Capítulo V. Teoría cinética elemental de los procesos de transporte

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1 Capítulo V. Teoría ciética eleetal de los procesos de trasporte Lecció Gas diluido. Desequilibrio. Colisioes. Recorrido libre edio Lecció Viscosidad y trasporte de oeto. Coeficiete de iscosidad de u gas diluido. Coductiidad térica y trasporte de eergía. Coeficiete de coductiidad térica. Lecció Autodifusió y trasporte de oléculas. Coeficiete de autodifusió de u gas diluido. Coductiidad eléctrica y trasporte de carga. Coeficiete de coductiidad eléctrica de u sistea de partículas cargadas

2 Lecció Gas diluido. Desequilibrio. Colisioes. Recorrido libre edio

3 Itroducció. Heos tratado situacioes de equilibrio, pero cóo se llega a él? Situacioes de desequilibrio: U río T T > T T Q etal E u sólido: -gas diluido de electroes -ibracioes de la red (fooes) -odas de oeto agético (agoes) Coplicado Gas clásico diluido

4 Gas e situació de desequilibrio: - Se llega al equilibrio ediate choques etre las oléculas - E equilibrio tedreos la distribució de elocidades de Maxwell Si cosideraos u gas diluido: - Desidad baja: las oléculas apeas iteraccioa, tiepo etre choques >> tiepo chocado - La probabilidad de choques etre ás de dos partículas es despreciable - La logitud de oda de de Broglie de las oléculas es ucho eor que la separació edia etre ellas: trayectorias clásicas 4

5 Diferecia etre situció de equilibrio y estacioaria: Sistea aislado e equilibrio: iguo de sus paráetros aría e el tiepo Sistea estacioario: el sistea o está aislado, pero sus paráetros o aría e el tiepo. Hay que cosiderar el etoro: T T > T T Q Situació estacioaria: Hay u gradiete de T e la barra. Pero si los focos so fiitos, acabareos teiedo T T barra 5

6 Estudiareos procesos de trasporte e el gas diluído: Trasporte de: - Moeto: Viscosidad - Eergía: Coductiidad térica - Materia: Difusió Cosiderareos: - elocidad de las oléculas - tiepo etre colisioes - distacia etre colisioes - úero de colisioes Coceptos: - tiepo de colisió, τ - recorrido libre edio, λ - secció efica de dispersió, 6

7 Recorrido libre edio: Distacia edia etre colisioes Recorrido libre edio tiepo edio etre colisioes elocidad edia Volue barrido por ua olécula hasta que se ecuetra co otra: Secció efica de dispersió: π D π D λ Recorrido libre edio : λ π D 7

8 Difusió: oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració El flujo de oléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick) Coeficiete de difusió, D { /s} 8

9 Coductiidad térica: trasferecia de eergía e fora de calor debido a u gradiete de teperatura Frio Flujo de calor Caliete El flujo de eergía a traés de u area A es proporcioal al gradiete de teperatura. (ley de Fourier) Coductiidad térica, K {W - K - } C : calor específico 9

10 Viscosidad: trasporte de oeto (oeto X, trasportado a lo largo de la direcció Y) Pared e oiieto Si ua superficie se uee respecto a otra, habrá u gradiete de elocidad. Esto produce ua fuera de arrastre sobre cada superficie. Y X Pared fija Coeficiete de iscosidad: {N - s - } (CGS: poise)

11 Recorrido libre edio. Tiepo edio etre colisioes. Secció efica de dispersió.

12 Colisioes: tiepo de colisió, recorrido libre edio. Sea ua olécula co elocidad. Sea P(t) la probabilidad de que pase u tiepo t si sufrir choques. ω dt ω : : P( ), P( t) si t, P( t ) probabilidad de que ua olécula sufra u choque e el tiepo etre t y t+dt. Probabilidad por uidad de tiepo. Frecuecia de colisió. Es idepediete de la historia pasada. Puede depeder de la elocidad. Perite obteer P(t). P( t + dt ) P( t) ( ω dt ) P dp dt ω P( t + dt ) P( t) + l P ω t + C dp( t) dt dt P( t) C P( ) C exp( ω t) Supodreos que la elocidad o aría (o uy poco) etre choques. La probabilidad es idepediete del tiepo. P( t) exp( ω t)

13 Colisioes: tiepo de colisió, recorrido libre edio. P(t) : probabilidad de que la olécula pase u tiepo t si sufrir choques P( t) exp( ω t) Defiios: probabilidad de que ua olécula tega u choque e el iteralo [t,t+dt], después de estar u tiepo t si sufrir choques ω P ( t) ω dt ( t) dt ( t) e t ω dt Esta uea probabilidad equiale a: probabilidad de sobreiir t MENOS probabilidad de sobreiir t+dt ( t) P( t) P( t + dt ) dp dt dt Codició de oraliació: (seguro que la partícula choca e algú oeto) ( t) dt

