PROBLEMAS VARIADOS 3( )

Transcripción

1 PROLEMAS ARIADOS (0-04) 0-.Un esfer de rdi R n cnductr tiene un crg distribuíd de frm unifrme pr td el vlumen. El módul del cmp rdil dentr de l esfer está dd pr l siguiente ecución: E 4 π ε En l ecución r es l distnci del centr de l esfer l punt cnsiderd. Clculr el ptencil eléctric de l esfer en función de r. r R Prtims de l relción entre el cmp y el ptencil. Al trtrse de crgs distribuids unifrmemente y pr l simetrí de l esfer, tnt el ptencil cm el cmp, vrín en módul cn l distnci r l centr, de md que l nterir ecución se puede epresr en módul. R r d E dr d E dr 4 π ε R r r dr 8πε R Cte () Pr hllr l cnstnte de integrción tendrems en cuent que en l superficie de l esfer, el ptencil está definid pr l ecución nterir pr l que se bteng pr punts eterires cn distncis R. cnsidernd que se tm el punt de referenci ptencil 0, en el infinit. Supngms un esfer imginri (superficie gussin) de rdi >R y cncéntric cn l esfer crgd. Pr l simetrí del prblem si plicms el terem de Guss, demás de prprcinrns el vlr del fluj, ns permite hllr el módul del cmp eléctric, que es el bjetiv del prtd. Además, cm el cmp en módul, vle igul en tds ls punts de l superficie gussin result. R r = E S cs 0 = E S = /ε Dnde es l crg ttl en el interir de l superficie gussin y S el áre de l esfer de rdi. d d E 4π E ε 4πε d 4πε 4πε Cte Pr hllr l cnstnte Cte, hcems y llí el ptencil es nul, pr l que Cte = 0. () 4 π ε L ecución () d el vlr del ptencil cund r R y l ecución () prprcin el ptencil cund R; per mbs deberán dr el mism vlr cund = R, prque el vlr del ptencil de un distribución de crgs en unívc, en cnsecuenci:

2 R 8πεR Cte 4 π εr Cte 8πεR Cte 4 π εr 8π εr 4 π εr Sustituyend Cte en () Nótese que si hcems r = R result un vlr pr el ptencil en l superficie de l esfer, cm si td su crg distribuid en el vlumen, se encntrr cm puntul en su centr. Pr tr prte en el centr de l esfer es r = 0 per el ptencil vle: ue es su vlr máim. Recuérdese que el ptencil er nul en el infinit. -. En el sistem mecánic representd en l figur slmente eiste un ceficiente de rzmient entre l cuñ de ms M y el blque de ms m. Ls mss de ls ples sn desprecibles. El punt C permnece fij y l cuerd es inetensible. Clculr l celerción cn que se desplz el blque. A R -N N m M C Supngms que el blque m desliz hci bj, l cul cnllev que el trz de cuerd entre el punt A y el blque m, umente su lngitud en l, cm el trz de l cuerd entre A y es cnstnte, el trz C se tiene que crtr en l mism lngitud l, l que se prduce l desplzrse junts l cuñ y el blque hci l derech. Se N l fuerz hrizntl, dirigid de izquierd derech, cn que l cuñ empuj m; l rección ést, es un fuerz hrizntl del mism módul per dirigid de derech izquierd y plicd en l cuñ -N. Sbre ést y en dirección hrizntl y sentid de izquierd derech ctú l tensión de l cuerd, puest que l ple inferir está unid directmente l cuñ.

3 L cuñ de ms M, se mueve sl en dirección hrizntl. Si designms cn HM l módul de l celerción de l cuñ hci l derech, y de cuerd cn l segund ley de Newtn cnsidernd ls fuerzs hrizntles que ctún sbre ell: N () M H M Dd que l cuñ y el blque se desplzn junts debid ls ligdurs que impne el sistem, l celerción hrizntl del blque es igul l de cuñ: HM = Hm () Cm sbre el blque ctú l fuerz N dirigid de izquierd derech. N m H m () Per el blque demás de l celerción hrizntl, tiene un celerción verticl, que clculms prtir de ls fuerzs que ctún sbre él verticlmente, cn l segund ley de Newtn. Ls fuerzs que ctún sn: su pes P = mg y en l mism dirección hci rrib l tensión de l cuerd y l fuerz de rzmient R =μn. mg μn (4) m m Cm l lngitud de l cuerd es cnstnte, si el blque se desplz hci bj un distnci l, l mism distnci se crt l cuerd C, en el mism intervl de tiemp Δt, pr tnt cm l hcen cn celerción se cumple: Δl m Δt HM Δt HM (5) y ls ds celercines sn igules en módul. En l ecución (4) sustituims de () y tenems en cuent ls: (); () y (5) mg M m μ m m mg M m μ m HM Hm Hm m m g g mg M m μ m m M m( μ) M μ m celerción hrizntl de M es igul l de m y su vez igul l verticl de m, teniend en cuent ls direccines de ls vectres Cm l MH = Hm = g M μ m

