IDENTIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE TEMPERATURA EN LAZO ABIERTO USANDO PROGRAMACIÓN GENÉTICA

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1 IDETIFICACIÓ DE U SISTEMA DE TEMPERATURA E LAZO ABIERTO USADO PROGRAMACIÓ GEÉTICA Crlos F. Regifo, Juli P. Certuhe y Wiler Auñ B. 3 Uiversidd del Cu, Colomi. e-mil: fere@uiu.edu.o Uiversidd del Quidío. e-mil: juli_p@hotmil.om 3 Uiversidd. e-mil: RESUME Este doumeto muestr los resultdos de l pliió de u téi evolutiv ooid omo progrmió geéti, e l idetifiió de u sistem de tempertur. Este efoue us soluior el prolem ue represet l seleió de l estrutur ue será prmetrizd, udo se he el modelmieto de sistems prtir de dtos experimetles, propoiedo estruturs didts ue será modifids e el proeso evolutivo, efetudo l fse de prmetrizió del modelo de mer utomáti, mietrs se seleio l estrutur. Est implemetió oij el so de idetifiió más seillo, es deir, sistems lieles lizdo u ojuto de dtos tomdos o el sistem operdo e lzo ierto. L pliió del prdigm evolutivo, se he segú ls regls origiles defiids por Koz e uto l represetió de los idividuos, uue se he uso de lgus herrmiets propis de otros prdigms, tles omo GAP, elitismo y mutió.. ITRODUCCIÓ El tem de l idetifiió es u áre ojeto de ivestigioes permetes, trtdo ltertivs pr su implemetió, omo lgoritmos pr el juste de prámetros; uevs téis, omo ls redes euroles rtifiiles[] [3] o l trsformd wvelet[4]; segú lo reuier l gm de prolems ue se presete y ls rterístis de los sistems ue se lie, lieles, o lieles, et. El ojeto de este trjo es oteer el modelo de u sistem de tempertur por medio de l progrmió geéti, propoiedo u form de seleior l estrutur ue presetrá el modelo idetifido, detro de l fmili de ls estruturs ARMAX, ue mejor desri el ojuto de dtos. El prolem de l seleió de l estrutur, h sido orddo por lguos utores desde diferetes putos de vist, tl es el so de l idetifiió e suespios[5] e dode el úio prámetro ue se dee seleior es el orde del modelo; o l idetifiió sd e el ooimieto previo de lguos prámetros del sistem omo l ostte de tiempo o l freuei de resoi, trtd e [6]. Ls pliioes de ls téis evolutivs e el áre del otrol so freuetes, e [7] se he u resume de ls pliioes más omues juto o u iliogrfí e el áre.. COCEPTOS BÁSICOS SOBRE IDETIFICACIÓ L idetifiió de sistems osiste e el álisis de u ojuto de pres de dtos de etrd-slid del sistem ue se esté lizdo, otdo de mer úi o l iformió oteid e éstos pr oteer u modelo lo más exto posile del sistem. Deido est rterísti, se ostumr utilizr omo seuei de etrd u señl

