6 Laboratori de Física

Transcripción

1 6 Laborator de Físca Aálss de Errores.- Medda y cocepto de error..- Valor aceptado y error absoluto de ua medda Todo proceso de medda es ua apromacó del verdadero valor de lo que se pretede medr (es la estmacó que hace ua o varas persoas valédose de dferetes métodos y/o aparatos). Así, s pretedemos medr ua dstaca, el resultado de la medda va a depeder de varos factores: la sesbldad del dspostvo empleado, el método empleado para llevar a cabo la medda, el propo observador y de u cojuto de factores dfícles de cotrolar que puede orgar alteracoes e el proceso de la medda. Todo ello hace que s realzamos varas meddas éstas o cocda ecesaramete, y etoces cada vez obtegamos u valor. De todas formas, a la hora de epresar el resultado de ua medda, tedremos que especfcar u úco valor umérco. Este valor se cooce habtualmete como valor aceptado de la medda. Debe etederse que el valor aceptado de la medda o cocde co el verdadero valor de la msma, que uca podemos coocer co eacttud. Además, se debe dcar també la certdumbre que la acompaña. Esta certdumbre (que se cooce como error absoluto) os proporcoa ua dcacó sobre cuá cerca está el resultado obtedo del verdadero valor. Así pues, el resultado R de ua medda cotedrá tres elemetos: el valor aceptado de la medda, V A, el error absoluto, ε A, y las correspodetes udades, y se epresa ormalmete de la forma: R (V A ± ε A ) udades. () Por ejemplo, supogamos que el resultado de la medda de ua logtud L es L (36.5 ± 0.7) cm. () Co esta forma de escrbr L dcamos que o coocemos el valor verdadero de L, pero aceptamos como resultado u certo valor V A 36.5 cm. Idcamos també que estamos seguros de que el valor verdadero de L se ecuetra e algú puto del tervalo V A ε A 35.8 cm, V A + ε A 37. cm (véase la Fg. ). Valor Aceptado Valor Verdadero (o se cooce) V - ε A A V + ε A A Fgura. Sgfcado de valor aceptado y error absoluto. E la seccó. se descrbe la forma de asgar valores aceptados y errores absolutos a las meddas obtedas e el laboratoro...- Error relatvo Otro ídce de error muy útl es el error relatvo, que se defe de la forma ε A ε r V 00, (3) A que se epresa e %. Este ídce se terpreta como u crtero de caldad de la medda, depedetemete de la magtud de que se trate. E geeral, los errores absolutos de meddas dferetes o so comparables etre sí. Por ejemplo, magemos que medmos ua logtud L y u tempo t y que los resultados so

2 Aálss de errores 7 L (5. ± 0.4) m, t (4563 ± 6) s. (4) Como se trata de meddas de magtudes dferetes, o sabemos cuál de las dos es más precsa. Para poder compararlas, usamos el error relatvo. Aplcado la ecuacó (3), se obtee: ε r (L) ε r (t) %, %, (5) de lo que deducmos que, e térmos relatvos, la medda de t es más precsa que la de L..3.- Fuetes de error Los errores de las meddas se clasfca, de acuerdo co los motvos que los orga, e sstemátcos (ε ss ) y accdetales (ε acc ). Los prmeros so orgados por defectos del método o del aparato de medda y sempre actúa e el msmo setdo. So evtables y realmete se trata de equvocacoes, ya que es ua equvocacó utlzar u método adecuado o u strumeto defectuoso. Por ejemplo, magemos que se pretede medr u tempo cuyo valor verdadero (V V ) es de 8.4 s. Imagemos que el croómetro que se utlza adelata. S, guados por uestra cofaza e el croómetro, lo utlzamos para efectuar tres meddas, obtedríamos probablemete valores semejates a los sguetes ª medda t 9. s ª medda t 9.5 s 3ª medda t s Represetado estos resultados e u eje horzotal, obtedríamos el resultado que se muestra e la Fg V V t t 3 t t (s) Fgura. Ejemplo de error sstemátco E esta fgura aprecamos que las tres meddas se desvía e la msma dreccó y que la formacó que obteemos está falseada, ya que los valores obtedos o os da ua dcacó de por dóde se ecuetra el valor verdadero. Por el cotraro, los errores accdetales