14 Colisioes: tiepo de colisió, recorrido libre edio. Tiepo de colisió (o de relajació): es el tiepo edio etre choques. τ t t ( t) dt t e ω dt ω t ω Y podeos escribir: ( t) dt e t τ dt τ ω y τ puede depeder de la elocidad Recorrido libre edio: distacia recorrida etre choques. l( ) τ ( ) τ l τ λ 4

15 Recorrido libre edio: Distacia edia etre colisioes Recorrido libre edio tiepo edio etre colisioes elocidad edia Volue barrido por ua olécula hasta que se ecuetra co otra: Secció efica de dispersió: π D π D λ Recorrido libre edio : λ π D 5

16 Colisioes: recorrido libre edio. Secció efica de dispersió Ates:, Después:, (Icluye potecial de iteracció) V V Sistea de referecia fijo e : Φ Tras la dispersió, habrá dn partículas de tipo co elocidad etre y +d (e la direcció dω) Ω {θ, φ} ( Ω, V ) ( V V - R r - r Flujo de partículas tipo que icide e las tipo por uidad de area y de tiepo ) Secció efica diferecial de dispersió, es la proporcioalidad etre estas agitudes: dn, Φ y d Ω Secció efica total de dispersió: dn ( Ω, V ) Φ d Ω ( V ) ( Ω, V ) d Ω Ω 6

17 Colisioes: recorrido libre edio. Cuál es la probabilidad de choque por uidad de tiepo? Flujo de partículas tipo que icide sobre el diferecial de olue: Φ ( V dt da ) dt da V Núero de partículas tipo dispersadas por uidad de tiepo e todas las direccioes, por todas las oléculas que haya e d r: ( V ) ( d r ) La probabilidad de choque por uidad de tiepo para ua olécula se obtiee diidiedo por el úero de oléculas tipo que hay e d r: ( d ) r ω τ V La probabilidad de choque aueta si aueta: La elocidad olecular, La desidad La secció efica de dispersió 7

18 8 Colisioes etre oléculas: recorrido libre edio. Recorrido libre edio V τ λ V será cercao a V V +, V +, V c + V Y si las oléculas so idéticas: Por lo tato: λ

19 Colisioes etre oléculas: recorrido libre edio. Estiacioes uéricas: λ π d Gas a teperatura abiete y atósfera. p 6 dias / c, T K, p / kt.4 9 olecs / c diáetro típico : d. 8 c 6 c λ 5 c >> d Nitrógeo: 4 λ 5 c / s, τ 6 s 9 ω τ s ( icroodas) 8 π kt 9

20 Lecció Viscosidad y trasporte de oeto. Coeficiete de iscosidad de u gas diluido. Coductiidad térica y trasporte de eergía. Coeficiete de coductiidad térica.

21 Feóeos de trasporte Trasporte de ua deteriada propiedad a lo largo de ua direcció, y a traés de la superficie oral a esa direcció. Modelo: Las oléculas llea las propiedades que teía e la posició de su últia colisió, que ocurrió a ua distacia igual a u recorrido libre edio de la liea (superficie) a traés de la cual estudiaos el trasporte. + λ - λ λ

22 Feóeos de trasporte Trasporte de la propiedad F a lo largo de la direcció. Flujo de F: catidad de F trasportada por uidad de area y de tiepo. Flujo de partículas que icide sobre u da e dt: Φ ( dt da ) dt da + F ( 6 J J F ( J 6 F ( λ ) + λ ) F ± λ ) F ( ) ± λ J + J 6 F λ Flujo de F: J + λ - λ (si el gradiete de F o es uy grade) F λ λ

23 Feóeos de trasporte. Viscosidad Trasporte de oeto (Ejeplo: oeto X, trasportado a lo largo de la direcció Z) U río Pared e oiieto Z X Pared fija Si ua superficie se uee respecto a otra, habrá u gradiete de elocidad. Esto produce ua fuera de arrastre sobre cada superficie. p t F Fuera ejercida sobre el gas (o pared) P x aueto edio, por uidad de tiepo y de area del plao, de la copoete x del oeto del gas sobre el plao, debido al trasporte eto de oeto por parte de las partículas que atraiesa dicho plao.

