TEMA 4: Ecuaciones Generales 1

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1 Ídice TEMA 4: Ecuacioes Geerales INTRODUCCIÓN ECUACIONES DE CONTINUIDAD DE e - Y h ECUACIONES GENERAES DE OS SEMICONDUCTORES. ECUACIONES DE ESTADO VARIACIÓN CON E TIEMPO DE OS PORTADORES INYECTADOS. TIEMPO DE VIDA VARIACIÓN CON A POSICIÓN DE EXCESO DE PORTADORES. ONGITUD DE DIFUSIÓN RECOMBINACIÓN SUPERFICIA 14 4.i

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3 Tema 4 Ecuacioes Geerales INTRODUCCIÓN E los tres rimeros temas hemos aalizado or searado los diferetes feómeos físicos relacioados co el comortamieto básico de los semicoductores. Cocretamete, se ha modelado, de forma idividual, los tres tios rimarios de resuesta de ortadores ue se roduce e los semicoductores. Ahora bie, e u semicoductor todos los diversos tios de resuesta ocurre simultáeamete, y sólo se uede determiar el estado de u semicoductor si se tiee e cueta los efectos combiados de los diferetes tios de resuesta, lo ue os coduce a u cojuto básico de ecuacioes co las ue se resuelve los roblemas sobre disositivos, y ue llamaremos Ecuacioes de Estado. 4.1

4 Tema 4: Ecuacioes Geerales E este tema, resetaremos dichas ecuacioes ara utilizarlas osteriormete e alguos casos articulares ue servirá ara itroducir ciertos cocetos de iterés así como ara ilustrar rocedimietos de cálculo y aroximacioes utilizadas habitualmete e los roblemas sobre disositivos semicoductores. 4.2

5 Ecuacioes de cotiuidad de e - y h ECUACIONES DE CONTINUIDAD DE e - Y h + Sea: c cocetració de ortadores, de uo u otro tio, existete e u semicoductor del ue vamos a cosiderar u elemeto de volume dv y dv = Adx F(x) F(x+dx) A x x+dx Figura Reresetació de la variació del flujo de ortadores a través de u elemeto de volume de u semicoductor x a variació co el tiemo de la cocetració elemeto de volume, uede deberse a dos causas distitas: c de ortadores e dicho a) a geeració o recombiació etas e el citado elemeto de volume, y/o b) al flujo o trasorte variable de ortadores a través de dv. Matemáticamete, dc dc dc = + g r f (4.1) Vamos a suoer ue e dv se ha roducido u aumeto de la cocetració de ortadores, es decir, dc >. Por lo tato, 4.3

6 Tema 4: Ecuacioes Geerales dc g r ( ) = G R= G + G R= R + G R= G R R = G U th ext th ext ext th ext (4.2) Gext Rereseta la velocidad de geeració debida exclusivamete a causas exteras. U Velocidad de recombiació eta itera. ( +Δ ) ( ) dc F x x F x δ F = lim = x Δ x f Δx δ x dc Aarece cuado el flujo etrate e el elemeto de volume difiere f del flujo saliete. Su diferecia, cambiada de sigo uesto ue hemos cosiderado ue dc >, será recisamete el úmero de ortadores ue e uestro caso se almacea e el elemeto de volume or uidad de tiemo y de suerficie. E tres dimesioes: dc ur 1 ur = divf = divj (4.3) Itroduciedo (4.2) y (4.3) e la ecuació (4.1), resulta: dc 1 ur = Gext U divj (4.4) E el caso más geeral (régime diámico), G ext y U uede teer diferetes valores ara los e - y los h +. Particularizado la ec.(4.4) a los e - y los h +, resulta: 4.4

7 Ecuacioes de cotiuidad de e - y h +. d 1 uur = G U + divj d 1 uur = G U divj (4.5) Cojuto ue costituye las Ecuacioes de Cotiuidad. 4.5

8 Tema 4: Ecuacioes Geerales 4.3. ECUACIONES GENERAES DE OS SEMICONDUCTORES: ECUACIONES DE ESTADO Ecuació de Poisso: 2 1 ϕ ρ N + N = = + ( D A ) Ecuacioes de Cotiuidad de los e - y h + d 1 uur = G U + divj d 1 uur = G U divj Ecuacioes de Trasorte de e - y h + uur ur uur J = μ E + D uur ur uuu r J = μ E D Estas cico ecuacioes costituye u cojuto de ecuacioes difereciales o lieales acoladas. Su resolució umérica imlica, geeralmete, u alto coste de almaceamieto de datos y de tiemo de ejecució recisado ara ello de comlejos rogramas de ordeador y otetes estacioes de trabajo. Si embargo, es osible obteer solucioes aalíticas e ciertos casos articulares si erder or ello sigificado físico. 4.6