o se puede evtar cotrolar y procede de ua multtud de causas sobre las que o se puede actuar. So fortutos y por lo tato se produce al azar. Esto o debe desamaros, ya que, como o actúa e el msmo setdo, se "compesa", y da lugar a u resultado que proporcoa ua formacó valosa de por dóde se ecuetra el valor verdadero de la magtud. A modo de ejemplo, supogamos ahora que pretedemos medr la aceleracó de la gravedad, g, a partr del tempo que verte u móvl e recorrer ua altura h, e caída lbre, utlzado la ecuacó h g t, (6) dode t es el tempo de vuelo de la caída lbre. Para ello, la epereca cosstrá e medr el tempo t utlzado u croómetro. Obvamete, la precsó de uestras meddas depederá de uestra habldad e hacer cocdr los tempos de salda y llegada del móvl co los de puesta e marcha y parada del croómetro, respectvamete. Parece lógco pesar que e uos casos uestra accó de poer e marcha el croómetro se adelatará a la de la

3 8 Laborator de Físca salda del móvl, metras que e otros casos se retrasará. Algo smlar sucederá co la accó de deteer el croómetro y la llegada del móvl. Así, s magamos que el verdadero valor del tempo de vuelo es 4.45 s, parece razoable pesar que e uos casos ecederemos este valor, metras que e otros os quedaremos cortos. Ua muestra de tres meddas realzadas podría ser: ª medda t 4.66 s ª medda t 4.54 s 3ª medda t s Hacedo uso de ua represetacó semejate a la utlzada e el ateror ejemplo, ua stuacó como la esquematzada e la Fg t 3 V V t t t (s) Fgura 3. Ejemplo de error accdetal Ahora aprecamos que, como habíamos dcado aterormete, los errores accdetales actúa e dferetes setdos, de forma que el tervalo de meddas, a dfereca de lo que sucedía co el ejemplo ateror, cotee al verdadero valor. Por todo ello, los errores más pelgrosos so los sstemátcos, ya que e el caso de errores accdetales es de esperar co gual probabldad que uas veces el resultado de la medda sea superor al verdadero valor y que otras veces sea feror a él, por lo que algú tpo de valor medo será ua buea apromacó del verdadero valor de la medda. Puede demostrarse que la depedeca fucoal del error accdetal co el úmero de meddas efectuadas sgue ua ley del tpo. Error accdetal ε acc α. (7) Esto sgfca que aumetado el úmero de meddas podemos reducr la certdumbre tato como queramos (auque este hecho supoe vertr mucho más tempo e el proceso de medda). De lo epuesto aterormete, y ecludos los errores sstemátcos, puede parecer a prmera vsta que el error o certdumbre puede hacerse ta pequeño como se quera, y aumetar así la eacttud de las meddas realzadas, s más que aumetar el úmero de meddas realzadas. S embargo, cada aparato de medda tee ua sesbldad determada (mímo valor aprecable de la magtud a determar). Por ello, la reduccó de los errores aterores o os elmará la mprecsó de la sesbldad del aparato, coocda habtualmete como error de escala, ε esc. E geeral se suele asumr que el error global que afecte a ua medda está coformado por las tres fuetes de error ctados y, por lo tato, el error total e el caso más desfavorable se cosderará la suma de los tres errores. S embargo, e geeral covedrá sempre realzar la epereca habedo elmado los errores sstemátcos por lo que etoces e el error total sólo cotrburá el error de escala y el error accdetal..4.- Regla de redodeo de úmeros. Cfras sgfcatvas Dado el sgfcado de cota de mprecsó que tee el error absoluto, éste o se debe epresar uca co más de ua cfra sgfcatva dstta de cero, salvo cuado la prmera de ellas sea u (0,,..., 9), e cuyo caso se añadrá la sguete cfra sgfcatva. Etederemos como cfras sgfcatvas de u úmero a todas las cfras,, 3,..., 9, que etra e este úmero así como el cero, s éste se ecuetra e medo del úmero o a la derecha del msmo. Además, e todos los casos cremetaremos la últma cfra sgfcatva o trucada e ua udad s la prmera cfra elmada es mayor o gual que 5.

