Abstract. The Fick s law for particle diffusion is revised for times shorter than the relaxation time.

Transcripción

1 LEYES E FICK Y LA TEORÍA E IFUSIÓN ANTES E LA RELAJACIÓN Media, Alejadro & Falcó, Nelso Uiersidad de Carabobo. Facultad de Ciecias y Tecología. pto. de Física. Apdo. 19 A. Bolíar Norte Valecia 001, Veezuela. alejomedia84@hotmail.com Abstract The Fick s law for particle diffusio is reised for times shorter tha the relaxatio time. Usig causality cosideratios, we show that the flux of particle would be to describe a damped oscillatory motio ad desity waes. Some applicatios i the eutro ad eutrios diffusio are suggested. Keys words: iffusio: Neutro, Neutrio Causality, relaxatio time. Resume Las leyes de Fick para la difusió de partículas so reisadas para tiempos más corto que el tiempo de relajació. Usado cosideracioes de la causalidad, osotros mostramos que el flujo de partícula sería descrito como u moimieto oscilatorio amortiguado y odas de desidad. Alguas aplicacioes e la difusió de eutroes y eutrios so sugeridas. Palabras claes: ifusió de eutroes, difusió de eutrios, causalidad. Itroducció esde pricipios del siglo XIX físicos e igeieros ha cosiderado el flujo de la partícula ( J ) e materiales, como u proceso de difusió que es proporcioal al gradiete de cocetració ( ); la costate de proporcioalidad para u material dado se deomia costate de auto-difusió. Esta relació es coocida como la primera ley de Fick: J ( ( (1)

2 Esta ecuació es ua relació feomeológica razoable (Chadle 1987)(uderstadt y Marti, 1977) y se usa e feómeos de trasporte de partícula e astrofísica (Kippehah, 1994) y física uclear (Weiberg y Wige 1958) Esta ecuació es similar a la ley de Maxwell-Fourier (MF) de la coducció de calo y llea a ua ecuació parabólica para la cocetració (). La ecuació de cotiuidad. J 0 t () juto a la ecuació (1) collea a (uderstadt y Marti, 1977): ( t ( (3) esta expresió asume que la perturbació se propaga co la elocidad ifiita (Jou et al, 1999). Causalidad e el Proceso de ifusió El orige de esta coducta o causal (Ec. 3) se ecuetra e el supuesto (asumido e la Ec. 1) de que el flujo de la partícula aparece al mismo tiempo que se actia el gradiete de cocetració. Nos propoemos reisar las leyes de Fick para lapsos más pequeño que, o del orde del tiempo de relajació, para preserar la causalidad. Así, si τ (tiempo de relajació) es el iteralo después de que el gradiete de cocetració se actia, etoces así podemos aproximar J, e primer orde e t, por J ( t ) ( (4) J ( J ( ( (5) t Es coocido que para muchos materiales el tiempo de relajació es muy pequeño. Obiamete para 0 osotros recuperamos la Ley de Fick usual. e la Ec.() sigue

3 t 1 t (6) Esta es ua ecuació hiperbólica (ecuació del telégrafo) dode el segudo térmio e el lado izquierdo represeta u térmio de resistecia. Esta es ua ecuació geeral para la difusió porque osotros reobteemos la seguda ley de Fick cuado el tiempo de relajació puede ser despreciado. La Ec. (5) puede escribirse como ua itegral dode el flujo istatáeo es el resultado de la suma de la cotribució de todos los gradietes de cocetració ateriores. t J ( K( t, ( dt (7) dode K(t, es la medida de "memoria" del material co respecto a la historia del gradiete de cocetració. ado como K( t, exp[ ( t / ] (8) Las diferetes eleccioes de K(t, da lugar a los modelos costitutios alteratios. Ahora si e lugar del comportamieto expoecial, cosideramos el siguiete kerel K( t, ( t (9) Es claro que este Kerel represetaría u medio si memoria difusia, es decir cuyo flujo de difusió solo respode al gradiete istatáeo de cocetració (1º Ley Fick). Al cosiderar K( t, ( Ctte) (10) se represetaría u medio co memoria difusia ifiita, obteiedo: t (11) siedo esta la ecuació de oda si ateuació co elocidad de propagació, dada por (1)

