Tema 0: CONCEPTOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS DE LAS TRANSMISIONES

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1 Tema 0: CONCEPTOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS DE LAS TRANSMISIONES Concepos maemáicos.- Una señal no es más que la manifesación de una magniud física. En el caso paricular de las señales uilizadas en elecomunicaciones, la señal se caraceriza por propagarse (eso es, rasladarse con el ranscurso del iempo) a ravés de diferenes medios o canales. Eso sugiere la idea de represenar maemáicamene la señal como una función variable del iempo. Conociendo el comporamieno de dichas señales, puede realizarse un modelo maemáico de represenación que simule las caracerísicas de los sisemas reales. Mediane dicho análisis maemáico, puede simularse el comporamieno de los diferenes sisemas de comunicación. No obsane, no debe confundirse la señal con su represenación maemáica, ano en su expresión analíica como en su expresión gráfica. Principio de superposición El Principio de superposición esablece que el efeco causado sobre una suma de señales es equivalene a la suma de los efecos producidos por cada señal por separado. Esa siuación es común, bajo cieras condiciones, en la eoría de la comunicación. El principio de superposición se formula maemáicamene como sigue: f ( x + y) = f ( x) + f ( y) Donde x e y represenan las señales y f el efeco producido por el fenómeno sobre las mismas. Series e inegrales de Fourier Se dice que una función es periódica, cuando para cada inervalo de valores X (o periodo) del inervalo de definición, el valor de la función se repie: f ( x + X ) = f ( x) Puede demosrarse maemáicamene que si s() es una función periódica de periodo T puede descomponerse en una suma de érminos mas simples mediane un desarrollo en serie se senos y cosenos: N N 0 + an sen(2πµ n ) + bn cos(2 n ) n = 1 n = 1 S ( ) = a πµ Que recibe el nombre de Serie de Fourier; µ = 1/T es la frecuencia fundamenal y los érminos a n y b n las ampliudes de los n-ésimos armónicos. La componene n = 1 es la componene fundamenal. Obsérvese que el valor a 0 represena la componene coninua de la señal. I

2 El número de érminos (N) del desarrollo en serie de la función puede ser finio o no; en el caso de que el número de érminos sea infinio, se dice que el desarrollo en serie de Fourier es inegral de Fourier. Cada uno de los érminos (sumandos) del desarrollo es a su vez una función. Señales sinusoidales.- Se dice que una señal, al propagarse por un medio a ravés del iempo es sinusoidal, cuando su represenación maemáica adopa la forma: f m ( ) = a sen( ϖ + φ) donde es la variable independiene y represena el iempo, a m es la ampliud máxima de la señal, ω es un parámero denominado frecuencia angular y φ oro parámero denominado desfase f() a m φ T=2π/ω Una función periódica iene los siguienes parámeros: Frecuencia: µ = ω/2π Donde ω represena la frecuencia angular. Represena el número de cores de la función con el eje horizonal por unidad de iempo. Se mide en Hz (hercios) Período: T = 2π/ω µ -1 Represena el iempo necesario para que se vuelva a repeir la esrucura periódica de la señal. Se mide en segundos (s). Fase: (ω + φ) Es el ángulo recorrido por la señal en cada insane. Como valor angular que es se mide en radianes (rad). Desfase: φ Es el desplazamieno angular que sufre la función la función por fala de sincronismo con la medición de iempos, es decir el ángulo recorrido por la función hasa el insane inicial de iempo = 0. Ampliud máxima: a m Es el valor máximo alcanzado por la función. No debe confundirse con la ampliud insanánea que es el valor de la función en un insane deerminado.. Pueso que la frecuencia y el periodo son inversos, una función sinusoidal en el iempo queda, en definiiva, caracerizada por res parámeros: ampliud, frecuencia y fase. Las señales periódicas II

