Tema No. 5 Programación Lineal Entera. Introducción

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN Tema No. 5 Programación Lineal Entera Introducción En los capítulos anteriores se analizaron problemas de programación lineal en los que las variables tomaban valores reales. Sin embargo, en muchos casos reales, algunas o todas las variables de las variables no son reales sino enteras, o incluso están más restringidas siendo binarias, es decir, que toman exclusivamente los valores 0 o 1. Se verá en el presente tema que el empleo de variables enteras hace más complejo el problema de programación lineal, debido a la ausencia de continuidad. En este tema se dan algunos ejemplos de problemas lineales entero puro, entero-mixtos (PLEM), y en algunos de ellos, se emplean variables binarias. Programación Lineal Entera Algunas Definiciones En todos los temas anteriores hemos venido trabajando con Modelos de Programación Lineal los cuales, como vimos, constituye un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Es decir, consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. 1

2 La Programación Lineal representa una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible. En los temas anteriores los modelos que hemos considerado admiten cualquier valor positivo para las variables de decisión, sea éste entero o no. Hay muchos problemas reales en los que los valores que pueden tomar las variables de decisión están confinados a valores enteros, el fondo del asunto es que existen muchos problemas reales importantes que serían de programación lineal si no fuera por el requerimiento de que algunas de las variables sean enteras. Este tipo de problemas deben ser resueltos mediante algoritmos especialmente diseñados para resolver problemas de programación entera. Los científicos del campo de las ciencias administrativa han advertido la importancia de los problemas de programación lineal entera desde hace años, y una buena cantidad de trabajo y de tiempo se han dedicado para investigar la solución de este tipo de problemas. Dichos esfuerzos han redituado dividendos y se ha producido un marcado progreso en esta área durante los últimos años. También debe apuntarse que los grandes avances en la tecnología de la computación han sido una contribución crucial para el incremento de la capacidad de resolución de este tipo de problemas. Tipos de Modelos de Programación Lineal Entera a. Entera pura: son aquellos en que todas las variables únicamente pueden tomar valores enteros. También se distinguen dentro de estos los problemas totalmente enteros como aquellos en que tanto las variables como todos los coeficientes que intervienen en el problema han de ser enteros. Es un término general para los modelos de programación matemática que presentan condiciones de ser enteros (condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros). 2

3 Un modelo entero puro (PEP) es, como su nombre lo indica, un problema en el que se exige que todas las variables de decisión tengan valores enteros. Por ejemplo Minimizar 6X 1 + 5X 2 + 4X 3 Sujeto a 108X X X X X X 3 83 X 1, X 2, X 3 enteros b. Mixtos: son aquellos en los que hay al mismo tiempo variables continuas y variables enteras. Un problema en el que sólo se requiere que algunas variables tengan valores enteros mientras que otras pueden asumir cualquier número no negativos (es decir, cualquier valor continuo) se llama programación lineal entera-mixta (PLEM) El problema resultante es Minimizar 6X 1 + 5X 2 + 4X 3 Sujeto a 108X X X X X X 3 83 X 1, X 2, X 3 0 ; X 1 y X 2 enteros. 3

4 c. Binarios o programación lineal entera 0-1 las variables sólo pueden tomar los valores cero o uno. Son de interés debido a que se pueden usar las variables 0-1 para representar decisiones dicotómicas (sí o no). Diversos problemas de asignación, ubicación de planta, planes de producción y de construcción, son de programación lineal entera 0-1. Las variables 0-1 se pueden encontrar tanto en problemas de PEP como PLEM. A menudo se consideran problemas de programación lineal (PL) que se comienzan como PEP o PLEM, ignorando las restricciones enteras. A estos problemas de PL se les llama aproximaciones en las PEP o PLEM correspondientes. Aplicaciones de la Programación Lineal Entera En un comienzo la aplicación de la programación lineal estuvo concentrada en las operaciones de planificación militar, sin embargo estos modelos emigraron rápidamente hacia la industria. Hoy día con el aumento de las capacidades computacionales más y más empresas tienen acceso a las ventajas de los modelos de programación lineal. Modelos en los bancos, en la planificación, en el diseño de computadores y redes, en modelos médicos son algunos ejemplos importantes de las aplicaciones posibles de la PL. En este punto se muestra brevemente algunos de los miles de modelos actualmente documentados. (Algunos de ellos requieren restricciones enteras) a. Asignación de la Flota de Aviones: Normalmente el departamento de marketing de las aerolíneas entrega una planificación para la conexión entre diferentes ciudades, considerando la demanda, costos de operación, para cada tipo de aeronave. Los modelos lineales se han usado para planificar para cada aeronave una secuencia de tiempo, aeropuertos buscando maximizar las ganancias y la satisfacción de los clientes. 4

