UNA NOTA SOBRE LA COMPACIDAD DE FUNCIONES COSENO DE OPERADORES

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1 REVISTA PROYECCIONES Nº 13: Juli ISSN UNA NOTA SOBRE LA COMPACIDAD DE FUNCIONES COSENO DE OPERADORES Dr. HERNAN R. HENRIQUEZ* RESUMEN. E este trabaj caracterizams las fucies cse fuertemete ctiua de peracies, defiidas e u espaci de Baach cmplej y geeradas pr u peradr lieal A tal que A es cmpact, para algú e!! ter > l. INTRODOCCION. Sea X u espaci de Baach y detems pr B(X) el álgebra de ls peradres lieales actads defiids ycvalres e X. Ua fu ció cse fuertemete ctiua de peradres e X es ua fució e * Uiversidad de Satiag de Chile, Departamet de Matemática y Ciecia de la Cmputació, Casilla Crre, Satiag - Chile.

2 36 defiida e IR y c valres e B(X) que es ctiua para la tplgía fuerte de peradres y verifica las cdicies (a) e() = I, (b) e(t + s) + e(t - s) = e(t) e(s), para td s, te IR. tiua e El geeradr ifiitesimal de la fució cse fuertemete c es el peradr A defiid mediate la expresió: Ax = lir t-+0 (e(t) X- x) t (1) e aquells vectres x e: X para ls cuales el límite existe. De maera similar a l que curre e la Tería de semigrup de peradres, el peradr A es cerrad y tiee dmii D(A) des e X. Además, existe cstates M> 1 y w ~ O tal que: 11 e ( t) 1 1 ~ M exp ( w t), t ~ ( ) y si,\ es u úmer cmplej c R (,\) > w etces.\ perteece al cjut reslvete de A. IR ~ B(X) A cada fució cse e se le ascia ua fució se S defiida pr la expresió: S(t)x = Jt e(s) x ds. (3) para td x E X y td t e: lr. Si A es el geeradr ifiitesimal de ua fució cse e, etces A es tambié el geeradr ifiitesimal de u semigrup aalític que detarems pr T. Fattrii ([]) ha mstrad que:

3 37 1 T(t)x = -- r~ yrrl -s exp (~) e(s)x ds (4) para td t > O y td X E: X. Se deduce de esta fórmula que si la ció e verifica la desigualdad () etces T es u semigrup de mer e igual a w. 1. Además, Nels y Triggiai ( [ 6] ) ha demstrad para cada t > la fució S -+ e(s) T(t) es aalítica. futip que Las fucies cse de peradres ha sid csideradas recie temete pr varis autres e relació c el prblema de eauchy abstract de segud rde (ver [8] para u resume). E [4] hems caracterizad las fucies cse para las cuales e(t) - I es u peradr cmpact, para td t > O. Específicamete, btuvims el siguiete resultad: Terema: Sea e ua fució cse fuertemete ctiua de peradres. Etces las siguietes cdicies s equivaletes: a) El peradr e (t) - I es cmpact para td t E: 1R. b) El peradr S (t) - t I es cmpact para td t <:: JR e) El geeradr ifiitesimal A es cmpact. d) El peradr T(t) - I es cmpact para td t > O. El bjetiv de este trabaj es exteder ests resultads y caracterizar aquellas fucies cse e para las cuales (e(t) - I) es u peradr cmpact, para algú eter psitiv y td te: JR. E uestr desarrll supdrems que X es u espaci de Baach cmplej y si B X detarems pr (B), tr putual y reslvete de es u peradr. lieal (psiblemete actad) e (B) y p(b) ls cjuts espectr, especp B, respectivamete. Además, si >- e: p (B) etces detarems pr R(A, B) al p~ ra d r res 1 vete (' 11 I - B)-l.

4 38. RESULTADOS. A través de tda esta secció detarems pr e a ua fució cse fuertemete ctiua de peradres c geeradr ifiitesimal A y matedrems tdas las tacies itrducidas e la secció aterir. E particular, supdrems que e verifica la desigualdad (). Prpsició 1. Si A = t es u put aislad del espectr de S(t), para td t >O, etces O e (A). Demstració: a) Sea A u úmer cmplej ul tal que A e: p (A) Etces para td x e: X y td t > O. jt(csh A( t - s) - 1) e(s)x ds ( 5) E efect, ha sid establecid e [5] que A R(A,A) (csh (A t) - e(t))x = t sih A(t- s) e(s)x ds e itegrad esta Última expre ció etre [O, t] se btiee (5). b) Detems pr S(t, A) al peradr defiid pr S(t, A)X rt (csh A(t- s) - 1) e(s)x ds J e itrduzcams ls peradres lieales S (t) it defiids pr ( ) l S t X = ll t (t _ s) e(s)x ds. Es imediat que: S(t, A) = (6)

