2.1 - F.e.m de las máquinas de corriente alterna lineales planas

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1 - CÁLCULO PARAMÉTRICO DE MÁQUINAS LINEALES.1 - F.e.m de las máquias de corriete altera lieales laas El valor medio de la.e.m. iducida e ua esira de aso diametral, ideedietemete de la orma esacial o de la variació temoral de la oda de lujo altero, es: ˆ e ( V ) T = lujo máximo o total e el etrehierro or olo, = variació de lujo etre u máximo ositivo y u máximo egativo durate el tiemo T/ segudos de u semieríodo. Si (Hz) es la recuecia del lujo altero, o sea el úmero de eríodos or segudo, se tiee: y resulta ara la esira citada: T 1 ( s) 4 ˆ ( V ) (.1.a) e La.e.m. E media iducida or ase debido a que e cada ase existe N esiras, ideedietemete de la orma del camo magético e el etrehierro, vedrá dada or: E 4 ˆ N ( V) El coeiciete de distribució ( d <1 ) aecta a la E si el devaado o es cocetrado. Es decir, si el úmero de rauras or olo y ase es mayor que 1, la distribució de las bobias rovoca u cierto desase etre los valores istatáeos de la.e.m. e las esiras de distitas rauras; la resultate de las varias odas de.e.m. idéticas, ero desasadas, da u valor medio siemre ierior al de las mismas odas sueruestas E 4 ˆ ( N ) ( V ) (.1.b) El coeiciete de acortamieto ( y ) aecta a la E si, además, el aso de bobia y o es diametral. El acortamieto roduce u desase adicioal etre las.e.m.s. de los coductores de ida y de vuelta e cada esira lo que hace ecesario itroducir u uevo actor de correcció, llegádose así a la exresió de la.e.m. media or ase: d E 4 ˆ ( N ) ( V) (.1.c) d y 17

2 Si bie la.e.m. media or esira es or comleto ideediete de la orma esacial o del curso temoral de la oda magética, vemos que o ocurre lo mismo e cuato aarece algú desase etre las.e.m.s. de los distitos coductores o esiras coectados e serie. La orma de oda iluye ya a través de d y y sobre el valor medio de la.e.m. resultate or ase. Los actores idicados so de diícil evaluació salvo que se trate de.e.m. seoidal y e este caso hay que establecerlos searadamete ara la udametal y ara los restates armóicos sueriores. A los eectos oeratorios, es cómodo reuir ambos actores de bobiado e uo solo 18 = d. y (.1.d) Debido a que el iducido de ua máquia lieal es ua lámia coductora, el úmero de rauras or olo y ase es igual a 1,or lo que o hay igú desase etre los valores istatáeos de la.e.m. de las distitas rauras rotóricas (coeiciete de distribució d =1). Además, si acortamos el aso de bobia y, automáticamete tambié se roduce u acortamieto e el iducido, si roducirse igú desase etre las.e.m.s. de los coductores de ida y de vuelta e cada esira elemetal ( y =1). Como las magitudes que más iteresa e el tratamieto de las corrietes alteras so los valores eicaces, asaremos de la exresió del valor medio E al valor eicaz, E, multilicado or el actor de orma. valor eicaz valor medio T e dt T edt T T 0 0 El úmero de esiras or ase N, uesto e ució del úmero total de coductores Z del iducido y del úmero de ases m de la máquia, es: y N Z m ˆ Z E ( V ) (.1.e) m 18

3 E odas seoidales el actor de orma vale como es sabido E 111, E El lujo icticio del etrehierro or olo sería ua oda seoidal caaz de iducir la misma.e.m. eicaz E que la oda real, acilitádose así el cálculo. La relació etre actual, y, icticio, se desrede de la codició E ˆ Z 1., 11 ˆ Z ( V ) m m De aquí ˆ Z E, m ( V ) m E, Z ( Wb) (.1.) y 111, K (.1.g) Siedo el actor relativo de orma K 111, (.1.h) E máquias lieales laas la exresió (.1.h) es de diícil alicació, ero uede usarse como orietació tablas y gráicos ara máquias covecioales rotativas. E sus valores iluirá el tio costructivo de la máquia, or lo que resecta a la coiguració, roorcioes del etrehierro y cabezas de bobia, muy imortates e máquias lieales laas. E las máquias lieales laas, ara oder determiar aroximadamete el valor K, odemos asimilar la orma del etrehierro a la misma orma que los motores de iducció. 19

