Electrónicos y Fotónicos

Transcripción

1 Uiversidad de Sevilla Escuela Suerior de Igeieros DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA APUNTES DEL PRIMER PARCIAL DE LA ASIGNATURA Tecología y Comoetes Electróicos y Fotóicos Fracisco Colodro Ruiz Jua García Ortega Carlos Jaer Jiméez

2 2 Tabla de coteidos: CAPÍTULO INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS CRISTALINOS SÓLIDOS CRISTALINOS. MATERIALES SEMICONDUCTORES EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. NÚMEROS CUÁNTICOS ÁTOMOS COMPLEJOS BANDAS DE ENERGÍA PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR: ELECTRONES Y HUECOS CAPÍTULO CONCENTRACIONES DE PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO DENSIDAD DE ESTADOS EN LAS BANDAS DE VALENCIA Y CONDUCCIÓN PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO CAPÍTULO PROCESOS DE TRANSPORTE DE CARGA MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE PORTADORES CORRIENTE DE ARRASTRE EFECTO DE LA TEMPERATURA Y EL DOPADO SOBRE LA MOVILIDAD. EFECTO DE SATURACIÓN EN LA VELOCIDAD DE ARRASTRE DIFUSIÓN DE PORTADORES COMPONENTES DE CORRIENTE EN UN SEMICONDUCTOR EFECTOS DEL CAMPO ELÉCTRICO EN LAS BANDAS DE ENERGÍA CAPÍTULO GENERACIÓN Y RECOMBINACIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN DESEQUILIBRIO... 52

3 3 4.1 CUASINIVELES DE FERMI TIEMPO MEDIO DE EXISTENCIA DE PORTADORES EN DESEQUILIBRIO TIPOS DE RECOMBINACIÓN Recombiació etre Badas Recombiació e Cetros de Catura Recombiació suerficial CAPÍTULO ECUACIONES DE CONTINUIDAD ECUACIONES DE CONTINUIDAD HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE LOS PORTADORES CAPÍTULO EL DIODO DE UNIÓN PN LA UNIÓN P-N EN EQUILIBRIO TÉRMICO LA UNIÓN P-N POLARIZADA CARACTERÍSTICA ESTÁTICA DEL DIODO DE UNIÓN Procedimieto de cálculo Característica estática I-V Corrietes de geeració y recombiació e la RCE Deedecia de la característica co la temeratura Corrietes de ortadores e las regioes eutras Breve ejemlo de olarizació POTENCIALES Y CAMPOS EN LAS CERCANÍAS DE UNA UNIÓN P-N MECANISMOS FÍSICOS DE RUPTURA EN LAS UNIONES P-N EFECTOS CAPACITIVOS DE LA UNIÓN P-N Diámica de la uió Caacidad de Trasició Caacidad de difusió Corriete total or u diodo... 95

4 4 6.7 RESPUESTA EN CONMUTACIÓN Y TIEMPO DE ALMACENAMIENTO CAPÍTULO EL TRANSISTOR BIPOLAR ESTRUCTURA DEL TRANSISTOR BIPOLAR DE UNIÓN (BJT) DIAGRAMA DE CORRIENTES EN UN BJT GANANCIAS DE CORRIENTE CONTINUA DEL TRANSISTOR MODELOS ESTÁTICOS Y GRAN SEÑAL DEL BJT Modelo de Ebers-Moll Modelo simlificado CARACTERÍSTICA ESTÁTICA EN EMISOR COMÚN CAPÍTULO DISPOSITIVOS FOTÓNICOS EL DIODO EMISOR DE LUZ (LED) Mecaismos de recombiació de ortadores Semicoductores de Trasició Directa e Idirecta Materiales semicoductores emisores de luz Característica de los disositivos semicoductores emisores de luz DISPOSITIVOS FOTODETECTORES Fotocoductores El Fotodiodo PIN El fotodiodo de Avalacha (APD) El fototrasistor LA FIBRA ÓPTICA

5 5 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS CRISTALINOS 1.1 SÓLIDOS CRISTALINOS. MATERIALES SEMICONDUCTORES Las sustacias sólidas que se ecuetra e la aturaleza uede clasificarse segú el modo como se orgaiza los átomos que las costituye. E los sólidos cristalios, los átomos se orgaiza siguiedo u atró de regularidad que se reite e todo el esacio ocuado or el cuero (Figura 1). E los sólidos olicristalios existe tambié determiados atroes de regularidad que se reite e regioes locales del cuero y que uede variar de ua de estas regioes a otra. Y or último existe sólidos llamados amorfos dode los átomos costituyetes está localizados de ua maera arbitraria, o udiédose ecotrar igú atró de regularidad. E la actualidad todos los disositivos electróicos está costruidos sobre sustratos de material semicoductor cristalizado. Por ello, desde el uto de vista de la igeiería electróica, sólo los sólidos cristalios tiee iterés. El resto de este aartado se dedica a resumir brevemete alguas características de éstos. Los sólidos cristalios tiee ua estructura muy regular. Los átomos que los costituye está ordeados e el esacio de ua maera eriódica casi erfecta, de forma que el sólido uede verse como u mosaico, e el que existe u bloque elemetal que se reite regularmete. E la Figura 2 se muestra distitos ejemlos, dode se observa que la red uede describirse or medio de u araleleíedo elemetal (celdilla elemetal) que se reite eriódicamete e el esacio costruido sobre los tres vectores de traslació asociados a sus aristas. Esta estructura lleva a que los cristales sea sustacias aisótroas, es decir, sustacias cuyas roiedades deede de la

6 6 direcció o el lao e que se mida. No es difícil covecerse de esto si se observa que existe direccioes y laos esecialmete distitos, dode la eriodicidad e la reetició de átomos es distita. Figura 1. Ilustració de los diferetes tios de sólidos ara u cuero bidimesioal: (a) cristalio, (b) olicristalio y (c) amorfo Figura 2. Alguos ejemlos de celdas elemetales