3 Puede demosrarse maemáicamene que cualquier señal periódica puede expresarse como una suma (combinación lineal) de funciones rigonoméricas de senos y cosenos. Por ano, si se conoce la respuesa de un sisema de comunicaciones para ese ipo de funciones, se conocerá su respuesa para cualquier señal periódica, siempre que el canal se compore de forma lineal. Cuando las señales no son periódicas, su descomposición es algo mas compleja; ya no es una simple suma sino una inegral de Fourier; no obsane, el raamieno maemáico es el mismo: cualquier señal de la nauraleza se puede descomponer como una suma (en ese caso de infinios sumandos ), de funciones senos y cosenos. Debe considerarse, además, que la función senoidal y la función coseniodal equivalene son concepualmene iguales;. La diferencia enre una y ora se cenra en el desfase φ = π/2 exisene enre las dos funciones. Concepos físicos.- Ley de Ohm Toda señal elécrica sufre una disminución de su nivel energéico cuando se raslada por cualquier medio de ransmisión. Esa aenuación energéica se rige por la Ley de Ohm que relaciona la ensión elécrica enre los exremos del maerial (V) y la inensidad de corriene (I) elécrica que lo araviesa. El cociene enre esa ensión y la inensidad de denomina Resisencia elécrica. Si esa resisencia no es consane sino que depende de la frecuencia de la señal elécrica a ransporar en vez de resisencia suele hablarse de Impedancia, generalización del concepo de resisencia elécrica: V ( volios ) R ( Ω ) = I ( Amperios ) Donde R Represena la resisencia (o impedancia) y se mide en ohmios (Ω), V la caída de ensión enre los exremos del medio de ransmisión, medida en Volios e I la Inensidad de la corriene elécrica, medida en Amperios, que circula por dicho medio de ransmisión. Amplificación y aenuación Cualquier señal lleva asociada una energía que se ransfiere. Si se considera un sisema de comunicación en su conjuno, siempre hay una proporción enre la energía que el sisema produce en su salida del emisor y la energía que se le inrodujo en la enrada del recepor. Esa siuación es absoluamene equivalene para las poencias de salida y de enrada. Se llama ganancia de un sisema a la relación exisene enre las poencias de salida y de enrada. Normalmene se mide en decibelios (db) según la siguiene relación: P Ganancia ( db ) = 10 *log 10 P enrada salida III

4 Si la poencia de salida es igual a la de enrada la ganancia es nula. Si la poencia de enrada es mayor que la poencia de salida el sisema se compora como un amplificador y la ganancia es posiiva. Por el conrario, si la poencia de salida es inferior a la de enrada el sisema se compora como un aenuador y la ganancia es negaiva, es decir, el sisema iene pérdidas. El especro de una señal y su ancho de banda En el caso de una señal periódica en el iempo y de ampliud máxima a m, la frecuencia deermina el índice de variación de la función, eso es, el número de veces que la función cora al eje de iempos por segundo. En esas condiciones se dice que el especro de la señal sinusoidal esá consiuido por un único puno: su frecuencia, con un valor asignado que es su ampliud a m. (µ, a m ). Si en vez de considerar una señal sinusoidal se considera la suma de muchas (n) señales sinusoidales, cada una frecuencia caracerísica: µ i, el especro de esa señal múliple esará formado por una función discrea (una nube de punos) variable en la frecuencia, con n punos formados por cada una de las parejas (µ i, a mi ). En el caso general de una función no periódica habrá infinios valores para su descomposición en funciones sinusoidales, cada una con una frecuencia caracerísica. El especro esará formado por un coninuo de frecuencias. El análisis realizado, referido a parejas frecuencia ampliud, puede hacerse igualmene para parejas ampliud - iempo. El especro de una señal es pues una doble función : la correspondencia µ a m y la correspondencia a m. Ampliud Especro del mensaje Frecuencia Mínima f m Frecuencia Máxima f M Frecuencia Esa función, que represena el peso que iene cada frecuencia en la formación de la señal, ano en ampliud como en fase, se llama especro de frecuencias de la señal. A la diferencia enre el valor máximo y el valor mínimo de las frecuencias del especro del mensaje, se llama ancho de banda de la señal. Ancho de banda = Frecuencia Máxima Frecuencia mínima Puede decirse, por ano, que cualquier señal iene una doble represenación: Señal en el dominio del iempo (especro emporal) Señal en el dominio de la Frecuencia (Especro de frecuencias) IV

