4 El Perceptrón Simple
|
|
- Juan Antonio Prado González
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 El Perceptró Simple. Itroducció Ua de las características más sigificativas de las redes euroales es su capacidad para apreder a partir de algua fuete de iformació iteractuado co su etoro. E 958 el psicólogo Fra Roseblat desarrolló u modelo simple de euroa basado e el modelo de McCulloch Pitts e ua regla de aprediae basada e la correcció del error. A este modelo le llamó Perceptró. Ua de las características que más iterés despertó de este modelo fue su capacidad de apreder a recoocer patroes. El Perceptró está costituido por couto de sesores de etrada que recibe los patroes de etrada a recoocer o clasificar ua euroa de salida que se ocupa de clasificar a los patroes de etrada e dos clases, segú que la salida de la misma se activada o 0 desactivada. Si embargo, dicho modelo teía muchas limitacioes, como por eemplo, o es capa de apreder la fució lógica XOR. Tuviero que pasar uos años hasta que se propusiera la regla de aprediae de retropropagació del error para demostrarse que el Perceptró multicapa es u aproimador uiversal.. El Perceptró simple Supogamos que teemos ua fució f de R e {-,}, que aplica u patró de etrada,,, T R e la salida deseada {-,}, es decir, f. La iformació de que dispoemos sobre dicha fució viee dada por p pares de patroes de etreamieto {, }, {, },,{ p, p } dode i R f i i {-,}, i,,,p. Dicha fució realia ua partició e el espacio R de patroes de etrada; por ua parte estaría los patroes co salida por otra parte los patroes co salida. Por lo tato, diremos que la fució f clasifica a los patroes de etrada e dos clases. Eemplos de fucioes f de este tipo so la fució lógica OR o la fució par. Ahora vamos a costruir u dispositivo secillo que apreda dicha fució a partir de u couto coocido de patroes relacioes de etreamieto. Para ello vamos a utiliar ua uidad de proceso bipolar que como vimos es ua fució matemática co domiio el couto -dimesioal {-,} rago el couto {-,}, defiida por la siguiete epresió: si... θ f,,..., si... θ
2 dode los parámetros,,,, se llama pesos siápticos so los pesos co los que se podera los valores de etrada,,,, o argumetos de la fució; la suma poderada u... se llama potecial siáptico el parámetro θ se llama umbral o sesgo. Tambié se puede epresar la fució f mediate la fució sigo, es decir, f,,..., sg u θ siedo la fució sigo, 0 sg 0 diremos que e este caso la fució de trasferecia es la fució sigo. Aálogamete, se defie ua uidad de proceso biaria como ua fució matemática co domiio el couto -dimesioal {0,} rago el couto {0,}, defiida por la siguiete epresió: si... θ f,,..., 0 si... θ 3 Figura. Uidad de proceso bipolar. Cuado la salida de la uidad de proceso es igual a se dice que dicha uidad de proceso está activada o ecedida preseta el estado, mietras que si su salida es igual a cero se dice que está desactivada o apagada, presetado el estado 0. Fució sigo f - Fució paso o De Heaviside f 0 Figura. Fucioes de trasferecia.