7 7 Los cristales osee umerosas simetrías, es decir, existe distitas direccioes o aralelas y laos o aralelos estructuralmete idéticos uos a otros. Estas roiedades de simetría tiee ua ifluecia imortate e las roiedades de los sólidos, ya que el diagrama de badas del sólido (se itroducirá más tarde) refleja estas simetrías. Todas las roiedades físicas de los sólidos cristalios y, etre ellas, las roiedades eléctricas, deede del comortamieto colectivo de los átomos que los forma, átomos que, como se ha dicho ateriormete, está ordeados e ua red tridimesioalmete eriódica. La mayoría de los materiales que osee roiedades semicoductores o que se combia co otros ara la fabricació de semicoductores uede ecotrarse e los gruos II B, III A, IV A, V A y VI A de la Tabla Periódica de los Elemetos Químicos (ver Tabla 1). La columa IV tiee u esecial iterés or ecotrarse los semicoductores elemetales. E los rimeros años del desarrollo de la electróica de estado sólido, el material más usado fue el Ge. Si embargo, e la actualidad la mayoría de disositivos y comoetes electróicos que se comercializa está costruidos sobre Si. Ua de las características de estos dos materiales es que o so fotoemisivos. Tabla 1. Recuadrados los elemetos utilizados e la fabricació de semicoductores II B III A IV A V A VI A B (Boro) C (Carboo) N (Nitrógeo) O (Oxígeo) Al (Alumiio) Si (Silicio) P (Fósforo) S (Azufre) Z (Zic) Ga (Galio) Ge (Germaio) As (Arséico) Se (Seleio) Cd (Cadmio) I (Idio) S (Estaño) Sb (Atimoio) Te (Teluro) Hg (Mercurio) Tl (Talio) Pb (Plomo) Bi (Bismuto) Po (Poloio) A diferecia de ellos, la mayoría de los comuestos biarios formados or elemetos de los gruos III y V de la tabla tiee la roiedad de oder emitir radiació ótica e el itervalo esectral del ifrarrojo cercao y luz visible. Alguos de estos so: GaAs, IP, ISb,... El GaAs es u material semicoductor co esecial relevacia e las comuicacioes or fibra ótica, ues fue el material más emleado e los comiezos de éstas ara la realizació de disositivos emisores

8 8 de luz (λ=0.85 μm). Tambié or alguas de sus características 1 se emlea e la geeració de microodas ara la telecomuicació. E la actualidad se está usado tambié e el terreo de las comuicacioes óticas comuestos terarios y cuaterarios (Ej: AlGaAs, IGaAsP,... ) El comuesto GaP ermite la realizació de disositivos fotoemisores que irradia luz visible, y deediedo de las imurezas 2 co que se doe, se uede coseguir luz verde o roja. El comuesto terario GaAsP tambié emite luz visible. 1.2 EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. NÚMEROS CUÁNTICOS. Las roiedades eléctricas y térmicas de los sólidos está caracterizadas or la estructura de las badas de eergía de los mismos. La formació de estas badas surge or la iteracció de los electroes de los átomos costituyetes del sólidos y or la aturaleza cuática de los mismos. Por ello, será ecesario e este aartado itroducir alguos de los resultados más imortates de la rama de la física coocida como Mecáica Cuática. La Mecáica Cuática estudia el mudo subatómico, y e articular la iteracció de las artículas que forma a los átomos y las fuerzas de elace de los sólidos. Para ilustrar la resetació de los resultados que tiee iterés ara osotros, utilizaremos como ejemlo el sistema físico costituido or u rotó y u electró, es decir, u átomo de hidrógeo. Segú el modelo del átomo de hidrógeo clásico, el rotó, que tiee ua masa 1836 veces mayor que la del electró, ermaece e reoso, mietras el electró gira a su alrededor. El sistema ermaece e equilibrio diámico 3 cuado se iguala la fuerza eléctrica de atracció etre ambas artículas co la fuerza cetrífuga del electró. El estado del sistema está caracterizado or la osició y la velocidad del electró e cualquier istate de tiemo. El setido físico de ambas magitudes es bie coocido or el alumo. Ahora bie, segú el Priciio de Icertidumbre de Heiseberg, es imosible medir simultáeamete la osició y el mometo lieal de ua artícula, 1 Como se vera e caítulos osteriores reseta ua resistecia de equeña señal egativa ara ciertos valores de olarizació 2 Por imurezas e este caso etedemos átomos diferetes al Ga y al P que se iserta e la red cristalia del comuesto GaP de ua maera cotrolada. El GaP es u semicoductor de trasició idirecta, esto quiere decir que or si sólo o es u material fotoemisor, or ello la ecesidad de utilizar imurezas 3 E realidad, segú la mecáica clásica, el electró es ua articula acelerada que irradia eergía electromagética y que or tato acaba reciitádose sobre el rotó. Es u sistema iestable.

9 9 es decir, o es osible saber simultáeamete la osició y la velocidad de la artícula. Por tato, ara defiir el estado del electró, y así estudiar el átomo de hidrógeo como u ete cuático, hay que reuciar a las ideas clásicas. E mecáica cuática, el estado de ua artícula 4 es defiido or la fució de oda ψ (r r ). El setido físico de la fució de oda es dado or la iterretació de la catidad r ψ ( ) 2 V como la robabilidad de ecotrar al electró e el equeño volume de valor V situado e el uto del esacio r. Figura 3. Fucioes de desidad de robabilidad del átomo de hidrógeo. Ua de las coclusioes imediatas que se uede obteer es que el electró ya o se uede cosiderar como ua artícula localizada e u uto determiado, sio que se ecuetra localizado e ua regió difusa e toro al úcleo. A esta regió se cooce co el ombre de 4 Etedemos or estado e este caso todo lo que físicamete se uede coocer de la artícula.

10 10 orbital 5 y la robabilidad de ecotrar al electró e la misma es alta. E la Figura 3 se rereseta la aariecia tridimesioal del módulo al cuadrado de varias fucioes de oda de u electró erteeciete a u átomo de hidrógeo aislado. Las regioes sombreadas idica dóde existe ua robabilidad mayor de ecotrar al electró. Uo de los resultados de la Mecáica Cuática es que o siemre las magitudes físicas uede tomar ifiitos valores de u itervalo cotiuo. Por ejemlo, la eergía del electró e el átomo de hidrógeo, segú las ideas clásicas, era ua fució cotiua de la distacia al úcleo, es decir, E = E(r). Como r toma valores e el itervalo ( 0, + ), E toma tambié valores e otro itervalo cotiuo. Si embargo, la teoría cuática os dice que e la realidad la eergía del electró sólo uede tomar valores de u cojuto discreto, es decir, E = E =1,2,3,... E la Figura 4 se muestra los diferetes valores de eergía que uede tomar el átomo de hidrógeo. Como se observa, e el estado fudametal ( = 1), la eergía es E1 = 13. 6eV. Por tato, ara ioizar al átomo es ecesario sumiistrar exteramete al átomo la eergía de 13.6 ev. Cada vez que el electró asa de u ivel de eergía suerior a uo iferior, la diferecia de eergía se emite como u fotó. Si ocurre el roceso cotrario, es decir, u electró asa de u ivel eergético iferior a uo suerior, el átomo absorbe u fotó. La relació etre la eergía del fotó y su frecuecia es dada or la ley de Plack, 34 E = hf, dode h = Js es la costate de Plack. El ídice utilizado ara eumerar los diferetes valores de eergía del átomo se cooce or úmero cuático ricial y toma valores desde 1 hasta +. Cada ivel de eergía se corresode co u estado electróico 6, teiedo asociado ua fució de oda (o u orbital). Si embargo, e el átomo existe otras magitudes físicas que se coserva, que toma valores discretos y que uede ser medidas simultáeamete juto co la eergía. Por tato, los valores que estas magitudes toma está idexados or variables eteras l y m. El úmero cuático orbital l os idica el valor del módulo del mometo agular alrededor 5 E la mecáica clásica el electró recorría ua trayectoria erfectamete defiida y era osible redecir dode estaría e istates futuros de tiemo. Por ello se hablaba de órbita, coceto acuñado or la similitud del átomo co u sistema laetario. Como e realidad o es osible redecir la osició del electro, se ha acuñado el coceto de orbital. 6 E la realidad, el átomo de hidrógeo es degeerado, es decir, diferetes estados electróicos uede teer el mismo valor de eergía. Este hecho se observa e la Figura 3, dode diferetes orbitales osee el mismo úmero.