2 seudoletori iri, ri e ompoetes de freuei, pr sí expoer l myorí de ls uliddes del sistem... Represetió de los modelos E geerl, u sistem diámio puede ser represetdo omo l sum de u prte determiísti y u estoásti, l primer desriiedo el modelo mtemátio de l plt y l segud u represetió del ruido ue fet los dtos durte el proeso de l tom de los mismos, sí[8]: e H u G y dode, G represet l fuió de trsferei del sistem e fuió del operdor de desplzmieto, es deir, y y ; u l señl sumiistrd l etrd del sistem, y e u señl ruido lo ue está siedo fetd por el sistem liel H. E relidd el sistem H o existe e form físi, sólo es l mer de represetr el ruido imerso e los dtos... Idetifiió prmétri L idetifiió prmétri se s e l represetió del modelo utilizdo prámetros. U form omú de est represetió, l ul será utilizd e est pliió, está dd e térmios de poliomios[8], [9], sí: e D C u F B y A dode, f f f F d d d D C B A K K K K K Los oefiietes de estos poliomios form el llmdo vetor de prámetros, y su estimió ostituye l prmetrizió del modelo. Aetudo l depedei del vetor de prámetros por prte del modelo, l E. se reesrie omo:,,, e H u G y θ θ θ dode, [ ] T f d f f d d L L L L L θ es el vetor de prámetros ue se dee estimr pr el modelo..3. Mediió de l lidd de u modelo Pr medir l lidd de u modelo existe dos efoues priiples, los métodos de vrile istrumetl[9] y los sdos e el error de prediió. E estos últimos l lidd de u modelo se mide e térmios de su pidd preditiv. El so geerl de u ídie de desempeño sdo e métodos de prediió del error, es u fuió de l diferei etre l slid medid y l predih, sí:, ˆ, θ θ ε y y p Es posile filtrr el error de prediió por medio de u filtro liel L, es deir:

3 ε pf, θ L ε p, θ 7 o el ojetivo de relzr o dismiuir lgus ompoetes de freuei. E diió se defie u fuió de vlor rel por lo geerl positiv F omo u ormlizió del error de prediió, y se tom el promedio de estos vlores, sí: J θ F ε pf, θ 8 Y se us el modelo, tl ue: θˆ rg mi θ 9 es deir, el modelo uyo vetor de prámetros miimie el ídie J θ. Como u so prtiulr de l E. 8, e est pliió se defie el filtro L y l fuió F x, oteiedo etoes: J θ ε p, θ 0 Auue el efoue del error de prediió represet u mer seill pr medir l lidd de los modelos, o grtiz l oteió de modelos de jo orde [9], [0], [5]. 3. IDETIFICACIÓ DE SISTEMAS VIA PROGRAMACIÓ GEÉTICA L progrmió geéti[] GP de sus sigls e igles, es u método de úsued sdo e l imitió del proeso de evoluió turl, uyo ojetivo es geerr estruturs o seueis de llmds fuioes ue l ser evluds miimie o mximie lgú riterio. 3.. Represetió de los modelos Segú l defiiió origil del prdigm propuesto por Koz, l represetió de los idividuos se he por medio de ároles prse trees[], [], es deir, estruturs jeráruis. L iformió oteid detro de los ároles depede por ompleto de l pliió omo se verá más delte Represetió usdo l estrutur ARMAX L idetifiió de sistems permite ostruir modelos mtemátios o se e dtos experimetles: Z { u, y, Lu y } dode, u y y represet l etrd y slid de mer respetiv e el istte, del sistem ue se está idetifido. L turlez disret de l iformió, ls señles sólo so ooids e los isttes de muestreo sugiere l utilizió de modelos tmié de tiempo disreto. E est pliió se utilizrá l siguiete estrutur pr represetr los sistems: y y L y u L u e e L e dode, y es l slid del sistem, u l etrd del mismo y e es u ruido iherete todo sistem de mediió. L E. orrespode l estrutur ARMAX y es o freuei utilizd e este tipo de pliioes[3] [5], pues se sume ue o su modelo de ruido u filtro IIR es posile desriir u gr tidd de modelos. θ J 3

