TEMA 6: Polarización del diodo 6.1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA 6: Polarización del diodo 6.1"

Transcripción

1 Ídice TEMA 6: Polarizació del diodo INTROUCCIÓN UNIÓN P-N BAO POARIZACIÓN ANÁISIS E A ZONA IPOAR ANÁISIS E AS ZONAS NEUTRAS. EUCCIÓN E A CURA CARACTERÍSTICA E IOO MOEOS E GRAN SEÑA: MOEO CIRCUITA IEA Y OTRAS APROXIMACIONES RESOUCIÓN GRÁFICA E CIRCUITOS. RECTA E CARGA ESTÁTICA i

2

3 Tema 6 Polarizació del diodo INTROUCCIÓN El objetivo de este tema es obteer la curva característica I- del disositivo. Para ello, aalizaremos la uió bajo olarizació segú el siguiete rocedimieto: 1.- Observaremos la variació de la z.c.e. co la tesió alicada. 2.- Aalizaremos las zoas eutras e los casos articulares de zoa larga y zoa corta, deduciedo la cocetració de ortadores e fució de la tesió alicada. 3.- Obtedremos la característica I- si más que exresar la corriete, I, e fució de la cocetració de ortadores. 6.1

4 6.2.- UNIÓN P-N BAO POARIZACIÓN amos a ver qué modificacioes se roduce e el razoamieto hecho ara describir ua uió cuado ésta se ecuetra sometida a u otecial extero alicado,. E este caso, se dice que la uió está olarizada. Si la diferecia de otecial alicado,, hace el lado más ositivo que el lado, se dice que la olarizació es IRECTA. E caso cotrario, la olarizació será INERSA. E la Figura 6.1 aarece idicadas las olarizacioes, así como el coveio de sigos ara la tesió exterior alicada,. P N P N I I (a) > 0 (b) < 0 Figura (a) Polarizació irecta; (b) Polarizació Iversa ANÁISIS E A ZONA IPOAR Para estudiar el efecto de ua tesió de olarizació sobre la uió, vamos a teer e cueta las siguietes cosideracioes de artida: 1. Suoemos que los cotactos metálicos, que so los que facilita la coexió del disositivo co el exterior, so óhmicos. Es decir, o ofrece resistecia al aso de corriete e uo u otro setido o, dicho de otra forma, reseta uos oteciales de cotacto que so de valor fijo deediedo úicamete del material que se utilice ara fabricar el cotacto metal-semicoductor. 6.2

5 Aálisis de las zoas eutras. educció de la curva característica del diodo. 2. amos a suoer que las regioes y está lo suficietemete doadas cotiee u úmero suficiete de h + y e - de maera que, e u amlio rago de corrietes, la caída óhmica de tesió e ellas es ula o muy equeña. Pues bie, bajo estas remisas, resulta que toda la tesió extera alicada,, aarece e la uió, aarece e la zoa diolar. Por lo tato, ara el aálisis bajo olarizació de la zoa diolar, basta co sustituir ϕ T ϕt > 0 < 0 Polarizació irecta Polarizació Iversa Es decir, la POARIZACIÓN IRECTA (ver Figura 6.2) reduce la barrera de otecial existete etre las regioes y, reduce el valor del r ε e la zoa diolar, así como la achura de dicha regió. Bajo POARIZACIÓN INERSA (Figura 6.3) sucede todo lo cotrario. Además, ha de ser siemre iferior a φ T (la úica forma de elimiar esta restricció es admitir caídas de tesió e las regioes y, lo que ocurre e el rago de altas corrietes). Es decir, la POARIZACIÓN IRECTA reseta límite e cuato al valor máximo de alicado, o así la POARIZACIÓN INERSA (e tal caso < 0 y φ T siemre es ositivo). 6.3

6 z.c.e. e equilibrio -x x j x > 0 Nueva z.c.e. (a) ρ(x) -x + qn -qn A - x (b) ε(x) -x x (c) ϕ (x) bi - bi -x (d) x Figura Efecto de ua tesió de olarizació directa, > 0, sobre el erfil de la carga, camo eléctrico y otecial de la zoa de carga de esacio. 6.4

7 Aálisis de las zoas eutras. educció de la curva característica del diodo. z.c.e. e equilibrio -x x j x < 0 Nueva z.c.e. (a) ρ(x) qn -x + - x -qn A (b) ε(x) -x x (c) ϕ (x) bi - bi -x (d) x Figura Efecto de ua tesió de olarizació iversa, < 0, sobre el erfil de la carga, camo eléctrico y otecial de la zoa de carga de esacio. 6.5

8 6.4.- ANÁISIS E AS ZONAS NEUTRAS. EUCCIÓN E A CURA CARACTERÍSTICA E IOO. Ates de emezar a deducir las ecuacioes que os coduce a la característica I- del disositivo, vamos a ver su fucioamieto de forma cualitativa. ANÁISIS CUAITATIO Hemos visto que ua olarizació directa ( > 0), reduce la barrera de otecial existete etre las regioes y roduciedo, or lo tato, ua descomesació etre las corrietes de arrastre y difusió existetes e el equilibro. Esta descomesació (Figura 6.4) rovoca ua iyecció de ortadores mioritarios e las regioes eutras como cosecuecia de la dismiució de la a. Esto es, aarece u flujo or difusió de e - desde y de h + desde. Por lo tato, como cosecuecia de la POARIZACIÓN IRECTA, aarece e los bordes de la z.c.e. u exceso de mioritarios sobre los que existía e equilibrio termodiámico. ichos ortadores mioritarios avaza, ricialmete, or difusió e cada ua de las regioes eutras, desaareciedo or recombiació co los mayoritarios. El resultado eto es, or lo tato, ua gra corriete extera que atraviesa el disositivo de, es decir, de áodo cátodo. Por el cotrario (Figura 6.5) ua olarizació iversa ( < 0), aumeta la barrera de otecial existete etre las regioes y roduciedo ua descomesació etre las corrietes de arrastre y difusió existetes e el equilibro (ahora domia a ). Por lo tato, el úico flujo osible es el de los ortadores mioritarios hacia aquéllas regioes e las que so mayoritarios. Ahora bie, cuátos mioritarios teemos?, sólo los geerados térmicamete. Esto es, el resultado eto de ua olarizació iversa es ua equeña corriete que atraviesa el disositivo de, es decir, de cátodo áodo. Esta corriete está alimetada or la débil, ero cotiuada geeració térmica de ares e - - h +, e las roximidades de los bordes de la z.c.e. Es ideediete, or lo tato, de la tesió alicada. Se deomia corriete iversa de saturació. 6.6