11 11 del úcleo que uede tomar u electró e u determiado estado y el úmero cuático magético m os idica el valor que uede tomar la royecció del mometo agular del electró alrededor del úcleo sobre ua direcció arbitraria del esacio. Para u valor determiado del úmero cuático ricial, los valores que uede tomar el úmero cuático orbital so l = 0,1,..., 1. Y ara u valor determiado l, los osibles valores que uede tomar el úmero cuático magético so m = l,...,0,..., l. Figura 4. Los cico iveles meores de eergía del átomo de hidrógeo y el ivel de ioizació. Existe u cuarto úmero cuático coocido como si, que sólo uede tomar dos valores s = 1 / 2, + 1/ 2 y que está relacioado co las dos úicas orietacioes de giro del electró etoro a sí mismo. Por tato, odemos cocluir, que ara defiir el estado electróico de u electró e el átomo, es ecesario idicar cuatro úmeros cuáticos. O dicho de otra maera, la fució de oda del electró e u estado estacioario es fució del vector de osició r y de r cuatro arámetros que so úmeros eteros ψ = ψ ( )., l, m, s r 1.3 ÁTOMOS COMPLEJOS El átomo de hidrógeo es el más secillo de aalizar or teer u sólo u electró. Si embargo, muchas de las coclusioes a las que se ha llegado e el aartado aterior sigue siedo válidas ara átomos co u úmero mayor de electroes. Cocretamete, los valores eergéticos

12 12 que uede tomar los electroes so discretos y cada estado electróico es defiido or los cuatros úmeros cuáticos. Se dice que todos los electroes que ocua estados co el mismo úmero cuático ricial costituye ua caa. Detro de ua caa, todos los electroes co el mismo úmero cuático orbital forma ua subcaa. A cada valor de l se le asiga ua letra, tal y como se muestra e la Tabla 2. Así ues, ua subcaa se uede idetificar idicado los úmeros cuáticos y l. Por ejemlo, la otació 3 3 idica que e la subcaa l = 1 de la caa = 3, sólo hay tres estados electróicos ocuados de los 6 estados totales. El úmero máximo de electroes que uede haber e ua subcaa figura tambié e la Tabla 2 y se deja como ejercicio que el alumo comruebe de dode se obtiee los mismos. Tabla 2 Letras asigadas al úmero cuático orbital y úmero máximo de electroes e cada subcaa Número cuático orbital Letra s d f Número máximo de electroes La ocuació de los estados electróicos de u átomo co u úmero determiado de electroes se rige or dos riciios físicos fudametales 7. Estos so: 1. Priciio de la míima eergía. Todos los electroes tiee la tedecia atural de ocuar los estados de meor eergía. 2. Priciio de Exclusió de Pauli. No uede haber dos o más electroes co los cuatro úmeros cuáticos iguales. Si esto fuera osible, todos los electroes de u átomo ocuaría el estado fudametal o de meor eergía. Por tato, los electroes ocua los estados electróicos de meor a mayor eergía si oder haber más de u electró e el mismo estado. La cofiguració electróica de u átomo 7 E realidad sería ecesario ua tercera regla de ocuació, el riciio de máxima multilicidad o regla de Hud. Pero e uestro caso o tiee iterés.

13 13 os idica como los electroes se distribuye or las diferetes subcaas del mismo. Como ejemlo odremos alguos elemetos semicoductores del gruo IV A de la tabla eriódica. El úmero de electroes del Si es 14 y su cofiguració electróica es: 2 2 1s 2s 2 3s El Ge tiee 32 electroes y or tato: [ Ar ] 3d 4s 4. El símbolo [ ] cofiguració electróica del gas oble argó. Ar refiere la Las roiedades eléctricas de los sólidos está ítimamete relacioadas co los electroes de la última caa de los átomos costituyetes. Para el caso de los semicoductores del gruo IV A, e su última caa ( = 3 ara el Si y = 4 ara el Ge) hay cuatro electroes. 1.4 BANDAS DE ENERGÍA E este aartado y el siguiete se retede describir, de ua forma aroximada, el comortamieto de aquellos electroes de u sólido que so resosables de sus roiedades eléctricas, es decir, su mayor o meor caacidad ara coducir la electricidad. Si se cosidera los átomos aislados, ates de formar el sólido cristalio, resulta que so los electroes de la última caa los que, al formarse el sólido, determia las roiedades eléctricas de éste. Se tedrá, ues, que ara coocer las roiedades eléctricas de u sólido es reciso describir el comortamieto de N m objetos cuáticos (electroes), dode N es el úmero de átomos del sólido y m el úmero de electroes de la última caa del átomo aislado. La extesió esacial de la fució de oda asociada a los electroes de u átomo es tato mayor cuato mayor sea el ivel eergético del electró. Por ello, so recisamete las fucioes de oda de los electroes de valecia las que e mayor medida iteraccioa etre sí cuado se forma el sólido cristalio. Esto justifica el cosiderar searadamete el cojuto formado or el úcleo del átomo y los electroes iteros, or u lado, y los electroes de valecia or otro. Cuado dos átomos está lo suficietemete searados, los electroes de uo y otro o iteraccioa etre sí. Las regioes sombreadas de la Figura 3 corresodietes a electroes equivaletes de estos dos átomos o se solaa. Aquellos electroes que ocua iveles similares

