Separación mediante membranas. III permeado de gases en sistemas de múltiples etapas a flujo variable

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1 Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs Separació mediate membraas. III permeado de gases e sistemas de múltiples etapas a flujo variable J. Armijo C. (Recibido 30/09/206 / Aceptado 3/0/206) RESUME E esta parte presetamos procedimietos de cálculo para el permeado de mezclas biarias de gases e sistemas de múltiples etapas, de flujo variable y área de membraa costate. Las composicioes del permeado y rechazo se calcula co el método del puto burbuja, y los balaces de materia se resuelve simultáeamete co el algoritmo de Thomas. Palabras clave: Permeado de gases, etapas múltiples, cascada, algoritmo, Thomas. Separatio through membraes. III permeatio of gases i multi-stage systems with variable flow ABSTRACT I this part we preset calculatio procedures for the permeate of biary gas mixtures i multi-stage systems, variable flow ad costat membrae area. The compositios of permeate ad rejectio are calculated with the method of bubble poit, ad material balaces are solved simultaeously with the Thomas algorithm. Keywords: Permeate gas, multistage, cascade, algorithm, Thomas. Departameto Académico de Operacioes Uitarias, Facultad de Química e Igeiería Química, UMSM. jarmijocarraza@gmail.com,

2 Separació mediate membraas. III permeado de gases e sistemas de múltiples etapas a flujo variable I. ITRODUCCIÓ Las separacioes mediate membraas costituye actualmete ua ueva operació uitaria. Las membraas actúa como barreras que cotrola el paso de moléculas de gases o líquidos, posibilitado la separació. Las separacioes de gases mediate membraas es ua tecología competitiva co otras tradicioales, debido a su simplicidad y posibles combiacioes e sistemas híbridos []. Desde que Weller y Steier [2] presetaro los primeros cálculos teóricos, diversos autores ha aputado a estudiar los aspectos relacioados al diseño del permeado de gases, tales como cofiguració de módulos, selecció de las codicioes de operació y materiales apropiados para las membraas [3]. Hoffma [4] preseta técicas de cálculo aplicadas a sistemas modulares de permeado de gases, e ua o varias etapas, aálogos a los utilizados para vaporizadores flash y la destilació múltiple etapa, ambos e estado estacioario. E la primera y la seguda parte de este trabajo [5, 6] se desarrollaro procedimietos de cálculos complemetarios a los presetados por Hoffma. E la primera parte mostramos la costrucció de la curva de equilibrio de rechazo-permeado mediate cálculos del puto de burbuja o de rocío. E la seguda parte, aplicamos el método gráfico de McCabe-Thiele al permeado de mezclas biarias de gases e u sistema de etapas múltiples a flujo costate y área de membraa variable, etre etapa y etapa. E esta parte presetamos procedimietos de cálculo para sistemas de etapas múltiples a flujo variable y área de membraa costate, e cotracorriete y estado estacioario para el permeado de mezclas biarias de gases. El método que aplicamos es adaptado del que se utiliza para cálculos rigurosos e las separacioes de mezclas multicompoetes [7] para destiladores o absorbedores. II. FUDAMETOS TEÓRICOS La Figura muestra u módulo de mezcla completa como ua etapa cualquiera. Las etapas se umera desde arriba hacia abajo. La etrada a la etapa puede ser ua corriete de alimetació F. Así mismo, igresa la corriete L -, que viee de la etapa aterior, y la corriete V +, que viee de la etapa posterior. Las corrietes que abadoa la etapa se divide e corrietes laterales U y W. La corriete V que salió de la etapa igresa a la etapa -. Igualmete, L es la corriete que salió de la etapa e igresa a la etapa +. Las composicioes de las corrietes se expresa e fraccioes molares x, y, z del compoete más permeable (e destilació es el compoete más vólatil) de la mezcla biaria. Las presioes e las cámaras de permeado y rechazo so P V y P L, respectivamete. Debido a la presió P L > P V las corrietes de permeado (V) debe ser comprimidas etre etapa y etapa hasta la presió P L. Igualmete las corrietes de rechazo (L) si las pérdidas por fricció etre etapas so grades. Se cosidera que los flujos que sale de ua etapa, V y L, está e equilibrio. Figura. Módulo de mezcla completa que se muestra como ua etapa e equilibrio co los flujos de permeado (V) y rechazo (L). 38 Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