9 Aálisis de las zoas eutras. educció de la curva característica del diodo. P N I uuur a ( Arrastre) uuur d ( ifusió) Equilibrio > 0 q( bi ) q BC q( bi ) uuur d ( ifusió) uuur a ( Arrastre) q B Zoa z.c.e. Zoa Figura (a) iagrama de badas de eergía ara ua olarizació directa ( ) y ara el equilibrio termodiámico ( ); (b) flujo de ortadores bajo olarizació directa, >

10 P N I uuur a ( Arrastre) uuur d ( ifusió) Equilibrio < 0 BC q q( bi ) q( bi ) B q uuur d ( ifusió) uuur a ( Arrastre) Zoa z.c.e. Zoa Figura (a) iagrama de badas de eergía ara ua olarizació iversa y ara el equilibrio termodiámico (b) flujo de ortadores bajo olarizació iversa, <

11 Aálisis de las zoas eutras. educció de la curva característica del diodo. El símbolo de circuito de u diodo es or lo tato, I (I ) de áodo a cátodo Áodo Cátodo P N ( áodo - cátodo) (a) Figura Símbolo de circuito del diodo (a) y curva característica (b) (b) dode la flecha idica el setido e el que fluye la corriete bajo olarizació directa. Por lo tato, el diodo de uió es u disositivo semicoductor de dos termiales cuya alicació imediata es la de actuar como RECTIFICAOR (sólo ermite el aso de corriete e u setido). ANÁISIS CUANTITATIO Para obteer la curva característica I- del diodo de uió, habrá que resolver las ecuacioes de estado e cada ua de las zoas eutras: ecuacioes de cotiuidad, ecuacioes de trasorte de corriete y ecuació de Poisso. Además de las cosideracioes hechas e el aartado 6.3, tedremos e cueta las siguietes hiótesis: 1. Cosecuecia de la H..T., que matedremos e la z.c.e. bajo olarizació, cosideraremos desreciables los rocesos de geeració / recombiació e dicha regió. Esto es, todo flujo etrate debe salir, o lo que es lo mismo, todas las comoetes de corrietes ermaece costates al atravesar la z.c.e. 2. Baja Iyecció e las zoas eutras. 3. os mioritarios fluye, e las regioes eutras, ricialmete or difusió. Estas hiótesis de artida, ermite que las ecuacioes de estado e cada ua de las regioes eutras sea de fácil solució. Eligiedo el setido ositivo de las x e el 6.9

12 setido que fluye la corriete, esto es, desde el áodo hacia el cátodo (co el orige de coordeadas e el borde de la z.c.e. or el lado del cátodo, de maera que todo el áodo cae detro de las x egativas), teemos que: wc x wc x wc x ex ex sh ( (6.1) wc ex ex sh x) = (0) = (0) wc wc wa + x wa + x wa + x ex ex sh = ) ex ex sh ( x) = (0) (0 (6.2) wa wa wa siedo w c y w a, las achuras de las regioes de cátodo y áodo resectivamete. Su reresetació gráfica se ha señalado e la Figura W = W = 10 x (larga) W = 0.1 x (corta) ('(x)/'(0)) istacia(100 micras) Figura Perfil de mioritarios e el cátodo deediedo de la achura del mismo resecto de. 6.10

13 Aálisis de las zoas eutras. educció de la curva característica del diodo. A artir de ahora, os quedaremos co uo de los comortamietos asitóticos, cocretamete co el corresodiete a regioes largas (ver Figura 6.8), or lo que, ( x) = (0) ex ( x) = (0) ex x x (6.3) (Recordar que uestro sistema de referecia o es el idicado e la Figura ya que, ara osotros, todo el áodo cae detro de las x egativas). as ecuacioes (6.3) os idica, or lo tato, que el erfil de mioritarios excedetarios e las zoas eutras decrece de maera exoecial a medida que dichos ortadores desarece or recombiació co los ortadores mayoritarios. No hay que olvidar que los mayoritarios de cada regió ha sufrido la misma variació al objeto de que se verifique la codició de cuasi-eutralidad de carga, ero su variació relativa ha sido meor. El siguiete aso es el cálculo de las corrietes asociadas a dichos erfiles, esto es, las corrietes de difusió de mioritarios: r r r r d d = q = q iˆ = q x iˆ = q x (0) ex (0) ex x iˆ x iˆ (6.4) as ecuacioes (6.4) os idica que las corrietes asociadas a los mioritarios va e el mismo setido, de áodo a cátodo, y que decrece tambié de maera exoecial. Por otra arte, sabemos que r T r r = cte = +, y uesto que la z.c.e. es de baja recombiació, lo que imlica que todas las comoetes de corriete ermaece costates al atravesarla, resulta que el uto ótimo de todo el disositivo ara realizar la suma aterior es el borde de la z.c.e., ya que coocer la corriete de difusió de los 6.11