4 K s s d( 1) d() =.m.m. ara el etrehierro, e A/olo d(1) =.m.m. ara los dietes del rimario o estator e A/olo. d() =.m.m. ara los dietes del secudario o rotor e A/olo. Fig.1 : Factor relativo de orma K = ( s ) ara u sistema olar co rotor y estator raurado (motores de iducció) 18. Las máquias lieales de iducció o tiee atecedetes de cálculo como los citados, ara determiar K, debiédose costruir u rototio revio o admitir errores cosiderables e las estimacioes. Estos errores solo odrá corregirse cuado la exeriecia costructiva vaya dado más datos ara diseños osteriores. E los motores de iducció rotativos iluye sobre la orma de la curva de camo el mayor o meor grado de saturació magética, el cual se deie uméricamete or el cociete de la.m.m. cosumida e el aso de dietes y etrehierro a la.m.m. ecesaria ara el etrehierro sólo, cociete que recibe el ombre de actor de saturació s. El actor de saturació o uede calcularse hasta coocer la excitació que recisamete se ecesita. Es ecesario, or tato, admitir u valor revio y revisarlo a osteriori ara cambiarlo si uera ecesario. 0

5 Iducció máxima e el etrehierro Al lujo seoidal le corresode ua iducció máxima e el etrehierro, liso y si caales de vetilació, que la odemos calcular a artir de los dos lujos, uo real y otro ideal de la oda seoidal icticia caaz de iducir la misma.e.m. eicaz E or ase. Siguiedo aralelamete ambos camios, tedremos: Oda real: m E K Z Oda seoidal: m E, Z ( Wb) ( Wb) co K 111, Iducció media: Oda real B C K B T ( ) Oda seoidal B ( T ) C Iducció máxima: Oda real B B K ( ) C K B T M M M Oda seoidal B ˆ ( T) C 1

6 dode M es el actor de amlitud B B de la oda real de iducció y K M el coeiciete de correcció a alicar a la iducció máxima seoidal B ara obteer el valor de la iducció máxima eectiva B. Al coeiciete citado: K M M K M 1,11 M (.1.1.a) lo deomiaremos roiamete actor relativo de amlitud. De (.1.1.a) deducimos B K B ( T) (.1.1.b) M ˆ ( T) (.1.1.c) C El actor absoluto de amlitud M ara la oda real de iducció deede de las mismas características del etrehierro que el actor absoluto de orma de la oda de.e.m.,, y or tato, el actor relativo de amlitud K M que reúe a ambos coeicietes M y odrá determiarse e ució de las mismas variables que el actor relativo de orma K ates estudiado 18.

7 K M s s d( 1) d() =.m.m. ara el etrehierro, e A/olo d(1) =.m.m. ara los dietes del rimario o estator e A/olo. d() =.m.m. ara los dietes del secudario o rotor e A/olo. K M 1 M Fig. : Factor relativo de amlitud ara motores de iducció 18. Debido al gra etrehierro que osee los motores lieales, la excitació ecesaria ara estos motores será mayoritariamete ara vecer la reluctacia magética del etrehierro, or lo que el actor de saturació s será siemre róximo a 1, dádoos u valor aroximado de K M or debajo de la curva de la ig.. C = acho total o geométrico del iducido e el etrehierro. d = acho cabeza de bobia L = logitud del iducido e el etrehierro = aso olar del iducido. = etrehierro = grueso rotórico ( a) + holgura mecáica = coductividad del material del rotor o iducido. Fig. 3: Dimesioes ísicas de u motor lieal lao. 3

8 Sea Z = úmero medio de coductores e serie or raura. E las máquias oliásicas, co devaado uiorme, Z es el úmero real de coductores alojado e cada raura, o bie este úmero dividido or el de vías si hay varias de ellas e aralelo. E las máquias mooásicas, dode el devaado o acostumbra a ser uiorme, es de todos modos: Z Z coductores medios raura / (.1.1.d) co la misma salvedad resecto al úmero de vías = úmero de rauras de la máquia. Pogamos tambié L ( m) (.1.1.e) L = logitud del iducido e el etrehierro = ares de olos de la máquia. Si sustituimos e la exresió siguiete: las exresioes: ˆ Z E, ( V ) (.1.1.) m ˆ ( T) C Z Z coductores medios raura L ( m) ara y Z y teiedo e cueta que m. ra./ olo y ase es el úmero de rauras del iducido or olo y ase, resulta: E Z ( CL) ( ) V (.1.1.g) E esta ecuació C = acho total o geométrico del iducido e el etrehierro L = logitud del iducido e el etrehierro B = iducció máxima e el etrehierro co iducido liso y oda de lujo seoidal 4