4 -.Un cilindr dibátic, de sección S = m, dtd de un émbl dibátic de ms M= 000 kg, cpcidd clrífic desprecible y que puede desplzrse sin rzmient, está dividid en ds cámrs pr un tbique ditérmn (que dej psr el clr cn fcilidd) rígid y fij, (ver l figur). P A M=000 kg L presión eterir que ctú sbre el émbl es P = 0 5 P. El cmprtiment A cntiene 0 mles de un gs idel cn C v = J/ml, l tempertur de =00. El cmprtiment, 00 mles del mism gs, l mism tempertur y presión 0 P. En ests cndicines se cmunic l gs del cmprtiment, 000 kj de clr y lueg se rmpe el tbique, el sistem evlucin hst un situción de equilibri. Clculr: ) el desplzmient verticl del émbl, b) l tempertur finl y c) l vrición de entrpí., b). Clculms ls vlúmenes de ls cmprtiments A y, pr plicción de l ley de ls gses ideles. L presión que sprt el gs de A es P más l que ejerce el émbl de ms M. n AR 0 8, 00 n R 00 8, 00 A 0,7 m ; 0,49 m M g ,8 0 0 P 0 S Pdems supner que rmpems el tbique y justmente l situción es: un tempertur de 00 y un númer de mles 0 de un mezcl de gses ideles. Ahr le cmunicms ls 000 kj de energí clrífic y el émbl se elev umentnd el vlumen y l tempertur. El prces termin cund l presión interir de l mezcl de gses es igul l que sprt el émbl desde el eterir. Aplicms el primer principi de l ermdinámic: 00 W 0 Pd ,7 0, ,47 () ΔU n C L ecución de ls gses perfects plicd cund se h lcnzd el equilibri, ns permite escribir: , 8,.0 () Cmbinnd () y () , , ,5 m 0,47 Δ ΔS Δ 54 4,5 0,47 4,0m

5 Cund un gs idel cmbi su tempertur de y su vlumen de, el cmbi de entrpí está dd pr l ecución. ΔS n C v ln R ln Aplicms l ecución nterir ls gses cntenids en A y l ΔS A 0 ln ,ln 4,5 0,7 5 J ; ΔS 00 ln ,ln 4,5 0,49 45 J ΔS S A S J,9 kj -.Determinr el centr de mss de un plc hmgéne de densidd superficil que tiene l frm de un semicírcul de rdi R (ver l figur ). A es mism plc se le recrt un semicírcul de rdi R/ en l frm que índic l figur. Clculr el centr de mss de l piez resultnte. Ayud. sen θ dθ cs θsen θ Y Y dh h R θ 0 R X 0 R/ R X ig. ig. Pr clculr el centr de mss de l figur, cnsiderms dividid l plc en tirs de espesr dh. Un de ells se encuentr l distnci h del eje X. L rdend del c.d.m viene dd pr l ecución: Clculms l ms de ese element de lngitud y ltur dh. Será dm ds σ dh

6 En l ecución de dm, tnt cm h sn vribles, ls cules pueden relcinrse cn l vrible. R cs θ ; h R sen θ dh R cs θ dθ dm dh σ R cs θ dθ y C 0 R cs sen d 4R 0 σ πr π 4R cs () Dd l simetrí de l plc respect de ls ejes elegids en l figur, el resultd es que l bscis es nul. Pr clculr el centr de mss de l figur, respect de ls ejes XY, ms tener en cuent l ecución deducid (). ms cnsiderr l figur, frmd pr ds elements distints: el crrespndiente l fig. y el tr element de rdi r =R/; en blnc en l figur, signándle pr efects de cálcul un densidd negtiv σ. De cuerd cn l ecución () ls crdends del c.d.m. del element en blnc de rdi r = R/ serán: L bscis pr simetrí = R/ y l rdend Ls mss crrespndientes ls elements sn: Ahr, cnsiderms l figur cmplet cm frmd pr ds mss discrets, de md que el centr de mss del sistem es: