2.2. ECUACIONES DE FLUJO EN AGUAS SUBTERRÁNEAS.

Transcripción

1 Clase 2.2A Pág. 1 de ECUACIONES DE FUJO EN AGUAS SUBTERRÁNEAS Experimeto de Darcy. El experimeto de Darcy cosiste e colocar u cilidro de material poroso, de secció S y de logitud, e u tubo que coecta a dos depósitos co diferete ivel de agua que se matiee costate e cada uo de los depósitos (Figura 2.2.1). S Figura Esquema del experimeto de Darcy. es ka diferecia de ivel etre los dos depósitos que está coectados por u tubo de logitud. ógicamete, cuado e los dos depósitos el ivel de agua es el mismo, o se produce movimieto de líquido. E cambio, si los iveles e los dos depósitos so diferetes, para ua diferecia de altura, observamos u caudal Q de agua que circula desde el depósito de ivel más alto hacia el depósito de ivel más bajo. Midiedo este caudal e fució de, se comprueba que el caudal Q que circula es proporcioal a tres parámetros (supuestos los dos otros costates): la secció de paso S (a doble secció, doble caudal) la diferecia de alturas de agua etre los dos depósitos: el iverso de la logitud: 1/ (a doble logitud, mitad de caudal) Es decir que matemáticamete respode a la siguiete expresió:

2 Clase 2.2A Pág. 2 de 9 Caudal velocidad secció costate S que escribiremos de la siguiete forma, llamado k a la costate de proporcioalidad citada: Q v S k S E esta expresió, defiimos la velocidad de Darcy como: v k h dado que este producto de k * tiee dimesioes de velocidad. Dicha velocidad es la v tal que multiplicada por la secció total de paso os da el caudal, pero dado que uestro cilidro de secció S está relleo de material poroso, esta v o es la velocidad media del agua que circula por dicho material (recuérdese lo cometado e el apartado 2.1.7). Por otro lado, como es la pediete del potecial hidráulico, es decir, el gradiete i, podemos rescribir uestra ecuació aterior como: r r v k h k i dode el sigo egativo aparece dado que el flujo es e la direcció cotraria al gradiete, es decir, va de mayor potecial hidráulico a meor potecial (desde el depósito de mayor ivel al de ivel más bajo) ey de Darcy. Así, acabamos de ver que: r r v k i Ésta es la ley básica de la hidrología subterráea y os idica que la velocidad de Darcy (o flujo específico) es proporcioal al gradiete. Al coeficiete de proporcioalidad k se le llama coductividad hidráulica del terreo y, e el caso más geeral, tiee carácter tesorial (es u coeficiete de proporcioalidad etre dos vectores, la velocidad y el gradiete, lo que matemáticamete es u tesor).

3 Clase 2.2A Pág. 3 de 9 Veamos a cotiuació cómo aproximaros de ua forma ituitiva a la ley de Darcy. Teemos u ejemplo aálogo e mecáica e la expresió de la seguda ley de Newto: r r F m a que relacioa el valor de la fuerza ejercida sobre ua masa co la aceleració que le produce. Como puede verse e esta fórmula, la masa o es más que el coeficiete de proporcioalidad etre la causa (la fuerza) y el efecto (la aceleració). Así, u cuerpo de mayor masa, sometida a la misma fuerza, sufre ua meor aceleració. E el caso del agua subterráea, la causa es el gradiete piezométrico y el efecto es el movimieto del agua. a coductividad hidráulica es ua característica itríseca del terreo que idica la mayor o meor resistecia que ofrece el terreo a la circulació del agua. Así, el flujo hidráulico e u terreo de elevada coductividad hidráulica ecesitará meos gradiete que u terreo de meor coductividad hidráulica, e el que deberá darse uas codicioes de mayor gradiete, para que exista igual movimieto de agua. De hecho, la ley de Darcy se obtiee de las ecuacioes de Navier-Stokes para u flujo lamiar. Recuérdese que el régime de movimieto de u fluido puede coocerse a partir del valor del úmero adimesioal de Reyolds (Re), que coceptualmete relacioa el cociete etre las fuerzas de iercia y las fuerzas viscosas segú la expresió siguiete: v d ρ Re µ dode: v velocidad de flujo e m/s d tamaño medio del diámetro de las partículas: d 50 o e medios fisurados: para fisuras muy extesas, el diámetro hidráulico d es igual a 2 veces el valor de la apertura de la fisura. ρ la desidad del fluido e g/cm 3 µ la viscosidad diámica e dias.seg/cm 2 E medio poroso es válida la ley de Darcy cuado teemos que: Re < 1-10

4 Clase 2.2A Pág. 4 de 9 (el rago es debido a que la trasició de flujo lamiar a turbuleto o es súbita, sio gradual). E estas circustacias, co valores de Re iferiores a la uidad, teemos la seguridad que el flujo es lamiar y por tato Darcy es válido, ya que segú hemos dicho, el úmero de Reyolds relacioa las fuerzas de iercia y las fuerzas viscosas, es decir, si domia uas o las otras. Cuado domia las fuerzas viscosas, el flujo es lamiar y es proporcioal a la velocidad. Cuado domia las fuerzas de iercia, el flujo pasa a ser e régime turbuleto y es proporcioal a la velocidad al cuadrado, lo que implica que la relació etre las pérdidas de carga y la velocidad del fluido sea segú ua relació ya o lieal. Por tato, la ey de Darcy es estrictamete válida úicamete cuado predomia las fuerzas viscosas, es decir, cuado existe u régime lamiar. E las aguas subterráeas, dado que e geeral las velocidades so muy pequeñas, la ley de Darcy es casi siempre válida. Veamos e que casos esta ley o es válida: E las proximidades de la rejilla de u pozo, el caudal es muy importate frete a ua secció decreciete y las velocidades aumeta rápidamete. Estamos e u régime turbuleto, y la ley de Darcy pierde su validez. E medios fracturados, si las grietas so pequeñas, (<1 mm) y el gradiete es razoable, el flujo se comporta segú el régime lamiar y la ley de Darcy es aplicable. Si embargo, si las fisuras so más grades, actúa como coductos de circulació preferete e los que el flujo es turbuleto y obedece a otras leyes de la hidrodiámica. E este caso, la ley de Darcy o sería utilizable. Relacioes matemáticas aálogas a la ley de Darcy se ecuetra frecuetemete, e otros ámbitos de la física (además de la ya citada ley de Newto), como por ejemplo: a ley de trasferecia de calor por coducció e termodiámica, que se defie como: r q λ T A

5 Clase 2.2A Pág. 5 de 9 Siedo q r el flujo de calor y A la secció. Dode se relacioa la circulació del flujo de calor q A a causa de u gradiete de temperatura T (λ es la coductividad térmica, que es mayor, por ejemplo, e los metales que e los aislates). E electromagetismo e que la ley de desidad de corriete es defiida como (ley de Ohm geeralizada): r j σ V Siedo σ la coductacia eléctrica y V el potecial eléctrico. Dode cosideramos la presecia de ua corriete eléctrica r j e fució del gradiete de potecial eléctrico V. Ello permite por aalogías, simular feómeos de u ámbito mediate modelos de otros más fáciles de costruir (por ejemplo, simular u acuífero mediate u circuito de resistecias eléctricas, segú se verá e el Tema de modelos de simulació de acuíferos) Coductividad hidráulica. De forma aáloga a las otras costates de coductividad de las expresioes físicas citadas e el párrafo aterior, e la ley de Darcy, el factor k es u tesor que varía segú la direcció. Su valor es ua costate para cada medio y cada fluido e uas mismas codicioes. E geeral, está ligado a la porosidad eficaz del terreo, a la itercoexió de poros y al tamaño de poro. Así u terreo muy poroso de grao grueso será e pricipio muy permeable. a coductividad hidráulica k que hemos defiido depede del medio pero tambié del fluido, de su desidad y de su viscosidad. Es iteresate dispoer de ua magitud que depeda úicamete del medio, y o del fluido que circula por el mismo. Esta magitud, caracterizada por u coeficiete k 0 que depede sólo del medio, se defie por la igualdad siguiete: dode: 1 k coductividad hidráulica [ ] m s T ( ) k k0 ρg µ

