SEMICONDUCTORES fuera del EQUILIBRIO

Transcripción

1 SEMICONDUCTORES fuera del EQUILIBRIO Dr. Adrés Ozols Facultad de Igeiería UBA 007 Dr. A. Ozols 1

2 FENÓMENOS de TRANSPORTE de CARGA ARRASTRE de PORTADORES La desidad de carga moviédose a ua velocidad romedio de deriva o arrastre v ar J ar = ρvar ρ >0 J e uidades de Coul/cm s La desidad de corriete de huecos es J ar = ( ) e v ar Dr. A. Ozols

3 ARRASTRE de PORTADORES La velocidad de arrastre es roorcioal al camo v ar = µ E µ es la movilidad de los huecos La desidad de corriete de arrastre resulta J = eµ E ar E cambio ara los electroes que se deslaza e setido cotrario rio al camo. v ar = µ E Co ( )( ) Co µ >0 J = e µ E = eµ E ar Dr. A. Ozols 3

4 ARRASTRE de PORTADORES Las magitudes tíicas t de la movilidad de los electroes y huecos a 300 K Silicio Arseiuro de Galio Germaio µ (cm /Vs) µ (cm /Vs) La desidad de corriete de arrastre debida a los dos tios de ortadores de carga ( µ µ ) J = J + J = e + E ar ar ar Dr. A. Ozols 4

5 Efectos de la movilidad La ecuació de movimieto de huecos e u camo eléctrico E es * * dv F = ma= m = ee dt La velocidad de la artícula, v,, e el camo eléctrico E o icluye el efecto la velocidad térmica t aleatoria La itegració de la ecuació asumiedo ua velocidad de arrastre iicial ula v = ee m * t El movimieto térmico t está caracterizado or u tiemo medio etre colisioes τ c Dr. A. Ozols 5

6 Efectos de la movilidad La velocidad de arrastre máxima, m revia a la colisió o disersió v armáx = ee m τ * C Su valor medio es la mitad del valor máximom v ar ee m τ * Etoces la movilidad resulta ara los huecos v e µ ar = = * E m τ Aálogamete, ara los electroes v e µ ar = = * E m τ Dr. A. Ozols 6

7 Efectos de la movilidad Los mecaismos de iteracció o disersió de las cargas so: a) Disersió co la red cristalia Los fooes (cuatos de vibració que so geerados or la vibració térmica t de los átomos de la red) iteractúa a co los ortadores de carga coduce a la deedecia co la T µ R T 3 Dr. A. Ozols 7

8 Efectos de la movilidad b) Disersió co las imurezas Las imurezas so ioizadas a temeratura ambiete de modo existe iteraccioes coulombiaas co huecos y electroes adicioales liberados, que altera la velocidad de arrastre µ I T N 3 I N = N + N + I d a El úmero total de imurezas Dr. A. Ozols 8

9 DIFUSIÓN de PORTADORES Suoiedo que la cocetració electróica varía a e ua dimesió El flujo eto de electroes que cruza el lao x = 0,y l es el camio libre medio etre colisioes, λ,, que tiee ua velocidad térmica t V Ter F = vter + vter = vter + ( λ ) ( λ) ( λ) ( λ) Esto corresode a u desarrollo e serie e el etoro de x = 0 1 ( 0) d F vter ( 0) d = λ λ v d Terλ + = dx dx dx Dr. A. Ozols 9

10 DIFUSIÓN de PORTADORES La desidad de corriete de difusió electróica desde la zoa de alta a la de baja desidad J = ef = ev Ter d λ dx F J d JD = ef = ed dx D Coeficiete de Difusió de electroes Dr. A. Ozols 10

11 DIFUSIÓN de PORTADORES Aálogamete, la desidad de corriete de difusió de huecos desde la zoa de alta a la de baja desidad d JD = ef = ed dx D Coeficiete de Difusió de huecos Dr. A. Ozols 11

12 DIFUSIÓN de PORTADORES El flujo de difusió, F, tiee la direcció del gradiete de cocetració de artículas, ero setido iverso La desidad de corriete de difusió tedrá setido defiido or la carga, q J = ef = qd. D Ley de F = D. DENSIDAD de CORRIENTE TOTAL Ley de Fick La desidad de corriete de (difusió + arrastre) J = J + J = J + J + J + J ( ) ( ) D ar D D ar ar J = ed ed + e E + e E ( ) ( ) µ µ Dr. A. Ozols 1

13 Efectos de la movilidad Si ambos rocesos de disersió so ideedietes, la robabilidad de que ocurra e u itervalo dt es aditiva: dt dt dt = + τ τ τ Etoces la movilidad que tiee la forma * I R v = = E e m µ ar τ C El aorte de todos los mecaismos de disersió coducirá = + µ µ µ I R Dr. A. Ozols 13

14 SECONDUCTOR fuera del EQUILIBRIO Exceso de electroes e la bada de coducció Exceso de huecos e la bada de valecia + Cocetració de electroes e el equilibrio Cocetració de huecos e el equilibrio Dr. A. Ozols 14