5 b. Planificación de la expansión de redes de telecomunicaciones: Las compañías de telecomunicaciones están obligadas a modernizarse y a expandir continuamente sus redes a una tasa rápida para poder satisfacer la demanda siempre creciente de clientes. Ellos deben decidir entre usar cables dedicados para cada circuito requerido o usar multiplexores, switches remotos o terminales de fibra óptica. Los modelos lineales se han usado para minimizar el costo total de la expansión e instalación de la red. c. Control de la Contaminación Ambiental: El gobierno regula la cantidad máxima permitida de emisiones de gases (monóxido de carbono, hidrocarburos, etc) de las distintas fuentes de contaminación. Industrias e individuos pueden reducir estas emisiones de diferentes formas. Modelos lineales se han usado para definir las regulaciones del gobierno a un mínimo costo. d. Distribución en los bancos de sangre en los hospitales: La sangre se almacena en "bancos de sangre" los que proveen directamente a los hospitales. En el tiempo la sangre se deteriora. Uno de los objetivos de los bancos de sangre que no buscan fines de lucro (como en Inglaterra) es localizar abastecedores de sangre en los hospitales, de tal forma, de "minimizar la sangre que vence" (es decir, aquella que no ha sido utilizada en cierta unidad de tiempo). Los modelos lineales se han usado para lograr este objetivo, pero asegurándose a la vez que los requerimientos mínimos de los hospitales sean satisfechos. e. Agricultura: Los agricultores deben localizar áreas de plantación sujetas a varias restricciones como subsidios del gobierno, disponibilidad de capital y de mano de obra, riego, transporte y uso de equipamiento. Basado en un conjunto razonable de expectativas de precios se usó la programación lineal para desarrollar un plan de uso de la tierra y control de stock buscando la maximización de ganancias anuales. El resultado de los análisis de sensibilidad le da ciertas herramientas al agricultor para responder al "qué hacer si... y así planificar en mejor forma. 5

6 f. Defensa/Aeroespacial: Las compañías de defensa y aeroespaciales reciben contratos para construir determinados componentes para los militares y la NASA. En cada caso los componentes deben ser entregados en varias etapas a lo largo de la duración del contrato. Modelos lineales se han usado para determinar la planificación de la producción que minimice el costo total del proyecto. g. La industria diaria: En las plantas procesadoras de leche, muchos productos se producen directamente de la leche procesada incluyendo varios tipos de leche, quesos, mantequilla y leche en polvo. Y otros productos como la crema y la lactosa se producen usando un segundo proceso. Cada día los administradores de esas plantas deben tomar decisiones de planificación para el flujo de producto, equipo, asignación de personal, y transporte. Los modelos lineales se han usado para determinar la planificación de la producción óptima que toma en cuenta las limitaciones de la capacidad de los equipos, demanda, flujo de producto. h. Distribución de materia prima: Finlandia es uno de los productores más importantes de madera, debido a la gran cantidad de bosques que se extiende en todo su territorio. A causa de las condiciones climáticas adversas el corte de los árboles y su transporte a las fábricas es de gran complejidad y tiene involucrado proyectos de millones de dólares. Se crearon modelos de programación lineal para lograr la asignación de chóferes a camiones, de estos últimos a rutas, para que cumplieran visitas entre fábricas buscando que el modelo global minimizara los costos. Todo ello bajo restricciones de horas de trabajo por chofer, de horarios de atención de las fábricas, condiciones de la ruta y rutas alternativas. 6

7 Interpretación Gráfica de los Modelos de Programación Lineal Entera Considérese el siguiente problema: Maximizar 18E + 6F Sujeto a E + F 5 (1) 42.8E + 100F 800 (2) 20E + 6F 142 (3) 30E + 10F 132 (4) E 3F 0 (5) E y F enteros Las restricciones: (1) refleja una necesidad para cumplir un compromiso previo. (2) y (3) son limitaciones del tiempo de producción de los departamentos A y B respectivamente. (4) representa en parte un acuerdo sindical. (5) se impone debido a un criterio del administrador relativo a la adecuación de la producción mixta. En el análisis, E es el numero de los E-9 y F el de los F-9 que la empresa Protrac que produce equipo pesado para la construcción. Para resolver este problema con el tratamiento gráfico, prescribimos tres pasos: 1. Encuéntrese el conjunto factible para la aproximación de la PL del problema de PLE. 7