4 Aálss de errores 9 Además, el valor aceptado de la magtud debe teer sólo las cfras ecesaras para que su últma cfra sgfcatva ocupe la msma poscó decmal que la últma del error absoluto. Ejemplo: Epresa correctamete los sguetes datos epermetales: a).34 ± 0.57 d) ± b) 3.48 ± e) 6.3 ± c) 688 ± 55 f) ± Teedo e cueta las reglas aterores, el error del caso a) tedrá que epresarse co dos cfras sgfcatvas ya que la prmera de ellas es u. Así, el error tedrá que escrbrse como ± 0.6, puesto que la seguda cfra sgfcatva ha sdo redodeada por eceso al ser la tercera mayor que 5. Además, el valor aceptado de la magtud solamete puede coteer dos cfras decmales atededo a la poscó decmal que ocupa la últma cfra sgfcatva del error co lo cual habremos de escrbr.3 ± 0.6. El error del caso b) tee cuatro cfras decmales, de las que sólo tres so sgfcatvas. Como la prmera es u, teemos que dejar sólo ua. Puesto que la sguete es u tres, que es meor que cco, el error queda smplemete ± 0.0. Después ajustamos el valor aceptado, dejádolo co el msmo úmero de cfras decmales que el error. Tedremos que "cortar" a partr del uo, pero como la cfra sguete es u 8 (que es mayor que 5), teemos que redodear el a. Por esta razó, la escrtura correcta del caso b) es 3.4 ± 0.0. Ejercco: Sguedo u proceso aálogo, obtégase el resultado para el resto de casos del ejemplo ateror..- Cálculo de errores E este apartado veremos cómo asgar el valor aceptado y el error a las meddas epermetales. Dstguremos dos tpos de meddas: drectas e drectas. Las meddas drectas so el resultado de la comparacó de ua certa magtud que se desea medr co otra estádar (udad) de la msma aturaleza, empleado u strumeto de medda más o meos complejo. Metras que las meddas drectas so las obtedas medate el uso de ecuacoes que volucra valores de meddas drectas...- Error de escala de ua medda drecta Partremos de los supuestos de los errores sstemátcos ha sdo elmados y de que los errores accdetales so desprecables. De este modo, la úca fuete de error a cosderar será la precsó del aparato empleado para realzar la medda. E cualquer caso, tomaremos como valor aceptado de la medda la lectura del aparato. Cualquer aparato o dspostvo de medda tee ua precsó lmtada. Por ejemplo, co ua regla graduada comú o se puede aprecar décmas de mlímetro, ya que la meor dvsó correspode a mlímetros. Así pues, al efectuar ua medda teemos, como mímo ua certdumbre que correspode a la sesbldad del aparato, que deomamos error de escala (ε esc ). E los dspostvos más smples, tales como la mecoada regla graduada o u termómetro de columa de mercuro, es muy fácl asgar el error de escala: correspode a la meor dvsó de la escala. Ejemplo: Imagemos que estamos realzado ua epereca e el laboratoro e el que ecestamos coocer la temperatura de u fludo e u state determado. E el laboratoro, sólo se dspoe de u termómetro de mercuro de 0.5 ºC de sesbldad, y a la hora de realzar la medda os ecotramos co la lectura que aparece e la Fg. 4. E la fgura vemos que el error de escala es 0.5 ºC, y la lectura es 7.5 ºC. Luego la medda la epresamos como: T (7.5 ± 0.5) ºC. 9 o C Fgura 4. Asgacó del error a medda drecta 5 Ahora be, e dspostvos más complejos, tales como strumetos electrócos, puede terver dversos factores e el error de ua medda. E tales casos, el fabrcate sumstra ua sere de especfcacoes

5 0 Laborator de Físca para determar este error de cada medda, e fucó de cómo ésta haya sdo realzada, y es ecesaro ateder a estas struccoes para determar ese error. Por ejemplo, e el caso de polímetros eléctrcos, los errores báscos a teer e cueta se debe a la propa mprecsó del aparato (que cosste e u certo % de la lectura) y al redodeo que efectúa el aparato, debdo a que la patalla preseta u úmero de dígtos lmtado. Geeralmete, el fabrcate dará ua tabla e la que especfca el error que se comete e fucó del rago o fodo de escala escogdo (mámo valor posble de la lectura) y de la resolucó (mímo valor absoluto, dstto de 0, que puede marcar el aparato co el rago escogdo). Este error vedrá dado, típcamete, como suma de u % de la lectura y ua