4 Etoes, o el efoue utilizdo e este trjo, se esoge l fmili de estruturs ARMAX etre ls demás estruturs omo puto de prtid; uál de ells represet mejor el ojuto de dtos, será defiido por el lgoritmo evolutivo hiedo prues de diferetes órdees y sus prmetrizioes, durte el trsurso de l evoluió. De uerdo o ls ides teriores, l represetió pr l pliió de l GP será ároles, uys rms y odos otiee frgmetos de euioes e difereis del tipo de l E., orgizdos e los siguietes ojutos: Cojuto de Fuioes: Cotiee los odos iteros de los ároles, es deir, ls operioes ue será sometidos los termiles. Está defiido omo: F {,, } dode es el operdor ue desplz hi l dereh u señl isttes de muestreo x x. Cojuto de Termiles: Cotiee los rgumetos ue reie ls fuioes defiids detro del ojuto F. Está defiido omo: F { αy, βu, γe, R} dode α, β y γ so osttes diiods los regresores y, u y e. R es ooid omo ostte letori efímer[6], y e este so sólo fet l operió de multipliió. L difereiió de estos dos tipos de osttes, oedee l heho ue udo se utiliz l GP e este tipo de prolems, uo de los priiples ioveietes está e l geerió de u mplio espetro de osttes de u espio limitdo de úsued. Segú l defiiió de l GP, ls osttes so geerds de mer letori, est rterísti puede trduir e u j lidd de ls osttes, es deir, l geerió por ompleto letori de ls osttes ue ompñ los térmios de regresió es isufiiete[7], [8], y pr ello se defie dos tipos de osttes detro de dos rgos: [-5 5] pr R y [ ] pr α, β y γ, de tl mer ue l operió multipliió ls itegre y mejore los rgos de úsued del lgoritmo, lro está, estos rgos sólo h sido prodos e est implemetió. E diió, se geer u uevo ojuto C ue otiee l uió etre los ojutos T y F, esto o el ojetivo de extrer u fuió o u termil de mer letori de diho ojuto, udo se está formdo los idividuos. Co estos ojutos, se puede firmr ue se umple los priipios de sufiiei y lusur defiidos e l form origil de l progrmió geéti[0], [], [6]. 3.. Fuió de juste E l seió.3, se mostró l form omo so o freuei lifidos los modelos segú ls téis lásis de idetifiió. L pliió del prdigm evolutivo, he impertiv l eesidd de l utilizió de meismos de evluió ue o sólo usue miimizr l disti etre l slid medid y l slid predih, sio, ue grtie l oteió de modelos o po omplejidd, es deir, oteer soluioes prsimoioss[9]. Pr esto, se ostumr utilizr dos riterios: El Criterio de Iformió de Aie AIC. Defiido e su form origil omo[0]: AIC θ l f θ 3 Priipio de Desripió por Logitud Míim MDL, Defiido segú l implemetió de STROGAOFF omo[8], [], []: 4

5 Tree _ Codig _ Legth 0.5 log 4 Exeptio _ Codig _ Legth 0.5 log S Otro efoue pr el MDL puede ser osultdo e [3] [5]. E est pliió estos dos riterios so implemetdos omo: 5 AIC θ l ε p l 0 6 MDL θ l ε p l l 0 dode, es el úmero de pres de etrd slid, y idi l omplejidd del modelo, luld omo: LA LB LC 7 dode, LA, LB y LC so ls logitudes de los vetores A, B y C de mer respetiv. Otr rzó por l ul se us soluioes simples, es l eorme rg omputiol ue puede represetr los idividuos detro de u polió e determido mometo, pues o uos utos miles de idividuos e l polió, si o se otrol l omplejidd de éstos, se puede torr imejle el progrm pr los sistems de ómputo oveioles. ote de l E. 5 ue el AIC, puede sigr el mismo vlor modelos de diferete fmili de estruturs, pues diho riterio se vle sólo de los errores de prediió y el orde del modelo, si disrimir ul de ells perteee. Por est rzó y otrs expuests tes se h tomdo omo estrutur geerl e est pliió los modelos ARMAX Modifiioes ls estruturs Cudo el lgoritmo empiez su úsued, geer u polió del tmño desedo de estruturs jeráruis ároles. Es de esperrse ue por el ráter letorio o ue es oformdo este grupo de modelos, su lidd se muy pore; pr ello los lgoritmos evolutivos propoe l pliió de mios e los idividuos sdos e ls regls de l evoluió y l seleió turl, itroduiedo los llmdos operdores geétios el letor puede dirigirse [6] o [7] pr profudizr este tópio. Auí los perdores plidos so: Reproduió: Cosiste e seleior segú su medid de juste u grupo de idividuos, uyo tmño es determido por l proilidd de reproduió Pr, pr ser opidos si modifiió lgu e l siguiete geerió. Crue: Cosiste e seleior dos idividuos segú su ptitud, luego se proede seleior de form letori u puto detro de l estrutur de d uo de ellos, prtir de ese puto es itermid l iformió etre los dos ároles. L tidd de idividuos sometidos est operió está determid por l proilidd de rue P. Mutió: Cosiste e seleior u tidd de idividuos ditd por l proilidd de mutió Pm pr ser modifid su estrutur si iterió o otros idividuos. Por ejemplo, si utiliz mutió por otrió shri muttio se seleio u puto itero del árol y prtir de llí es orrd l iformió ue teg. E l defiiió origil de Koz, este operdor o se tom e uet. 4. PRUEBAS Y RESULTADOS El módulo didátio PT36, es u proeso de tempertur e el ul es iyetdo ire trvés de u tuo o u elemeto leftor detro. Ls prues y resultdos mostrdos 5