9 = rauras or olo y ase. = recuecia e Hz. Coclusioes Fijada la recuecia, la.e.m. or ase es directamete roorcioal al úmero de rauras e iversamete roorcioal al úmero de olos de la máquia ya que el úmero de rauras or olo y ase vale. Este resultado es de eserar, m. ya que, ua vez deiida la recuecia, la velocidad lieal V ha de ser iversamete roorcioal al úmero de ares de olos. L V ( m / s) (1..a) Por lo demás, la tesió sigue siedo roorcioal a la suericie del iductor o del iducido e el etrehierro (C L) y a la iducció máxima ideal B, e el etrehierro. Cuato más equeño sea el etrehierro, meos.m.m. ecesitaremos ara teer ua determiada iducció e el etrehierro B. Co etrehierros equeños la máquia es más ácil de magetizar, y la disersió es más equeña.. - Potecia de ua máquia de corriete altera lieal laa Podemos deducir las ecuacioes de la otecia aarete e bores e ució de las dimesioes riciales del iducido (acho y logitud) y de los arámetros electromagéticos característicos: iducció máxima ideal e el etrehierro, desidad de corriete y carga lieal esecíica. Partiedo de la exresió: Pb m U I ( VA) (..a) y tomado el valor de la iducció máxima de oda seoidal e el etrehierro B que corresodería a la tesió e bores or ase, es decir, co la máquia e vacío, tedremos segú: E Z ( CL) ( ) V (.1.1.g) 5

10 ( e Hz, C y L e m B e T) La corriete or ase e ució de la secció del coductor y de la desidad de corriete I s ( A) (s e m, e A/m ) de dode: P A A ( ) ( VA) b cu D 0 (..b) siedo: A m cu A D Z s CL ( m ) ( m ) = recuecia de la tesió e Hz = ares de olos de la máquia A cu = secció trasversal de cobre e las rauras A D = (C L) = secció logitudial del iducido e el etrehierro B 0 = iducció máxima e el etrehierro suuesta la curva de camo seoidal e vacío (ara la tesió e bores U or ase) = desidad de corriete e los coductores Aálogamete, se deduce: CL ( q ) ( VA) P b 0 (..c) siedo: m Z s ZI q (A/m) L L Z = úmero total de coductores del iducido Coclusioes Las dos ecuacioes que exresa la otecia aarete e bores de ua máquia de iducció lieal laa so exactamete roorcioales a la desidad de corriete o a la carga lieal esecíica, así como a la iducció máxima ideal e el etrehierro. Mateiedo costate estos coeicietes de trabajo, existe tambié roorcioalidad etre la otecia y las seccioes geométricas trasversales del 6

11 cobre e las rauras y la secció logitudial del iducido e el etrehierro; así, la otecia a recuecia costate es iversamete roorcioal al úmero de olos de la máquia. Como desigamos or V s la velocidad sicróica e m/s L V s m s ( / ) (1..a) (L= logitud de la máquia lieal e m) etoces P b resulta roorcioal a esta velocidad. Podemos areciar que e la seguda exresió de la otecia aarete e bores (..c), esta última es roorcioal al cuadrado de la logitud de la máquia, y sólo roorcioal de orma lieal a la achura de la máquia. Si embargo, hemos de teer e cueta que esta exresió está e ució de la carga lieal esecíica, y ésta es iversamete roorcioal a la logitud L, or lo que la Potecia aarete e bores ara ua velocidad de sicroismo dada, es roorcioal a la achura y a la logitud de la máquia, o sea a la suericie del iductor e el etrehierro..3 - Fuerza icticia e las máquias lieales de iducció laas Deiimos la uerza icticia F b como la relació etre la otecia e bores de la máquia P b y la velocidad lieal del camo o velocidad sicróica V s. Teiedo e cueta que Pb Fb N (.3.a) V L V s m s ( / ) s es muy ácil deducir F b de las exresioes ateriores F L A A ( N b cu D 0 ) (.3.b) A cu = e m A D = (C L) = e m B 0 = e T = e A/m F A C ( N b cu 0 ) 7