certa fucó de los dígtos de resolucó. E la Tabla se muestra las especfcacoes del fabrcate para varos polímetros Hewlett-Packard. Ejemplo: Al medr ua correte cotua (dc curret) I co u polímetro HP E378A, usado u fodo de escala de 300 ma, se obtee ua lectura de 65. e la patalla. Ecuetra el valor de la medda I co su error. Emplea para ello las especfcacoes que fgura e la Tabla. Fucto Rage Resoluto Accuracy (%rdg + umber of dgts) dc voltage 300 mv 3 V 30 V 300 V 000 V 0.00 mv 0.00 V 0.0 V 0. V V 0.3 % % % % % + ac voltage 3 V 30 V 300 V 750 V dc curret 300 µa 3 ma 30 ma 300 ma 0 A ac curret 300 µa 3 ma 30 ma 300 ma 0 A Resstace 300 Ω 3 kω 30 kω 300 kω 3 MΩ 300 MΩ 0.00 V 0.0 V 0. V V 0. µa 0.00 ma 0.0 ma 0. ma 0.0 A 0. µa 0.00 ma 0.0 ma 0. ma 0.0 A 00 mω Ω 0 Ω 00 Ω kω 0 kω Tabla : Especfcacoes téccas del polímetro HP E378A..0 % % % % % +.0 % +.0 % +.5 % +.5 % +.0 % % % % % % % % % % +.0 % + E la columa que da la precsó (Accuracy) vemos que co el fodo de escala (Rage) de 300 ma el error cosste e u.5% de la lectura más dígtos. El.5% de 65. es.48. Por otra parte, co el fodo de escala de 300 ma la resolucó es de 0. ma, ya que la salda de patalla es de 4 dígtos. Esto vee també dcado e la tabla (columa Resoluto). Por tato, u dígto de resolucó correspode a 0. ma, y dígtos so 0. ma, de modo que el error total es: ε ma ( ) ma.68 ma 3 ma, e dode se ha efectuado el redodeo. Así pues, la medda debe darse como I (65 ± 3) ma. Ejercco: Al medr ua ressteca (Resstace) R co u polímetro Hewlett-Packard E378A, empleado u fodo de escala de 30 kω, se obtee ua lectura de 6.45 e la patalla. Ecuetra el valor de la medda de R...- Error de ua magtud medda drectamete al realzar u úmero de meddas E esta ocasó, partremos de los supuestos de que hemos sdo capaces de elmar los errores sstemátcos y de que trabajaremos co u strumeto de medda de ua gra sesbldad. De este modo, los úcos errores que afectará a uestras meddas epermetales será los errores accdetales.

6 Aálss de errores Supogamos que hacemos u úmero de meddas de ua msma catdad obteedo los valores,, 3,,, que dfere etre ellos como cosecueca de la úca flueca de los errores aleatoros. Obvamete se os platea dos cuestoes: a) qué valor tomamos como medda de esa catdad?, y b) cuál debe ser el ídce de error que se debe asocar a esa catdad?. Respecto a la prmera preguta, parece bastate razoable tomar el valor medo de todos los datos como mejor valor (m v ). Esto es debdo a que s los errores so al azar ta probable es que ocurra por eceso como por defecto y al hacer la meda quedará compesados (s se dspoe de u úmero sufcete de meddas). El valor medo, o meda, está defdo de la sguete maera: m. (8) Queda ahora por respoder a la seguda preguta, qué error se tomará para la magtud?. E prcpo parece bastate apropado tomar como ídce de error u úmero que de algú modo mda la dspersó de los datos e toro al valor medo. Obvamete la desvacó co respecto al valor medo se puede coocer a partr de las dferecas etre cada dato dvdual y la meda, ( ). Pero estas dferecas so postvas para uas meddas y egatvas para otras, de maera que el valor medo de estas dspersoes, la desvacó meda d, es ulo, es decr, d ( ) 0. Por ello, para estmar la desvacó meda evtado que se compese uas desvacoes co otras, covee tomar valores absolutos e la forma sguete d. (9) De la epresó ateror se observa que la desvacó meda y, por lo tato, el error va a depeder a su vez del valor medo. Esto os permte elegr u crtero más objetvo que el utlzado aterormete a la hora de determar el mejor valor. Este crtero podría ser escoger como mejor valor, m v, aquél que mmce la desvacó meda de las meddas e toro a él. E térmos matemátcos, el mejor valor ha de mmzar la catdad u u m v. (0) De esta forma, el mejor valor sería aquél que dstara meos de todos los datos. Matemátcamete, este problema se resuelve determado el valor m v que aula la prmera dervada respecto de m v de la fucó ateror. S embargo, este dfcultades matemátcas a la hora de determar la dervada de ua fucó afectada de u valor absoluto. Ua forma de evtar este problema es trabajar co ua fucó dferete que cotúe dado formacó sobre la dspardad de las meddas, pero dervable e el tervalo egdo. Por ello se suele trabajar co ua fucó, u, que proporcoa el valor medo de los cuadrados de las desvacoes, es decr, u ( m ) v. () Co esta ueva fucó desaparece los coveetes matemátcos aterores. S aplcamos, ahora que podemos, el crtero de elegr u mejor valor m v que mmce la fucó u (a este crtero se le deoma crtero de Gauss), obteemos