8 2.- Identifique los puntos enteros del inferior del conjunto determinado en el paso Encuéntrese, entre los puntos determinados en el paso 2, el que optimiza la función objetivo. Los dos primeros pasos han sido realizados ya en la figura mostrada anteriormente. La región demarcada es el conjunto factible de aproximación en la programación lineal y los puntos rojos son los puntos enteros contenidos en este conjunto. Y estos son (3,6); (4,6); (3,5), (4,5); (5,5); (4,4); (5,4); (4,3); (5,3), (6,3); (4,2); (5,2) y (6,2) Para resolver este problema, debemos determinar ahora cual de los puntos factibles produce el valor mayor para la función objetivo. 8

9 Se procede como en el problema de PL, o sea moviendo el contorno de la función objetivo cuesta arriba (dado que estamos trabajando con un modelo para maximizar) hasta que ya no sea posible hacerlo más sin abandonar el conjunto factible. Podemos observar que la solución optima de PLE es el punto E = 6, F = 3. Y como la función objetivo es 18E + 6F, la solución obtenida para ésta es un valor optimo de 18(6) + 6(3) =

10 Aquí también se ilustran algunos hechos en relación con la aproximación de la PL. La solución optima con la aproximación de la PL ocurre en la intersección de las rectas 42,8E + 100F = 800 y 20E+ 6F = 142. Puesto que la intersección de las dos restricciones no se presenta en un punto entero, la solución óptima de la aproximación con la PL no es factible para la PLE. E* = 5.28 y F* = 5.74 con valor optimo (Vo) Vo = Al agregar cualquier restricción o un problema de programación matemática no puede mejorar, y sí empeorar, el valor optimo de la función objetivo. Por lo tanto, nuestro valor óptimo disminuye sumando las restricciones de enteros. Formulación de Modelos de Programación Lineal Entera 1. Dorian Auto proyecta fabricar tres (3) tipos de automóviles: compactos, medianos y grandes. El recurso que requiere cada tipo de automóvil y las utilidades que genera, se proporciona más adelante en una tabla. Ahora dispone de 6000 toneladas de acero y horas de mano de obra. Para que la producción de un tipo de automóvil sea factible desde el punto de vista económico, se tienen que producir por lo menos 1000 automóviles de ese tipo. Plantee una PE para maximizar las utilidades de Dorian. Recursos y utilidades para los tres (3) tipos de automóviles: TIPO DE AUTOMOVIL RECURSO COMPACTO MEDIANO GRANDE Acero necesario 1.5 toneladas 3 toneladas 5 toneladas Mano de obra requerida 30 horas 25 horas 40 horas Utilidad generada

11 Puesto que Dorian tiene que determinar cuántos automóviles de cada tipo tiene que fabricarse, se definen: X 1 = número de automóviles compactos fabricados. X 2 = número de automóviles medianos fabricados. X 3 = número de automóviles grandes fabricados. La función objetivo de Dorian es: Max= 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 Ya sabemos que si se fabrican automóviles de un tipo dado, entonces se tienen que producir por lo menos 1000 automóviles de ese tipo. Por lo tanto, para i= 1, 2, 3, debemos tener X 1 0 ó El acero y la mano de obra son limitados, por eso Dorian tiene que cumplir con las cinco (5) restricciones siguientes: Restricción 1 x 1 0 ó x Restricción 2 x 2 0 ó x Restricción 3 x 3 0 ó x Restricción 4 Los automóviles fabricados pueden utilizar a lo más toneladas de acero. Restricción 5 Los automóviles fabricados pueden utilizar a lo más horas de mano de obra. 2. Gandhi Cloth Company fabrica tres (3) tipos de prendas de vestir: camisetas, shorts y pantalones. La elaboración de cada tipo de de prenda requiere que Gandhi tenga disponible el tipo de maquinaria apropiada. La maquinaria necesaria para manufacturar cada tipo de prenda se tiene que rentar a las siguientes tarifas: maquinaria para camisetas, 200 dólares por semana; maquinaria para shorts, 150 dólares por semana; maquinaria para pantalones, 100 dólares por 11

12 semana. La hechura de cada tipo de prenda también requiere las cantidades de tela y mano de obra que se indican en la tabla 1. Están disponibles cada semana 150 horas de mano de obra y 160 yardas cuadradas de tela. El costo unitario variable y el precio de venta para cada tipo de prenda, se proporciona en la tabla 3. Formule un PE cuya solución maximice la utilidad semanal de Gandhi. Gandhi tiene que decidir cuantas prendas de cada tipo debe fabricar a la semana, así que definimos: X 1 = cantidad de camisetas fabricadas a la semana. X 2 = cantidad de shorts fabricados a la semana. X 3 = cantidad de pantalones fabricados a la semana. Tabla 1. Recursos necesarios para Gandhi. TIPO DE PRENDA MANO DE OBRA (H) TELA (YARDAS CUADRADAS) Camiseta 3 4 Shorts 2 3 Pantalones 6 4 Tabla 2. Ingresos e Información del costo para Gandhi. TIPO DE PRENDA PRECIO DE VENTAS (DOLARES) COSTO VARIABLE (DOLARES) Camiseta 12 6 Shorts 8 4 Pantalones 15 8 La utilidad semanal de Gandhi (U.S.G) se expresa de la siguiente manera: 12