12 o bie CL ( ˆ q B 0 ) ( N) (.3.c) F b Coclusioes Aarece exlícita la uerza icticia F b como la característica determiate de las dimesioes udametales C y L de la máquia, a igualdad de coeicietes electromagéticos de trabajo B 0, y q co exacta roorcioalidad etre el rimero y cada ua de las restates magitudes..4 - Fuerza de atracció etre semiiductores El esuerzo mecáico que se desarrolla etre dos suericies imaadas detro de u camo homogéeo de iducció B viee dado or 18: B et 0 e T.m/A. B 0 ( N / m ) (.4.1.a).5 - F.e.m de las máquias de corriete altera lieales tubulares Partimos de la ecuació de la.e.m. or ase co lujo seoidal 18: ˆ Z E, ( V ) (.1.1.) m Al lujo seoidal le corresode ua iducció máxima e el etrehierro, liso y si caales de vetilació B : ˆ ( T) D 8

13 Fig. 4: Dimesioes ísicas de u motor lieal tubular Si hacemos: Z Z coductores medios raura / L ( m) ara y Z y teiedo e cueta que m. ra./ olo y ase es el úmero de rauras del iducido or olo y ase, resulta: E Z ( LD) ( ) 4,44 V (.5.a) E esta ecuació D = diámetro del iducido e el etrehierro. L = logitud del iducido e el etrehierro. B = iducció máxima e el etrehierro co iducido liso y oda de lujo seoidal = rauras or olo y ase. = recuecia e Hz. Coclusioes Fijada la recuecia, la.e.m. or ase es directamete roorcioal al úmero de rauras e iversamete roorcioal al úmero de olos de la máquia ya que el 9

14 úmero de rauras or olo y ase vale: m.. Este resultado es de eserar, ya que, ua vez deiida la recuecia, la velocidad lieal V ha de ser iversamete roorcioal al úmero de ares de olos. V L ( m / s) (1..a) Por lo demás, la tesió sigue siedo roorcioal a la suericie del iductor o del iducido e el etrehierro (D L) y a la iducció máxima ideal B, e el etrehierro..6 - Potecia de ua máquia de corriete altera lieal tubular Podemos deducir las ecuacioes de la otecia aarete e bores e ució de las dimesioes riciales del iducido (diámetro y logitud) y de los arámetros electromagéticos característicos: iducció máxima ideal e el etrehierro, desidad de corriete y carga lieal esecíica. Partiedo de la exresió: Pb m U I ( VA) (..a) tomado el valor de la iducció máxima de oda seoidal e el etrehierro B que corresodería a la tesió or ase e bores, es decir, co la máquia e vacío, tedremos segú: E Z ( LD) ( ) 4,44 V (.5.a) ( e Hz, D y L e m B e T) La corriete or ase e ució de la secció del coductor y de la desidad de corriete, será: I s ( A) (s e m, e A/m ) de dode: P, cu D 0 VA A A ( ) ( ) b (.6.a) 30

15 siedo: A m cu A D Z s DL ( m ) ( m ) = recuecia de la tesió e Hz = ares de olos de la máquia A cu = secció trasversal de cobre e las rauras A D = (D L) = secció logitudial del iducido e el etrehierro. B 0 = iducció máxima e el etrehierro suuesta la curva de camo seoidal, e vacío (ara la tesió e bores U or ase) = desidad de corriete e los coductores Aálogamete, se deduce: DL ( q ) ( VA), 0 P b (.6.b) siedo : m Z s ZI q L L Z = úmero total de coductores del iducido Coclusioes Las dos ecuacioes que exresa la otecia aarete e bores de ua máquia de iducció lieal tubular so roorcioales a la desidad de corriete o a la carga lieal esecíica así como a la iducció máxima ideal e el etrehierro. Mateiedo costate estos coeicietes de trabajo, existe tambié roorcioalidad etre la otecia y las seccioes geométricas trasversales del cobre e las rauras y la secció logitudial del iducido e el etrehierro; así, la otecia a recuecia costate es iversamete roorcioal al úmero de olos de la máquia. Como, desigamos or V s la velocidad sicróica e m/s, L V s m s ( / ) (1..a) (L= logitud de la máquia lieal e m) etoces P b resulta roorcioal a esta velocidad. Podemos areciar que e la seguda exresió de la otecia aarete e bores (4.6.b), esta última es roorcioal al cuadrado de la logitud de la máquia, y sólo 31