3 J. Armijo C. La Figura 2 muestra u cojuto de etapas arreglado e cascada de flujo e cotracorriete y operado e estado estacioario. ( V + W ) K + ( F W U ) + U + V V i m m m + i = m= B (6) 2.. Modelo teórico de balace de materia Las ecuacioes de balace de materia y las relacioes de equilibrio etre las corrietes de rechazo y permeado se puede escribir de forma geeral para cualquier úmero de compoetes C y el cojuto de etapas. Balace global etre la etapa y ua etapa cualquiera de la Figura 2: Ci = V + Ki+ (7) D =Fz (8) i i Co x i0 =0, A = 0, W =0, C = 0, V + =0, U =0 Al escribir la ecuació 4 para cada etapa, 2, 3,..., obteemos el arreglo matricial que se muestra e la ecuació 9, dode se ha quitado los subídices referidos a la especie química i de los coeficietes B, C y D. L = V + ( F W U ) V () + m m m m= La ecuació calcula el flujo de rechazo que sale de ua etapa cualquiera. Balace de cualquier compoete i de la mezcla e la etapa de la Figura : L xi + Fz i + V + yi+ = ( V + W ) yi + ( L + U ) x i (2) Por otro lado, las composicioes de las corrietes de permeado y rechazo que sale del módulo está relacioadas por la ecuació de equilibrio : y = Kx (3) i i i Remplazado la ecuació 3 e 2 para y i, y los flujos L y L - de acuerdo a la ecuació obteemos después de arreglar: Ax + B x + C x = D (4) i i i i i+ i Dode: = + ( m m m) (5) m= A V F W U V 2 Figura 2. Sistema de módulos de mezcla completa arreglados e múltiple etapas aálogo a ua columa de destilació. Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

4 Separació mediate membraas. III permeado de gases e sistemas de múltiples etapas a flujo variable La idetificació de la especie i se ha retirado de los coeficietes B, C y D. Tega e cueta que para la primera etapa =, A = 0. Luego, e la matriz de la ecuació 9 se remplaza: (9) Los coeficietes A, B i, C i y D i depede del flujo de permeado V y de la costate de equilibrio [5] K i dada por la ecuació 0, que a su vez depede tambié de V: K i = PV P V PA i + (0) L L m Si la relació de presió, el área y la resistecia a la trasferecia de masa se matiee costates, etoces el flujo de permeado V se puede usar como variable de tateo para resolver la ecuació 9 y determiar la composició x i e cada etapa. B por, C por p y D por q, etapa = A 2 por 0, B 2 por, C 2 por p 2 y D 2 por q 2, etapa = 2. E geeral, para ua etapa cualquiera: A por 0, B por, C por p y D por q. E la última etapa : x i = q (3) Después de aplicar el algoritmo de Thomas, la matriz de la ecuació 9 queda como sigue: 2.2. Algoritmo de Thomas Para resolver la ecuació 9 recurrimos al algoritmo de Thomas [7], que es u método gaussiao de elimiació e el que se procede iicialmete a ua elimiació progresiva, comezado e la etapa y operado hasta alcazar la etapa, aislado fialmete x i. Se obtiee así otros valores de x i comezado co x i- mediate ua sustitució reversa. Las ecuacioes del algoritmo de Thomas se obtiee de resolver la ecuació 4: x q px + i = i () Dóde: D Aq C q = y p = B Ap B Ap (2) Fialmete, se usa la ecuació de forma reversa para calcular las composicioes e cada etapa: x = q p x = r (4) i i i i i III. METODOLOGÍA DE CÁLCULO El procedimieto de cálculo que adoptamos es el propuesto por Thomas para resolver la matriz tridiagoal de la ecuació 9. Utilizamos el flujo de permeado V como variable de tateo calculado e cada iteració por el método del puto de burbuja. Las Figuras 3a y 3b muestra el diagrama de flujo de los cálculos a seguir. 40 Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