13 USG= (ingresos por las ventas semanales) (costos variables semanales) (costos semanales de la renta de maquinaria). También, Costo a la semana de la renta de maquinaria = 200y y y 3 Utilidades de la semana= (12x 1 + 8x x 3 ) (6x 1 + 4x 2 + 8x 3 ) (200y y y 3 ) Utilidades de la semana= 6x 1 + 4x 2 + 7x 3 200y 1-150y 2 100y 3 Por lo tanto Gandhi desea maximizar Z= 6x 1 + 4x 2 + 7x 3 200y 1-150y 2 100y 3 Ya que el suministro de tela y de mano de obra es limitado, Gandhi afronta las dos (2) restricciones siguientes: Restricción 1, se puede usar cada semana cuando mucho 150 horas de mano de obra. Se expresa: 3x 1 + 2x 2 + 6x Restricción 2, se puede usar cada semana cuando mucho 160 yardas cuadradas de tela. Se expresa: 4x 1 + 3x 2 + 4x Se genera PE: Max z= 6x 1 + 4x 2 + 7x 3 200y 1-150y 2 100y 3 S.a 3x 1 + 2x 2 + 6x x 1 + 3x 2 + 4x X 1, X 2, X 3 0; X 1, X 2, X 3 son enteros 13

14 Y 1, Y 2, Y 3 = 0 ó 1 3. Hay seis ciudades (ciudades 1 a 6) en el condado de Kilroy. El condado debe decidir donde construir la estación de bomberos. Asimismo, el condado quiere construir la cantidad mínima de estaciones de bomberos necesarias para tener la certeza de que por lo menos una está dentro de 15 minutos (tiempo de manejo) de cada ciudad. Los tiempos (en minutos) necesarios para ir en automóvil de una ciudad a otra del condado se indica en la tabla 1. Plantee una PE mediante el cual Kilory sepa cuantas estaciones de bomberos debe construir y donde ubicarlas. Tabla 1. Tiempo necesario para viajar de ciudad a ciudad en el condado de Kilory A Desde Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6 Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad Definimos las variables 0-1 (binarias) x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 y x 6 mediante X 1 = 1 si se construye una estación de bomberos en la ciudad i. 0 si no sucede así. Entonces la cantidad total de estaciones de bomberos que se construyen, está dada por x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6, y la función objetivo de Kilory se tiene que minimizar Z= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 14

15 Restricciones. El condado debe tener la certeza de que hay una estación de bomberos a 15 minutos de cada ciudad. En la tabla 2 se indica a cuales lugares se puede llegar en 15 minutos o menos. Para asegurar que por lo menos una estación de bomberos esta a 15 minutos de la ciudad 1, se suma la restricción x 1 + x 2 1 (restricción de la ciudad 1) esta restricción asegura que x 1 = x 2 = 0 es imposible, de modo que por lo menos una estación de bomberos se construirá a 15 minutos de la ciudad 1. De manera igual, la restricción x 1 + x (restricción de la ciudad 2) asegura que por lo menos una estación de bomberos se localiza a 15 minutos de la cuidad 2. Las restricciones para las ciudades de 3 a 6 se obtienen de modo similar. Tabla 2. Ciudades a 15 minutos de una ciudad particular. Ciudad A 15 minutos 1 1, 2 2 1, 2, 6 3 3, 4 4 3, 4, 5 5 4, 5, 6 6 2, 5,6 Min Z= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 S.a x 1 + x 2 1 (Restricción de la ciudad 1) x 1 + x 2 + x 6 1 (Restricción de la ciudad 2) x 3 + x 4 1 (Restricción de la ciudad 3) x 3 + x 4 + x 5 1 (Restricción de la ciudad 4) x 4 + x 5 + x 6 1 (Restricción de la ciudad 5) x 2 + x 5 + x 6 1 (Restricción de la ciudad 6) x i = 0 o 1 (i= 1, 2, 3, 4, 5, 6) 15

16 Algoritmos para resolver Modelos de Programación Lineal Entera METODO DE RAMIFICAR Y ACOTAR: El método de ramificación y acotación, más conocido por su nombre en inglés Branch and Bound, recibe su nombre precisamente por las dos técnicas en las que basa su desarrollo, que son la ramificación y la acotación. El método de ramificación y acotación comienza por resolver el PLA, de modo que si la solución al PLA verifica las condiciones de integridad, entonces también es la solución al problema entero, en caso contrario se comienza con la ramificación del problema. La ramificación consiste en dividir cada problema en dos nuevos subproblemas, obtenidos mediante la imposición de restricciones excluyentes que dividen el conjunto de oportunidades del problema original en dos partes, pero eliminando en ambas partes la solución no entera del problema original. Cuando en la solución al PLA una variable que ha de ser entera xi toma el valor xbi no entero, entonces se generan a partir de dicho valor dos restricciones xi [xbi] y xi [xbi]+1 (siendo [xbi] la parte entera por defecto de xbi), que añadidas cada uno por separado al problema original, da lugar a dos nuevos subproblemas. Vamos a explicar este proceso a traves de un ejemplo particular: Consideremos el siguiente problema Max F(x) = 4x1 + 5x2 (1) S.a. 2x1 + x2 8 x2 5 16

17 x1,x2 0 y enteras La solución al PLA, prescindiendo de la condición de que las variables han de ser enteras es x1 = 1,5, x2 =5 y F(x) = 31 como dicha solución no verifica las condiciones de integridad se elige la variable x1 que no es entera y a partir de ella se generan dos restricciones x1 1 y x1 2 que añadidas cada una de ellas al problema original dan lugar a dos nuevos subproblemas que serían los siguientes: Max F(x) = 4x1 + 5x2 (1.1) Max F(x) = 4x1 + 5x2 (1.2) S.a 2x1 + x2 8 S.a 2x1 + x2 8 x2 5 x2 5 x1 1 x1 2 x1,x2 0 x1,x2 0 De este modo se han eliminado todas las posibles soluciones no enteras del conjunto de oportunidades tales que 1< x1 < 2. El proceso se repite con cada uno de los dos subproblemas obtenidos, los cuales darán lugar a otros dos subproblemas cada uno de ellos y así sucesivamente hasta que en todos los subproblemas tengan solución entera o infactible. Utilizando únicamente la ramificación, el número de subproblemas a resolver crece exponencialmente, por este motivo para evitar el tener que resolver todos los subproblemas, la ramificación se combina con la acotación. La acotación se basa en el hecho de que dado que los conjuntos de oportunidades del subproblema 1.1. (S11) y del subproblema 1.2 (S12) son a su vez subconjuntos del conjunto de oportunidades del problema 1 (S1) la solución óptima de los dos subproblemas siempre será inferior (problema de 17

18 máximo o superior para problemas de mínimo) que la solución óptima del problema 1 por ser los conjuntos de elección menores. Así pues, el proceso de acotación consiste, para problemas de máximo, en tomar como cota inferior aquella solución entera con mayor valor de la función objetivo obtenida y dado que cualquier otro subproblema con solución no entera sabemos que al ramificarlo nos dará como resultado valores de la función objetivo menores o iguales, nos permite descartar como subproblemas a ramificar todos aquellos que tengan como solución óptima un valor de la función inferior a la cota establecida. De este modo se reduce el número de subproblemas a ramificar y por lo tanto el tiempo necesario para la resolución de los problemas enteros. El proceso a seguir en la resolución de problemas enteros mediante el método de ramificación y acotación se resume en el siguiente esquema algorítmico: Esquema del algoritmo de ramificación y acotación: 18

19 Ejemplo: Maximizar X 1 + 5X 2 19

20 Sujeto a 11X 1 + 6X 2 66 (P1) 5X X X 1, X 2 0 enteros Paso 1: El primer paso consiste en resolver la aproximación de PL del (P1). Si la suerte nos acompaña, obtendremos directamente una solución óptima, ya que siempre será cierto que si la solución de la aproximación de PL satisface la restricción de enteros, será la solución optima. Usando la técnica de resolución grafica para la aproximación de la (P1). 20

21 En la figura podemos ver el conjunto factible de dicha aproximación. Los puntos negros son los que satisfacen la condición de enteros. (Hay 27 de dichos puntos). La solución aproximada es: X 1 * = X 2 * = Función objetivo = Como estos valores no son enteros no se ha resuelto (P1). Solo tenemos alguna información (1) El valor óptimo de PL es una cota superior para el (P1). Llamemos U a esta cota. Sabemos entonces que: Vo para (P1) (4.125) = = U (2) Si tomamos la solución óptima de PL y redondeamos a X 1 = 3, X 2 = 4 obtendremos una solución factible del problema (P1). Si evaluamos ahora la función objetivo para este punto (o para cualquier otro punto factible). Tendremos una cota inferior del valor óptimo del problema (P1). Llamemos F a ese valor. Por lo tanto Valor optimo (P1) 3 + 5(4) = 23 = F El valor de F puede ser o no el valor optimo del problema (P1). No se puede decir por ahora. Lo que sabemos es que 23 Vo Tenemos que descubrir si se puede hallar una solución mejor. Para hacerlo bifurquemos. La información relativa a la resolución bifurcación y acotamiento se sintetiza en su forma típica en un diagrama de árbol. 21