5 Análogamene, puede definirse el ancho de banda de un canal como la diferencia enre las frecuencias máxima y mínima que es capaz de ransmiir. El canal ransmiirá odas aquellas señales cuyo especro esé incluido denro del ancho de banda del canal. Si una pare del especro de la señal cae fuera del ancho de banda del canal, la ransmisión será imposible o no será de fidelidad. En ese caso se dice que la señal ha sido filrada por el canal. Conaminaciones y deformación de señal Hay una serie de facores que inervienen en el proceso de ransmisión de señales y que deforman o aleran las mismas. Esas conaminaciones y deformaciones pueden conducir a pérdidas de información y a que los mensajes no lleguen a su desino con inegridad. Enre esos facores negaivos, son los mas comunes: Aenuación Es el efeco producido por el debiliamieno de la señal, debido a la resisencia elécrica (en érminos generales, Impedancia) que presenan ano el canal como los demás elemenos que inervienen en la ransmisión. Ampliud de Emisión Señal Original Tiempo Ampliud de Recepción Señal Aenuad Tiempo Ese debiliamieno se manifiesa en un descenso de la ampliud de la señal ransmiida. Puede darse el caso de que la ampliud descienda ano que se haga impercepible, perdiéndose el mensaje. Desde el puno de visa físico, la aenuación esá regida por la ley de Ohm. Disorsión V

6 Es el efeco consisene en la deformación de la señal producida normalmene porque el canal se compora de modo disino en cada frecuencia Ampliud de Emisión Señal Original Frecuenci Ampliud de Recepción Señal disorsionada Frecuenci a Es produco de una fala de linealidad. Inerferencia La inerferencia es la adición de una señal conocida y no deseada a la señal que se ransmie. Ampliud de Emisión Señal de Inerferencia Señal original Ampliud de Recepción Frecuencia Señal Resulane = Original + Inerferencia Frecuencia VI

7 La inerferencia se produce, por ejemplo, en una emisión radiofónica, cuando dos esaciones emisoras emien a la misma frecuencia, produciéndose la superposición de ambos mensajes. Ruido Es la suma de múliples inerferencias, posiblemene de origen desconocido y de nauraleza aleaoria. Ampliud de Emisión Señal original Tiempo Ampliud de Recepción Señal con ruido Tiempo Los propios componenes físicos de cualquier canal o disposiivo generan ruido elécrico. En ocasiones el ruido es selecivo y se puede aislar; en oros casos, el ruido se encuenra muy exendido en oda la gama de frecuencias y su neuralización se hace difícil. Longiud de onda.- La longiud de onda, λ, es un parámero físico de las señales periódicas al que muliplicado por la frecuencia proporciona la velocidad de propagación de la señal en el canal. Así, en una señal elecromagnéica propagándose en el vacío se cumple que: c = λ.µ donde c es la velocidad de la luz en el vacío, medida en m/s ( m.s -1 ), λ es la longiud de onda en meros y µ la frecuencia en Hz de la señal que se propaga, es decir, la inversa del periodo (T) Así, por ejemplo, si la frecuencia de una señal de radio en la banda FM fuera de 100 MHz, su longiud de onda sería: λ = = 3meros VII