6 otiuió so hehos sore est plt. E uto l hrdwre utilizdo ls prues fuero hehs e u omputdor o u proesdor Itel Petium 4 u freuei de 600 MHz, 5 MB de memori priipl y sore el sistem opertivo Liux. 4.. El ojuto de dtos Z El ojuto de dtos de etrd, fue u seuei seudoletori de dtos irios sore u ivel de 4.9V o u mplitud de.5v, es deir, se euetr etre 3.4V y 6.4V. Est ompuesto por 000 dtos, de los ules los primeros 500 fuero utilizdos pr el proeso de idetifiió y los resttes pr el proeso de vlidió. 4.. Proeso de idetifiió E u omiezo, se hizo l implemetió tl omo fue defiido el prdigm de l progrmió geéti[], es deir, si utilizr el modelo elitist, si mutió y e dode l polió tul es reemplzd por ompleto por sus desedietes, o se, si itermio geeriol geertio GAP[6], [8], [9]. Los prámetros de otrol utilizdos pr her l idetifiió del módulo jo ests odiioes, se euetr resumidos e l tl. E l tl se resume los resultdos de 5 orrids del lgoritmo o estos prámetros, pr los tres ídies ue se está miimizdo. Prámetro Vlor o poretje % Vriles 50 % Completos 50 Profudidd Iiil 5 Tmño Polió 500 % Reproduió 0 % Crue 90 % Mutió 0 úmero de Geerioes 750 Tl. Prámetros de otrol pr l idetifiió del sistem utilizdo GP ói. Corrid J θ AICθ MDLθ Tl. Medids de ptitud files pr io orrids del lgoritmo utilizdo GP ói Vlidió de los modelos L vlidió del modelo idetifido, es u proeso dode se liz los residuos produto de l idetifiió, es deir, ls difereis existetes etre l slid medid y l slid predih ε p, θ. Auí se lul l fuió de utoorrelió de los ε p, θ y l orrelió ruzd etre los residuos y l etrd[8] [0]. E ls figurs 3, se muestr ls vlidioes orrespodietes los sistems o los tres meores ídies de desempeño etre los mostrdos e l tl. Se puede evideir de ls tres vlidioes, ue l señl de exitió y los residuos o so por ompleto idepedietes, heho ue revel ue existe errores e l prmetrizió e l prte determiísti del modelo idetifido[8]. 6