14 14 e ambos átomos tiee la misma eergía y está descritos or fucioes de oda iguales (mietras o haya iteracció etre ambos). Si embargo, a medida que se aroxima dos átomos, las fucioes de oda que describe el comortamieto de dos electroes comieza a solaarse co lo que se ve erturbadas, es decir, se modifica ambas fucioes. Cualitativamete se observa u deslazamieto e los iveles eergéticos de ambos electroes de forma que éstos o coicida. Esto es debido a que los electroes so u tio articular de etes cuáticos, los fermioes, que osee ua característica muy esecial: dos o más fermioes o uede ocuar u mismo estado cuático 8. Por este motivo se seara los iveles eergéticos de los electroes al aroximarse ara formar la red cristalia. Figura 5. Formació de las badas de valecia y coducció de u cristal de carboo. E la Figura 5 se observa lo que ocurre a medida que se acerca los N átomos de ua red cristalia de carboo. Los 2N iveles eergéticos 2s de los átomos, así como los 6N iveles 2, emieza a seararse, formado, iicialmete, dos badas de iveles eergéticos, ua corresodiete a los iveles 2s de los átomos y otra corresodiete a los iveles 2. Si el acercamieto etre átomos cotiúa, las dos badas se fude e ua sola. Si la aroximació 8 Es ua forma diferee de euciar el riciio de exclusió de Pauli.

15 15 cotiúa, esta bada se divide e dos, cada ua de las cuales cotiee 4N iveles eergéticos. La bada iferior recibe el ombre de bada de valecia y la suerior bada de coducció. E la figura se ha reresetado tambié la distacia de searació etre átomos e la red del diamate, es decir, la distacia ara la cual la eergía total del sistema se hace míima. El itervalo de searació etre ambas badas recibe el ombre de bada rohibida y la diferecia de eergía etre ellas achura de la bada rohibida. A ua temeratura igual a 0K, los electroes ocua los iveles de eergía más bajos. El diamate cueta co cuatro electroes e su última caa, or lo que la bada de valecia estará totalmete ocuada, mietras que la bada de coducció estará totalmete vacía. Para que u electró ueda deslazarse como ua artícula a lo largo de la red cristalia (codició idisesable ara que sea coductor de la electricidad) debe teer estados de eergía sueriores accesibles (vacíos) detro de la bada a la que erteece. Por ello se uede deducir que a 0K el diamate es u aislate erfecto. A temeraturas sueriores a 0K los electroes o tiee or qué ocuar ecesariamete los iveles eergéticos más bajos osibles y existe ua robabilidad o ula de que u electró ocue u estado eergético de la bada de coducció. La robabilidad de que u electró que a 0K ocua la bada de valecia ueda ocuar la bada de coducció, deede tato de la temeratura como de la achura de la bada rohibida. E el diamate la achura de la bada rohibida es lo suficietemete grade como ara que a temeratura ambiete la robabilidad de que esto ocurra sea ífima. Por ello el diamate es ua excelete aislate icluso a temeraturas altas. Figura 6. Diferecias etre metales, metales de trasició, dieléctricos y semicoductores.

16 16 Los metales so bueos coductores de la electricidad debido a que la bada de coducció o está vacía sio que se ecuetra arcialmete llea, o bie uede ocurrir que la bada de valecia y la bada de coducció se solae etre sí (este es el caso de los metales de trasició), tal como se muestra e la Figura 6. Hay determiados sólidos cristalios que reseta características de coducció eléctrica itermedias etre las de los aislates y los metales. So los semicoductores, etre los que cabe destacar el Silicio, el Germaio y el Arseiuro de Galio. E estos materiales la achura de la bada rohibida es lo suficietemete equeña ara que a temeratura ambiete haya ua cocetració o desreciable de electroes e la bada de coducció. Este tio de materiales es aislate a temeraturas bajas y su coductividad eléctrica crece a medida que aumeta la temeratura. E el siguiete aartado se discutirá co mayor detalle el roceso de coducció de corriete e u semicoductor. 1.5 PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR: ELECTRONES Y HUECOS Ates de itroducir el coceto de huecos es coveiete recordar la aturaleza del elace covalete. Como se sabe de química, la tedecia atural de todo átomo que se combia cosigo mismo o co otros elemetos de la tabla eriódica ara formar ua molécula o u sólido es alcazar la cofiguració electróica de u gas oble. Los gases obles so elemetos o reactivos, es decir, o se combia co igú otro elemeto, debido a que su última caa está cerrada. Por caa cerrada etedemos la existecia de ocho electroes, y su cofiguració electróica es 2 6 s, dode es el úmero cuático ricial. U ejemlo muy ilustrativo es el elace ióico de la sal comú o cloruro sódico NaCl. El Na tiee e su última caa sólo u electró y el Cl le falta uo ara comletar la caa 3s. Por tato, el Na ([Ne]3s 1 ) etrega su electró de valecia al Cl ([Ne]3s ) y ambos átomos se queda co la cofiguració electróica del Ar y Ne, resectivamete. Como cosecuecia de ello, el átomo de Na queda ioizado ositivamete y él de Cl egativamete, formádose el sólido or atracció electrostática. Si embargo, las sustacias semicoductoras se ue mediate el elace covalete. 2 2 Recordamos que el silicio ([ ] Ne 3s ) tiee e su caa de valecia cuatro electroes. Cuado este

17 17 elemeto se combia ara formar el sólido, el átomo comarte sus cuatro electroes de valecia co los cuatro electroes situados a su alrededor. A su vez estos comarte co el átomo uo de sus electroes. Como se observa e la Figura 7, el átomo A1 comarte sus electroes co los átomos vecios, de tal modo que los dos electroes de u elace covalete erteece or igual a los dos átomos uidos or ese elace. De esta maera, cada átomo tiee ocho electroes e su última caa formado u sistema estable. A la temeratura del cero absoluto (0K), si resecia de igua excitació extera, todos los electroes de la red está localizados e sus resectivos elaces covaletes. Por tato, el semicoductor se comorta como u aislate. Por ejemlo, iguo de los dos electroes del elace A6-A7 (elace etre el átomo A6 y el A7) uede ubicarse e los estados del elace A6-A1 orque, al estar estos últimos ocuados, lo imide el riciio de exclusió de Pauli. Esta situació se corresodería co la bada de valecia comleta y la bada de coducció vacía. Si embargo, como se observa e el átomo A2 de la figura, cuado la temeratura del material es suerior al cero absoluto, alguos electroes adquiere suficiete eergía térmica ara liberarse del elace. Este caso se corresodería co la geeració térmica de u ar electró-hueco, que visto e la estructura de badas de eergía, suodría ua trasició de u electró desde la bada de valecia a la bada de coducció (Figura 8). Al elace roto e A2 se le llama hueco. Si ahora se alica u camo eléctrico extero, el electró de la bada de coducció se movería e el setido cotrario al camo, geerádose corriete eléctrica. E la bada de valecia tambié se geeraría corriete, uesto que ahora sí hay estados electróicos desocuados. Este roceso se ilustra e la Figura 7 dode or acció térmica se geeró u ar e-h e el átomo A5. El electró es deslazado hacia la izquierda (roceso e la bada de coducció) mietras que u electró de u elace vecio asa a ocuar el hueco geerado. El roceso de trasferecia de u electró de u elace comleto a u elace roto cotiúa hasta que fialmete el hueco acaba e el átomo A3. Nótese que la ausecia de u electró e u elace suoe que el átomo se queda ioizado ositivamete y co el deslazamieto del hueco desde A5 hasta A3 se ha roducido u deslazamieto eto de ua carga ositiva hacia la derecha. Por tato, odemos cocluir que a efectos rácticos u elace roto se comorta como ua artícula de carga ositiva, libre (se uede deslazar or la red cristalia) y de valor igual a la carga del electró.

18 18 Tato los electroes como los huecos e el iterior de la red cristalia o so artículas libres i clásicas. Si embargo, se uede demostrar que e los extremos de las badas 9 ambas artículas obedece las leyes de Newto ate la excitació de u camo eléctrico o magético extero co tal que redefiamos el valor de sus masas ierciales. A los uevos valores los llamaremos masas efectivas. A lo largo de esta asigatura utilizaremos la siguiete otació: m e masa efectiva del electró m h la masa efectiva del hueco Ua justificació rigurosa de este hecho o se dará e esta asigatura or la comlejidad de la misma, ero si odemos justificarlo diciedo que el electró (o el hueco) o sólo se ve sometido a la fuerza del camo alicado exteramete, sio tambié a las fuerzas iteras del cristal (úcleos atómicos, imurezas ioizadas, otros electroes de la red,...). Para o icluir las fuerzas iteras e uestros aálisis y cosiderar sólo las fuerzas exteras, debemos modificar el valor de la masa. Figura 7. Reresetació bidimesioal del elace covalete e el silicio. Geeració térmica de u ar e-h e el átomo A2. Deslazamieto or u camo eléctrico del ar e-h geerados térmicamete e el átomo A5 (Flechas de trazo cotiuo: Movimieto de ortadores. Flechas de trazo discotiuo: Geeració de ares de e-h 9 Electró e el míimo de la BC y el hueco e el máximo de la BV

19 19 Por último aclaramos que cuado se geera u ar e-h, el electró tiede a ocuar los estados de meor eergía, es decir, aquellos que está etoro al míimo de la bada de coducció (BC). Si embargo, co los huecos ocurre lo cotrario. El hueco es u estado electróico vacío, or lo que tiede a estar e los valores más altos de eergía, como ua burbuja de aire e ua botella de agua tiede a estar siemre arriba. Figura 8. Geeració de u ar e-h. Por acció térmica, u electró de la bada de valecia es trasferido a la bada de coducció.

20 20 CAPÍTULO 2 CONCENTRACIONES DE PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO A la temeratura de 0K el sólido cristalio osee ua eergía míima. A medida que aumeta la temeratura la eergía del sólido crece, de forma que los elemetos que lo comoe, úcleos de la red cristalia y electroes de la bada de coducció, adquiere eergías cada vez mayores. Los úcleos de la red comieza a vibrar alrededor de sus osicioes de equilibrio. Por otro lado, los electroes, que a 0K ocuaba todos los estados eergéticos de la bada de valecia y iguo e la bada de coducció, emieza a ocuar estados cuáticos de la bada de coducció (que so más eergéticos). Se observa, ues, que las roiedades eléctricas de los semicoductores deede de la temeratura, ya que la cocetració de ortadores de carga, electroes y huecos, es fució de la temeratura. La deedecia de los estados vibratorios de los úcleos de la red co la temeratura tambié hace que las roiedades eléctricas de los semicoductores cambie co ella ya que, segú se verá e otro tema, uo de los mecaismos de disersió de los ortadores de carga es la iteracció de éstos co los úcleos de la red cristalia; esta iteracció es tato más robable cuato mayor sea la eergía de vibració de los úcleos de la red. E esta lecció se retede determiar la cocetració de ortadores de carga (electroes y huecos) que, a ua temeratura dada, existe e u semicoductor. E rimer lugar se cetrará el estudio sobre los semicoductores itrísecos, es decir, aquellos e los que electroes y huecos se crea exclusivamete mediate excitació térmica. Los ortadores de carga creados de esta maera

21 21 recibe el ombre de ortadores itrísecos y la coductividad debida a estos ortadores (la úica que existe e los semicoductores itrísecos), coductividad itríseca. E u semicoductor itríseco el úmero total de electroes e la bada de coducció es igual al úmero total de huecos e la bada de valecia ya que, al asar u electró de la bada de valecia a la de coducció, éste deja u hueco e la bada de valecia. Para hallar la coductividad de u semicoductor hay que determiar reviamete dos cosas: La desidad de estados eergéticos e las badas de coducció y valecia y la robabilidad de ocuació, a ua temeratura dada, de los iveles eergéticos. A artir del aálisis hecho ara los semicoductores itrísecos, se estudiará los semicoductores extrísecos, es decir, aquellos cuyas roiedades eléctricas deede de uas imurezas que se añade al semicoductor. 2.1 DENSIDAD DE ESTADOS EN LAS BANDAS DE VALENCIA Y CONDUCCIÓN. Figura 9. Discretizació de estados eergéticos detro de las badas de valecia y coducció Los iveles de eergía ermitidos e u sólido cristalio so discretos, auque está searados etre sí or saltos de eergía extremadamete equeños (Figura 9). Por esta razó, e geeral, se suoe que los iveles eergéticos forma ua bada cotiua. Para defiir el coceto de desidad de estados se cosiderará iveles discretos, ya que la defiició resulta más ituitiva.

22 22 Cosidérese u ivel de eergía situado e la bada rohibida. Segú se dijo e aartados ateriores, u electró de u semicoductor ideal o uede teer ese valor de eergía y, or tato, si cosideramos u itervalo de eergías alrededor de ese valor, resulta que el úmero de estados eergéticos accesibles ara u electró e dicho itervalo es 0 y, or cosiguiete, la desidad de estados, es decir el úmero de estados accesibles dividido or la achura del itervalo cosiderado, es 0 e la bada rohibida. Si se cosidera ua eergía suerior al míimo de la bada de coducció, resulta que ese estado sí es accesible ara u electró y, or cosiguiete, la desidad es mayor que 0. La searació etre estos iveles o es costate, sio que es meor ara iveles más searados de la bada rohibida. Es decir, la desidad de iveles eergéticos aumeta cuato mayor es la eergía e la bada de coducció o meor e la bada de valecia. Las exresioes de las desidades de estados de los electroes e la bada de coducció y de los huecos e la bada de valecia so: Ecuació 1 8π Ne ( E) = 3 h 8π Nh ( E) = 3 h 2 m 2 m 3 / 2 e 3 / 2 h E E E v c E E > E c E < E v dode E c es la eergía del míimo de la bada de coducció y E v es la eergía del máximo de la bada de valecia. Por tato, a medida que os adetramos e la bada de coducció, el úmero de estados accesibles ara los electroes crece co la raíz cuadrada de la eergía. La afirmació aáloga es cierta ara los huecos e la bada de valecia. El coeficiete de roorcioalidad o es e ambos casos el mismo ya que, e geeral, las masas efectivas de electroes y huecos o so iguales. 2.2 PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS Para determiar el úmero de ortadores de carga e la bada de coducció y e la bada de valecia se ecesita coocer, además de la desidad de estados eergéticos N(E), la robabilidad de que el estado de eergía E esté ocuado. Esta característica viee defiida or ua fució f(e,t)

23 23 de distribució dode E varía de - a +. El setido de esta fució es claro. Suógase u estado de eergía E*; suuesto que este valor de eergía erteece a la bada de coducció (estado accesible de eergía) la robabilidad de que esté ocuado or u electró es f(e*,t). La exresió de f(e,t) es la siguiete: Ecuació 2 f ( E, T ) = 1+ e 1 ( E E f ) / kt dode la costate k=1.38x10-23 J/K es la costate de Boltzma. Esta fució recibe el ombre de fució de distribució de Fermi-Dirac y describe el comortamieto estadístico de cualquier oblació de fermioes y, e articular, de los electroes y huecos e u sólido cristalio. E f es ua costate e el setido de que o es fució de E, ero deede, auque sea débilmete, de la temeratura. E f recibe los ombres de otecial químico, ivel de Fermi o eergía de Fermi. Figura 10. Fució de distribució de Fermi-Dirac a 0K y a T > 0k E la Figura 10 se ha reresetado la fució de distribució de Fermi-Dirac ara distitas temeraturas. E ella se observa que a 0K los estados de eergía E > E f tiee ua robabilidad ula de estar ocuados, mietras que si la eergía es iferior a E f la robabilidad es 1. A temeraturas sueriores a 0K u estado de eergía igual al ivel de Fermi tiee ua robabilidad

24 de estar ocuado. A temeratura ambiete de fucioamieto e los materiales semicoductores, la fució de Fermi tiee ua aariecia o excesivamete distita de la que tiee a 0K, ya que tiee u comortamieto exoecialmete decreciete ara eergías sueriores al ivel de Fermi. E ua secció osterior se verá cómo se determia E f y cómo deede de la temeratura. 2.3 CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO La cocetració de electroes e la bada de coducció, es decir, el úmero de electroes que hay or uidad de volume e u itervalo ifiitesimal de eergía (E,E+dE), se obtiee multilicado la fució de desidad de estados e la bada de coducció or la robabilidad de que dichos estados esté ocuados, es decir, or la fució de distribució de Fermi-Dirac f(e,t). Itegrado este roducto ara eergías sueriores al míimo de la bada de coducció se obtiee la cocetració total de electroes libres e la bada de coducció ( o ). El subídice o refiere la codició de equilibrio térmico. La cocetració de huecos e la bada de valecia se obtiee multilicado la fució de desidad de estados e la bada de valecia or la robabilidad de que dichos estados o esté ocuados (ésta es la robabilidad de que exista u hueco), es decir 1-f(E,T). Itegrado este roducto ara eergías iferiores al máximo de la bada de valecia se obtiee la cocetració total de huecos libres e la bada de valecia ( o ). Esto es: Ecuació 3. o = o Ev = + Ec h N ( E) f ( E, T ) de = e N ( E) + [ 1 f ( E, T )] de = Ec Ev 8π 2 m 3 h 8π 2 m 3 h 3 / 2 e 3 / 2 h E E c 1+ e 1 ( E E f ) / kt 1 Ev E (1 1+ e de ( E E f ) / kt ) de

25 25 Figura 11. Cocetració de electroes y huecos e las badas de u semicoductor itríseco. La iterretació gráfica de las itegrales de la Ecuació 3 se ilustra e la Figura 11 dode se rereseta las fucioes de desidad de estados e ambas badas y la fució de Fermi-Dirac. La cocetració de electroes o e la bada de coducció se corresode co el área de la regió rayada de la figura e el itervalo eergético E > E c. Esta regió está delimitada or el eje vertical de la eergía y el roducto de fucioes N e ( E) f ( E, T ). De igual maera la cocetració de huecos se corresode co el área de la regió delimitada or el eje y el roducto de fucioes N h [ 1 f ( E, )] ( E) T. Las itegrales de la Ecuació 3 o tiee solució aalítica y su solució requiere de técicas uméricas. Si embargo, e la mayoría de los casos rácticos el ivel de Fermi se ecuetra e la bada rohibida y alejado de E c y E v varias veces la catidad kt (a temeratura ambiete, T=298K, kt=0.026ev ) 10. E tal caso se uede hacer la aroximació de Maxwell- Boltzma: 10 Por defiició 1 ev es la eergía que libera o se comuica a u electró e u deslazamieto etre dos utos co ua caida de otecia de 1V. Id. 1 ev=1.609x10-19 J

26 26 Ecuació 4. Aroximació Maxwell-Boltzma f ( E, T ) = ( 1+ e 1 f ( E, T ) = 1+ e 1 E E f 1 ) / ( E E f kt ) / e kt ( E E f e ) / + ( E E f kt ) / kt si si E E E f f >> kt E >> kt Si sustituimos la Ecuació 4 e la Ecuació 3 las itegrales se resuelve aalíticamete y las cocetracioes de ortadores toma el valor Ecuació 5. Cocetracioes de u SC e equilibrio térmico o o = U = U v c e e ( Ec E f ) / ( E f Ev ) / kt 2πme kt ; U c = 2( ) 2 h 2πmh kt ; U v = 2( ) 2 h kt 3 / 2 3 / 2 dode los coeficietes U c y U v recibe el ombre de desidades efectivas de estados e la bada de coducció y de valecia, resectivamete. La aroximació de Boltzma tiee ua iterretació: la estadística de electroes y huecos asa de ser ua estadística cuática a ser ua estadística clásica 11. Semicoductores itrísecos Se dice que u semicoductor es itríseco si e su red cristalia o hay imurezas i irregularidades. Como se verá e el aartado osterior, hay veces que iteresa sustituir átomos ativos del semicoductor or otro tio de átomos, que se itroduce e la red cristalia de ua maera cotrolada. E tal caso, se dice que el semicoductor es extríseco. Tambié udiera ocurrir que e la red cristalia haya irregularidades (microfracturas, vacates osicioes e la red dode o hay átomo-,...) o átomos de imurezas que se itroduce e al red, de ua maera o cotrolada, durate el roceso de fabricació o or el etoro e el que se ecuetra el semicoductor. E u semicoductor itríseco todos los electroes de la bada de coducció 11 Las cocetracioes de ortadores e los extremos de las badas so mucho meores las cocetracioes de estados. Por ello, u electró (hueco) ecuetra a su alrededor muchos estados libres e los que alojarse y el riciio de exclusió de Pauli o tiee efecto.