15 SEMICONDUCTOR e EQUILIBRIO GENERACIÓN: roceso de creació de huecos o electroes RECOMBINACIÓN: roceso de aiquilació de huecos o electroes Velocidad de geeració térmica de electroes G = G 0 0 Velocidad de geeració térmica de huecos Partículas/cm 3 s Dr. A. Ozols 15

16 SEMICONDUCTOR e EQUILIBRIO Velocidad de recombiació térmica de electroes R = R 0 0 Velocidad recombiació térmica de huecos de Velocidad de geeració térmica = Velocidad de recombiació térmica R = R = G = G Dr. A. Ozols 16

17 GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES e EXCESO Símbolo 0, 0, δ = - 0 δ = - 0 g, g R, R τ 0, τ 0 Defiició Cocetració de electroes y huecos e equilibrio térmico (ideediete del tiemo y la osició) Cocetració total de electroes y huecos (uede ser deediete del tiemo y la osició) Cocetració e exceso de electroes y huecos (uede ser deediete del tiemo y la osició) Velocidades de geeració de electroes y huecos e exceso Velocidades de recombiació de electroes y huecos e exceso Tiemos de vida de electroes y huecos e exceso Dr. A. Ozols 17

18 GENERACIÓN de PORTADORES e EXCESO = 0 +δ Los excesos so geerados e ares hueco-electró g = g = 0 0 i = 0 +δ Dr. A. Ozols 18

19 RECOMBINACIÓN de PORTADORES e EXCESO E estado estacioario o hay u crecimieto cotiuo de las cocetracioes debido a la recombiació de los ortadores El cambio eto de la cocetració electróica ( ) d t dt R = R () () = α r i t t ( ) = 0 +δ ( ) ( ) = +δ ( ) t t t t 0 Dr. A. Ozols 19

20 GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES e EXCESO El cambio eto de la cocetració electróica () = 0 +δ () () = +δ () t t t t d t d dt 0 ( δ t ) ( ) ( ) ( δ () t ) dt d t dt ( ) = α r i t t Velocidad de recombiació e equilibrio térmico La recombiació ocurre e ares () () δ t Dr. A. Ozols 0 ( ) = δ( t) d = = α r i 0 + δ t 0 + δ t dt = αδ r t δt ( ()) () ()( ) () ( )

21 GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES e EXCESO SC TIPO N 0 0 baja iyecció 0 δ CONDICIÓN de BAJA INYECCIÓN de carga SC TIPO P 0 0 baja iyecció 0 δ Dr. A. Ozols 1

22 GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES e EXCESO ( δ t ) Caso SC TIPO P ( ) La solució 0 0 La velocidad de recombiació d dt Baja iyecció de carga Tiemo de vida de ortadores mioritarios e exceso αδt 0 La recombiació de huecos y electroes r δ () 0 δt δ0 e = δ0 e ( ) ( ) α ( ) rt τ = 1 α r 0 ( δ ( )) ( ) d t δ t R = = αr0δ() t = dt τ R = R = t/ τ ( ) δ t τ Dr. A. Ozols 0 0

23 GENERACIÓN y RECOMBINACIÓN de PORTADORES e EXCESO Caso SC TIPO N co baja iyecció δ t 0 0 ( ) 0 La recombiació de huecos y electroes R = R = ( ) δ t τ 0 Dr. A. Ozols 3

24 ANÁLISIS MATEMÁTICO del EXCESO de PORTADORES ECUACIÓN de CONTINUIDAD Flujo de huecos (úmero de huecos/cm s) ( x) + F + + x Fx ( x+ dx) = Fx ( x) + dx x Elemeto de volume F + x ( x) + x ( + ) F x dx El icremeto del úmero de huecos ( x) + Fx dxdydz F + x ( x dx ) F + = + x ( x ) dydz = dxdydz t Cosiderado la geeració y recombiació ( x) F t x τ x + x dxdydz = + g dxdydz t τ t Tiemo de vida de ortadores e equilibrio térmico Dr. A. Ozols 4

25 ECUACIÓN de CONTINUIDAD La ecuació de cotiuidad ( x) + Fx = + g t x τ t Similarmete ara electroes ( x) Fx = + g t x τ t F x Flujo de electroes (úmero de electroes/cm s) Dr. A. Ozols 5

26 ECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPO Las desidades de corrietes de huecos y electroes J = eµ E ed x µ J = e E+ ed x El flujo de artículas J F E D e x + = = µ J F = = µ E D e x La divergecia del flujo de huecos + F = µ ( E) D x x x x Pero ( ) + Fx x = + g x t τ t g µ ( E) D + = t x x x τ t = µ ( E) + D + g t x x τ t Dr. A. Ozols 6