22 El primer nodo es: Mejor cota superior actual (MCSA) = Mejor cota inferior actual (MCIA) = U = F = X 1 * = 3.75 X 2 * = Numero de Nodo Paso 2: Procedemos a dividir el problema (P1) en dos más cortos. En este caso, bifurquemos X 1. Ésta es una elección arbitraria. El proceso de bifurcación aprovecha la circunstancia de que en la solución optima del problema (P1), o bien X 1 3 o bien X 1 4. Por qué es cierto esto? Por qué no hay valores enteros en la región que se elimina al obligar a X 1 que sea 3 o 4. Y dado que X 1 debe ser entero, no habremos eliminado ningún punto del conjunto factible del problema (P1). No obstante, habremos eliminado puntos (o sea, valores no enteros) del conjunto factible por aproximación de PL del problema. 22

23 En realidad, vemos que el valor optimo de X 1, en el problema aproximado de (P1), no es ni 3 ni 4 y, por lo tanto, el punto optimo actual ha sido (intencionalmente eliminado mediante el proceso de ramificación). Este proceso crea dos nuevos problemas. Maximizar X 1 + 5X 2 Sujeto a 11X 1 + 6X X X (P2) X 1 3 X 1, X 2 0 enteros Maximizar X 1 + 5X 2 Sujeto a 11X 1 + 6X X X X 1 4 (P3) X 1, X 2 0 enteros 23

24 Esta figura revela dos hechos interesantes 1.- Hemos partido en dos piezas el conjunto factible de (P1) y eliminado una región que no contiene puntos enteros. (La región eliminada esta diagonalizada. Las rectas de acotamiento no pertenecen a la región eliminada). 2.- Todas las soluciones enteras factibles de (P1) están contenidas ahora o bien en (P2) o en (P3). Dado que las funciones objetivos de (P1), (P2) y (P3) son idénticas, se sigue que la solución óptima de (P2) o la de (P3) deben ser la solución óptima de (P1), el problema original de la PLE. Entonces podemos olvidar (P1) y considerar solamente (P2) y (P3). El tratamiento de bifurcación y acotamiento procede a resolver las aproximaciones de los problemas (P2) y (P3). Las soluciones óptimas son: 24

25 (P2) (P3) U = U = Ya indicamos que la solución optima de (P1) está en (P2) o en (P3); así es que el valor óptimo de (P1) debe ser al máximo de los valores de U proporcionados por estos dos nodos. Y ya que el nodo 2 produce un U = 24 y el nodo 3 un U = nuestra mejor cota actual es Figura 3 MCSA = MCIA = U = F = X 1 * = 3.75 X 2 * = X 1 3 X 1 4 U = X 1 * = 3.00 X 2 * = U = X 1 * = 4.00 X 2 * = T 25

26 26

27 Dado que ni el nodo 2 ni el 3 tienen solución entera, no hemos obtenido una nueva solución factible. Para decidir qué haremos en seguida consideremos los nodos del pie de nuestro árbol, en este caso los nodos 2 y 3. Observemos que la cota superior del nodo 3 es y que el valor actual de la MCIA es Por lo tanto, hemos encontrado ya una mejor solución que la que hubiéramos podido obtener en el conjunto factible para (P3). Por lo tanto, podemos ignorar a (P3) y concentrar nuestros esfuerzos en (P2). Para continuar consideremos ahora (P2). Todavía no conocemos la solución optima de (P2), ya que aún no tenemos un valor entero para X 2 *, lo abordaremos con el método rama-limite, por lo que debemos ramificar otra vez. La variable X 1 es entera en la solución óptima del problema (P2). Por lo tanto, debemos ramificar a X 2, lo que haremos usando las restricciones X 2 4 o X 2 5. Al hacerlo, reemplazaremos el problema (P2) por lo siguiente. Maximizar X 1 + 5X 2 Sujeto a 11X 1 + 6X X X (P4) X 1 3 X 2 4 X 1, X 2 0 enteros 27

28 Maximizar X 1 + 5X 2 Sujeto a 11X 1 + 6X X X (P5) X 1 3 X 2 5 X 1, X 2 0 enteros 28

29 Al comparar las figuras # 2 y # 1 se advierten varios hachos importantes. 1.- El problema (P3) se conserva sin cambios (exactamente como estaba en al figura # 1). 2.-No se ha tenido en cuenta un conjunto adicional de puntos no enteros, incluso la solución óptima de la aproximación de PL del problema (P2). (La nueva área eliminada que pertenecía al conjunto factible de la aproximación de PL del problema (P1) tiene doble diagonalizado). 3.-El conjunto restringido de la aproximación de PL del problema (P5) está vacío. No hay puntos que satisfagan las restricciones 5X X 2 225, X 1 0, X 2 5. Esto significa también que (P5) no tiene solución factible, por lo que podemos olvidarnos ahora de él. (Esto se indica poniendo una T bajo el nodo correspondiente, en este caso el # 5). 29

30 Podemos ver aquí que un modelo termina cuando: 1.-Su U es MCIA, o 2.-Representa un problema infactible. Árbol Completo (Figura 4) 30

31 MCSA = MCIA = U = F = X 1 * = 3.75 X 2 * = X 1 3 X 1 4 U = X 1 * = 3.00 X 2 * = U = X 1 * = 4.00 X 2 * = X 2 4 X 2 5 T Infactible U = X 1 * = 3 X 2 * = T T 31

32 Ahora, solo necesitamos concentrarnos en el problema (P4) y resolver su aproximación de PL, como se muestra en la figura 4. Se revela que la solución optima de ésta, en concreto (X 1 * = 3, X 2 * = 4), es entera. Esto significa que (X 1 * = 3, X 2 * = 4) es la solución optima de (P4). Por esta razón, (P4) es otro nodo terminal de nuestro árbol y en la figura 4 se ha colocado una T bajo ese nodo. Entonces hay una tercera causa de terminación 1.-Su U es MCIA 2.-Representa un problema infactible, o 3.-La aproximación de PL produce una solución para el problema entero representado por ese nodo. Observando la figura #4, vemos que el valor de la MCSA ha cambiado del que tenía en la figura # 3. La rama del nodo 2 produjo un problema infactible (nodo 5) y un problema con U = (nodo 4). De modo que la mejor cota superior actual (MCSA) se reduce de a En el nodo 4 tenemos también una solución entera. Por lo tanto, este punto es una solución factible del problema (P1). Produce un valor de para la función objetivo. Como la mejor cota inferior actual es 23.00, no cambiamos la MCIA. En general, cuando han sido terminados todos los nodos, el método de bifurcación y acotación estará completado. La solución óptima del problema original (P1) será la que establezca la MCIA. En este caso, la MCIA es y en consecuencia (X 1 * = 3, X 2 * = 4) será la solución optima para el (P1). A la terminación, como en la figura # 4 siempre será el caso de que MCIA = MCSA. 32

33 Resolución del Modelo de Programación Lineal Entera con la ayuda del Computador 1. Existe gran cantidad de programas comerciales de computadora para resolver modelos lineales. 2. Todos esos programas son semejantes porque sirven para resolver modelos lineales. Son diferentes en cuanto a la cantidad de variables y restricciones que puede manejar, los formatos de entrada y salida de datos, y a la implementación del Método Simplex o de Puntos Interiores. 3. Cada programa, legalmente adquirido, tiene un manual del usuario con las instrucciones necesarias. 4. Los programas comerciales utilizados en la enseñanza, se aplican en la solución de modelos con pocas variables y restricciones a fin de facilitar el aprendizaje. 5. Se usará el programa LINDO ( Linear INteractive and Discrete Optimizer), LINGO y What s Best elaborados por Lindo Systems. En algunos modelos se usará Quantitative System Business QSB presentado por la Prentice Hall Inc. 6. Los programas elaborados por Lindo Systems se crearon para trabajar con sistema operativo Windows. El Programa QSB emplea el sistema operativo MS-DOS El campo de aplicación de Programación Lineal es muy amplio. Entre los modelos más utilizados, y considerados clásicos dentro de la Investigación de Operaciones, están los de Programación de la Producción. El problema a continuación ilustrará un caso particular para un sistema de producción. EJEMPLO: Una empresa manufacturera elabora tres componentes: 1, 2 y 3 para vender a compañías de refrigeración. Los componentes son procesados en dos máquinas A y B. La máquina A está disponible por 120 horas y la 33

34 máquina B esta disponible por 110 horas. No más de 200 unidades de componente 3 podrán ser vendidos, pero hasta 1000 unidades de cada uno de los otros dos componentes pueden ser vendidas. De hecho, la empresa tiene ya órdenes de 600 unidades de componente 1 que deben ser satisfechas. Los beneficios de cada unidad de los componentes 1, 2 y 3 son de Bs. 8, 6 y 9 respectivamente. Los tiempos en minutos necesarios para elaborar cada componente en cada máquina son: El modelo elaborado y su solución se presentan a continuación, utilizando diferentes programas (software) como: a) Lingo b) Lindo, c) What sbest y d) QSB. Puede observar la forma diferente de la entrada de datos y del formato de resultados. a. Uso del Programa Lingo Introducción de datos del modelo Max = 8C1+6C2+9C3; Función Objetivo de beneficios; 6C1+ 4C2+ 4C3 <= 7200 Minutos disponibles en la máquina 1; 4C1+ 5C2+ 2C3 <= 6600 Minutos disponibles en la máquina 2; C3 <= 200 Cantidad de componente 1 a fabricar; C1 <= 1000 Cantidad de componente 1 a fabricar; C2 <= 1000 Cantidad de componente 1 a fabricar; C1 >= 600 Cantidad de componente 1 a fabricar; 34

35 Solución del modelo: Global optimal solution found at step: 4 Objective value: Variable Value Reduced Cost C C C Row Slack or Surplus Dual Price Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges 35

36 Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease C INFINITY C C INFINITY Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease INFINITY INFINITY INFINITY b. Uso del Programa Lindo: Introducción de datos del modelo y Solución del modelo: MAX 8 X1 + 6 X2 + 9 X3 SUBJECT TO 2) 6 X1 + 4 X2 + 4 X3 <= ) 4 X1 + 5 X2 + 2 X3 <= ) X3 <=

37 5) X1 <= ) X2 <= ) X1 >= 600 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 5 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES 37

38 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X X INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY INFINITY

39 c. Uso del Programa WHAT sbest Introducción de datos del Modelo: Solución del Modelo: 39

40 d. Uso del Programa QSB: Solución del Modelo: 40

41 A continuación aparece el informe de resultados para este modelo. Allí se indica el lugar o posición donde se lee cada valor señalado en dicho informe. INFORME DE RESULTADOS: Solución Óptima. En cualquiera de los formatos de salida de datos puede leer la misma solución: Fabricar 600 componentes 1, fabricar 700 componentes 2 y 200 componentes 3. 41

42 Para nombrar estas variables de decisión en los programas, pueden ser usadas diferentes denominaciones. En el manual de los programas se incluye más información al respecto. En este modelo, los nombres que se han colocado en cada programa se leen: En Lingo: en la columna VALUE y las filas con los nombres C1, C2, y C3. En Lindo: en la columna VALUE y las filas con denominación X1, X2, y X3. En What sbest: en las columnas C1,C2 y C3 y la fila CANTIDAD PRODUCIDA En QSB: en la columna Variables Names y las filas con denominación X1, X2, y X3. El número de iteraciones realizadas para llegar al óptimo depende del algoritmo de solución utilizado. Función Objetivo: Los Beneficios Máximos obtenidos por su producción y venta es de unidades monetarias. (Recuerde que en los resultados se usa notación inglesa; cualquier cantidad colocada después del punto, es un decimal). Se lee en Lingo: en Objective value. Se lee en Lindo: en OBJECTIVE FUNCTION VALUE Se leen en QSB: en la tabla de resultados en la fila con texto Maximum Value of the OBJ Se lee en What sbest: en BENEFICIO TOTAL Holguras: 42

43 Restricción 1: Holgura de valor cero. NO quedan minutos disponibles en la máquina 1. Se utiliza la totalidad máxima disponible de minutos en esa Máquina 1 Restricción 2: Holgura de valor 300. Queda un disponible de 300 minutos sin utilizar en la Máquina 2, con relación al total máximo establecido en la Máquina 2. Restricción 3: Holgura de valor cero. No se deja de fabricar C3 con relación a la cantidad máxima establecida. Se fabrica el máximo establecido que se puede vender. Restricción 4: Holgura de valor 400. No se fabrican 400 componentes 1 con relación al máximo que se puede vender. Se fabrican 600. Restricción 5: Holgura de valor 300. No se fabrican 300 componentes 2 con relación al máximo que se puede vender. Se fabrican 700. Restricción 6: Holgura de valor cero. No se fabrica C1 por encima de la cantidad mínima demandada. Se fabrica el mínimo para cubrir la demanda ya contratada. Se leen en Lingo y en Lindo en SLACK or SURPLUS a partir de la fila (row) 2 correspondiente a la primera restricción. Se lee en What sbest: en cantidad en el óptimo indicándose para cada restricción. Se leen en QSB: en la columna Variables Names y las filas con denominación S1, S2,..., S6 43

44 Bibliografía Anderson, D.; Sweeney, D.; Williams, T. (2004). Métodos cuantitativos para los negocios. México. Editorial Thomson. Eppen, G.; Gould, F. J.; Moore, J.; Schmidt. C.; Weatherford, L. (1998). Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. México. Editorial Prentice Hall Hillier, F.; Liberman, G. (2001). Investigación de Operaciones. México. Editorial Mc. Graw Hill. Mathur, K.; Solow, D (1996). Investigación de Operaciones. El arte de la toma de decisiones. México. Prentice Hall. Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. México. Perason Prentice Hall. Wayne, W. (2005). Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. México. Editorial Thomson. 44