4 E el caso del Kerel represetado por la ecuació 8, la difusió estaría dada como t 1 J ( ( exp[ ( t / ] dt (13) Estableciedo u medio co memoria fiita, dode los gradietes de cocetració más ifluyetes e la corriete de partículas so los gradietes mas recietes. ifusió Causal e u Reactor Nuclear E u reactor uclea se quiere cotrolar el úmero de eutroes creados por la reacció de Uraio 35, a fi de domiar la reacció uclear que tiee lugar. El reactor cueta co u sistema de eje uidimesioal cetrado e x=0, co espesor L (Pérez, 001). esarrollaremos la difusió clásica y causal uidimesioal para el régime estacioario, de eutroes e el úcleo del reactor uclear. E el tratamieto clásico teemos que la ecuació diferecial uidimesioal para la difusió e el régime estacioario iee dada por (Pérez, 001): d dx l i 0 (14) Co la codició de frotera ( L ) ( L ), la solució a esta ecuació diferecial es: x ( x) (0) cos (15) li E el caso de la difusió causal, la difusió de eutroes e el reactor uclear os queda: d dt d dx l i (16)

5 Separado ariables como ( x, G( H ( x), y utilizado las codicioes de froteras H ( L ) H ( L ) y la codició extremal de acotamieto para G( cuado ( t ), teemos: 1 K ( x, Acos K x exp i t (17) li Ealuado e ( 0,0) 0, se tiee: 1 x, 0 exp i (m 1) t cos(m 1) x (18) m0 L li L ( Co cetració [Partículas / cm -3 ] (0) L L X [cm] Figura 1. E la parte izquierda ifusió Clásica debido a [7], a la derecha la difusió causal propuestas por uestro modelo. La figura (1) e su parte izquierda muestra e el proceso de difusió de eutroes e el úcleo del reactor de maera clásica, dode decrece la cocetració de forma moótoa. Mietras que para la parte derecha se ilustra la difusió causal, dode la distribució de la cocetració iee dada por u moimieto oscilatorio amortiguado e la difusió de las partículas hasta alcazar el equilibrio térmico. Coclusioes Presetamos u ueo formalismo para el trasporte de partículas por difusió cosistete co la causalidad. Solo u parámetro adicioal es itroducido (tiempo de

6 relajació τ), obteiedo así ua ecuació de moimieto hiperbólico (causal). E tiempos ateriores a la relajació térmica, esta ecuació predice u régime trasitorio dode las partículas se difude e ua oscilació amortiguada e direcció del gradiete de desidad o e su direcció opuesta. espués de alcazarse la relajació, el moimieto difusio sigue solo la direcció del gradiete de desidad. Este feómeo de odas de desidad solo aparece e forma apreciable e materia degeerada o muy desa, dode el tiempo de relajació o es despreciable, como se mostró e el caso de la difusió de eutroes e el úcleo de u Reactor de Uraio 35, e tiempos ateriores a la relajació térmica. Refereces: Chadle. (1987), Itroductio to Moder Statistical Mechaics, Oxford Press, p 48. uderstadt, J. & Marti, W. (1977), Trasport Theory, Joh Wiley & Sos, N.Y. Herrera, L. & Falcó, N. (1995), Phys. Lett. A Jou,. J, Casas-Vásquez. Lebo, G. (1998). Exteded irreersible thermodyamics reisited. Rep. Prog. Phys. 6, Kippehahm, R. & Weigert, A. (1994), Stellar Structure ad Eolutio, Spriger- Verlag. Berli, p Pérez, J. (001). Thermodyamique Fodemets et Applicatios, uod & Masso, Paris. P Weiberg, A & Wige E. (1958), The Physical Theory of Neutro Claim Reacto Chicago Press, p 19.