5 39 dde la serie cverge e B(X), uifrmemete para A y t e cjuts actads. e) Supgams que O E p (A) y sea t >. Cm lj t es u put aislad del espectr del peradr S (t), etces existe r > tal que A E p (A) y )J = si h (A t) 1 A perteece al cjut reslvete de S ( t), para cada A E [ tal que < 1 A 1 < r. - Etces de (5) y (6) s e deduce que : A - l: ( )! S T! (t) :;:l (7) -1 Csiderad que el peradr reslvete ( )J - S(t)) tiee ua sigularidad aislada e )J = t ' Lauret (Taylr [7]) que: resulta utilizad la expasió de ()J - S (t)) - 1 ()J - t) T) (t) - A + ()J - t). B (t)' (8) :;:O ;;:1 r: dde ls ceficietes A (t) y B (t) s peradres lieales ac r tads e B(X) que cmuta c ls peradres C(s) y que verifica la relació: T' (S (t) - t) B 1 (t), > 1 Cm A E p(a) etces la fució R( A, A) es aalíti- Ademas ~ cm la f uc1. ~ ( t)- 1 )J - tiee u pl ca e ua vecidad de O. de rde e O y, e ua vecidad de cer, puede represetarse e la frma 6 + f ().. ). ( 9 )

6 40 dde f es ua f ució aalítica, reemplazad (8) y (9) e (7) bteems que: :ü B (t) ()! S (t) = O de dde, S (t) s e deduce : Tl utilizad la cmutativi dad de ls peradres B (t) y 6?.- t3 ()! S (t) B (t) (lo) El peradr B (t) es ua pryecció trivial ([7)), lueg 1 existe u vectr x X, 1 lxl 1 = 1, tal que B (t)x 1 = x Sea M 1 y s cstates psitivas tal que 1 IC(s) 1 1 ~ M, p~ ra td s s (0,1) y s (1 + exp 6(1 + M 1 )) < 1 Pr la ctiuidad de la fució cse existe O < t < 1 que j c(s)x - xll < s, para td s s [O,t]. tal Cm rt 3 ~ (t - s) (x - C(s)x) ds + ~ s 1 (t) B 1 (t)x t etces de (10) se deduce que: + ~ t 3 ()! 11 S (t) 11 I IB (t)xll y evaluad las rmas idicadas e el segud miembr resulta que: + _::: ( )! 1 (1 + M > +1 1

7 41 < l. pr la elecció de E y M 1. Prpsició. Sea C ua familia cse fuertemete ctiua de peradres. Si existe E ln tal que (C(t) - I) T) es u peradr cmpact para td t ~ O, etces existe a > O tal que C(t) es u peradr ivertible para t d t e [O,a]. Demstració: Si C(t) es ivertible etces O E a (C(t)). pacidad de (C(t) - I) se deduce que 0 E (C(t)) p gy [5], ccluims que existe \ E [ c ), E a (A) p csh ( A t) = O. Pr la cm y de Na tal que Supgams que existe ua sucesió (tk) K decreciete, -k < tk ::; para td k :. 1, tal que C( t ) es ivertí- K ble y sea A [, \E r; (A), tal que csh <\ tk) = p K Sea Q el cjut de raíces cmplejas de la ecuació csh (z) = O. Cr A t E Q y O t Q, K K es ifiit. se deduce que el cjut {A : k:: 1 } K Pr tra parte, tambié de ls resultads de Nagy sabems q ue csh ( A t) E a (C(t)), para t ~O y td k~ l. Pr l tat, e 1 e ~ K p jut {csh(>. t) : k ~ 1} es fiit debe teer u put de acumulació K e ~ = l. N es difícil verificar que e ambs cass se ctradice la b servació aterir. Sea A u peradr lieal cerrad y A u úmer cmplej tal que >.!i E p(a) para td i = 1,,...,. Defiirs el peradr lieal F ( A) T), = I+ 11 K (-1) 1 () k k \ ) R(k, A k=l

8 4 Terema 1. Sea e ua familia cse fuertemete ctiua de peradres c geeradr if iit esima l A y s ea t: JN siguietes cd i c ies s equi valetes : Etces las a) El peradr lieal A es a ctad y A e s cmpact, b) Ls peradres e) Ls peradres t ~ O, d ) Ls peradres t : O, e) Existe A > w f) Ls peradres (C {t) - I )ll s cmpacts par a td t : 1 (S(t ) - t i) 11 s cmpacts, para td (T (t) - I) ll s cmpacts, para td t al que F ( A) es u peradr cmpact,. F ( A) s cmpacts para td A > w T) Demstració: 1) La equival ecia de a), d ), e) y f) ha sid demstrada e [3]. ) ~ems tr a rem s que a) ~ b). E este cas la fució cse C es uif rmemete ctiua y puede represetars e pr la serie: 00 tk C(t) AK k=o (k)! 3) de dde resulta que (C (t) - I) TJ es cmpact. Demstrarems que b) => a ). Sea u >. Etces la fució t ~ (C (t) - I) ll T (u) es aalítica y ==lim ( (C(t) - I)_)TJT(u) t -+0 t e la tplgía uifrme de peradres. Se deduce de est que Ar T (u) es u peradr cmpact y pr csiguiete basta mstr ar que T(u) e s u peradr ivertible. Si T (u) fuese ivertible etce s O t: (t (u)) y se presee