7 Ddo ue ls soluioes oteids hst ese puto o er por ompleto stisftoris, se deidió ue los pdres y los hijos resulttes de l operió del rue deí ompetir, de est mer, de los utro posiles didtos dos pdres y sus dos hijos se seleio los dos mejores pr ir oformdo l siguiete geerió. Los prámetros de otrol pr ls orrids del lgoritmo o est modifiió fuero idétios los del so terior, es deir, los mostrdos e l tl. E l tl 3 se muestr ls medids de ptitud files pr io orrids del lgoritmo implemetdo l ompetei etre pdres e hijos. Figur. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 4 miimizdo J θ o GP ói. Figur. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 3 miimizdo AICθ o GP ói. Figur 3. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 5 miimizdo MDLθ o GP ói. L tl 3, uet o u olum diiol ue ompñ los vlores de los ídies de desempeño, est olum idi ls geerioes G e ue el lgoritmo overgió Cov. l vlor idido, es deir, tod l polió e l geerió G es igul y el lgoritmo se detiee, si evoluior ls geerioes idids por los prámetros de otrol. Este feómeo es ooido omo overgei premtur[6], y se dee l fuerte tedei geéti y pérdid de diversidd ue trjo omo oseuei l modifiió heh l progrm. E ls figurs 4 6 se muestr ls vlidioes pr los sistems o los tres meores ídies de desempeño utilizdo itermio geeriol. 7

8 C J θ Cov. [G] AIC Cov. [G] MDL Cov. [G] Tl 3. Medids de ptitud files pr io orrids usdo itermio geeriol. Figur 4. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 5 miimizdo J θ usdo itermio geeriol. Figur 5. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 5 miimizdo AICθ usdo itermio geeriol Figur 6. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 3 miimizdo MDLθ usdo itermio geeriol. Se evidei ue los modelos sometidos l proeso de vlidió fuero ueos. El ojetivo siguiete er soluior el prolem de overgei premtur, pues el lgoritmo se est deteiedo muy proto. Pr ello, existe diferetes soluioes, tles omo utilizr polioes muy grdes omo e los trjos presetdos por Koz, her eslmieto de l medid de juste propuesto por Golderg, iluir operdores diioles omo mutió, etre otros[30], [3]. L soluió implemetd e este trjo, fue l pliió de l mutió los idividuos e proporioes o muy lts. Co est modifiió, e l tl 4 se muestr los prámetros de otrol ue fuero utilizdos e l idetifiió. E l tl 5 se muestr ls 8

9 medids de juste files pr los tres tipos de ídie utilizdos, pr 5 orrids del lgoritmo. Dee meiorse ue e iguo de los sos mostrdos por l tl 5 se presetó overgei premtur. E ls figurs 7 9 se muestr l vlidió de los modelos produto de ls orrids 3 J θ, AICθ y MDLθ, utilizdo el uevo operdor. Prámetro Vlor o poretje % Vriles 50 % Completos 50 Profudidd Iiil 5 Tmño Polió 500 % Reproduió 0 % Crue 85 % Mutió 5 úmero de Geerioes 750 Tl 4. Prámetros de otrol pr l idetifiió del sistem utilizdo mutió. C J θ t. [mi] AICθ t. [mi] MDLθ t. [mi] : : : : : : : : : : : : : : : 30 Tl 5. Medids de ptitud files pr io orrids usdo mutió. ote ue ls fuioes de orrelió pr ls tres gráfis muestr lur e el so de los vetores de residuos e idepedei etre los residuos y l señl de exitió, heho ue revel l vlidez de l idetifiió de estos modelos. Figur 7. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 3 miimizdo J θ usdo mutió. Figur 8. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid miimizdo AICθ usdo mutió Reduió de l rg omputiol E l tl 5 se muestr u prámetro diiol ue idi el tiempo de ejeuió del lgoritmo, ote ue estos tiempos fuero muy ltos, u omportmieto poo desele e uluier sistem. Pr dr soluió este prolem se plteó mir el ídie de omplejidd ddo por l E. 7, por uo euivlete l sum del úmero de odos de d árol, es deir, se pelizro los modelos o por el orde de éstos, sio, por el tmño del 9