14 mioritarios e uo de los extremos, es equivalete a coocer la corriete total de dicho ortador al otro lado de la zoa diolar, Figura 6.8. Esto es, T = ( 0) + (0) = (0) + (0) = (0) + (0) d d q (x) (x) ' (x) ara > 0 ' (x) ara > 0 0 ' (x) ara < 0 ' (x) ara < 0 0 -x 0 x x 0 0 x Figura Perfiles de mioritarios e las regioes eutras ara A > 0 ( ) y ara A < 0 ( ), cosiderado que N A > N. T (total) (0) (x) (0) (x) 0 z.c.e. -x x 0 0 Figura esidad de corriete ara el caso de olarizació directa co N A > N. 6.12

15 Aálisis de las zoas eutras. educció de la curva característica del diodo Falta, etoces, or deducir la exresió del exceso de mioritarios e el borde de la z.c.e. e fució de la tesió alicada. Pues bie, uede deducirse que el exceso de mioritarios crece exoecialmete co la tesió alicada, de maera que e situacioes de Baja Iyecció, = 1 ex (0) T o m m or lo que la exresió ara la corriete resulta ser: + = 1 ex T o o T q ecuació que uede escribirse de la forma, + = + = + = = o o o o o o sat T sat T q q q τ τ τ τ τ τ 1 ex (6.5) a ecuació (6.5) es la Corriete e el iodo Ideal - Ecuació de Shockley, que os dice: 1. Bajo olarizació directa, > 0, y si > T, eseguida emieza a circular ua gra corriete or el disositivo de áodo cátodo (ara u diodo co I sat = 11.2 A), () I 0 71A 33.3A 1.8μA 99.6μA 5.4mA 0.3A 16A 884A

16 2. Bajo olarizació iversa, < 0, y si > T, la exoecial eseguida cae a cero = - sat, es decir, bajo olarizació iversa circula ua corriete (-) ara el disositivo (de cátodo áodo) que, además, es rácticamete ideediete de la tesió iversa alicada, de ahí que se le deomie Corriete Iversa de Saturació, (ara u diodo co I sat = 11.2A), () I 0-9.7A -11A -11.2A -11.2A -11.2A -11.2A -11.2A -11.2A 3. e (1) y (2) se deduce, or tato, que el diodo de uió se comorta casi como u cortocircuito, bajo olarizació directa, y como u circuito abierto, bajo olarizació iversa. Esto es, sólo ermite el aso de corriete e el setido áodo cátodo. Su curva característica aarece dibujada e la Figura (ma/cm2) Tesió alicada () Figura Curva característica (Shockley) resultate ara u diodo de uió co ua corriete de saturació I sat = 11.2 A 6.14

17 Aálisis de las zoas eutras. educció de la curva característica del diodo. SIGNIFICAO E SAT Si aalizamos la exresió de la sat e la ecuació (6.5), odemos observar que su valor deede de las características, de las eculiaridades roias de las regioes de áodo y cátodo (regioes y resectivamete). Para buscar su sigificado físico, basta co recordar que la olarizació iversa extrae mioritarios hacia aquéllas regioes e las que so mayoritarios (e - de y h + de ). Ahora bie, los úicos mioritarios que teemos e las regioes y so los geerados térmicamete. Es decir, el 1 er térmio de sat rereseta la corriete de h + geerada térmicamete e ua regió de achura imediata al borde de la z.c.e. y, otro tato uede decirse del 2º térmio. Por lo tato, se uede iterretar la sat del diodo de uió como el resultado de la geeració térmica de ortadores mioritarios e las regioes eutras detro de ua logitud de difusió cotada a artir del borde de la z.c.e. e la exresió de sat uede observarse, además, que el térmio domiate es el de la regió meos doada. Esto es, e u diodo asimétrico, or ejemlo + (N A >> N ), toda la corriete es trasortada, fudametalmete, or los ortadores de la regió más doada. Es decir, sat q τ = o (6.6) Si además de ser el diodo asimétrico, el cátodo es corto, etoces x = ( x) ( o) 1 wc co lo que T = d (0) = q = q (0) x w x = 0 c y, or lo tato, sat = q o (6.7) w c 6.15

18 Si comaramos las ecuacioes (6.6) y (6.7), resulta que la sat de u cátodo corto es w c veces mayor que e el caso de u cátodo largo, situació relativamete desfavorable si se quiere obteer ua baja corriete de saturació. Fialmete, señalar que e disositivos se trabaja co la sat e lugar de co la I sat. a razó es que I sat = sat A, siedo A el área del diodo, arámetro que uede ser cotrolado fácilmete durate el roceso de fabricació. Esto es, odemos fabricar diodos exactamete iguales ero co mayores o meores valores de corriete ara u mismo voltaje alicado, si más que variar el arámetro A. Además, señalar, que uesto que sat α 2 ( T ), la corriete de saturació deede fuertemete de la temeratura. i MOEOS E GRAN SEÑA. MOEO CIRCUITA IEA Y OTRAS APROXIMACIONES. Se trata de ver ahora las alicacioes de circuito de los diodos, o lo que es lo mismo, cómo odemos maejar, desde el uto de vista de circuitos, su curva característica. Para ello es iteresate cosiderar que las curvas características de u diodo que sigue la ecuació de Shockley (exoecial, Figura 6.11a) uede aroximarse or dos tramos rectos de corriete ula (ara tesió egativa) y tesió ula (ara corriete ositiva). Esta aroximació corresode a lo que se deomia diodo ideal desde el uto de vista del circuito (Figuras 6.11b y 6.11c). Tambié es coveiete cosiderar (como razoaremos e el siguiete tema) que la curva I- de u diodo real tedrá ciertas diferecias resecto a la ecuació de Shockley (Figura 6.12). Podemos observar, que el diodo ideal (Figuras 6.11b y 6.11c) es u disositivo biario e el setido de que existe e sólo uo de dos osibles estados: ON / OFF. Cuado el diodo está e ON, 0 e I uede teer cualquier valor ositivo resistecia del diodo es cero y el diodo se comorta como u cortocircuito. Por el cotrario, cuado I = 0, uede teer cualquier valor egativo el diodo se comorta ahora como ua resistecia ifiita o circuito abierto. 6.16