7 Laborator de Físca du dm v mv y despejado m v se tee m ( - mv ) v m v 0, (), (3) obteedo así que el valor que hace míma la suma de las dspersoes al cuadrado es, precsamete, la meda artmétca de las meddas obtedas. Por ello, de aquí e adelate admtremos que el mejor valor m v de u cojuto de meddas es el valor medo, també deotado o m. Además, ua adecuada medda de la dspersó de los datos vedrá dada por la sguete epresó ( ) σ ( ), (4) que recbe el ombre de varaza o desvacó cuadrátca meda. Algo más parecdo a la desvacó meda es la raíz cuadrada postva de la varaza ( ) σ( ), (5) que recbe el ombre de desvacó típca, o desvacó estádar (e la bblografía se suele epresar como SD, stadard devato). Cuado es pequeño, la desvacó estádar suele deotarse como σ (), o smplemete s(), defda e la forma ( ) σ ( ) s( ), (6) fudametalmete por dos razoes: a) Porque, auque el úmero de meddas es, el úmero de grados de lbertad es ya que las meddas está relacoadas por la ecuacó (3), que costtuye ua ecuacó de lgadura y que por tato reduce e uo el úmero de grados de lbertad cales. b) Porque esta ueva defcó asga ua desvacó estádar determada (error determado) para el caso de ua sola medda, metras que la ateror asgaba ua desvacó estádar ula, y lo prmero parece más apropado. E geeral, el parámetro σ() o, e su caso, s(), represeta la dspersó de la muestra, es decr, ua espece de desvacó meda de los valores respecto del valor medo. De este modo, proporcoa la probabldad de ecotrar ua medda detro del tervalo defdo por ± σ(). Pero s queremos tomar el valor medo como resultado de la medda, os teresa más defr u parámetro que os eprese la probabldad de ecotrar el valor verdadero, V V, detro del tervalo de error. Para ello, supogamos que realzamos para ua msma magtud, sujeta ta solo a errores aleatoros, varos grupos de observacoes de ua m msma medda. Como se puede supoer, los valores medos obtedos para cada grupo,,,...,, o cocdrá, pero ellos, al gual que los valores de las meddas realzados, se stuará també alrededor del V V, auque es posble demostrar que dspuestos alrededor de éste de forma que su dspersó es más pequeña que la que correspode a las meddas, tal y como se muestra e la Fg. 5. A la dspersó que afecta a los valores medos la represetaremos por σ( ) o σ µ, y es posble demostrar que se ecuetra relacoada co la dspersó de los valores de la muestra medate la epresó σ ( ) σ ( ) σµ,

8 Aálss de errores 3 V V dspersó de ua muestra V V dspersó de los valores medos m 3 Fgura 5. Estmacó de la dspersó del valor medo es decr, σ( ) σ ( ) σµ. (7) Como podemos observar, la dspersó del valor medo se puede reducr tato como se quera smplemete aumetado el úmero de meddas realzadas e la muestra puesto que σ µ es versamete proporcoal a /. E deftva, la estmacó del error ε de la medda estará basado, e geeral, e la desvacó estádar de la meda. U crtero habtual es tomar como error el doble del valor de la desvacó estádar de la meda, es decr: σ( ) ε ( ) σ( ). (8) Para eteder que grado de certdumbre e la determacó de la medda proporcoa este cálculo del error puede hacerse la sguete dscusó. Sempre que la medda de ua magtud,, esté sujeta a u comportameto aleatoro, se observa que, e el caso e que se realce u úmero muy elevado de meddas, los valores obtedos se dstrbuye de acuerdo co ua fucó de dstrbucó deomada dstrbucó ormal y que vee represetada e la Fg.6a. frecueca frecueca a) b) σ() σ() V V V V Fgura 6. Represetacó gráfca de la dstrbucó ormal: a) para u cojuto de datos de u epermeto, b) para los valores medos resultado de varos epermetos. La fucó de dstrbucó ormal proporcoa la probabldad de que al realzar ua medda