FUNCIÓN GAMA. FÓRMULA DE STIRLING. 1. Motivación. Nos interesa tener una idea adecuada de cómo crece n

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1 FUNCIÓN GAMA. FÓRMULA DE STIRLING.. Motivació Nos iteresa teer ua idea adecuada de cómo crece Para ello se puede recurrir al área bajo la curva log x e el itervalo 0, : A log x x x log x x log y su aproximate, dada por la regla del trapecio, para la subdivió etera k, k : 0 k del itervalo: T log log... log log log log Por la cocavidad de la fució logaritmo, se tiee 0 T A y claramete A T es creciete. Veamos que es acotada y por ello será covergete. E cada subitervalo se tiee, si es la secate, log x s k x log x''ξ x kx k co k Ξ k y por ello 0 k k log x sk x x k k x k k x x Ξx k etoces A T que es ua serie covergete. Luego lim k k A T c 0 es fiito. Tomado la expoecial se tiee lim A T lim c lim c Utiliado el producto de Wallis se puede demostrar que el límite es obteiedo la fórmula de Stirlig lim que permite estimar de maera rápida. Nosotros seguiremos otro camio para establecer ua fórmula más precisa. Iterpolaremos mediate ua fució llamada gama y la estudiaremos co algú detalle.. Itegrales depedietes de parámetros Recordamos el siguiete lema sobre itegrales depedietes de parámetros. Lema Sea u domiio de y cotiua.

2 Fució gama.b a) La fució a es cotiua e. b) Si xi f x, t es cotiua e, etoces tambié tiee derivada parcial dada por a y es cotiua e. U caso particular importate para lo que sigue es el siguiete. Sea u domiio del plao complejo y f, t : a, b cotiua y aalítica e, etoces F a b f, tt es aalítica e. E efecto, basta aplicar el lema aterior y usar las codicioes de Cauchy-Riema. Por ejemplo, la fució F a b f t t t co cotiua e el itervalo compacto es aalítica e todo el plao. 3. Fució gama La fució defiida para x 0 iterpola la fució factorial pues, itegrado por partes: x 0 t x t t t x t 0 0 x t x t t x x Además y por lo tato..... Esta fució se llama fució gama. Se puede exteder a valores complejos x i y co parte real positiva x 0, co la misma itegral 0 t t t Para estudiar esta fució la aproximamos por fucioes más secillas. Ua aproximació de la fució gama Reemplaaremos la expoecial t, que figura e el itegrado de la fució gama, por. Estudiamos el error e este reemplao. Por covexidad de la expoecial se tiee s s para cada s. Para s t queda t t y para s t se obtiee t t. Luego 0 t t t t t t t t t t La igualdad t t... t...

3 Fució gama.b 3 os ispira la desigualdad t t, 0 t, la cual es cierta pues la fució ht t t verifica h0, h't t t 0 e 0 t. Aplicado esta desigualdad obteemos la siguiete cota para el error de la aproximació 0 t t t t si 0 t Sea para Re 0 i) es aalítica e el semiplao por el lema sobre itegrales depedietes de u parámetro. ii) f coverge uiformemete a sobre compactos de Re 0. E efecto, para 0 Re x Β se tiee, usado la desigualdad probada ateriormete: f 0 t x t t t t x t t 0 t x t t t t x t t 0 t Β t t t Β t t 0 t Β t t t Β t t k r dode k es ua costate y r es el resto de la itegral covergete. Ello prueba la covergecia uiforme. iii) De i) y ii) resulta que la fució gama es aalítica e el semiplao. Utiliado el pricipio de idetidad podemos cocluir que verifica () para Re 0 pues ya hemos visto que la verifica para los reales positivos. iv) Haciedo el cambio de variables t s e la itegral que defie a f e itegrado por partes iteradamete obteemos ua expresió cerrada para f : f 0 t t t 0 s s s sz s 0 0 s s s... 0 s s s 0 s s s Obteemos la aproximació e el semiplao, co covergecia uiforme sobre compactos,

4 4 Fució gama.b lim () Prologamieto aalítico De la relació fucioal obteemos permite prologar aalíticamete la fució gama a la fraja vertical Re 0, exceptuado el 0, dode tiee u polo simple co parte pricipal. Iterado la relació () relació obteemos que permite exteder aalíticamete la fució gama a Re excepto e dode tiee polo simple co parte sigular. De la misma maera la relació 3 permite extederla a 3 Re co u polo simple e y parte pricipal Cotiuado obteemos el prologamieto a todo el plao co polos simples e los eteros egativos co parte sigular e, 0,,,... Ejercicio Separar la itegral que defie la fució () e dos: 0 t t t 0 t t t t t t a) f 0 t t t k 0 k k 0 t k t k k 0 k Probar que la serie coverge uiformemete sobre compactos de, es decir, para cada compacto K existe u 0 tal que la serie k 0 k k coverge uiformemete e K y etoces f es ua fuciò aalìtica e 0,,,... co polos simples e 0,,,... b) f t t t es aalìtica e todo el plao. Para verlo aproximarla co, como e la secció aterior, que so aalíticas e todo.