19 Modelos de gra señal Modelo circuital ideal y otras aroximacioes. (ma/cm2) (ma/cm2) I (a) (b) (c) Figura (a) Curva característica (Shockley) del diodo a diferetes escalas; (b) aroximació ideal de la curva; (c) reresetació circuital -estados ON/OFF- del diodo ideal. I G e S i Polarizació directa Tesió de rutura 0,2 0,6 Polarizació iversa Figura Curva característica del diodo real 6.17

20 E la Figura 6.12, or el cotrario, se observa que es ecesaria ua tesió míima, γ, ara obteer ua corriete sigificativa. Para tesioes sueriores a γ, la corriete aumeta co raidez. a ediete de la curva característica es grade, ero o ifiita como e el caso del diodo ideal. a tesió γ recibe el ombre de Tesió de codo, Tesió de uesta e coducció, y Tesió umbral, etre otros, siedo su valor aroximadamete de 0,7 ara diodos de Si. Para tesioes alicadas < γ, el diodo estará e OFF, iversamete olarizado. Podemos obteer modelos de circuito más exactos si más que liealizar la curva característica del diodo. Por ejemlo, tal y como se observa e la Figura 6.13a, los dos segmetos lieales se aroxima a la característica directa del diodo. Esto es, cuado el diodo está e ON uede reresetarse or u circuito formado or ua fuete de tesió, γ, e serie co ua resistecia R f ( 5 50 Ω ara diodos de silicio) tal y como se observa e la Figura 6.13b. Esta liealizació es válida orque ara tesioes iferiores a γ, la corriete directa que circula or el diodo es ta equeña que uede desreciarse. Además, la caída de tesió e el diodo es equeña frete a la tesió extera alicada al circuito, de forma que la diferecia etre la característica lieal y la real suoe u error desreciable. E resume, el estado de coducció ON uede cosiderarse como u diodo ideal e serie co ua batería γ y ua resistecia I I = R f γ I R f. γ (a) (b) Figura (a) Característica directa liealizada del diodo; (b) modelo del diodo ara olarizació directa. E el estado de corte, OFF, la característica del diodo se aroxima a ua recta que 6.18

21 Modelos de gra señal Modelo circuital ideal y otras aroximacioes. asa or el orige, Figura 6.14a, siedo su ediete igual a 1/R r. Esta reresetació da ie a los circuitos de la Figura 6.14b. Puesto que R r > varios ceteares de ohmios, muchas veces se uede cosiderar que es ifiita y tratar al diodo bajo olarizació iversa como u circuito abierto. Cuado se requiera más recisió, se uede utilizar u circuito formado or R r y el geerador de corriete, I sat, que se emlea ara idicar la corriete iversa de saturació costate. Estos modelos del diodo sirve ara caracterizar su comortamieto frete a señales grades e comaració co la tesió γ. etro de esta característica cae las alicacioes de comutació ON OFF o las de rectificació. Cuado las señales alicadas al disositivo sea de uos ocos m, se utilizará la ecuació de Shockley u otros modelos, como el de equeña señal del diodo. I I I sat R r I = I sat + R r R r I < 0 (a) (b) Figura (a) Característica iversa liealizada del diodo; (b) modelos del diodo ara olarizació iversa. 6.19

22 EEMPO: E el circuito de la Figura 6.15, los diodos 1 y 2 so idéticos y viee caracterizados or: R f = 30 Ω I sat = 0 γ = 0,6 R r Se retede, etoces, determiar la tesió de salida v o ara los siguietes valores de las tesioes de etrada: a) v 1 = v 2 = 5 b) v 1 = 5 v 2 = 0 c) v 1 = v 2 = 0 5 v1 v2 1 2 v o Figura Esquema del circuito a resolver 6.20

23 Resolució gráfica de circuitos. Recta de carga estática RESOUCIÓN GRÁFICA E CIRCUITOS. RECTA E CARGA ESTÁTICA. Se desea resolver el circuito de la Figura 6.16; esto es, se desea obteer la corriete y caída de tesió e el diodo. a forma de resolverlo deederá de los datos de artida. E el ejemlo aterior, los datos de artida era arámetros relacioados co la liealizació de la curva característica del diodo, or lo que se ha utilizado el modelo de gra señal que se ajustaba a dichos datos. I Figura Esquema del circuito a resolver. Se ha de determiar I y e el diodo. E fució de los datos disoibles, se os latea dos métodos de resolució: I. Nos da la I sat del disositivo I = I sat ex 1. Pero, además, al estar T el diodo e u circuito, ha de cumlir las ecuacioes de éste, or lo que 1,1 = 0, 1 I Teemos, or lo tato, u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas cuya resolució imlica utilizar u roceso iterativo: 0 I = 11mA I T 1 + = I sat I,1 = 0,

24 A través de este roceso, obtedríamos los valores de cotiua (de reoso) I, que costituye lo que se deomia Puto Q, Puto de Trabajo, Puto de Polarizació, Puto de Reoso. Este rocedimieto iterativo exige coocer el valor de I sat. II. Nos da la curva característica del diodo el circuito lo teemos que resolver gráficamete. Hay que teer resete que el rocedimieto aterior, se cooce la I sat, cosiste e la resolució de u sistema formado or ua ecuació del circuito juto co la ecuació del disositivo (ecuació de Shockley). a resolució de dicho sistema uede hacerse, tambié, gráficamete si más que reresetar la ecuació del circuito e el mismo lao de la curva característica del diodo. El resultado es ua líea recta que se la deomia recta de carga estática, tal y como se muestra e la Figura Pues bie, la itersecció de la recta de carga estática co la curva característica del diodo, os dará el uto de trabajo Q. I Q Figura Reresetació de la recta de carga estática. a itersecció de dicha recta co la característica del diodo determia el uto de trabajo Q. 6.22