8 El significado físico de la longiud de onda λ respeco del espacio, es el mismo que iene el Periodo T respeco del iempo. Eso implica que las señales elecromagnéicas son doblemene periódicas, en el espacio y en el iempo En efeco, sea un puno que en un deerminado insane sopora una perurbación. Ese mismo puno endrá el mismo esado de vibración al cabo de T segundos, por lo que se dice que en cada periodo repie su esado. Pero además, los punos siuados a λ medros alrededor de ese puno, ranscurridos T segundos ambién endrán el mismo valor, es decir, que cada longiud de onda λ se repie el esado de vibración. Es decir, La ampliud de una señal es función periódica en el espacio. Consecuenemene, al exisir una relación enre la frecuencia y la longiud de onda, exisirá una relación enre el ancho de banda emporal µ y el ancho de banda espacial λ: λ c c µ = c µ = µ = λ λ λ 2 Velocidad de ransferencia de daos y capacidad de un canal Ancho de banda En los servicios de comunicación en los que la señal es analógica el ancho de banda se mide en ciclos por segundo o Hercios (Hz), sin embargo, en aquellos servicios en los que la comunicación es digial el ancho de banda no se mide en Hz sino en bis/segundo o bps. La velocidad de ransmisión que se puede alcanzar sobre un deerminado circuio se define como el número máximo de bis que se ransmien en un segundo y su límie viene dado por el ancho de banda del mismo y por la relación señal / ruido presene en el circuio según: Para una señal ideal sin ruido: donde: C = 2W.log2 N C represena la capacidad máxima del canal W represena el ancho de banda en Hz N represena el número de esados posibles de señalización en la línea. El número de bis (n) enviados a la línea para esos N esados viene dado por: N = 2 n n = log 2 N VIII

9 Para una señal no ideal con ruido: donde: C = W log 2 (1 + C represena la capacidad máxima del canal W represena el ancho de banda en Hz S/R represena la relación señal ruido medida en Baudios Velocidad de ransmisión La velocidad de ransmisión (V T ) mide el flujo máximo de bis que pueden ransmiirse enre dos equipos de daos en un segundo. Por consiguiene, la velocidad de ransmisión viene dada en bps. Ese parámero no debe confundirse con el ancho de banda, ya que se refiere exclusivamene a la velocidad con que los daos fluyen en la enrada/salida del erminal (anes de llegar al módem en el caso de que lo hubiese). Su valor viene dado por: 1 = log V T 2 Donde N es el número de esados disinos de la línea y la duración en segundos del inervalo significaivo mínimo de medición. Obsérvese que, en el caso de que el número de esados sea 2 se iene: N S R ) V T 1 1 = log 2 2 =.1 VT = 1 Velocidad de modulación Por una línea de ransmisión pueden ransmiirse señales que cambien de esado, eso es, que al ransmiir un bi de un deerminado valor (por ejemplo un 1 ) el siguiene bi ransmiido sea un bi del valor complemenario (en ese caso un 0 ). En esas condiciones se define la velocidad de modulación (V M ) como el número máximo de veces por segundo que puede cambiar el esado de la señal en la línea de ransmisión: 1 V M = Baudios Donde es la duración en segundos del inervalo significaivo mínimo de medición. Tal y como se refleja en la definición, ese parámero es específico en el conexo de la línea de ransmisión, es decir, sólo se hace referencia a la velocidad de modulación cuando se quiere indicar la velocidad a la que se esán ransmiiendo los daos por la línea de ransmisión. IX

10 Exise una relación enre la velocidad de ransmisión y la velocidad de modulación, que viene dada por: V = V T M 2 Lo que indica que, si la señal sólo iene dos esados (0 y 1 N = 2), se cumple: log N V T = V M Eso es, el número de bps emiidos coincide con el número de Baudios. Modulación.- Con odo lo indicado aneriormene, es evidene que una señal sólo se puede ransmiir por un canal que permia la propagación del ipo de señales a él asociados: una señal elécrica sólo se puede propagar por un medio conducor de elecricidad, una señal acúsica por un medio maerial, ec. Sin embargo no basa que la adecuación de la nauraleza de la señal y el canal, además la señal debe ener los parámeros adecuados, es decir, un canal puede ransmiir bien las señales de una deerminada frecuencia y mal las de oras. El canal ideal es aquel que presena una respuesa lineal para odas las señales, eso es, ransmie por igual odas las frecuencias. La modulación inena conseguir esa adecuación enre señal y canal, de modo que en las ransmisiones se uilicen aquellas frecuencias en las que el canal proporciona una mejor respuesa. En una primera aproximación, el modulador es el disposiivo encargado de efecuar la modulación. En comunicaciones, la modulación es la operación por la cual se pasa de una señal digial, que proporciona el emisor, a una equivalene analógica, que es enviada al recepor. Por su pare, el recepor, que es analógico, debe efecuar la operación inversa, demodulación, con el fin de recuperar de nuevo la señal digial original que el emisor se propuso enviarle. El disposiivo que modula y demodula la señal digial y analógica respecivamene se llama módem. Además de la adecuación enre señales y canales, la modulación puede ser necesaria por oras razones. Necesidad de la modulación Facilidad de radiación.- En general, la longiud de una anena que iene que radiar una señal elecromagnéica de frecuencia f, debe ener, al menos, una longiud de λ/10 meros, donde λ es la longiud de onda de la señal. Si se considera una señal de audio de baja frecuencia (en el enorno de los 100 Hz, la longiud de onda de esa señal es: X