de la magtud se obtega u determado valor. E este setdo, e el supuesto teórco de que se pudese efectuar u úmero lmtado de meddas de la magtud, el valor de la dstrbucó ormal e u determado valor de la varable proporcoa la probabldad de obtecó de dcho valor. S embargo, e ua epereca real el úmero de meddas que puede realzarse es lmtado y por lo tato obtedríamos u cojuto dscreto de valores que se ubcaría a lo largo de la curva de la Fg. 6a. S fuese los valores medos de cada muestra los que se represetara frete a la frecueca obtedríamos ua dstrbucó semejate a la que se represeta e la Fg. 6b que resulta ser más estrecha que la dstrbucó represetada e la Fg. 6a. Esto sgfca que la dspersó de los valores medos es meor que la de las meddas (e u factor versamete proporcoal a / tal y como ha sdo establecdo aterormete). La fucó de dstrbucó Normal, o de Gauss, es perfectamete coocda y se ecuetra tpfcada y tabulada. Así podemos coocer el úmero de meddas del valor medo cuyos valores queda compreddos detro de u tervalo específco. Puede demostrarse que este u 3.7% de probabldad de que al realzar ua medda de ésta se aparte del V V ua catdad superor a σ( ); s embargo la

9 4 Laborator de Físca probabldad de que el resultado obtedo dfera del V V e ua catdad superor a σ( ) es sólo del 4.6%. La probabldad de que la medda dfera e más de 3σ( ) del V V es muy baja, ta solo el 0.3%. De este modo, el crtero para la medda del error que hemos establecdo co la ecuacó (7) mplca que la probabldad de que el valor verdadero de la medda, Vv, se ecuetre detro del tervalo ± σ( ) es del 95%. Ejemplo : Se ha llevado a cabo la medda de la ressteca de ua boba, obteédose los sguetes valores. Determad el valor estmado de la ressteca de la boba, así como las dspersoes σ - () y σ( ) del cojuto de meddas. Epresad el valor de la medda de R co su error. ressteca (Ω) ressteca (Ω) Como hemos dcado aterormete, tomamos como valor estmado el valor medo R, esto es: R ( ) R 5.6 Ω 9 s( R) ( R - - R ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8 +( ) +( ) +( ) Ω 8 σ( s( R) ) 9 R 0.00 Ω ε ( ) σ( R) R Ω E deftva, el valor estmado de R co su error es: R R ± ε(r) 5.6 ± Ω.3.- Orgagrama del proceso de medda. Co el f de ser operatvos e el laboratoro a la hora de realzar ua medda drecta, y para que srva de recetaro, propoemos el sguete orgagrama del proceso de medda drecta: ) E prmer lugar corregremos y elmaremos cualquer error sstemátco que pueda afectar a la epereca que realzamos y al proceso de medda. De esta forma ta solo tedremos que cosderar los posbles errores accdetales y la sesbldad del strumeto utlzado e la medda. ) Determaremos la sesbldad del strumeto que utlzamos para medr, a la que deomaremos error de escala ε esc. ) v) Efectuaremos calmete 3 meddas. E el caso de que todas ellas cocda se tomará como valor de la magtud el valor obtedo y como error el de escala del strumeto utlzado. E caso cotraro, cotuaremos co el resto de los pasos del orgagrama. Determaremos su valor medo, la dspersó de las meddas s() y la dspersó de su valor medo s( ). v) S algua de las meddas obtedas es tal que > s(), la rechazaremos, etededo por lo que hemos epuesto hasta ahora que su elevada dspersó o se debe a causas accdetales; por ello,

10 Aálss de errores 5 v) v) procederemos a realzar otra medda que la susttuya, calculado para la ueva muestra sus correspodetes valor medo, dspersó de las meddas s() y dspersó de la meda s( ). Compararemos el doble de la dspersó del valor medo s( ), co el error de escala del aparato ε esc, y procederemos de la sguete forma: a) S s( ) >> ε esc efectuaremos 3 meddas más y volveremos al paso v). b) S s( ) ε esc o realzaremos más meddas, y tomaremos como error el mayor de los dos ídces comparados: s( ) o ε esc. Tomaremos como valor de la medda el valor medo, y como ídce de error el mayor de etre s( ) y el ε esc epresado el resultado fal e la forma: ± s( ), o be: ± ε sc segú el caso, dcado e cualquera de ellos las udades que hemos utlzado. Ejemplo:. Medda del perodo de u pédulo co u croómetro que apreca 5 cetésmas de segudo