9 Variació co el tiemo de los ortadores iyectados (Tiemo de Vida) 4.4. VARIACIÓN CON E TIEMPO DE OS PORTADORES INYECTADOS (TIEMPO DE VIDA) Suogamos ua muestra de material semicoductor uiformemete doada co imurezas doadoras. E el istate t = es ilumiada (figura 4.2), de forma tambié homogéea, co ua radiació ue roduce + 3 G ares e h cm s. Aalizar la evolució temoral de la cocetració de los ortadores, desde el istate t = hasta ue alcaza el régime estacioario. G Figura Porció de material semicoductor ilumiado de forma homogéea or ua radiació G E la seguda arte del roblema, se suoe ue la muestra se ecuetra e régime estacioario durate u tiemo suficietemete largo y ue e u cierto istate t = T situació de euilibrio., se surime la ilumiació. Se ide estudiar el retoro de la muestra a la Se suoe ue e todo mometo os mateemos e régime de B.I. Solució a) Por estar e baja iyecció, seguiremos la ista a los ortadores mioritarios. E este caso los h +. b) Por estar la muestra homogéeamete doada y al ser la ilumiació uiforme o cabe eserar igua variació esacial de cualuier magitud relacioada co la cocetració de ortadores. Esto es, cuado la muestra está ilumiada sigue siedo homogéea. 4.7

10 Tema 4: Ecuacioes Geerales Por lo tato: d 1 = Gext U div ur J U = 1 ur divj = Es decir, d = G d d d Como = + = + d = G Ecuació a resolver -t t = k ex + G () E el istate e ue se ilumia la muestra: ( ) = = k+ G k = G Por lo tato, -t () t = G 1 ex (4.6) Ecuació ue os dice ue el exceso de h + e la muestra crece, desde = e t =, a ritmo decreciete hasta trascurrido u cierto tiemo estabilizádose e el valor 4.8

11 Variació co el tiemo de los ortadores iyectados (Tiemo de Vida) G (fig 4.3). El tiemo trascurrido ara alcazar el régime estacioario es, segú la ec. (4.6), u múltilo de. Cuado se alcaza el régime estacioario los h + creados or ilumiació se comesa co los aiuilados or recombiació térmica. Idudablemete, ero al estar e B.I. <<. = 12 '(t)/(g) ,21 86,47 95,7 98, t/ Figura Variació del exceso de ortadores a lo largo del tiemo e u semicoductor ilumiado de forma homogéea, desde el mometo e ue se alica dicha ilumiació. E la seguda arte del roblema teemos ue teer e cueta, huecos. a) Por estar e B.I., seguiremos la ista a los mioritarios. E uestro caso, los b) Al ser el semicoductor homogéeo ilumiado de forma uiforme, o cabe eserar igua variació esacial de las magitudes relacioadas co la cocetració de ortadores. Esto es, cuado G = el semicoductor seguirá siedo homogéeo. Por lo tato, d 1 ur = Gext U divj 4.9

12 Tema 4: Ecuacioes Geerales Dode: G =, U = y 1 ur divj = d d = = + = -t () t = k ex -T ( T) = k ex = G T Istate e ue cesa la ilumiació. T k = G ex Por lo tato, t-t () t = G ex- (4.7) Exresió ue os idica ue el retoro a la situació de euilibrio, ua vez ue ha cesado la causa extera, se hace de forma exoecial co ua costate de tiemo ue es, fig 4.4. De ahí ue reciba el ombre de Tiemo de Vida de los ortadores uesto ue da idea del tiemo medio ue tarda los ortadores e desaarecer or recombiació. 12 Soberakia % mioritarios (ormaldurik 1 1, , ,53 4, (t-t)/ Figura Decaimieto e la cocetració de ortadores mioritarios e u semicoductor reviamete excitado de forma homogéea ua vez ue cesa la causa extera 4.1

13 Variació co la osició del exceso de los ortadores (logitud de Difusió) 4.5. VARIACIÓN CON A POSICIÓN DE EXCESO DE OS PORTADORES (ONGITUD DE DIFUSIÓN) Suogamos ua muestra de material semicoductor de tio uiformemete doada e la ue e ua de sus suerficies, x =, se matiee, e régime estacioario, u exceso de ortadores (fig. 4.5). a otra suerficie se suoe ifiitamete alejada. Se cosidera además, ue os ecotramos e B.I. Aalizar el erfil de los ortadores a lo largo de la muestra. () uz Figura Semicoductor e el cual se matiee u exceso de ortadores, (), costate mediate ua ilumiació débil ue solamete afecta a la suerficie. x Solució Al estar e B.I., vamos a seguirles la ista a los ortadores mioritarios. E uestro caso los h +. ( ) suerficie x = uede haber sido roducida al ilumiar frotalmete la co ua radiació ue o eetra e el material o haber utilizado u icel de luz ue sólo ilumia ua orció eueñísima del semicoductor, la suerficie x =. a causa, e realidad, o os imorta mucho. o ue esta claro es ue e régime estacioario teemos detro del material u y, or lo tato, el roceso de difusió comieza a actuar distribuyédose el exceso de h + a lo largo de todo el material. Ahora bie, a medida ue los h + se mueve or difusió, su úmero se reduce or recombiació. Es decir, a medida ue eetramos e la barra el úmero de h + será meor uesto ue habrá desaarecido or recombiació. Recordar ue, e romedio, los h + sobrevive u tiemo tal y como hemos visto e el ejemlo aterior. Esto es, cabe eserar ue e utos suficietemete alejados de la suerficie x =,. 4.11