16 roorcioal de orma lieal al diámetro del iducido de la máquia. Si embargo, hemos de teer e cueta que esta exresió está e ució de la carga lieal esecíica, y ésta es iversamete roorcioal a la logitud L. Lo aterior os ermite airmar tambié que la otecia aarete e bores es roorcioal al diámetro y a la logitud de la máquia, o sea a la suericie del iductor e el etrehierro..7 - Fuerza icticia e las máquias lieales de iducció tubulares Deiimos la uerza icticia F b como la relació etre la otecia e bores de la máquia P b y la velocidad lieal del camo o velocidad sicróica V s. Teiedo e cueta que Pb Fb N (.3.a) V s L V s m s ( / ) (1..a) es muy ácil deducir F b de las exresioes ateriores A cu = e m A D = (D L) = e m B 0 = e T = e A/m o bie (D y L e m, q e A/m, B 0 F A D ( N b, cu 0 ) (.7.a) DL ( q N F b, ) (.7.b) 0 e T ) 3

17 Coclusioes Aarece exlícita la uerza icticia F b como la característica determiate de las dimesioes udametales D y L de la máquia, a igualdad de coeicietes electromagéticos de trabajo B 0, y q, co exacta roorcioalidad etre el rimero y cada ua de las restates magitudes..8 - Eicacia relativa de los dieretes tios de máquias Es iteresate comarar el grado de utilizació osible del material emleado e la costrucció, segú el tio de máquia a cosiderar. De acuerdo co lo que acabamos de ver, esta comaració uede establecerse directamete basádose e las ecuacioes de la uerza e bores. Ates de comarar las máquias lieales laas co las máquias lieales tubulares, deberíamos asimilar el acho C de la máquia lieal laa a la logitud de la circuerecia del diámetro D de ua máquia lieal tubular. Para ello, sustituiremos e las ecuacioes de la uerza icticia e las máquias lieales tubulares D or C/. Para las máquias lieales de iducció laas teemos: CL ( ˆ q B 0 ) ( N) (.3.c) F b Para las máquias lieales de iducció tubulares teemos: F b, DL ( q ) CL ( q ) N 0 0 (.7.b) Observamos que la uerza e bores e las máquias lieales de iducció laas y e las máquias lieales de iducció tubulares tiee la misma exresió, estado e ució de la suericie del iducido. 33

18 Fig. 5: Máquia lieal tubular bilateral (de doble cara) desarrollada. La máquia tubular bilateral (ig. 4) se muestra desarrollada e la ig. 5. La achura C es la circuerecia de la máquia tubular. El secudario, o iducido, ha sido desarrollado y sus extremos está coectados a través de ua resistecia e serie de valor cero. La logitud del motor lieal tubular es L. El iducido, o secudario, se mueve e la direcció del eje x. Si la uerza desarrollada or los motores lieales laos o tubulares deede de la suericie del iducido, la vetaja de los motores lieales tubulares rete a los laos radica e que los tubulares o tiee cabeza de bobia i e el iducido i e el iductor. El redimieto electromagético de los devaados es, ues, suerior. 34

19 .9 - Tiemo y uerza alicada a u motor lieal de traslació horizotal A cotiuació se detalla las exresioes mecáicas y los criterios de sigos emleados ara el aálisis de los resultados exerimetales. Cotado e rimer lugar co el arrastre lieal de ua masa m, la uerza que se recisa e cada istate ara rovocar ua aceleració a es: F a = m.a.9.a F a : N a : m/s m : g Si la uerza alicada F a se matiee costate durate todo el tiemo de arraque T (s) hasta llegar a la velocidad de régime V artiedo del estado de reoso, etoces: F a V T m : N : m/s : s : g F a = m.(v/t).9.b.10 - Tiemo y uerza alicada a u motor lieal de movimieto vertical. Setido descedete Co ua masa m la uerza que se recisa e cada istate ara rovocar ua aceleració a e setido descedete será: F a + m.g = m.a.10.a F a : N a : m/s m : g Si la uerza alicada F a se matiee costate durate todo el tiemo de arraque T (s) hasta llegar a la velocidad de régime V artiedo del estado de reoso, etoces: V F a g. m.10.b T F a : N 35

20 V T m : m/s : s : g Setido ascedete Co ua masa m, la uerza que se recisa e cada istate ara rovocar ua aceleració a e setido ascedete será: F a = m.a + m.g.10.c F a : N a : m/s m : g Si la uerza alicada F a se matiee costate durate todo el tiemo de arraque T (s) hasta llegar a la velocidad de régime V artiedo del estado de reoso, etoces: V F a g. m.10.d T F a V T m : N : m/s : s : g 36

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