Aplcado el orgagrama ateror, debemos llevar a térmo los sguetes pasos: ) Elmamos errores sstemátcos posbles: a) Comprobamos, que el croómetro que vamos a utlzar o atrasa adelata. Para ello comparamos su fucoameto co otro "reloj" cuyo fucoameto sea correcto. b) Para gaar precsó e lugar de medr el tempo de ua osclacó, medmos el de 50 osclacoes de forma que s troducmos u error e el proceso de medda, éste tedrá meos peso c) Scrozamos (maual o electrócamete) los mometos de puesta e marcha y parada del croómetro co los de co de la prmera osclacó, y la falzacó de la osclacó 50 del pédulo respectvamete. d)evtamos corretes de are u otras causas que pueda perturbar de forma otora la trayectora del pédulo. ) Tal como se ha epresado aterormete el error de escala del aparato cocde co la sesbldad del croómetro utlzado, esto es: ε esc 0.05 s. ) Realzamos tres meddas para 50 osclacoes e los tres casos. Supogamos que obteemos: s, 96. s, s. v) Calculamos los parámetros, s() y s( ), y obteemos s ( ) ( ) s, ( ) + ( ) + ( ) 0.68 s, s s ( ) ( ) s. 3 v) E este caso gua medda dfere del valor medo e ua catdad superor a s() s, luego o es ecesaro desestmar gua de las meddas que hemos realzado. v) Comparamos s( ) co el error de escala del aparato y vemos que s( ) 0.94 s, y que ε esc 0.05 s, por lo tato s( ) >> ε esc. Ello sgfca que debemos aumetar el úmero de meddas, hacer 3 meddas más, y retorar a v). Supogamos que al hacer las tres meddas, la muestra completa queda de la sguete maera s, s, 96. s, s, s, s. Al calcular ahora, s() y s( ), utlzado las ecuacoes (3), (5) y (6) respectvamete, obteemos s,

11 6 Laborator de Físca s().5583 s, s( ) s. Volvemos a aplcar v) y vemos que la medda 6 dfere del valor medo calculado e más de s() (efectvamete > ). Por tato desestmamos la medda 6 y realzamos ua ueva medda. Supogamos que después de realzar la medda la muestra queda de la sguete maera: s, s, 96. s, s, s, s. De acuerdo co el orgagrama volvemos al puto v), y calculamos de uevo, s() y s( ), obteedo: s, s() s, s( ) Ahora vemos que o este gú valor que se desvíe del valor medo e ua catdad superor a s(), lo que sgfca que o hay que susttur gú valor de la muestra, de acuerdo co el crtero v). A cotuacó volvemos (segú el puto v) a comparar los valores del error de escala y de s( ) y obteemos: s( ) s, ε esc 0.05 s, co lo que s( ) y ε esc, so del msmo orde, lo que sgfca que o hay que realzar más meddas, y dado que s > 0.05 s tomaremos como ídce de error s( ). v) El valor fal de la medda (el tempo que verte el pédulo e realzar 50 osclacoes) se epresa como t (96.3±0.09) s. De esta forma el perodo es (ver errores de meddas drectas e el capítulo 3): T t 50 (.96 ± 0.008) s..4.- Error de ua medda drecta Es usual que ua magtud físca o se determe drectamete co ua medda, so a través de ua fórmula, gráfca, tabla, es decr, a partr de otras magtudes (que a su vez habrá sdo meddas drectamete o o). Se habla etoces de ua medda drecta. Por ejemplo, podemos usar la logtud y el período de las pequeñas osclacoes de u pédulo para determar la aceleracó de la gravedad g, que e tal caso se habrá meddo drectamete. Obvamete, la precsó co que se ha determado g depederá de algú modo de la de la logtud y el período. Ejemplo: Para eteder mejor este efecto de "propagacó" de los errores, cosderemos u ejemplo geométrco. Normalmete, o medmos drectamete el área S de u rectágulo, so que determamos la logtud de cada lado a y b, y usamos la epresó S a b. Como la medda de S o es drecta, hay que asgarle algú error a partr de los errores ε a y ε b. Es fácl darse cueta de que el valor verdadero de S estará, co segurdad, compreddo etre los dos valores sguetes: (a + ε a ) (b + ε b ) a b + (b ε a + a ε b ); (a ε a ) (b ε b ) a b (b ε a + a ε b ), e dode se ha desprecado el térmo pequeño ε a ε b. Así pues, es atural escrbr el resultado como S a b ± ε S ; ε S b ε a + a ε b. Los dos métodos más utlzados para calcular el error de ua medda drecta so los coocdos como método de los logartmos y método de las dervadas parcales. Veamos por separado cada uo de estos métodos.