14 Tema 4: Ecuacioes Geerales Cuatitativamete, d Dode: d 1 = Gext U div ur J =, G = y U = Veamos ue ocurre co el térmio 1 ur divj. E riciio: uur ur d E (e ua dimesió) J = μ D dx Se uede demostrar ue e u semicoductor iicialmete homogéeo e el ue se roduzca ua iyecció de mioritarios, los mayoritarios reaccioa ráidamete y adota ua distribució similar a la de los mioritarios co el fi de cacelar la carga itroducida or estos últimos. De maera ue el E. Es decir, e ua muestra iicialmete homogéea e la ue se roduzca ua iyecció de ortadores mioritarios, éstos fluye ricialmete or difusió. Por lo tato, e uestro caso J d D dx Es decir, 2 d = + D 2 dx d d d dx dx dx = + = + d Por ser ua muestra homogéea dx = 2 d = + D 2 dx 4.12

15 Variació co la osició del exceso de los ortadores (logitud de Difusió) 2 d 2 2 dx = Ecuació a resolver Dode 2 D se cooce co el ombre de ogitud de Difusió or razoes ue se verá a cotiuació. x x ( x) = A ex + B ex ( ) = A+ B B = x A= ( ) ( ) ( ) x x = ex (4.8) Ecuació ue os dice ue el exceso de huecos decrece de forma exoecial, siedo el arámetro la ecuació (4.7), de ahí ue el ue rige el roceso. Esta exresió es similar, e su forma, a uede ser iterretado como el recorrido medio efectuado or los ortadores mioritarios ates de desaarecer or recombiació. Reresetado dicha ecuació, obteemos la gráfica de la figura % mioritarios ,79 13,53 4, Figura Decaimieto exoecial e la cocetració de ortadores e u semicoductor e el cual se matiee u exces,o (), costate e ua de sus suerficies x/ 4.13

16 Tema 4: Ecuacioes Geerales 4.6. RECOMBINACIÓN SUPERFICIA Suogamos ua muestra homogéea de tio, ilumiada de forma uiforme e todo su volume y co ua sola suerficie a teer e cosideració, la suerficie x =, caracterizada or ua velocidad de recombiació S (fig.4.7). El volume de la muestra se suoe ue está situado e la direcció ositiva del eje x. Asimismo, se cosidera ue os ecotramos e B. I. y ue la muestra ha alcazado ya el régime estacioario. Se ide aalizar el erfil de ortadores a lo largo de toda la muestra. G S x Figura Semicoductor ilumiado de forma homogéea el cual reseta ua suerficie co velocidad de recombiació S e uo de sus extremos Solució d 1 dj = G U + dx d Dode = or estar e régime estacioario y U = or estar e B.I. Por otra arte, la recombiació de ortadores e x = hará ue exista u flujo de e - hacia dicha suerficie ara itetar sulir el defecto de los mismos. Al ser ua muestra iicialmete homogéea, e la ue existe iyecció de ortadores, tal y como se ha cometado ateriormete, resulta ue los mioritarios fluye ricialmete or difusió. Por lo tato, 4.14

17 Recombiació Suerficial = G + 2 d D dx 2 d d = + = dx dx G 2 d = Ecuació a resolver 2 2 dx D x x x = A ex + B ex + G ( ) lo tato A = x G ya ue la recombiació suerficial o tedrá efecto, or Por otro lado, F = U = S ( ) x s d D = S dx x= ( ) B D D = S[ B+ G ] B + S = S G S G G B = = D D S + 1+ S Por lo tato, x ex ( x) = G 1 D 1+ S (4.9) 4.15

18 Tema 4: Ecuacioes Geerales os casos límite ue reseta esta exresió so: a) ( ) = =. Es decir, o existe flujo de ortadores hacia dicha S x G suerficie y, or lo tato, el roblema se reduce al ejemlo aalizado e el uto 4.4 e régime estacioario. x = = =. E este caso todo b) S ( x) G 1 ex ( ) ortador mioritario ue llega e exceso a x = sobre los ue existe e euilibrio termodiámico, automáticamete se recombia. Es la codició ue se suele imoer a los cotactos metal-semicoductor, ue e tal caso se deomia cotactos óhmicos. a solució se muestra, gráficamete, e la Figura 4.8, 12 Z=1 Z=3 Z=1 Z=,25 Z= Exceso de mioritarios (%)) x/ 4 Figura Efecto de la recombiació suerficial sobre el erfil de mioritarios S e B.I. y geeració uiforme e volume. Z = D 4.16