de placa con igidez adaptable. a) Dato oiginale; b) Elemento A de iluminación; c)elemento B de iluminación; d)ae; e) Bode en la imagen )Recupeación de la eñal completa La igua a contiene dato eale ue e obtuvieon del inteeómeto TESA. Se colocó un bloue de ditinto mateial al de la platina paa ue cambiaan la condicione de elactancia. Lo eultado obtenido paa eto dato e obevan en la igua b. Donde e obevan lo dieente campo obtenido, tanto de ae como de iluminación incluive la deteccione de bode. En la igua 3, e obeva eultado al aplica el modelo a una eñal en do dimenione, e pueden obeva lo dato oiginale en el inteeogama, aí como lo dieente campo calculado. Con la imagen del lo bode e actible calcula el cento del bloue de manea automática, in la deteminación po pate del uuaio. Un poblema paa el modelo, e el tiempo empleado paa la obtención de lo eultado, en un computadoa pentium II a 3MHZ el tiempo neceaio paa la obtención del eultado en do dimenione e alededo de 6h. Paa una dimenión el tiempo e de. Uno de lo tabajo utuo e optimiza el pocedimiento de localización del bloue paa educi el tiempo en el poceo de D. CONCLUSIONES Se peenta un modelo de análii de anja con potadoa ue pemite la ecupeación del elemento de ae, aí como de lo elemento de iluminación de la ecuación de inteeencia. El modelo e obuto a la detección de bode en la imágene, aí como paa la detección de zona contante a pedazo y zona con pendiente contante a pedazo, poblema ue e puede peenta en anja con potadoa donde e deconoce el elemento de ecuencia de dicha eñal. REFERENCIAS [] Galván C. "Análii de anja con egulaización con potenciale con condición de epoo adaptable". Tei de maetía en ciencia de la computación y matemática indutiale, CIMAT, [] J.L. Maouín, S. Mitte and T. Poggio, ''Pobabilitic Solution o Ill-Poed Poblem in Computational Viion, '' Jounal o the Ameican Statitical Aociation, vol 8, No. 397, pp 76-89, 987. [3] J.L. Maouín, M. Rivea, S. Botello, R. Rodíguez-Vea and M. Sevín, ''Regulaization method o poceing inge-patten image,'' Applied Optic, Vol 38, No. 5, pp , 999 [4] D. Geman and G. Reynold, ''Contained etoation and ecovey o Dicontinuitie,'' IEEE Tanaction on Patten Analyi and Machine Intelligence, vol 4, pp , 99. [5] M. Rivea and J.L. Maouin, "The adaptive et-condition ping ytem: an edgepeeving egulaization techiue," in Pocc. o the IEEE Int. Con. on Image Poceing (ICIP- ), IEEE Signal Poceing Society, Vancouve, BC, Canada, vol II, 85-87, Sept. Simpoio de Metología 5 Mayo