3 Para la determiació de los pesos siápticos del umbral vamos a seguir u proceso adaptativo que cosiste e comear co uos valores iiciales aleatorios e ir modificádolos iterativamete cuado la salida de la uidad o coicide co la salida deseada. La regla que vamos a seguir para modificar los pesos siápticos se cooce co el ombre de regla de aprediae del Perceptró simple viee dada por la epresió:,,, siedo [ ] 3 esto os idica que la variació del peso es proporcioal al producto del error i i por la compoete -ésima del patró de etrada que hemos itroducido e la iteració, es decir,. La costate de proporcioalidad es u parámetro positivo que se llama tasa de aprediae puesto que cuato maor es más se modifica el peso siáptico viceversa. Es decir, es el parámetro que cotrola el proceso de aprediae. Cuado es mu pequeño la red aprede poco a poco. Cuado se toma costate e todas las iteracioes, > 0 tedremos la regla de adaptació co icremeto fio. Cuado la fució de trasferecia usada es la fució sigo valores bipolares la regla de aprediae se puede escribir de la forma: si si si, Por lo tato, esta regla de aprediae es u método de detecció del error correcció. Solo aprede, es decir, modifica los pesos, cuado se equivoca. Cuado teemos u patró que perteece a la primera clase o es asigado a la misma, etoces corrige el valor del peso siáptico añadiédole ua catidad proporcioal al valor de etrada, es decir lo refuera, mietras que si el patró de etrada o perteece a esta clase el Perceptró lo asiga a ella, lo que hace es debilitar el peso restádole ua catidad proporcioal al patró de etrada. No modificaremos los pesos cuado el valor deseado coicida co la salida de la red. Cómo se modifica el sesgo? De la misma maera, teiedo e cueta que el sesgo se puede cosiderar como el peso siáptico correspodiete a u uevo sesor de etrada que tiee siempre ua etrada igual a, como peso siáptico el valor del umbral, pues... θ... 0 cuado θ. Así, la red equivalete tedría sesores, su umbral sería siempre cero, los patroes de etrada,,..., será ahora,,...,,,
4 los pesos asociados,,..., será,,...,, co θ la regla de aprediae: θ,,, [ ] A partir de ahora vamos a cosiderar el umbral como u peso siáptico más. Algoritmo de aprediae del Perceptró simple Paso 0: Iicialiació Iicialiar los pesos siápticos co úmeros aleatorios del itervalo [-,]. Ir al paso co Paso : -ésima iteració Calcular sg Paso : Correcció de los pesos siápticos Si modificar los pesos siápticos segú la epresió:,,,..., Paso 3: Parada [ ] i Si o se ha modificado los pesos e las últimas p iteracioes, es decir, r,,,...,, r,..., p, parar. La red se ha estabiliado. E otro caso, ir al Paso co. Ahora surge la cuestió: Dado u couto de patroes de etreamieto, puede el Perceptró apreder a clasificarlos correctamete? Solamete si los patroes so liealmete separables. Ello reduce cosiderablemete el campo de aplicacioes del Perceptró simple puesto que i siquiera es capa de implemetar la fució lógica XOR dada por la siguiete relació: Etradas Salidas,,,, i
5 a b Figura. a Patroes separables liealmete. b Patroes o separables liealmete. Decimos que dos coutos de putos A B so liealmete separables e u espacio -dimesioal si eiste úmeros reales,...,,, de maera que cada puto,,..., A, θ satisface i i i θ cada puto,,..., B satisface i i i θ. A cotiuació vamos a estudiar la covergecia del Perceptró simple, es decir, bao que codicioes u Perceptró es capa de ecotrar ua solució e u úmero fiito de iteracioes. θ θ θ Figura. Semiespacios que defie el Perceptró. Teorema de covergecia del Perceptró Si el couto de patroes de etreamieto, {, }, {, },,{ p, p }, es liealmete separable etoces el Perceptró simple ecuetra ua solució e u úmero fiito de iteracioes, es decir, cosigue que la salida de la red coicida co la salida deseada para cada uo de los patroes de etreamieto.
6 Demostració: E efecto, como los patroes so liealmete separables eistirá uos valores,...,, tales que > para los patroes de la clase para los patroes de la clase. Obsérvese que es el umbral θ. Supogamos que e la iteració la red tiee que modificar los pesos siápticos segú la regla de aprediae, puesto que la salida de la red o coicide co la salida deseada. Tedremos que: [ ] Desarrollado, [ ] [ ] 5 [ ] [ ] [ ] Obsérvese que [ ], 0 puesto que si 0 > etoces como la salida es icorrecta tiee que ser, si 0 etoces como la salida es icorrecta,. Dicho térmio se puede escribir de la forma: Asimismo, el térmio [ ] 0 > es positivo puesto que si 0 > etoces la salida deseada es la salida icorrecta de la red tiee que ser, si 0 etoces la
7 salida icorrecta de la red tiee que ser. Así, tambié se puede escribir de la forma: Por lo tato teemos que puesto que hemos prescidido de u térmio egativo e la derecha de la epresió. Sea D D ma L p mi T p etoces la epresió aterior se reduce a D D D L T D [ L T ] Si tomamos L T 0, es decir, T L T etoces DD. Esto sigifica que eligiedo u valor de tal que 0 L hace que D dismiua al meos e la catidad costate L T e cada iteració co correcció. Si el úmero de iteracioes co correcció fuese ifiito etoces llegaríamos al absurdo de alcaar e ua mometo determiado u valor egativo del térmio D que evidetemete es o egativo. La siguiete cuestió que vamos a abordar es estudiar cuál sería el valor meor que debemos elegir del parámetro de aprediae de forma que se cosiga más rápidamete la covergecia de la red. Se trata de elegir de maera que D sea lo meor posible así coseguir u maor acercamieto de los pesos de la red a la solució. Como D es ua fució cuadrática del parámetro solo teemos que derivar e igualar a cero para ecotrar el valor de dicho parámetro que correspode al míimo de la epresió D.