27 27 roviee de la bada de valecia or geeració térmica (id. Los electroes que se mueve libres or la red cristalia roviee de la rutura de elaces covaletes). Por ello el úmero de electroes es igual al de huecos (id. = o o = i ). Por defiició la cocetració itríseca i es el valor de la cocetració de ortadores (electroes o huecos) e u semicoductor itríseco. Por el cotrario, e u semicoductor extríseco las cocetracioes de ortadores o tiee orque ser iguales. Si m h y m e so exactamete iguales, las curvas de desidad de estados e las dos badas so totalmete simétricas, or lo que la eergía de Fermi queda exactamete e el cetro de la bada rohibida e u semicoductor itríseco (ver Figura 11). Si o fuera así, la oblació de electroes e la bada de coducció y la de huecos e la bada de valecia o coicidiría. Si m h y m e o so iguales (y esto suele ocurrir e la realidad), el ivel de Fermi debe deslazarse ligeramete hacia arriba o hacia abajo de forma que al efectuar las itegrales se obtega valores iguales de las cocetracioes. E este caso, el ivel de Fermi se deslaza ligeramete desde el cetro de la bada rohibida a la bada de ortadores co meor masa efectiva. Este hecho se muestra e la Figura 11 ara el caso coducció E c. m > m, dode E f se deslaza hacia el míimo de la bada de h Si e la Ecuació 5 se iguala las exresioes de las cocetracioes uede obteerse la deedecia del ivel de Fermi, ara u semicoductor itríseco, co la temeratura. Se acoseja al alumo que demuestre la siguiete exresió: Ecuació 6. Nivel itríseco de u semicoductor E i = E E + E 3 4 c v f, SC it = + k T 2 m l m h E i recibe el ombre de ivel itríseco y or defiició es el ivel de Fermi e u semicoductor itríseco. A cotiuació se demuestra que el roducto o o es ua fució de la achura de la bada rohibida, las masas efectivas y la temeratura, siedo ideediete del ivel de Fermi. Los semicoductores extrísecos uede describirse (ver el róximo aartado) cosiderado que su ivel de Fermi está deslazado co resecto del ivel itríseco E i. Por o deeder o o del ivel

28 28 de Fermi, la exresió que sigue, calculada tomado o = i y o = i, es válida tambié ara los semicoductores extrísecos. Ecuació 7. Ley de acció de masas o o = 2 i 2 kt = 4( π ) 2 h 3 ( m e m h ) 3 / 2 e Eg kt El hecho de que el roducto de la cocetració total de electroes y huecos sea ideediete de la catidad de imurezas e u semicoductor extríseco, va a ser utilizado co rofusió or lo que debe teerse siemre e mete. La relació dada or la Ecuació 7 recibe el ombre de Ley de Acció de Masas y se cumle e semicoductores que verifica la aroximació Maxwell-Boltzma e ambas badas bajo las codicioes de equilibrio térmico. Tambié de la Ecuació 7 se obtiee la deedecia de la cocetració itríseca co la temeratura ( Eg 3 / 2 kt i T e 2 ). Figura 12. Cocetració itríseca e fució de la temeratura.

29 29 E la Figura 12 se rereseta la cocetració itríseca e fució de la temeratura ara distitos materiales semicoductores. Se observa que si aumeta la temeratura aumeta la cocetració (hay mayor eergía térmica ara la geeració de ares e-h). Tambié destacamos que los semicoductores co meor achura de bada rohibida (E g ) tiee mayor cocetració de ortadores (la eergía míima ara romerse u elace covalete es meor). 2.4 SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO. Se uede itroducir catidades muy equeñas de sustacias como arséico, atimoio u otros elemetos erteecietes al gruo V de la tabla eriódica, e cristales uros de silicio o germaio, como imurezas de sustitució, es decir, como átomos de imurezas que ocua osicioes de la red cristalia que ormalmete estaría ocuados or átomos del semicoductor. Los átomos del gruo V tiee cico electroes de valecia. Cuatro de ellos se usa ara formar elaces covaletes co átomos vecios del semicoductor y el quito se elaza al átomo de imureza co fuerzas electrostáticas muy débiles. El elace es ta débil que, icluso a temeraturas muy bajas (etoro a 20K), la eergía de agitació térmica de la red es suficiete ara ioizar el átomo de imureza, liberádose el quito electró del úcleo de la imureza. Este electró ya uede circular libremete or la red cristalia y or tato se ecuetra e la bada de coducció. Nótese que e este roceso o se ha geerado u hueco e la bada de valecia. Esto uede iterretarse como la existecia de estados eergéticos accesibles ara los electroes or debajo, ero muy róximos al míimo de la bada de coducció (Figura 13). Si e lugar de los átomos del gruo V se itroduce e la red átomos del gruo III (Al,Ga,I,etc.), se observará u feómeo muy distito. Estos átomos tiee sólo tres electroes de valecia que se usa ara formar elaces covaletes co tres átomos vecios, ero el cuarto osible elace carece de electró. Esto uede iterretarse como que existe estados eergéticos accesibles ara los electroes or ecima, ero muy róximos al máximo de la bada de valecia (Figura 14). La roximidad es ta grade que el aorte de ua catidad míima de eergía hace que los electroes de la bada de valecia ase a estos estados eergéticos, roduciédose u hueco e la bada de valecia. E este caso o se geera electroes e la bada de coducció.

30 30 Figura 13. Estados eergéticos doadores Figura 14. Estados eergéticos acetores E el rimer caso, el átomo de imureza que queda se covierte e u ió ositivo y fijo. Esta situació se ilustra e la Figura 15. Estos semicoductores se deomia de tio, desigados así orque la mayoría de los ortadores de carga so, a temeraturas ormales de fucioamieto, electroes libres. La comoete de coductividad eléctrica que se roduce or los átomos de imureza se llama coductividad de imureza. Los átomos de sustitució del gruo V se llama átomos doadores, ya que cada uo de ellos doa u electró libre adicioal al cristal.