24 Feóeos de trasporte. Viscosidad Trasporte de oeto (Ejeplo: oeto X, trasportado a lo largo de la direcció Z) + λ - λ λ J λ F P x aueto edio, por uidad de tiepo y de area del plao, de la copoete x del oeto del gas sobre el plao, debido al trasporte eto de oeto por parte de las partículas que atraiesa dicho plao. P x J + J J + x ( 6 J 6 x ( λ ) + λ ) P x iee - se a η x P x λ η λ x 4

25 Viscosidad: relacioes y líites de alide η λ Relació Presió-gradiete de elocidad P η λ P η η λ x λ PV NkT E kt N / 8 π V P kt Relació Viscosidad-Teperatura. La iscosidad es idepediete de la presió η 8 π kt η π kt tabié depede de T Pero todo esto sólo ale si el gas es diluído 5

26 Viscosidad: relacioes y líites de alide Gas diluido: baja, λ >> d, d alta, λ << L d << λ << L PV NkT E kt P N / 8 π V kt Gas uy diluido:, λ L, F, η Habrá que cosiderar choques etre óléculas y de las oléculas co las paredes Probabilidad total de choque: τ τ V olecs paredes L λ x τ τ olecs + τ paredes Recorrido libre edio total: λ λ λ τ λ + L + L η λ η π π d kt Si λ, η, L Gas de Kudse, ya o tiee setido hablar de iscosidad 6

27 Viscosidad: estiacioes uéricas Nitrógeo a teperatura abiete y atósfera : p 6 dias / c p / kt.4 c, T K, olecs / c diáetro típico : d. 5 4 η.8 6 c / s, 4 g c 9 λ s ( poise) 5 8 c c >> d PV P λ NkT E kt η λ η η π P / λ N / kt 8 π V π d kt 7

28 Feóeos de trasporte. Coductiidad térica Trasferecia de eergía e fora de calor debido a u gradiete de teperatura El flujo de eergía a traés de u area A es proporcioal al gradiete de teperatura. (ley de Fourier) Frio Flujo de calor Caliete T T T ( ), > Q flujo de calor (eergía). Gas ideal: eergía ciética. Q T κ Coductiidad térica, κ {W - K - } 8

29 Feóeos de trasporte. Coductiidad térica Trasferecia de eergía e fora de calor debido a u gradiete de teperatura + λ - λ λ J λ F Q flujo de calor (eergía). Gas ideal: eergía ciética. Q J + J iee - se a J + 6 ε ( λ ) J 6 ε ( + λ ) Q ε λ ε λ T T κ ε λ T λ C Q T κ C : calor específico 9

30 Coductiidad térica : relacioes y líites de alide κ κ es idepediete de la presió Relació Viscosidad-Coductiidad térica. κ η C κ λ C C π c C V PM kt tabié depede de T PV P λ NkT E kt η λ η η π P / λ N / kt 8 π V π d kt Nota: κ real es ayor. Las oléculas ás rápidas llea ás eergía ciética, y o heos cosiderado la distribució de elocidades de Maxwell, sio que heos cosiderado a todas las oléculas co la elocidad edia. Adeás, todo esto sólo ale si el gas es diluído κ η γ c V PM γ aría etre. y.5

31 Coductiidad térica : Aplicació a gases o clásicos. Trasporte de calor e etales κ gas λ C κ etal? E u etal: - gas de electroes - ibracioes de la red (fooes) κ etal : Cotribuye los electroes alrededor del iel de Feri: kt E F..8 kt Gas de electroes: k.6.4 Velocidad de Feri: C e F E F /.. E / E F Recorrido libre edio: choques co fooes ( f ) y co ipureas ( i )

32 Coductiidad térica : Aplicació a gases o clásicos. Trasporte de calor e etales Recorrido libre edio de los electroes: choques co fooes ( f ) y co ipureas ( i ) A baja T hay pocos fooes excitados téricaete: (lo ereos e FD y BE) La desidad de ipureas es fija, por tato: ) (, K T T i i < κ κ λ λ C λ κ A alta T: predoia la dispersió por fooes ) (, D f f T T T T θ κ κ λ < E geeral, fooes + ipureas: T b T a i f + + κ κ κ κ T

33 Coductiidad térica de u sólido aislate a baja teperatura No hay electroes, el calor se trasporta por las ibracioes de la red κ λ C f f T soido idep. T C k idep. T λ Log. de dispersió del foó taaño del sólido, idep. de T Por tato, para u aislate a baja teperatura: κ T

34 Lecció Autodifusió y trasporte de oléculas. Coeficiete de autodifusió de u gas diluido. Coductiidad eléctrica y trasporte de carga. Coeficiete de coductiidad eléctrica de u sistea de partículas cargadas 4

35 Feóeos de trasporte. Difusió oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració El flujo de oléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick). J N A t D Habrá oiieto hasta lograr ua distribució uifore. N A t J + J iee - se a Coeficiete de difusió, D { /s} 5

36 Feóeos de trasporte. Difusió oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració + λ - λ λ J λ F N A t J + J iee - se a + ( 6 ( 6 J J + λ ) λ ) J λ J N A t D D λ 6