8 D D E 0 8 E El valor de que verifica dicha ecuació es opt Si embargo el segudo térmio del umerador o lo coocemos puesto que o coocemos los valores. Si aproimamos dicho térmio por el aterior teemos que u valor aproimado de la tasa de aprediae óptima es el siguiete: ~ opt Como hemos visto ateriormete, [ ] así [ ] ~ opt Sustituedo este valor del parámetro e la regla de aprediae cuado obteemos, [ ] [ ] es decir,
9 6 puesto que [] cuado. Dicha regla se cooce co el ombre de regla del Perceptró ormaliada, pues si partimos de u vector de pesos ormaliado, es decir,, etoces todos los pesos que se va obteiedo segú la regla de aprediae se matiee ormaliados. E efecto, i
4 El Perceptrón Simple
4 El Perceptró Simple 4. Itroducció Ua de las características más sigificativas de las redes euroales es su capacidad para apreder a partir de algua fuete de iformació iteractuado co su etoro. E 958 el
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:
Más detallesMETODO DE ITERACION DE NEWTON
METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogamos que queremos resolver la ecuació f( ) y lo que obteemos o es la solució eacta sio sólo ua buea aproimació, para obteer esta aproimació observemos la siguiete figura
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesTema 8 Límite de Funciones. Continuidad
Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
Más detallesMINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN
Prácticas de Fudametos Matemáticos para el estudio del Medio Ambiete www.um.es/docecia/jpastor jpastor@um.es MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN 1. Itroducció Ua de las cuestioes de mayor iterés e las Ciecias
Más detallesUn sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades del tipo:......
1. Sistemas de m ecuacioes lieales co icógitas U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas es u cojuto de m igualdades del tipo: a11x 1 a1 x... a1 x b1 a1x1 ax... ax b (1)... am1x1 amx... amx bm Los úmeros
Más detallesLIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la función F(x) = 3X 2, evalúe la función para valores de X cercanos a 2, es decir
PRECONCEPTO. LIMITES DE FUNCIONES. Ejemplo: Sea la fució F() = X, evalúe la fució para valores de X cercaos a, es decir X se acerca hacia el umero por la izquierda ( - ) X,,7,5,47,68,89,9,96,99,99,995,
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesuna sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detalles2 Algunos conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias
INTRODUCCIÓN A LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Se puede utilizar diferetes coceptos de covergecia para las sucesioes
Más detallesR. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.
R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Matemáticas II - º Bachillerato INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla
Más detallesSeries de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detallesDERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( x) c, donde c es una constante, la derivada de esta función es siempre cero, es decir:
DERIVADA DE FUNCIONES DEL TIPO f ( ) c Coceptos clave: 1. Derivada de la fució costate f ( ) c, dode c es ua costate, la derivada de esta fució es siempre cero, es decir: f '( ) 0 c. Derivada de ua fució
Más detallesSerie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Serie de Potecias Deició 1. A ua serie de la forma a () dode a 1, a 2,..., a,... so costates y c R es jo, se le llama serie de potecias
Más detallesFUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y
CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos
Más detallesSucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica
Más detallesCUADRATURA GAUSSIANA
CUADRATURA GAUSSIANA Este método de basa e muestrear el itegrado de la fució cuya itegral se desea ecotrar, a valores que represeta raíces de poliomios ortogoales Los más populares de éstos so los poliomios
Más detallesINTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.
INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por
Más detallesSucesiones y series de números reales
38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,
Más detallesUnidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones
Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos
Más detallesTema 5. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS Y FÓRMULA DE TAYLOR
Tema. ALICACIONES DE LAS DERIVADAS: RERESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS Y FÓRMULA DE TAYLOR Aplicacioes de la derivada primera El sigo de la derivada primera de ua fució permite coocer los itervalos de crecimieto
Más detallesResumen que puede usarse en el examen
Resume que puede usarse e el exame ema. Optimizació Irrestrigida. Codicioes ecesarias y suficietes de optimalidad. Proposició (C. Necesarias) Sea x* u míimo local irrestrigido de f :!! y supogamos que
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesSesión 12. Aprendizaje neuronal
Iteligecia Artificial Sesió 2 Apredizaje euroal Ig. Sup. e Iformática, 4º Curso académico: 200/20 Profesores: Sascha Ossowski y Matteo Vasirai Apredizaje Resume: 3. Apredizaje automático 3. Itroducció
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 2 1+ x dx
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Método de itegració por cambio de variable Cosiste e sustituir por ua fució adecuada para que la epresió resultate sea más secilla de itegrar que la primera.
Más detallesSeries infinitas de números reales. Series convergentes
Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas
Más detallesGUIA DE ESTUDIO Nro 1
MATERIA: MATEMÁTICA I CURSO: I AÑO EJE ESTRUCTURAL I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA GRUPOS CONCEPTUALES: - Epresioes algebraicas. Poliomios. - Ecuacioes. Iecuacioes. TEMARIO: GUIA DE ESTUDIO Nro
Más detallesTeoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...
covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detallesCAPITULO 0 CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Algebra lineal Notación básica.
5 CAPIULO 0 CONCEPOS BASICOS DE ALGEBRA Y PROGRAMACION LINEAL Este capítulo proporcioa u pequeño resume acerca de coceptos básicos de álgebra y programació lieal que resulta fudametales para el bue etedimieto
Más detallesPolinomio de una sola variable. , llamaremos polinomio de la variable x a toda expresión algebraica entera de la forma:
Semiario Uiversitario de Igreso 07 oliomio de ua sola variable a0; a; a;...; a úmeros reales y N 0, llamaremos poliomio de la variable a toda epresió algebraica etera de la forma: a0 a a... a Los poliomios
Más detallesSucesiones. Límite de una
Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua
Más detallesUNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la
Más detalles. Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes binomiales es el Binomio de Newton : n k)
Permutacioes. E Matemáticas, dado u cojuto fiito co todos sus elemetos diferetes, llamamos permutació a cada ua de las posibles ordeacioes de los elemetos de dicho cojuto. Por ejemplo, e el cojuto 1, 2,
Más detallesApellidos y Nombre: Aproximación lineal. dy f x dx
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN HOJA 0 Aproximació lieal Defiició (Diferecial).- Sea y = f ( x) ua fució derivable e u itervalo abierto que cotiee al úmero x, - La diferecial de x es igual al icremeto de
Más detallesCálculo de ceros de funciones
Cálculo de ceros de fucioes El objetivo de la presete secció es el de resolver la ecuació f(x) = 0, siedo f ua fució cotiua, co ua precisió prefijada. Geeralmete esta precisió se medirá por medio del error
Más detallesMétodos Numéricos (SC 854) Ajuste a curvas. 2. Ajuste a un polinomio mediante mínimos cuadrados
Métodos Numéricos SC 854 Auste a curvas c M Valezuela 007 008 7 de marzo de 008 1 Defiició del problema E el problema de auste a curvas se desea que dada ua tabla de valores i,f i ecotrar ua curva que
Más detallesSUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...