5 J. Armijo C. Para iiciar los cálculos se fija los parámetros: espesor de membraa y permeabilidades de cada ua de las especies químicas de la mezcla de gases. Figura 3b. Procedimieto de cálculo por pasos. Tambié se debe fijar las variables de operació: presioes P V y P L, el área de membraa por cada etapa, el úmero de etapas, el plato de alimetació, el flujo de todas las corrietes de alimetació, así como de las corrietes laterales. Figura 3a. Procedimieto de cálculo por pasos. El proceso iterativo se iicia supoiedo los flujos V, V 2, V 3 V que al pricipio pue- Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

6 Separació mediate membraas. III permeado de gases e sistemas de múltiples etapas a flujo variable de asumirse todos iguales. Se cotiúa co el cálculo de los fl ujos L, L 2, L 3..L, que puede resultar e algú valor egativo. Para evitar esto, debe cambiarse los valores supuestos de V teiedo e cueta el balace global: selectividad O Ρ O2 2 / 2 = = 2.2 Ρ 2 Fm = ( Wm + Um) + L + V m= m= (5) W = 0, U = 0 La ecuació 5 se simplifi ca si todas las corrietes laterales so cero y para ua sola alimetació: F = L + V (6) IV. DISCUSIÓ DE RESULTADOS El procedimieto de cálculo detallado e la secció aterior se muestra para el caso de la separació de la mezcla oxígeo(a)- itrógeo (B). La Tabla preseta los parámetros: espesor de membraa e cm y las permeabilidades e cm 3 STP-cm/(cm 2 s cm Hg) para ua membraa de caucho silicoa. Tabla. Parámetros para la mezcla oxígeo(a)- itrógeo(b) Figura 4. Curva de equilibrio de la mezcla Oxígeo(A)- itrógeo(b) calculada co los parámetros de la Tabla, y co P L =75.0 cm Hg y P V =5 cm Hg. Caso. Ua sola corriete de alimetació, fl ujo de corrietes laterales cero. Se fi ja las siguietes variables: Flujo de alimetació, F = 00 cm 3 STP/s Fracció molar de oxígeo(a) = 0.2 Etapa de alimetació = 6 úmero de etapas = 2 Área de membraa por etapa = 5000 cm 2 Las Tablas 2 y 3 muestra los resultados de los cálculos para la primera y séptima iteració, respectivamete. El criterio de covergecia que utilizamos está dado por la ecuació 7: La Figura 4 muestra la curva de equilibrio calculada co los parámetros de la Tabla y co presioes de 75.0 y 5 cm de Hg e las cámaras de rechazo y permeado, respectivamete. La proximidad de las curvas de rechazo y permeado es cosecuecia de la baja selectividad del oxígeo respecto al itrógeo, defi ida como la relació de permeabilidades: 2 ( xa xaormal ) j (7) j= ε = Para la primera iteració e= 2.2 x 0-3 y ote que la suma y A +y B difi ere de. E cambio, para la sétima iteració e= 7.9 x 0-4 y la suma de las fraccioes molares y A +y B = Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