5 Fució gama.b 5 Ua fórmula especial La fució tiee polos simples e los aturales, co parte sigular,,,... y por ello la fució producto tiee polos simples e los eteros. Su parte pricipal e los eteros egativos es y e los eteros positivos La fució se tiee los mismos polos co las mismas partes sigulares. Vamos a demostrar que coicide se (3) Si probamos la igualdad para 0 x, por el pricipio de idetidad valdrá para todo. E 0 x se tiee u producto de itegrales que se puede trasformar e ua itegral doble y evaluar: x x 0 t x t t 0 s x s s 0 0 t x s x st st 0 0 cos x Θ se x Θ Ρcos Θse Θ Θ Ρ 0 cosx Θ se x Θ cos Θ se Θ Θ se Θ 0 cos Θ x cos Θ Θ Σ cos Θ se Θ x Σ 0 Σ se x La última itegral se puede calcular por residuos. Poiedo e (3) y () obteemos para y 3 La fórmula (3) demuestra que la fució gama o tiee ceros y por lo tato se puede tomar ua rama del logaritmo log para e el semiplao Re 0, que es simplemete coexo. Ejercicio Probar que

6 6 Fució gama.b Ejercicio Probar que tambié es el valor pricipal de la suma de sus partes pricipales, es decir, lim k k k se 5. Derivada logarítmica E u etoro del etero egativo se tiee h Luego la derivada logaritmica es co h aalítica o ula. ' h' h y derivado se obtiee ' ' aalítica que os da la parte pricipal de la derivada seguda logaritmica. Demostraremos que es la suma de sus partes pricipales ' ' '' ' (4) 0 Tomado ua rama del logaritmo e ambos miembros de la igualdad () válida e se obtiee log f log log log log log... que coverge uiformemete sobre compactos del semiplao derecho a log. Luego las derivadas tambié coverge uiformemete sobre compactos del semiplao log f ' log log ' ' log f '' ' ' y se obtiee 0 ' ' (4) Como la serie es covergete e todo el plao, salvo polos, la igualdad vale e todo el plao. E particular, usado valores reales positivos de la variable, se obtiee

7 Fució gama.b 7 'x log x'' ' 0 x x lo que prueba que la fució log x es estrictamete covexa. Ejercicio Utiliado que se y (4) demostrar la igualdad (3). Sugerecia. Mostrar que las derivadas segudas logarítmicas de ambos miembros de (3) coicide e itegrar dos veces. 6. Fórmula de duplicació de Legedre La fució tiee polos simples e para 0,,,... y el producto. tambié. Veremos que ambas tiee la misma derivada seguda logarítmica. Sea g, g ' ', g '' 4 '' y usado (4) obteemos g' g ' g'' g g' g 4 '' ' 4 ' ' 4 k 0 k Y por otro lado ' ' ' y derivado uevamete y usado (4) se obtiee la igualdad deseada pues 4 k 0 4 k k 0 4 k k 0 k k 0 k k 0 k Itegrado dos veces se obtiee, co costates adecuadas C, D : C D Para queda C D y para es C D Dividiedo obteemos D, C y queda la fórmula llamada de duplicació de Legedre (5) Ejercicio a) Demostrar la siguiete fórmula de triplicació, debida a Gauss:

8 8 Fució gama.b b) Probar que Fórmula de Stirlig Partiedo de la derivada logaritmica (4), y siguiedo ua idea de Lidelöff que usa residuos, se obtiee ua represetació itegral que permite estudiar la fució gama para valores grades de. Sea x i y co x 0 u úmero fijo. La fució se Ζ tiee ceros simples e los eteros Ζ co parte pricipal Ζ. Por lo tato Ζ cos Ζ Ζ cotg Ζ tiee parte pricipal se Ζ Ζ Ζ e el etero ( está fijo). Cosideremos la regió que cosiste del rectágulo y que desigamos co Ε, Y,. Se tiee 0, i Y, i Y si u pequeño semicírculo Ζ : Ζ Ε. Calculamos la itegral sobre el semicírculo. Se tiee Ζ hζ co hζ aalítica e el orige. Luego queda e el límite para Ε 0 Ζ i iθ (semiresiduo egativo). Veamos que la itegral e el segmeto horiotal superior tiee limite 0 para. Se parametria mediate Ζt t i Y, 0 t. Si tomamos Y grade de tal maera que Y : cotg t i Y i t Y i t Y i t Y i t Y i t Y i t Y i t Y 4