SUCESIONES Y SERIES. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto
Más detalles) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por = g ( x 1
ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA. 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA El objetivo básico de la iferecia estadística es hacer iferecias o sacar coclusioes sobre la població
Más detallesSolución del Examen Extraordinario de Algebra y Matemática Discreta, Primer Curso, Facultad de Informática
Solució del Exame Extraordiario de Algebra y Matemática Discreta, 0-09-2008. Primer Curso, Facultad de Iformática Putuació Máxima Posible: 20 putos Ejercicio Primero (Grafos, etc). a) ( puto) Defia Grafo
Más detallesConstrucción de los números reales.
B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x
Más detallesa n = Ejemplo: Representa las gráficas de las funciones f(x) = 1/x, g(x) = x 2 y h(x) =
TEMA 9: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 9. Cocepto de límite lateral. Límite. 9. Operacioes co fucioes covergetes. 9.3 Cálculo de límites. 9.4 Cotiuidad de ua fució. 9.5 Asítotas: Verticales, horizotales
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detalles5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)
5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) 46 5.6 Serie de Fourier de fucioes pares e impares (desarrollo coseoidal o seoidal) Fucioes Pares e Impares E el maejo de
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detalles4.- Aproximación Funcional e Interpolación
4- Aproximació Fucioal e Iterpolació 4 Itroducció Ua de las mayores vetajas de aproximar iformació discreta o fucioes complejas co fucioes aalíticas secillas, radica e su mayor facilidad de evaluació y
Más detallesImportancia de las medidas de tendencia central.
UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació
Más detallesTEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.
Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA
Más detalles2.1. Concepto Monto, capital, tasa de interés y tiempo.
1 2.1. Cocepto El iterés compuesto tiee lugar cuado el deudor o paga al cocluir cada periodo que sirve como base para su determiació los itereses correspodietes. Así, provoca que los mismos itereses se
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesPolinomio Mínimo en Campos Cuadráticos
Poliomio Míimo e Campos cuadráticos Poliomio Míimo e Campos Cuadráticos 1. Método de solució Partiedo de que u cuerpo cuadrático es K = Q ( a + b), vamos a propoer u método o estructura para ecotrar el
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...
Más detallesUnidad 10: LÍMITES DE FUNCIONES
Uidad 1: LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Ua sucesió de úmeros reales es u cojuto ordeado de iiitos úmeros reales. Los úmeros reales a1, a,..., a,... se llama térmios,
Más detallesTRABAJO DE GRUPO Series de potencias
DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso 20-202) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre
Más detallesα β la cual puede presentar
5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar
Más detallesObjetivo: Concepto de Límite
--0 Sesió Coteidos: Cocepto ituitivo de límite. > Coceptos básicos propiedades de alguos límites. > Cálculo de límite de alguas fucioes. Objetivo: Determia límite de fucioes, sólo por reemplazo. Determia
Más detallesEJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
Más detallesEjemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi
u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo
Más detallesCAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística
CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia
Más detallesJueves, 25 de abril. Dificultades de los modelos PNL. Dónde está la solución óptima? Otro ejemplo: Óptima Local frente a Global
. Jueves, de abril Teoría sobre la programació o lieal Programació separable Dificultades de los modelos PNL PL: Etregas: material de clase PNL: Aálisis gráfico de la programació o lieal e dos dimesioes:
Más detallesSesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.
Matemáticas Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes,
Más detallesAPUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 11 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL
APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Ferado Pito Parra UNIDAD 11 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL Cuado u objeto real gira alrededor de algú eje, su movimieto o se puede aalizar como si fuera ua partícula,
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 7/09/08 Tema : Series. Itroducció Criterios de Covergecia Sólo podremos calcular la suma de alguas series, e la mayoría os será imposible y os tedremos que coformar co saber si coverge
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos
Más detallesvalor absoluto de sus términos, se tiene la serie: que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA TEOREMA. Si e la serie alterada ( ) valor absoluto de sus térmios, se tiee la serie: a + a + + a + a se toma el = que si es covergete,
Más detallesDefinición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n
ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,
Más detallesUniversidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales
Uiversidad Atoio Nariño Matemáticas Especiales Guía N 1: Números Complejos Grupo de Matemáticas Especiales Resume Se preseta el cojuto de los úmeros complejos juto co sus operacioes y estructuras relacioadas.