7 J. Armijo C. Tabla 2. Resultados para la primera iteració de los cálculos. Criterio de covergecia = 2.2x0-3 Figura 5. Flujo de permeado (V) y rechazo (L) de etapa e etapa. F=00 cm 3 STP/s, z A =0.2, área de membraa= 5000 cm2. Selectividad O 2 / 2 Tabla 3. Resultados para la séptima iteració de los cálculos. Criterio de covergecia = 7.9x0-4 E la última etapa, la separació es muy agosta. ote que la composició de oxígeo e el permeado que sale de la etapa es ligeramete superior al de la alimetació (z A =0.2). Por otro lado, los cálculos muestra que la composició de itrógeo (B) del permeado y rechazo e la última etapa es 0.93 y 0.99, respectivamete. La Figura 5 muestra el flujo de permeado (V) y rechazo (L) de cada etapa. Se observa que el flujo de permeado se matiee costate hasta la etapa de alimetació a partir de la cual decae bruscamete. E cambio, el flujo de rechazo se matiee e cero hasta la etapa de alimetació, a partir de la cual se icremeta por ecima del flujo de permeado y fialmete decae e la última etapa. La Figura 6 muestra las fraccioes molares del oxígeo (A) e la corriete de rechazo (x A ) y e la corriete de permeado (y A ). Se ota que ambas composicioes decae bruscamete a partir de la etapa de alimetació. Figura 6. Fraccioes molares de oxígeo (A) e el permeado (y A ) y rechazo (x A ) de etapa e etapa. F=00 cm 3 STP/s, z A =0.2, área de membraa= 5000 cm2. Selectividad O 2 / 2 Caso 2. Dos corrietes de alimetació, flujo de corrietes laterales cero. Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

8 Separació mediate membraas. III permeado de gases e sistemas de múltiples etapas a flujo variable Se fija las siguietes variables: Flujo de alimetació, F = 05 cm 3 STP/s Fracció molar de oxígeo(a) = 0.05 Etapa de alimetació = Flujo de alimetació, F = 00 cm 3 STP/s Fracció molar de oxígeo(a) = 0.2 Etapa de alimetació = 6 úmero de etapas = 2 Área de membraa por etapa = 5000 cm 2. E este caso mostramos los resultados de la tercera iteració, cuado el criterio de covergecia es 5.6 x 0-8, habiedo iiciado la iteració co V = 70 para cada etapa. La figura 7 muestra que el flujo del rechazo (L) es siempre mayor que el flujo de permeado (V) e todas las etapas. Como e el caso aterior, hay u salto e el flujo del rechazo (L) e la etapa 6 de alimetació y e la última etapa el flujo decae. E cambio, el flujo de permeado (V) aumeta progresivamete hasta alcazar su máximo valor e la etapa 6 de alimetació y luego decae. Figura 7. Flujo de permeado (V) y rechazo (L) de etapa e etapa. Dos alimetacioes F=00 cm 3 STP/s, z A =0.2, y F=05 cm 3 STP/s z A =0.05. Área de membraa= 5000 cm 2. Selectividad O 2 / 2 Figura 8. Fraccioes molares de oxígeo (A) e el permeado (y A ) y rechazo (x A ) de etapa e etapa. Dos alimetacioes F=00 cm 3 STP/s, z A =0.2, y F=05 cm 3 STP/s z A =0.05. Área de membraa= 5000 cm2. Selectividad O 2 / 2 La Figura 8 muestra las composicioes del permeado (y A ) y del rechazo (x A ). E ambas corrietes las composicioes alcaza u máximo e la etapa 6 de alimetació. ote tambié que la composició del permeado es siempre mayor que la del rechazo, alcazado el máximo valor de 0.30 e la etapa 6. Caso 3. Tres corrietes de alimetació, flujo de corrietes laterales cero. Se fija las siguietes variables: Flujo de alimetació, F = 05 cm 3 STP/s Fracció molar de oxígeo(a) = 0.8 Etapa de alimetació = Flujo de alimetació, F = 00 cm 3 STP/s Fracció molar de oxígeo(a) = 0.2 Etapa de alimetació = 6 Flujo de alimetació, F = 300 cm 3 STP/s Fracció molar de oxígeo(a) = 0.0 Etapa de alimetació = 2 úmero de etapas = 2 Área de membraa por etapa = 5000 cm 2. Los resultados se muestra e las figuras 9 y 0 para la quita iteració cuado el criterio de covergecia es 2.6 x Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