37 Feóeos de trasporte. Difusió oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració + λ - λ λ N t t ( A d ) A J ( ) A J ( d t Ecuació de coseració del úero de partículas J t J D + iee se a λ D ) λ 7

38 Coeficiete de difusió: relacioes y depedecias D λ D sí depede de la presió D π P ( k T ) tabié depede de T Cuato ás caliete y eos deso está el gas, ejor se uee las oléculas PV P λ NkT E kt η λ η π N / kt 8 π V π d kt Relació Viscosidad-Difusió D η ρ D ρ η γ γ aría etre. y.5 η P / λ 8

39 Coeficiete de difusió: estiacioes Nitrógeo a teperatura abiete y atósfera : p 6 p / kt diáetro dias / c típico : 6 c 4 5 c / s, η.8 D 4.5c.4 g c / s 9 d, s T olecs / c K,. λ ( poise) Experietal a 7K y atósfera : D.85c / s 5 8 c c >> d PV P λ NkT E kt D D η λ η η π P / λ λ π P N / kt 8 π V π d ( k T ) kt D η ρ 9

40 La difusió tratada coo u problea de caio aleatorio Las oléculas tiee desplaaietos aleatorios tras las colisioes. Estudiareos la copoete Z de dichos desplaaietos: s : copoete Z del desplaaieto i-ésio La olécula parte de Z, tras N choques... N i s i Los desplaaietos so aleatorios: s i Pero la dispersió o es ula: N i s i + N i, j i j s i s j Por tato estudiareos la eolució de la dispersió co el tiepo 4

41 4 La difusió tratada coo u problea de caio aleatorio La dispersió es: j i j i s s s s s N ) ( t s t t s y x + + τ τ τ dt e t t t τ s Núero de desplaaietos e tiepo t: τ t N t s N t τ ) ( + N j i j i j i N i i s s s, τ τ λ λ, D D t D t ) (

42 La difusió tratada coo u problea de caio aleatorio Lo relacioareos co la ecuació de difusió (gradietes de desidad): ( t ) N (, t ) d N t d D t N t D N d (por partes) y, t N (, t ) d ecuació de difusió D t D si ± D t Así, usado el caio aleatorio, el coeficiete de difusió es: ( t ) τ t D τ c D λ 4

43 Coducció eléctrica j j Carga eléctrica edia que crua da e dt e la direcció (desidad de corriete) E Ley de Oh e Partículas cargadas, e u capo eléctrico, que choca cotra otras partículas E Modelo: j partículas cargadas (q) por uidad de olue q Justo tras u choque: Si debido al choque :, d dt q E? q E q E t + ( t τ e q τ ) τ λ rc kt q e q kt 4 partículas cargadas, partículas cotra las que choca

44 44

45 Viscosidad: relacioes y líites de alide η λ Relació Presió-gradiete de elocidad P η λ P η η λ x λ PV NkT E kt N / 8 π V P kt Relació Viscosidad-Teperatura. La iscosidad es idepediete de la presió η 8 π kt η π kt tabié depede de T Pero todo esto sólo ale si el gas es diluído 45

46 Feóeos de trasporte. Difusió oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració J λ F El flujo de oléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick). Coeficiete de difusió, D { /s} N A t J J + J iee - se a λ + ( 6 ( 6 J J + λ ) λ ) D λ J D 46

47 Feóeos de trasporte. Difusió oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració J λ F El flujo de oléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick). Coeficiete de difusió, D { /s} N t t Ecuació de difusió ( A d ) A J ( ) A J ( d t t J D J + iee se a λ D λ ) 47

48 Feóeos de trasporte. Relacioes etre D,η y κ η y κ depedecias co: teperatura, presió, diesioes del recipiete, etc. η λ κ λ C D λ P λ 8 kt PV NkT π η P λ P η η λ x η 8 π kt η π kt Tabié depede de T 48

49 Feóeos de trasporte. Relacioes etre D,η y κ η y κ depedecias co: teperatura, presió, diesioes del recipiete, etc. η λ κ λ C D λ P λ 8 kt PV NkT π κ η C cv P.M. κ η γ c V P.M. E la realidad el factor o es, a de. a.5 49

50 Feóeos de trasporte. Difusió oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració J λ F El flujo de oléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick). Coeficiete de difusió, D { /s} N A t J J + J iee - se a λ + ( 6 ( 6 J J + λ ) λ ) D λ J D 5

51 Feóeos de trasporte. Difusió oiieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració J λ F El flujo de oléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick). Coeficiete de difusió, D { /s} N t t Ecuació de difusió ( A d ) A J ( ) A J ( d t t J D J + iee se a λ D λ ) 5

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