Más detallesSERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)
Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x
Más detallesCapítulo 9. Método variacional
Capítulo 9 Método variacioal 9 Miimizació de la eergía 9 Familia de fucioes 9 Partícula ecerrada e ua dimesió etre [-aa] 9 Oscilador armóico e ua dimesió 93 Átomo de helio 93 Combiació lieal de fucioes
Más detalles9. Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras.
Hoja de Problemas º Algebra II 9. Hallar u úmero de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. Solució: Sea el úmero buscado co a que si o, o seria de cuatro cifras. Teemos que ( ) como
Más detallesÁlgebra I Práctica 3 - Números enteros (Parte 1)
FCEyN - UBA - 1er cuatrimestre 015 Divisibilidad y algoritmo de divisió Álgebra I Práctica 3 - Números eteros (Parte 1 1. Decidir cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas a, b, c Z i a b c a c
Más detallesRaices de Polinomios. Jorge Eduardo Ortiz Triviño
Raices de Poliomios Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@ual.edu.co http://www.docetes.ual.edu.co/jeortizt/ Defiició U poliomio de grado es ua epresió de la forma: Dode a 0 P() = a + a - - +... +a +
Más detalles2 Conceptos básicos y planteamiento
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: DOS VARIABLES Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció E muchos casos estaremos iteresados e hacer u estudio cojuto de varias características de ua població.
Más detallesPRÁCTICA SOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Objetivos El alumo coocerá aplicará diversos métodos para la resolució de sistemas ecuacioes difereciales, implemetado programas orietados a objetos. Al fial de esta práctica el alumo podrá: Resolver ecuacioes
Más detallesTALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES
TALLER DE MATEMÁTICAS DESIGUALDADES NOTAS Es bie sabido que e el cojuto de los úmeros reales existe ua relació de orde atural : se dice que x < y cuado y x es u úmero positivo Co esta relació, el cojuto
Más detallesSeries de términos no negativos
Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie
Más detallesFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detallesConvolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG
Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas
Más detallesEjercicios resueltos de Muestreo
Tema Ejercicios resueltos de Muestreo Ejercicio Sea ua població ita de 4 elemetos: P = f; 4; ; g : Se cosidera muestras de elemetos que se supoe extraidos y o devueltos a la població y que el muestreo
Más detallesLOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En
LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)
Más detallesCLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel
x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la
Más detallesCAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS
CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E
Más detallesResumen Tema 2: Muestreo aleatorio simple. Muestreo con probabilidades desiguales.
Resume Tema 2: Muestreo aleatorio simple. Muestreo co probabilidades desiguales. M.A.S.: Muestreo aleatorio simple co probabilidades iguales si reemplazo. Hipótesis: Marco perfecto, si omisioes i duplicados
Más detallesGuía Semana 9 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática
1. RESUMEN Igeiería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo e Varias Variables 08-1 Igeiería Matemática Guía Semaa 9 Teorema de los multiplicadores de Lagrage
Más detallesSESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN
SESIÓN 8 DESCRIPCIONES DE UNA RELACIÓN I. CONTENIDOS: 1. Regresió lieal simple.. Iterpretació de gráficas de regresió. 3. Cálculo de coeficiete de correlació. 4. Iterpretació del coeficiete de correlació.
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesFUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0 1. Itroducció al cálculo de
Más detallese i y i y i y i 0 1 x 1i 2 x 2i k x ki
Demostracioes de Rgresió múltiple El modelo que se platea e regresió múltiple es: y i 0 1 x 1i x i k x ki u i dode x 1, x,,x k so las variables idepedietes o explicativas. La variable respuesta depede
Más detallesMaterial interactivo con teoría y ejercicios resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los siguientes enlaces una vez dentro de la asignatura
E el Aula Virtual se ecuetra dispoible: Material iteractivo co teoría y ejercicios resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los siguietes elaces ua vez detro de la asigatura Pagia Pricipal >Aputes>4.
Más detallesINECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.
INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad
Más detallesL lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2
Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los
Más detalles