9 J. Armijo C. La Figura 9 muestra el flujo de rechazo (L) meor que el flujo de permeado (V) desde la primera hasta la quita etapa, luego cambia a valores mayores e las últimas etapas a partir de la etapa 6, dode igresa la alimetació co z A = 0.2. El flujo de permeado (V) preseta u cambio suavizado y o brusco como e el caso del flujo de rechazo. Figura 9. Flujo de permeado (V) y rechazo (L) de etapa e etapa. Tres alimetacioes F=05 cm 3 STP/s, z A =0.8, F=00 cm 3 STP/s z A =0.2 y F=300 z A =0.. Área de membraa= 5000 cm 2. Selectividad O 2 / 2 La Figura 0 muestra las fraccioes molares de las corrietes de permeado (y A ) y de rechazo (x A ), e ambos casos las curvas preseta ua variació suave y regular. La composició del permeado es mayor que la del rechazo e todas las etapas. ote que el permeado de la primera etapa es rico e oxígeo (y A = 0.736) y e el fodo el rechazo es rico e itrógeo (x B =0.906), como ocurre e las operacioes de destilació. V. COCLUSIOES Y RECOMEDA- CIOES E este trabajo, mostramos que los métodos de cálculo usados e el diseño de destiladores de mezclas multicompoetes puede aplicarse al permeado de gases mediate membraas e arreglo de etapas múltiples o cascada. Auque los ejemplos de cálculo presetados se refiere a mezclas biarias, la metodología es extesiva a mezclas multicompoetes siempre que sea coocidas las permeabilidades de cada gas e la mezcla. Solo coocemos las permeabilidades de gases puros. E cambio, para el diseño de las columas de destilació se dispoe de abudates datos experimetales y modelos matemáticos que permite calcular la costate de equilibrio termodiámico e fució de las composicioes de la mezcla líquido y vapor. VI. REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS [] Ray R., R.W. Wytcherley, D. ewbold, S. McCray, D. Friese, ad D. Brose. Syergistics membrae-based hybrid separatio systems. Joural of Membrae Sciece, 9962:347, p 369. [2] S. Weller ad W.A. Steier. Egieerig aspects of separatio of gases, Fractioal permeatio through membraes. Chemical Egieerig Progress, 950, 46(), 585. [3] Geakoplis C. Joh, Trasport Process ad Separatio Process Priciples, Pretice Hall Fourth Editio, 2003, p 840. Figura 0. Fraccioes molares de oxígeo (A) e el permeado (y A ) y rechazo (x A ) de etapa e etapa. Tres alimetacioes F=05 cm 3 STP/s, z A =0.8, F=00 cm 3 STP/s z A =0.2 y F=300 z A =0.. Área de membraa= 5000 cm 2. Selectividad O 2 / 2 [4] Hoffma E. J. Membrae Separatios Techology: sigle stage, multistage, ad differetial permeatio. Publisher: Elsevier Sciece & Techology Books, 2003 [5] Armijo C. J., Separació mediate membraas I Aalogía etre destila- Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs

10 Separació mediate membraas. III permeado de gases e sistemas de múltiples etapas a flujo variable ció Flash y módulo de mezcla completa, Rev. Per. De Químicas e Ig. Química, 202, 5: [6] Armijo C. J., Separació mediate membraas II Aalogía etre destilació e columa y el permeado de gases e arreglo de etapas múltiples, Rev. Per. De Químicas e Ig. Química, 204, 7: [7] Heley E., J.D. Seader, Operacioes de separació por etapas de equilibrio e igeiería química, Edit. Repla S.A. 990, p Rev. Per. Quím. Ig. Quím. Vol. 9,.º 2, 206, págs