10 árol ue los represete. E l tl 6 se muestr ls medids de ptitud files pr 0 orrids utilizdo reduió e los ároles. Figur 9. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid miimizdo MDLθ usdo mutió. C AICθ t. [mi] MDLθ t. [mi] -45: : 3-653: : : : 9-676: : 9-486: : 39-66: : :58309 : -6: : : : 4-66: : :973 0 : 6-63: : 7-38: : 8-633: : 8-46: : 3-63: : : : 5-68: : : : 4-69:33897 : 46 Tl 6. Medids de ptitud files pr diez orrids usdo reduió e los ároles. ote l gr reduió e los tiempos de ejeuió del lgoritmo, e dode, se psó de u medi de 4:70 mi pr el so e ue l omplejidd est regid por l E. 7, u medi de 9:60 mi dode se otroló el reimieto de ls estruturs. E ls figurs 0 y se muestr ls vlidioes pr los sistems oteidos de ls orrids 3 AICθ y 0 MDLθ, otroldo el reimieto de los ároles. Auue ls gráfis de vlidió mostrds preset ueos resultdos, dee otrse ue el lgoritmo jó su desempeño y e u gr tidd de sos los modelos resulttes o fuero válidos, pr el so del MDLθ e myor proporió, esto deido l lt poderió ue preset el MDLθ e su ompoete de omplejidd. 5. DISCUSIÓ Este trjo muestr ue es posile her el modelmieto de u sistem utilizdo omo regls de úsued l seleió turl, u esuem orgizdo ue uue se gr prte de su fuiomieto e l letoriedd, es reguldo por el ojetivo espeífio de imitr l turlez. De igul mer, se muestr l posiilidd de utilizr u estrtegi ie defiid pr esoger l estrutur y her l prmetrizió, proporiodo u posiilidd más e este mpo, juto o ls demás forms existetes. 0

11 Figur 0. Vlidió pr el modelo idetifido e l orrid 3 miimizdo AIC otroldo el reimieto de los ároles. Figur. Vlidió del modelo idetifido e l orrid 0 miimizdo MDL otroldo el reimieto de los ároles. A pesr de otr o u herrmiet ue puede ser útil e el mpo de l idetifiió, es útil reordr ue surge hor u ojuto de duds o prolems uevos ue dee ser motivo de ivestigió posterior. Es el so de u uso más elordo de los riterios ue sig l medid de juste, pues l form e ue se utilizó uí el AIC o el MDL, respode más experimetió previ reportd e l iliogrfí del áre, ue u estudio uevo portdo por los utores de este trjo. L utilizió de elemetos diioles los defiidos e el prdigm origil de l GP, so produto de l eesidd de mejorr l lidd e ls soluioes y desempeño del progrm. Cd vez es más freuete su utilizió e ls llmds pliioes del mudo rel. Otro puto de importi es l mejor del desempeño e uto l tiempo de ejeuió del lgoritmo, esto deido ue u herrmiet muy let o ue reuier de grdes reursos de ómputo, puede resultr poo trtiv pr uluier perso ue desee her uso de ell. Los resultdos uí mostrdos, reflej u otle reduió e el tiempo de ejeuió depediedo de l form omo se sige l medid de juste, heho ue llev u vez más l osiderió del estudio de estos. Est ide puede ser extedid otro tipo de sistems, pues es omú eotrrse o pliioes ue ivolur l idetifiió de sistems olieles por medio de téis evolutivs, lro está, se dee ser uiddoso o este tipo de pliioes ue impliue u se teóri muho más omplej y ue puede oduir ivestigioes si fudmeto ietífio, pues se dej u ldo est prte fudmetl de uluier trjo ivestigtivo. 0. BIBLIOGRAFÍA [] L. Ljug d J. Sjöerg. A system idetifitio perspetive o eurl ets. Tehil report, Liöpig Uiversity, 99. [] J. Sjöerg. o-lier System Idetifitio with eurl etwors. PhD thesis, Liöpig Uiversity, Liöpig, 995. Disserttio o. 38. [3] Sjöerg J., H. Hjlmrsso, d L. Ljug. eurl etwors i system idetifitio. Tehil report, Liöpig Uiversity, 994. [4] A. Juditsy, Q. Zhg, B. Delyo, P-Y. Gloree, d A. Beveiste. Wvelets i idetifitio - wvelets, splies, euros, fuzzies: how good for idetifitio? Tehil report, Istitut tiol de Reherhe e Iformtiue et e Automtiue IRIA, 994.

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