Rectificador de media onda

Rectificador de media onda Electróica y microelectróica ara cietíficos ectificador de media oda Como u diodo ideal uede mateer el flujo de corriete e ua sola direcció, se uede utilizar ara cambiar ua señal de ca a ua de cd. E la

Más detalles

Tema 7. El transistor. El transistor bipolar de unión. Tema 7. El Transistor

Tema 7. El transistor. El transistor bipolar de unión. Tema 7. El Transistor Tema 7. l trasistor Tema 7. l trasistor Objetivos: teder cualitativamete el fucioamieto de los trasistores de uió y de efecto camo. oocer alguas alicacioes de trasistores. hockley, ardee, rattai (1948)

Más detalles

Semiconductores. Dr. J.E. Rayas Sánchez

Semiconductores. Dr. J.E. Rayas Sánchez Semicoductores Alguas de las figuras de esta resetació fuero tomadas de las ágias de iteret de los autores del texto: A.R. Hambley, Electroics: A To-Dow Aroach to Comuter-Aided Circuit Desig. Eglewood

Más detalles

El Transistor de Juntura Bipolar (BJT)

El Transistor de Juntura Bipolar (BJT) l Trasistor de Jutura iolar (JT) J,I. Huircá, R.A. arrillo Uiversidad de La Frotera December 9, 2011 Abstract l Trasistor de Jutura iolar (JT) es u disositivo activo de tres termiales, ase, olector y misor,

Más detalles

El Transistor de Efecto de Campo (FET)

El Transistor de Efecto de Campo (FET) El Trasistor de Efecto de Camo (FET) J.I.Huirca, R.A. Carrillo Uiversidad de La Frotera. ecember 10, 2011 Abstract El FET es u disositivo activo que oera como ua fuete de corriete cotrolada or voltaje.

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como

Más detalles

(10K) (12K) (470) (c) A v = 190 (d) f c = 53 MHz

(10K) (12K) (470) (c) A v = 190 (d) f c = 53 MHz 3. AMPIFICADORES Y MEZCADORES 1. E el circuito de la figura: a) Determiar el puto de trabajo de ambos BJT. b) Represetar el circuito e pequeña señal idicado los valores de cada elemeto. c) Hallar la gaacia

Más detalles

2,0 1,5. 1/v. Cooperatividad negativa 1,0 0,5

2,0 1,5. 1/v. Cooperatividad negativa 1,0 0,5 Ezimología Efecto cooperatio 1 EFECTO COOPERATIVO El efecto cooperatio ocurre e ezimas oligoméricas que posee arios sitios para la uió de sustrato y es el feómeo por el cual la uió de u ligado a ua ezima

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos Los úmeros complejos Los úmeros complejos Forma biómica Defiició z = a + bi, o bie, z = (a, b) siedo a la parte real y b la parte imagiaria. a = r cos α b = r se α Opuesto z = a bi Cojugado z = a bi Represetació

Más detalles

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad

Tema 8 Límite de Funciones. Continuidad Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

JUNTURA METAL SEMICONDUCTOR

JUNTURA METAL SEMICONDUCTOR JUNTURA METAL SEMICONUCTOR. EQUILIBRIO E SISTEMAS E FERMI EN CONTACTO Supogamos dos sistemas co eergías de Fermi diferetes. esigamos como E F, ; g, ();f F, ();, () y v, () a las eergías de Fermi, la fució

Más detalles

Tema 4. Estimación de parámetros

Tema 4. Estimación de parámetros Estadística y metodología de la ivestigació Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 4. Estimació de parámetros 1. Estimació putual 1 1.1. Estimació de la proporció e la distribució Bi(m, p).......................

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIO, RANGO, CURVAS DE NIVEL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES. Ua fució de variable es u cojuto de pares ordeados de la forma

Más detalles

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi

Ejemplo: 0+0i y -3+0i representan los números reales 0 y 3 respectivamente. Si a=0 se considera un número imaginario puro a 0+bi u_miii.doc EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: No eiste u úmero real que satisfaga la ecuació +0 Para resolver este tipo de ecuacioes es ecesario itroducir el cocepto de úmero complejo. U úmero complejo

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar

Más detalles

Símbolo del inversor autónomo.

Símbolo del inversor autónomo. CAPITULO II TORIA D LOS INRSORS D TNSION Itroducció Los iversores de tesió so coversores estáticos, destiados a cotrolar el flujo de eergía eléctrica etre ua fuete de tesió cotiua y ua fuete de corriete

Más detalles

2.1 - F.e.m de las máquinas de corriente alterna lineales planas

2.1 - F.e.m de las máquinas de corriente alterna lineales planas - CÁLCULO PARAMÉTRICO DE MÁQUINAS LINEALES.1 - F.e.m de las máquias de corriete altera lieales laas El valor medio de la.e.m. iducida e ua esira de aso diametral, ideedietemete de la orma esacial o de

Más detalles

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO

LAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que

Más detalles

Ejercicios de Análisis Matemático Sucesiones numéricas

Ejercicios de Análisis Matemático Sucesiones numéricas Ejercicios de Aálisis Matemático Sucesioes uméricas. ado " > 0, calcula m " N tal que ara todo >m " se verifique jx xj < " dode x, x viee dados e cada caso or: a/ x C 3 3 50 ; x 3 I b/ x 3 C 3 ; x 0 c/

Más detalles

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4.