11 1 8 1 λ = c. T = c. = = 3000km µ 100 por lo que la anena deberá medir 3000/10 km = 300 km. Eso indica que es imposible ransmiir señales de audio con señales elecromagnéicas si no se ransforma previamene. Si, por el conrario, se considera una ransmisión de radio en FM de 88 a 108 MHz, el mismo cálculo indicará que la longiud de la anena apropiada es inferior a 1 mero. Sería pues muy úil emplear la modulación para cambiar la frecuencia de la señal original a ora frecuencia en la que no exisa una imposibilidad física de consruir anenas receporas. Reducción de ruido e inerferencias.- La modulación puede resolver ese problema pasando el mensaje a una banda de frecuencias en la que el nivel de ruido sea menor o donde no exisan inerferencias. Asignaciones de frecuencia.- la modulación sirve para desplazar el especro de cada mensaje a la banda de frecuencia asignada, de esa forma se iene la garanía de que no se producirán inerferencias procedenes de oro emisor. Mulicanalización.- ese procedimieno consise en una asignación emporal de la frecuencia de la señal durane su viaje por el canal. De ese modo, por una misma línea de ransmisión se pueden mulicanalizar o muliplexar varias señales, incluso aquellas perenecienes a disinas canalizaciones. Tipos de modulación Como ya se ha indicado, una onda sinusoidal esá caracerizada por res parámeros: Ampliud, Fase y Frecuencia. Cada uno de esos res parámeros origina una forma concrea de modulación. A esas modulaciones se las conoce como lineales o de onda coninua. Modulación lineal o de onda coninua Modulación en ampliud. Sea una señal (señal poradora) S p definida según: S ( ) = a sen(2πµ + φ) p Señal que se ransmie por canales que admian la frecuencia µ. En principio, esa señal no lleva información, porque la información se deeca con cambios significaivos en la señal, no predecibles Una posibilidad de inroducir información es mediane la ampliud; puede converirse en una señal informaiva variable en el iempo: la señal iene enonces un mensaje a ransmiir: m a m = m() XI

12 donde m represena el mensaje a ransmiir en función del iempo. La señal que se inroduce en el canal S quedará enonces: S c ( ) = m( ). sen(2πµ + φ) Si en la señal poradora la ampliud es consane y al que a m, = 1 se cumplirá enonces que S p ( ) = sen(2πµ + φ) por lo que, en definiiva, puede escribirse para cualquier valor lineal de a m : S ( ) m( ). S ( ) c = p Ampliud Ampliud Mensaje Inicial Señal modulada µ(hz) µ(hz) El significado físico de la modulación en ampliud consise en un desplazamieno del especro de frecuencias del mensaje. La medida de ese desplazamieno es precisamene el valor de la frecuencia de la señal poradora uilizada en la modulación El recepor analiza la ampliud de la señal, porque en ese parámero viaja la información. A ese ipo de modulación se le llama Modulación AM o ASK (Ampliude Shif Keying). En general: Ampliud Señal Poradora: Mensaje: Señal modulada: Tiempo Modulación en frecuencia. La modulación en frecuencia modifica el parámero de la frecuencia en la señal sinusoidal poradora, es decir, en ese caso, la información del mensaje reside en la frecuencia. XII

13 Pariendo de la señal poradora: S ( ) = a sen(2πµ + φ) p el mensaje m() se expresa como sigue a coninuación en la señal que se inroduce en el canal S c : m S ( ) = a sen(2π. m( ). + φ) c m Para que el recepor inerpree bien el mensaje, endrá que hacer un análisis de la frecuencia que le llega a cada momeno en la señal poradora. A esa modulación se le denomina modulación FM o FSK (Frecuency Shif Keying). La modulación en frecuencia consume mayor ancho de banda que la modulación AM, sin embargo, es menos sensible al ruido del canal, razón por la cual suele uilizarse en las ransmisiones radiofónicas de ala fidelidad en eséreo. Ampliud Señal Poradora: Mensaje: Señal modulada: Tiempo Modulación en fase. La modulación en fase consise en codificar la información del mensaje en la fase de la señal poradora, por ano, la señal puesa en el canal endrá la forma: S ( ) = a sen(2π m( )) c m + Cuando la información reside en la fase de la señal poradora, se dice que la modulación es modulación PK o PSK (Phase Shif Keying). Esa modulación es muy uilizada en módems, aunque normalmene se encuenra combinada con oro ipo de modulación. XIII

14 Ampliud Señal Poradora: Mensaje: Señal modulada: Tiempo Modulación por pulsos Esa modulación es semejane a la onda coninua susiuyendo la señal poradora sinusoidal por un ren de ondas (ren de pulsos). Es una modulación mas apropiada para écnicas de ransmisión digiales, aunque puede consumir mayor ancho de banda. Modulación codificada Es una mezcla de modulación coninua y modulación por pulsos; se raa de ransmiir por el canal en onda coninua una señal previamene modulada por pulsos. Muliplexación La muliplexación s una écnica uilizada en comunicaciones por la que se hace convivir en un canal señales procedenes de emisores disinos y con desino en un conjuno de recepores ambién diferenes. En definiiva, se raa de hacer comparir un canal físico, esableciendo sobre él varios canales lógicos. Concenración y muliplexación Es fácil confundir la concenración con la muliplexación dado que ienen basanes punos en común. De hecho, la definición anerior es válida ano para la muliplexación como para la concenración, pero exisen diferencias de maiz que las disinguen. En el caso de la muliplexación, la capacidad de ransmisión del canal común debe ser igual o mayor que la suma de las capacidades de ransmisión de cada uno de los emisores. En la concenración ese requisio no es indispensable: si odos los emisores quisieran ransmiir simuláneamene, habría que organizar un sisema de espera que arbirara las comunicaciones. XIV

15 Muliplexación en frecuencia.- µ Banda 1 µ µ µ Banda 2 MULTIPLEXOR Banda 1 Banda 2 Banda 3 Banda 3 En ese ipo de muliplexación, llamada ambién FDM los canales lógicos que comparen el único canal físico, se esablecen por mulicanalización en la frecuencia, eso es, a cada canal lógico se le asigna una banda de frecuencia cenrada en una señal poradora sobre la que se modulará el mensaje que uilice ese canal. Enre dos bandas de frecuencias consecuivas se esablece una banda de seguridad con el fin de eviar las inerferencias que puedan causarse unos mensajes con oros. Evidenemene, cada canal lógico endrá menor ancho de banda que el canal físico, pueso que la muliplexación es una écnica de reparo. µ Muliplexación en el iempo.- µ µ Banda 1 Banda 2 MULTIPLEXOR µ Banda 1 Banda 2 Banda 3 Banda 3 En el caso de la muliplexación en el iempo, ambién llamada TDM los canales lógicos se asignan repariendo el iempo de uso del canal físico enre los disinos emisores, esableciendo slos o ranuras emporales. Así cada uno uiliza el iempo que iene asignado, eniendo que esperar a su siguiene ranura para volver a ransmiir, si iene necesidad de ello. Esas ranuras se repien periódicamene a lo largo del iempo. En cada ranura de iempo una comunicación ocupa odo el ancho de banda del canal. XV

16 Técnicas combinadas En muchas ocasiones, los procesos de comunicación emplean écnicas de muliplexación que son combinaciones de frecuencia y de iempo. Así, un sisema que uilice esa écnica puede uilizar el canal durane cieros inervalos, pero además denro de una deerminada banda de frecuencia. XVI