9 Fució gama.b 9 Tomado módulo, y recordado que x i y, x 0, cotgt i Y 0 t i Y t 4 0 t 4 x t y Y y Y s 0 s cuyo límite para Y es cero. De la misma maera se ve que el límite sobre el borde horiotal iferior es cero para Y. 3. Acotamos la itegral sobre todo el borde vertical derecho. cotg i t t i t i t i t i t i t t i t t t t t x y t t t x y t x s s Hemos usado que t t t t para t. Luego el limite de la itegral cuado es cero. 4. Calculamos la itegral sobre la vertical Ζ i t, Ε t Y, Ζ i t :

10 0 Fució gama.b Tomado primero el límite para y luego para queda t 0 t t 0 4 t t t t 0 4 t t t t 5. Reuiedo todos los cálculos obteemos lim Ε0,, Y i ΖΖ 4 t k k t 0 t t y sumado a ambos miembros queda fialmete ' ' 4 t k 0 k t 0 t t 6. Itegramos esta igualdad, usado que e el itegrado se tiee, ' C log 0 t t t t Necesitamos itegrar otra ve y para evitar el arcotagete, que es multivaluada, primero trasformamos la itegral itegrado por partes, y usado t t t d d t log t y obteemos ' C log 0 t t log t t Itegrado esta igualdad, y usado que queda Esta igualdad sigifica que eligiedo las costates adecuadas se obtiee el log real para real. La fució J 0 log t t t es aalítica e el semiplao Re 0 y, si evitamos que t se aule, para lo cual tomamos Re c 0,

11 Fució gama.b etoces lim Rec, J 0 E efecto, separamos la itegral e dos J log t 0 t t log t t t E la primera itegral se tiee t y etoces log 4 0 t t t 3 0 log t t E la seguda itegral se tiee y etoces i) para x i y co y 0 se tiee i t y i t x c ii) para x i y co y 0 se tiee i t y i t x c luego e todos los casos t i t i t c y por lo tato log t t t c log t t Como la itegral 0 log t t es covergete, resulta lim J 0. Calcularemos las costates C, C '. Para evaluar C usamos la relació () : log log log log C ' C log log J log log C ' C log log J Restado elimiamos C ' y queda 0 C log log J J Tomado límite, Re 0, como log tiede a (hacer w y w 0) queda C 0. Luego (*) Para evaluar C ' tomamos logaritmo e la fórmula de duplicació : log log log log log y aplicado (*) se obtiee

12 Fució gama.b log C ' log J log C' log J C' log J Luego log C ' log log log log J log log C' log log J C' log log J Simplificado queda log log C' log J J J Tomado límite para, Re 0, como log tiede a, queda log C '. Luego log log log J Expoeciado obteemos la fórmula de Stirlig J Luego lim para Re c 0. Para es J y multiplicado por J Desarrollo asitótico El itegrado que defie a J log t se puede expresar e sucesivas potecias de 0 t t E efecto, desarrollado e serie geométrica fiita se tiee. r k 0 r k r r Si r t y tomado como ejemplo se tiee t t t t t t 3 t 4 3 t

13 Fució gama.b 3 y etoces J 0 log t t 0 t log t t 3 t 4 log 3 0 t t t Calculado se obtiee 0 log t t 0 t log 360 t t Podemos escribir J R 360 4, co R 4 t 4 log t t t Co el mismo argumeto que usamos para probar que lim J 0, Re c 0 obteemos lim Rec, 4 R 4 0 La fórmula de Stirlig se mejora así: R 4 Nota La itegral 0 log t se puede calcular haciedo primero el cambio de variable s t, d s s d t, t 0 log t log s t 0 s lim s Α Α log s 0 s s Desarrollado e Taylor e 0 s Α el logaritmo log s k k sk obteemos Α log s 0 s s k k Αk Utiliado el Teorema de Abel: "Si ua serie k 0 a k es covergete etoces lim x k 0 a k x k k 0 a k " obteemos lim Α k k Αk k k 6 Por u camio similar se obtiee 0 t log 360 t t