INECUACIONES. Ejemplo: La desigualdad 2x+l>x+5, es una inecuación por que tiene una incógnita x que se verifica para valores mayores que 4. INECUACIONES DEFINICIÓN: Ua iecuació es ua desigualdad e las que hay ua o más catidades descoocidas (icógita) y que sólo se verifica para determiados valores de la icógita o icógitas. Ejemplo: La desigualdad

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua fábrica de muebles dispoe de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estates.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; ( puto) Calcule

Más detalles

Técnicas para problemas de desigualdades

Técnicas para problemas de desigualdades Técicas para problemas de desigualdades Notas extraídas del libro de Arthur Egel [] 5 de marzo de 00 Medias Comezamos co dos de las desigualdades más básicas pero al mismo tiempo más importates Sea x,

Más detalles

Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras UCR ECCI CI-35 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviaa Ramírez Beavides Iferecia Estadística La teoría de la iferecia estadística cosiste e aquellos

Más detalles

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG

Convolución. Dr. Luis Javier Morales Mendoza. Procesamiento Digital de Señales Departamento de Maestría DICIS - UG Covolució Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció... Aálisis de Sistemas Discretos Lieales e Ivariates e el Tiempo.... Técicas

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida

Más detalles

3. Volumen de un sólido.

3. Volumen de un sólido. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Itegrales y aplicacioes.. Volume de u sólido. E esta secció veremos cómo podemos utilizar la itegral defiida para calcular volúmees de distitos tipos

Más detalles

12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS)

12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 12 I N F E R E N C I A E S T A D Í S T I C A II (CONTRASTE DE HIPÓTESIS) 1 Supogamos que ua variable aleatoria X sigue ua ley N(µ; =,9). A partir de ua muestra de tamaño = 1, se obtiee ua media muestral

Más detalles

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato. UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios

Más detalles

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior UNIDAD Ecuacioes Difereciales Lieales de Orde Superior. Defiició Ua ecuació diferecial lieal de orde tiee la forma: d y a a a a y= g d d d Si las fucioes a a so todas costates (o cero) etoces se dice que

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN. MEDIDA DE DIPERIÓN. Las medidas de tedecia cetral solamete da ua medida de la localizació del cetro de los datos. Co mucha frecuecia, es igualmete importate describir la forma e que las observacioes está

Más detalles

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas

UNEFA C.I.N.U. Matemáticas RADICACIÓN: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Ates de etrar e el tema Radicació, vamos a comezar por recordar u poco sore Poteciació: Saemos que e lugar de escriir, utilizamos la otació: de Poteciació, dode el

Más detalles

CONTROL DE TEMPERATURA POR HISTERESIS USANDO UN TRIAC Y UN DETECTOR DE CRUCE POR CERO

CONTROL DE TEMPERATURA POR HISTERESIS USANDO UN TRIAC Y UN DETECTOR DE CRUCE POR CERO CONTROL DE TEMPERATURA POR HISTERESIS USANDO UN TRIAC Y UN DETECTOR DE CRUCE POR CERO OBJETIOS: Se pretede cotrolar la temperatura de u ambiete reducido (e este caso la cabia de ua icubadora para eoatos),

Más detalles

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan

MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL. Resumen: En este artículo se muestra como las transformaciones de funciones resultan MOSAICOS Y POLIEDROS REGULARES. UN PUNTO DE VISTA FUNCIONAL Viceç Fot Departamet de Didàctica de les CCEE i de la Matemàtica de la Uiversitat de Barceloa Resume: E este artículo se muestra como las trasformacioes

Más detalles

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga

Más detalles

Una ecuación diferencial lineal de orden superior general tendría la forma. (1) dx dx

Una ecuación diferencial lineal de orden superior general tendría la forma. (1) dx dx .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 6.7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior Ua ecuació diferecial lieal de orde superior geeral tedría la forma d y d y dy a( ) a ( )... a ( )

Más detalles

2 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

2 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS 2 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS Cualquier característica de calidad que pueda ser clasificada de forma biaria: cumple o o cumple, fucioa o o fucioa, pasa o o pasa, coforme o discoforme defectuoso, o

Más detalles

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS

Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS Probabilidad FENÓMENOS ALEATORIOS E el mudo real hay feómeos regidos por leyes de tipo empírico (basadas e la experiecia), lógico o deductivo, e los que el efecto está determiado por ciertas causas. El

Más detalles

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS "Toda cosa grade, majestuosa y bella e este mudo, ace y se forja e el iterior del hombre". Gibrá Jalil Gibrá. Uidad : PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 0-1 2 1 ( putos) Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C. 1

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES

6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,

Más detalles

Jueves, 25 de abril. Dificultades de los modelos PNL. Dónde está la solución óptima? Otro ejemplo: Óptima Local frente a Global

Jueves, 25 de abril. Dificultades de los modelos PNL. Dónde está la solución óptima? Otro ejemplo: Óptima Local frente a Global . Jueves, de abril Teoría sobre la programació o lieal Programació separable Dificultades de los modelos PNL PL: Etregas: material de clase PNL: Aálisis gráfico de la programació o lieal e dos dimesioes:

Más detalles

Números naturales, enteros y racionales

Números naturales, enteros y racionales Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMA, POLIGONO Y ESTADÍSITICOS DE TENDENCIA CENTRAL, DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS. Prof.: MSc. Julio R. Vargas I. Las calificacioes fiales

Más detalles

TEMA 7 Trenes de Engranajes

TEMA 7 Trenes de Engranajes Igeiería Idustrial. Teoría Máquias TEMA 7 Trees de Egraajes Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patró Objetivos: Itroducir el mudo de los trees de egraajes, aalizado los diversos tipos

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007

CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007 CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semaa 0 Julio al Agosto 007 Ejercicios Resueltos. Estime el área ecerrada por la curva de ecuació y, el eje X y, para ello, divida el itervalo [0,] e cico partes iguales, y

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelo 2 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 2 DEL 2015 OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Modelo 2 del 2015 (Soluciones) Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO 2 DEL 2015 OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Modelo del 015 (Solucioes) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS MODELO DEL 015 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1-1 Sea las matrices A = 0 1-1, B = 1 1, C = ( 1),

Más detalles

Estadística Teórica II

Estadística Teórica II tervalos de cofiaza Estadística Teórica NTERVALOS DE CONFANZA Satiago de la Fuete Ferádez 77 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA CON DESVACÓN TÍPCA POBLACONAL CONOCDA Y DESCONOCDA.