6 Clase 2.2A Pág. 6 de 9 k 0 permeabilidad itríseca, específica, geométrica o coeficiete de 2 permeabilidad del terreo [ ] 2 (m ) 3 ρ desidad o masa específica [ ] kg ( m 3 M ) 2 g aceleració de la gravedad [ ] ( m s 2 µ viscosidad diámica del fluido [ M 1 T 1] T ) ( Pa * s) Cabe destacar que e la coductividad hidráulica k, tambié ifluye la temperatura, ya que ésta modifica pricipalmete la viscosidad. Estas variacioes e la coductividad hidráulica suele ser relevates úicamete e casos de sistemas geotérmicos, puesto que e la mayoría de situacioes la temperatura del agua subterráea es bastate costate. Del mismo modo, la composició química del agua tambié puede codicioar la permeabilidad del terreo como cosecuecia de los feómeos de disolució o precipitació que puede ocurrir e el cotacto co el terreo. Pero sobretodo e los casos de flujo de agua salia Flujos e paralelo y e serie. Aalicemos qué sucede co la ley de Darcy e medios heterogéeos. Etedemos por flujo e paralelo, el flujo que pasa por varias capas paralelas o estratificadas de materiales de distitas coductividades hidráulicas e la misma direcció que la estratificació (Figura 2.2.2).

7 Clase 2.2A Pág. 7 de 9 k 1 b 1 k 2 b 2 k 3 b 3 k 4 b 4 k b Figura Esquema segú el experimeto de Darcy de u acuífero que coecta dos depósitos, compuesto por varias capas horizotales estratificadas (1, 2, 3,... ) de materiales de distitas permeabilidades o coductividades hidráulicas (k 1, k 2, k 3,... k ) y distitos espesores (b 1, b 2, b 3,...b ). Cada ivel del estrato de coductividad hidráulica k y de espesor b sufre la misma pérdida de carga (Figura 2.2.2). a catidad total de agua que circula por toda la secció es la suma de las que circula por cada capa. Idividualmete, el caudal que circula por la capa 1 sería (por uidad de achura e la direcció perpedicular a la patalla o al papel): q1 b1 k1 Para la capa 2 teemos que: q2 b2 k2 Para la capa : q b k El caudal total que pasa por todo el cojuto sería la suma de todos estos caudales: q bk bk

8 Clase 2.2A Pág. 8 de 9 a coductividad hidráulica equivalete del cojuto es aquella tal que: q b k ; pero b b luego, teemos que esta coductividad hidráulica equivalete se relacioa co la del cojuto de estratos por la relació: b K K eq b E esta expresió para valores realistas, se obtiee que geeralmete la capa más permeable domia, es decir, que los medios más permeables codicioa el flujo de agua. E cambio, e el flujo e serie, el flujo pasa perpedicularmete a los estratos de materiales de distitas coductividades hidráulicas, e ua úica secció de paso S (Figura 2.2.3) k 1 1 K 2 2 k 3 3 k 4 4 K Figura Esquema segú el experimeto de Darcy de u acuífero que coecta dos depósitos, compuesto por varias capas verticales (1, 2, 3,... ) de materiales de distitas coductividades hidráulicas (k 1, k 2, k 3,... k ) y distitos espesores (b 1, b 2, b 3,... b ) y de igual secció de paso S. 1,2,3... es la pérdida de carga de cada capa.

9 Clase 2.2A Pág. 9 de 9 E este caso, el caudal que cruza todas las capas es úico, y para cada tramo de secció S, tedremos ua distita pérdida de carga, es decir, teemos que: q S * K tal que y ya que la pérdida de carga total es la suma de la de cada tramo. uego: S k k eq k k S k k k k E este caso, la capa co la coductividad hidráulica meor acostumbra a ser la que codicioa la coductividad hidráulica equivalete del cojuto.