9 43 ta ds psibilidades: que O sea u put de acumulació u putai~ lad del espectr. E la primera situació existiría ua sucesió (w ) e (T(u)) iu 1 < 1. tal que \J 1= y u ~ O, ~ Pdems super que Cm T es u semigrup aalític y pr tat uif rmemetec ~ tiu e (, ), se ccluye de las prpiedades espectrales de s emigrups [1 ] que u E exp (u (A)). Sea \ E a(a) tal que u= exp (u ~ ~). Etces ([5)) cs h (A' t) perteece al espectr de t.:::. C(t), p ara td Pr la cmpacidad del peradr (C(t) - I) se deduce que el cjut {cs h (A' t):.:;: 1} es fiit tiee u put de acumulac ió de z = 1, para td t ~ O. La primera psibilidad puede currir pr cuat u ~ O, + Para cmprbar que la seguda alterativa tamp c es psible, csidérese r = Re (A; ). Si csh (A! t) ~ l, ~ etces la distacia de r t al cjut W cverge a cer, para td t > O, l cual es absurd. Pr csiguiete u 0 = O debe ser u put a islad del espectr de T(u) y a ={O} es u cjut espectral de T(u). Sea P l a pryecció espectral asciada a T(u) y a. Detems pr X y x el 1 espaci image de P y de I - P, respectivamete. Etces X., i = 0,1, l s subespacis suplemetaris e ivariates para td peradr lieal que cmute c T(u). Sea A., i = 0,1, 1 la restricció del peradr al subespaci X Etces A. es geeradr ifiitesimal de ua fami- 1 lia cse c. y de semigrup T., que s las restriccies de e y de 1 1 T al subespaci X., i = 0,1, respectivamete. 1 A que Pr la cstrucció realizada se deduce que a (T (u)) O i (T 1 (u)), pr l cual el peradr T 1 (u) es ivertible. i } y Si el subespaci sería u peradr actad y X fuese de dimesió fiita, etces A T (u) sería ivertible. Pr el ctrari,

10 44 si supems que X " tiee dimesió fiita, etces 1 S a (C (t)) ya que (C (t) - r) es cmpact. Tat e el cas e que 1 es u put aislad del espectr de e (t) ([4] prpsició ) cm e el cas e que l sea, se deduce que (A ) F ~ y cm exp (u (A ) ) e ; (T (u)) este Últim cjut debe ser distit de {O}, l cual ctra dice uestra cstrucció. 4) La demstració de la afirmació a) ~ e) es aálga a la realizada e el pas ). 5) Demstrems fialmete que e) => a). Sea u > O. Etces la fució t ~ (S(t) - t I) r T(u) es aalítica. Además, de la defiició de S(t) se deduce que: (S(t + h)- S(t) _ I)r h T(u) h ~ (C(t) - I) r -+ T(u) e la tplgía de la cvergecia uifrme de peradres. Lueg ls peradres (C(t) - I)r T(u) s cmpacts, para td t ~ O. Pr l tat tal cm e el pas 3, el prblema se reduce a demstrar que el peradr T(u) es ivertible. Para este bjet repetims la dem~ tració efectuada e 3), cambiad sól el argumet fial, cuad su pems que el subespaci X tiee dimesió fiita. E este ca s pr la cmpacidad del peradr (S (t) - t I)r se deduce t f. a (S (t)) Si t es u put aislad del espectr de par a a lgú t > O, etces ([4], prpsició 1) se deduce que u(a ) F ~. que S (t), Pr el ctrari, si t es u put aislad del espectr de S (t), para td t > O, etces pr la prpsició 1 tambié se de duce que (A ) F ~. Cm a(t (u) J exp (u (A )) se deduce que - (T, (u) ) 1= {O}, l que ctradice la cstrucció realizada. v

11 45 REFERENCIAS. [1) E. B. Davies, Oe-Parareter Semigrups. Academic Press, New Yrk, [) H. O. Fattrii, Ordiary differetial equatis i liear tplgical spaces, I. J. Diff. Eqs., 5, (1968), [3) H. Heríquez, Ua prpiedade de cmpacidade para familias csse de peradres. Atas d 14 Clqui Brasiler de Matemáti cas, Vl. I. pág [4) H. Heríquez, Csie peratr families such that C(t) - I is cmpact, fr all t ;;> O. Idia J. pure ad appl. Math, 16 (), (1985), [5) B. Nagy, O csie peratr fuctis i Baach spaces, Acta. Sci. Math Sz., 35, (1974), [6) S. Nels; B. Triggiai, Aalytic Prperties f csie peratrs, Prc. Am, Math. Sc., 74 (1), (1979), [7) A. E. Taylr, Itrducti t Fuctial Aalysis. Jh Wiley & Ss, New Yrk, [8) c. C. Travis; G. F. Webb, Prc. Iteratial Sympsium N-Liear Equatis i Abstract Spaces. Uiversity f Texas (1977) pág