27 ECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPO La divergecia del flujo de electroes F = µ ( E) D x x x x Pero ( ) Fx x = + g x t τ t g µ ( E) D + = t x x x τ t = µ ( E) + D + g t x x τ t Además E ( E) = E + x x x Dr. A. Ozols 7

28 ECUACIÓN de DIFUSIÓN DEPENDIENTE del TIEMPO Las ecuacioes de difusió resulta etoces E D E g x x x t µ = τ t E D E g x x x t µ = τ t ero = x = t ( δ ) x ( δ ) t E fució de los excesos ( δ ) ( δ ) E ( δ ) D + µ E + + g = x x x τ t t ( δ ) ( δ) E ( δ) D + µ E + + g = x x x τ t t Dr. A. Ozols 8

29 TRANSPORTE AMBIPOLAR El camo eléctrico total E = E + E a it El camo itero es geerado or los excesos de carga ( δ δ ) it e E. Eit = = ε s x Esto comlica la determiació de las cocetracioes de los excesos!! Podría aroximarse E it E a Esto es acetable e la situació de eutralidad de carga δ δ. E 0 it Dr. A. Ozols 9

30 TRANSPORTE AMBIPOLAR So defiidas la geeració y recombiació de los excesos g = g = g t R = = = R = R τ τ t ( δ ) ( δ ) E ( δ ) D + µ E + + g R= x x x t ( δ ) ( δ) E ( δ) D + µ E + + g R= x x x t ec. 1 ec. Realizado la combiació µ ec. 1 + µ ec. Dr. A. Ozols 30

31 TRANSPORTE AMBIPOLAR ( ) ( δ ) µ D + µ D + µ µ ( ) E x ( δ ) x E + µ µ + µ + µ = µ + µ x ( ) ( )( g R) ( ) ( δ ) t Dividiedo or ( µ + µ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ D + µ D δ µµ δ δ + E + ( g R) = µ + µ x µ + µ x t Dr. A. Ozols 31

32 TRANSPORTE AMBIPOLAR Defiiedo el coeficiete de difusió y la movilidad ambiolares D = ( µ D + µ D ) ( µ + µ ) * µ = µµ * ( ) ( µ + µ ) La ecuació de difusió ambiolar ( ) ( ) ( ) * δ * δ δ D + µ E + ( g R) = x x t Dr. A. Ozols 3

33 LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA Las relacioes de Eistei relacioa la movilidad co los coeficietes de difusió µ e D D kt µ = = El coeficiete de difusió resulta D * e e µ D + µ D D D + D D kt kt DD + = = = µ e e + µ D D D + D + kt kt D * = ( ) ( 0 + δ δ ) ( + δ ) + ( + δ ) DD D D 0 0 Dr. A. Ozols 33

34 LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA a) semicoductor es de tio P 0 0 Baja iyecció de carga 0 δ D * ( + δ + + δ ) ( + δ ) + ( + δ ) DD DD = = D D D D ( ) ( ) + ( + ) + ( + ) µµ µµ µµ = = = * µ µ µ µ µ 0 δ µ 0 δ µ 0 δ δ Hiótesis de eutralidad de carga La ecuació ambiolar se reduce a la corresodiete al exceso del ortador mioritario ( ) ( ) ( ) δ δ δ D + µ E + ( g R) = x x t Dr. A. Ozols 34

35 LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA La geeració y recombiació del exceso mioritario ( ) ( ) 0 g R= g R = G + g R + R o geeració del equilibrio y del exceso recombiació del equilibrio y del exceso G G E equilibrio térmico 0 0 = δ g R= g R = g τ Dr. A. Ozols 35

36 LÍMITE de DOPAJE EXTRÍNSECO y de BAJA INYECCIÓN de CARGA Ecuació ambiolar ara SC fuertemete extríseco tio P ( δ ) ( δ) δ ( δ) + µ + = τ D E g x x t Aálogamete, la ecuació ambiolar ara SC fuertemete extríseco tio N ( δ ) ( δ ) δ ( δ ) + µ + = τ D E g x x t Dr. A. Ozols 36

37 APLICACIONES de la ECUACIÓN de TRANSPORTE AMBIPOLAR ( δ ) ( δ ) Estado estacioario t = 0 = t Distribució uiforme de ortadores e exceso D ( δ ) ( δ) x = 0, D = 0 x Camo eléctrico ulo ( δ ) ( δ) µ E = 0, µ E = 0 x x No hay geeració e volume de ares hueco-electró g = 0 Dr. A. Ozols 37

38 APLICACIONES de la ECUACIÓN de TRANSPORTE AMBIPOLAR Situacioes frecuetes a) Distribució uiforme de ortadores e exceso No hay geeració e volume de ares hueco-electró δ = τ ( δ ) t () = δ ( ) δ t 0 e τ t b) Estado estacioario x x ( δ ) δ L L D = 0 Camo eléctrico ulo δ ( x) = Ae + Be x τ No hay geeració e volume de ares hueco-electró L = D τ Logitud de Difusió P Dr. A. Ozols 38