31 31 Figura 15. Electroes y huecos libres rocedetes de átomos de imurezas E el segudo caso, el átomo de imureza que queda se covierte e u ió egativo y fijo. Esta situació se ilustra tambié e la Figura 15. Estos semicoductores se deomia de tio, desigados así orque la mayoría de los ortadores de carga so, a temeraturas ormales de fucioamieto, huecos libres. Los átomos de sustitució del gruo III se llama átomos acetores, ya que cada uo de ellos aceta u electró de la bada de valecia roduciédose u hueco adicioal e el cristal. E u semicoductor e equilibrio térmico or cada electró libre (e la bada de coducció) hay u hueco si se ha geerado térmicamete (trasició del electró desde la BV a la BC) o ua imureza doadora ioizada ositivamete si el electró roviee de la imureza. Recírocamete, or cada hueco libre hay u electró (geeració térmica) o ua imureza acetora ioizada egativamete. Por tato, todo el cristal debe ser eléctricamete eutro. Esta codició de eutralidad de cargas uede exresarse igualado la suma algebraica de cargas ositivas y egativas: Ecuació 8. Ley de eutralidad de cargas o + d o a T > T ui + N = + N + N = + N o d o a dode o, o, N + - d y N a so las cocetracioes de huecos, electroes, imurezas doadoras ioizadas e imurezas acetoras ioizadas, resectivamete. Como se dijo e u árrafo aterior,

32 32 ara temeraturas sueriores a u umbral T ui relativamete bajo (T > T ui, valiedo el umbral e toro a K) casi todas la imurezas está ioizadas udiédose aroximar N d + = N d y N a - = N a. Dode N d y N a so las cocetracioes totales de imurezas doadoras y acetoras, resectivamete. La cocetració de ortadores e las badas de coducció y valecia se uede ecotrar a artir de las ecuacioes de eutralidad de cargas y acció de masas. Por ejemlo, si desejamos o o o de la Ecuació 7 y sustituimos e la Ecuació 8 se obtiee: Ecuació 9. Cocetracioes de u SC extríseco a d i d a d a o a d i a d a d o N N N N N N N N N N N N + + = + + = ; 4 ) ( 2 ; 4 ) ( Si o hay imurezas ( 0 = = a d N N ) el semicoductor es itríseco y las cocetracioes de ortadores so iguales a la cocetració itríseca ( i o o = = ). E caso de que el SC esté doado y las cocetracioes de imurezas sea iguales ( 0 > = a d N N ), las cocetracioes de ortadores cotiúa siedo iguales a la cocetració itríseca ( i o o = = ), ero la movilidad 12 de los ortadores será meor que la de u semicoductor itríseco. Si a d N N > hay más electroes que huecos (SC extríseco tio ) y si a d N N <, hay más huecos que electroes (SC extríseco tio ). Para semicoductores fuertemete extrísecos ( i a d N N >> ), estas fórmulas se simlifica cosiderablemete. Ecuació 10. Cocetracioes de u SC. Fuertemete extríseco i d a d a d a i o d a o i a d a d a d i o a d o N N y N N si N N N N N N y N N si N N N N >> > >> > ; ; ; ; 2 2

33 33 Las exresioes ateriores arece idicar que, mietras la cocetració de ortadores mioritarios deede fuertemete de la temeratura ( Eg 3 / 2 kt i T e 2 ), la de los ortadores mayoritarios o deede de ésta. Esta afirmació es relativamete cierta e u amlio itervalo de temeraturas. E la Ecuació 10 se ha desreciado la cotribució de los ortadores itrísecos frete a los extrísecos a la hora de determiar la cocetració de ortadores mayoritarios. Si embargo, tal como se muestra e la Figura 12, esta cotribució crece ráidamete co la temeratura, or lo que cuado ésta es muy elevada, la cotribució de ortadores itrísecos se hace comarable a la de los extrísecos. Se sugiere al alumo que estime a qué temeratura u semicoductor, que e riciio era extríseco, asa a comortarse como uo itríseco. A temeraturas muy bajas o todas las imurezas está ioizadas y habría que sustituir N d or N + d y N a or N - a. Las exresioes de la Ecuació 10 va a utilizarse sistemáticamete a lo largo de los temas siguietes, or lo que es muy imortate ser cosciete de las simlificacioes que se ha hecho ara llegar a ellas y coocer las codicioes e las que so aroximadamete ciertas. Las cocetracioes de ortadores se uede exresar tambié e fució de la cocetració itríseca y del valor del ivel itríseco. Se deja como ejercicio que el alumo demuestre las siguietes exresioes Ecuació 11. Cocetracioes de ortadores o o = e i = e i E f Ei kt Ei E f kt Las exresioes de la Ecuació 11 oe de maifiesto que e u semicoductor tio el ivel de Fermi es mayor que el ivel itríseco, y que cuato más fuertemete extríseco sea, más se aroximará al míimo de la BC. Recírocamete, e u semicoductor tio, el ivel de Fermi será meor que el ivel itríseco y a mayor doado más se aroximará a la BV. 12 Parámetro eléctrico que se defiirá e el róximo caítulo.

34 34 Figura 16. Cocetració de electroes e silicio co ua cocetració de imurezas doadores N d =10 16 cm -3. E líea discotiua la cocetració itríseca. E la Figura 16 se rereseta la variació de la cocetració de electroes e u semicoductor de silicio fuertemete doado co ua cocetració de imurezas doadoras N d =10 16 cm -3. E la gráfica se uede distiguir tres regioes de comortamieto diferete. A temeratura de 0K o hay igua eergía térmica ara excitar los electroes de las imurezas i ara romer elaces covaletes, or tato el valor de la cocetració es cero. Coforme la temeratura aumeta se va ioizado las imurezas y va aumetado la cocetració. A la regió de temeraturas desde 0K a 100K se deomia de ioizació. Si embargo, cuado se alcaza ua temeratura etoro a 100K casi todas las imurezas ya está ioizadas y la cocetració de mayoritarios ermaece costate e igual a o = N d aú si sigue subiedo la temeratura. Al itervalo de temeraturas dode la cocetració ermaece costate se deomia regió extríseca. E la regió extríseca la cocetració de mioritarios crece roorcioalmete al cuadrado de la itríseca (ver Ecuació 10). E la misma figura se ha reresetado tambié la cocetració itríseca como referecia del eso que e el roceso tiee la geeració térmica (electroes roveietes de la BV). Cuado la temeratura es suficietemete alta la cotribució de electroes rocedetes de la BV o es

35 35 desreciable, la aroximació o = N + N o se uede hacer, y ya o ermaece costate d o d o. A muy altas temeraturas, la cocetració itríseca es mucho mayor que la catidad de electroes rocedetes de las imurezas y el semicoductor adota el carácter de itríseco. Nos ecotramos e la regió itríseca y se verifica o = N +. d o o i