Más detalles

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.

SERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio

Más detalles

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5

UNIDAD 3. b b.1 Es una P.G. con a 1 5 y d 0,5. Por tanto: a n a 1 n 1 d 5 n 1 0,5 5 0,5n 0,5 0,5n 4,5 a n 0,5n 4,5 UNIDAD 3 a Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes: a.1) a 2, a 3 1 2 a a a 1 2 a.2 b 2 + 1 b Halla el térmio geeral de cada ua de estas sucesioes: b.1 3, 1, 1, 3, 5,... b.2 2, 6, 18, 54,...

Más detalles

Se plantean una serie de cuestiones y ejercicios resueltos relacionados con la cinética de las reacciones químicas.

Se plantean una serie de cuestiones y ejercicios resueltos relacionados con la cinética de las reacciones químicas. ESUEL UNIVERSIRI DE INGENIERÍ ÉNI INDUSRIL UNIVERSIDD POLIÉNI DE MDRID Roda de Valecia, 3 80 Madrid www.euiti.upm.es sigatura: Igeiería de la Reacció Química Se platea ua serie de cuestioes y ejercicios

Más detalles

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8

Cálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8 Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que

Más detalles

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.

El tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números. Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 3 (1 puto) Sea las matrices A= 0 1 y B = 1-1 - 0 1 1 De las siguietes operacioes, alguas o se puede

Más detalles

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS NÁLSS Y ESOLCÓN DE CCTOS. Las Leyes de Kirchhoff..- Euciado de las Leyes de Kirchhoff. Defiició de Nodo y Lazo Cerrado. Las Leyes de Kirchhoff so el puto de partida para el aálisis de cualquier circuito

Más detalles

Sistemas de Segundo Orden

Sistemas de Segundo Orden Apute I Departameto de Igeiería Eléctrica Uiversidad de Magallaes Aputes del curso de Cotrol Automático Roberto Cárdeas Dobso Igeiero Electricista Msc. Ph.D. Profesor de la asigatura Este apute se ecuetra

Más detalles

FÍSICA GENERAL 2º CUATRIMESTRE 2014 TT.PP. LABORATORIOS- TEORIA DE ERRORES. (Algunos conceptos importantes)

FÍSICA GENERAL 2º CUATRIMESTRE 2014 TT.PP. LABORATORIOS- TEORIA DE ERRORES. (Algunos conceptos importantes) FÍSICA GENERAL 2º CUATRIMESTRE 2014 TT.PP. LABORATORIOS- TEORIA DE ERRORES (Alguos coceptos importates) 1. Error de apreciació. Lo primero que u experimetador debe coocer es la apreciació del istrumeto

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A ( putos) Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de care. Además, el

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas Semiario Uiversitario Matemática Módulo Expresioes Algebraicas Difícilmete se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual si u maejo algebraico razoable. Usamos la palabra maejo y o la de estudio,

Más detalles

COLECCIóN DE EJERCICIOS RESUELTOS DISPOSITIVOS ELECTRONICOS Y FOTONICOS II

COLECCIóN DE EJERCICIOS RESUELTOS DISPOSITIVOS ELECTRONICOS Y FOTONICOS II COLECCIó DE EJERCICIOS RESUELTOS DISPOSITIOS ELECTROICOS Y FOTOICOS II Problema E u MESFET defia, explicado su setido físico y obteiedo expresioes que permita calcularlos, los siguietes parámetros: a)

Más detalles

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel x Estimado alumo: Aquí ecotrarás las claves de correcció, las habilidades y los procedimietos de resolució asociados a cada preguta, o obstate, para reforzar tu apredizaje es fudametal que asistas a la

Más detalles

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor

Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de

Más detalles

Muestreo sistemático

Muestreo sistemático Capítulo 1 Muestreo sistemático El muestreo sistemático es u tipo de muestreo que es aplicable cuado los elemetos de la població sobre la que se realiza el muestreo está ordeados Este procedimieto de muestreo

Más detalles

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR NVESDD SMON BOLV COMPOMENO DE L MQN CON Hoja Nº -63 EXCCÓN EN DEVCON 1. La máquia e derivació coectada a ua red de tesió costate. La ecuació para la tesió es (cosiderado circuito pasivo): + ). + E ( (

Más detalles

ESTIMACION DE LA PRESION DE CONVERGENCIA, CONSTANTE DE EQUILIBRIO Y FASES DEL GAS NATURAL

ESTIMACION DE LA PRESION DE CONVERGENCIA, CONSTANTE DE EQUILIBRIO Y FASES DEL GAS NATURAL República Bolivariaa de Veezuela Miisterio del Poder Popular para la Educació Superior Uiversidad Nacioal Experimetal Rafael María Baralt Programa: Igeiería y Tecología Proyecto: Igeiería e Gas Profesor:

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva

Profr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva Profr. Efraí Soto Apoliar. Área bajo ua curva Nosotros coocemos muchas fórmulas para calcular el área de diferetes figuras geométricas. Por ejemplo, para calcular el área A de u triágulo co base b altura

Más detalles

Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Análisis Numérico. Raíces de ecuaciones Teoría General de la iteración

Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Análisis Numérico. Raíces de ecuaciones Teoría General de la iteración Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Aálisis Numérico. Raíces de ecuacioes Teoría Geeral de la iteració Bibliografía: Métodos Numéricos G. Pacce Editorial EUDENE -1997. Problemas resueltos de Métodos Numéricos.

Más detalles

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández Tema III: La Elecció de Iversioes Ecoomía de la Empresa: Fiaciació Prof. Fracisco Pérez Herádez La Elecció de Iversioes Para ayudar a la elecció de distitas operativas de iversió, se puede seguir distitos

Más detalles

Probabilidad y estadística

Probabilidad y estadística Probabilidad y estadística MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIDAS DE DISPERSIÓN, GRÁFICAS, E INTERPRETANDO RESULTADOS Prof. Miguel Hesiquio Garduño. Est. Mirla Beavides Rojas Depto. De Igeiería Química

Más detalles

Test de Wilcoxon de rangos signados

Test de Wilcoxon de rangos signados 5 Elea J. Martíez do cuat. 0 Test de Wilcoxo de ragos sigados Hemos visto que, co míimas hipótesis sobre la distribució subyacete (úica mediaa y distribució cotiua), el test del sigo es UMP para las hipótesis

Más detalles

TRABAJO PRACTICO Nº 1

TRABAJO PRACTICO Nº 1 TRABAJO PRACTICO Nº 1 DEMANDA DE TRANSPORTE: ELASTICIDAD OFERTA DE TRANSPORTE: COSTOS AJUSTE DE FUNCIONES ANÁLISIS DE REGRESIÓN Objetivo: Aplicar a u caso práctico utilizado las herramietas básicas de

Más detalles

:: OBJETIVOS [3.1] :: PREINFORME [3.2]

:: OBJETIVOS [3.1] :: PREINFORME [3.2] :: OBJETIVOS [3.] Verificar que la resistecia equivalete a ua asociació de resistecias e serie se obtiee sumado aritméticamete las resistecias coectadas Verificar que la resistecia equivalete a ua asociació

Más detalles

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza. Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...

Más detalles

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos

Más detalles

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147]

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147] PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 5-6 - CONVOCATORIA: Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

MODELADO SIMPLE DEL TRANSISTOR MOS PARA TECNOLOGIA 1.2µm. A. Herrera-Favela y F. Sandoval-Ibarra

MODELADO SIMPLE DEL TRANSISTOR MOS PARA TECNOLOGIA 1.2µm. A. Herrera-Favela y F. Sandoval-Ibarra MODELADO SIMPLE DEL TRANSISTOR MOS PARA TECNOLOGIA.2µm A. Herrera-Favela y F. Sadoval-Ibarra Electroics Desig Grou CINESTA, Guadalajara Uit Prol. Lóez-Mateos Sur 590, 45235 Guadalajara JAL. (México) aherrera@gdl.civestav.mx

Más detalles

INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS DE CONFIANZA Gestió Aeroáutica: Estadística Teórica Facultad Ciecias Ecoómicas y Empresariales Departameto de Ecoomía Aplicada Profesor: Satiago de la Fuete Ferádez NTERVALOS DE CONFANZA Gestió Aeroáutica: Estadística

Más detalles

Las funciones de Cobb-Douglas como base del espacio vectorial de funciones homogéneas

Las funciones de Cobb-Douglas como base del espacio vectorial de funciones homogéneas Las fucioes de Cobb-Douglas como base del esacio vectorial de fucioes homogéeas Zuleyka Díaz Martíez Mª Pilar García Pieda José Atoio Núñez del Prado Uiversidad Comlutese de Madrid Facultad de Ciecias

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ua ecuació diferecial es ua ecuació que cotiee las derivadas de ua o más variables depedietes co respecto de ua ó mas variables idepedietes. Clasificació

Más detalles

13. FACTORIZACIÓN GAUSSIANA Y CUERPOS CUADRÁTICOS

13. FACTORIZACIÓN GAUSSIANA Y CUERPOS CUADRÁTICOS .. Teoría de los úmeros algebraicos. Teoría de los úmeros algebraicos. La teoría algebraica de los úmeros es la rama de la teoría de los úmeros e la cual el cocepto de úmero se expade a los úmeros algebraicos,

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma

Más detalles

La característica más resaltante de la capitalización con tasa de. interés simple es que el valor futuro de un capital aumenta de manera

La característica más resaltante de la capitalización con tasa de. interés simple es que el valor futuro de un capital aumenta de manera La Capitalizació co ua Tasa de Iterés Siple El Iterés Siple La característica ás resaltate de la capitalizació co tasa de iterés siple es que el valor futuro de u capital aueta de aera lieal. Sea u pricipal

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18

Negativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18 Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales

Más detalles

α, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x)

α, entonces se cumple que: T ( x) α T ( x) HÉCTOR ESCOAR Uidad 3 Álgebra Lieal ALGERA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES CONCEPTO DE OPERADOR LINEAL: sea V, dos espacios lieales, etoces u operador lieal (trasformació lieal) es ua fució T : V

Más detalles

Sistemas Automáticos. Ing. Organización Conv. Junio 05. Tiempo: 3,5 horas

Sistemas Automáticos. Ing. Organización Conv. Junio 05. Tiempo: 3,5 horas Sistemas Automáticos. Ig. Orgaizació Cov. Juio 05. Tiempo: 3,5 horas NOTA: Todas las respuestas debe ser debidamete justificadas. Problema (5%) Ua empresa del sector cerámico dispoe de u horo de cocció

Más detalles

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Ídice. INTRODUCCIÓN2 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2 Defiicioes básicas.2 Iterpretació vectorial3

Más detalles

R. Urbán Ruiz (notas de clase)

R. Urbán Ruiz (notas de clase) R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,

Más detalles