12 Aálss de errores 7 El método de los logartmos El resultado del ejemplo ateror os recuerda la regla de dferecacó del producto. De hecho, sempre que la fórmula para determar la magtud R sea de la forma R ax b Y c, (9) sedo a, b, c... costates y X, Y... las magtudes de partda co error coocdo, puede emplearse u algortmo rápdo de determacó del error, que cosste e tomar logartmos eperaos e la ecuacó cal l R l a + b l X + c l Y, (0) dferecado a cotuacó, dr dx dy b + c, () R X Y y cosderado que la "regla de propagacó de errores" cocde co la "regla de propagacó de dferecales", co lo que falmete se obtee ε R ε X ε Y b + c, () R X Y es decr, ua epresó para el error relatvo de R e térmos de los errores relatvos de las magtudes de partda. E la ecuacó () se ha escrto el módulo de cada sumado para teer e cueta el hecho de la propagacó de errores sempre es adtva. Ejercco: Obtégase el resultado del ejemplo ateror empleado el método de los logartmos. Ejemplo: El perodo de las pequeñas osclacoes de u pédulo smple de logtud l (. ± 0.) cm es de T (0.943 ± 0.006) s. Qué valor de la aceleracó de la gravedad g puede aceptarse a partr de estos datos? Cosderado el pédulo como u osclador armóco smple, podemos emplear la coocda relacó g 4 π, T de dode resulta g 4 π 0. m ( s) 9.8 m/s. Tomado logartmos, dferecado y susttuyedo dferecales por errores obteemos εg εl εt g l T , Sabemos así que la costate g se ha determado, apromadamete, co u % de error. El error absoluto de g es por tato ε g 0.07 (9.8 m/s ) 0.7 m/s, co lo que el valor que se acepta para g resulta ser g (9.8 ± 0.7) m/s Como acabamos de ver co este ejemplo, el método de los logartmos es muy secllo de emplear. Por esta razó, lo usaremos sempre que sea posble. S embargo, como o todas las ecuacoes so de la forma (9), este stuacoes e las que o es posble hacerlo (por ejemplo, e el caso muy comú de que aparezca sumas). E estos casos, se puede emplear el método de las dervadas parcales, que pasamos a descrbr a cotuacó.

13 8 Laborator de Físca Método de las dervadas parcales Supogamos que ua magtud R depede de otras magtudes X, Y,..., de las que se cooce sus valores aceptados y sus errores, a través de ua fucó arbtrara de la forma R R( X, Y,...). (3) Dferecado la epresó ateror, obtedremos dr dr dr dx + dy +... (4) dx dy De u modo smlar a como se procedó e el método de los logartmos, se supoe ahora que la "regla de propagacó de errores" cocde co la "regla de propagacó de dferecales", es decr, se susttuye los dferecales e la ecuacó (4) por los respectvos errores absolutos. S embargo, después de hacer esto debe tomarse el "módulo" de ε R y cosderar que el módulo de la suma es gual a la suma de los módulos. Así, la epresó fal para el error drecto (que admte ua deduccó rgurosa) es ε R dr dr ε X + εy +K (5) dx dy Ejemplo: Determíese el valor que debe aceptarse para g, determada co los datos del Ejemplo ateror, s se emplea el procedmeto de las dervadas parcales. Aplcado la epresó geeral (4) a la ecuacó para g, se obtee dg dg + +K dl dt ε ε ε g l T π π π l 8π 0. ε l + ε 3 T T T Por tato, el valor aceptado para g es ahora g (9.8 ± 0.7) m/s El método de las dervadas parcales es completamete geeral, y por ello puede també utlzarse e los casos e que es posble emplear el método de los logartmos. Isstremos de todas formas e que, como hemos vsto e el ejemplo ateror, el método de las dervadas parcales colleva u proceso de cálculo más laboroso que el de los logartmos. Por ello, y debdo a lo cómodo que resulta su empleo, utlzaremos el método de los logartmos e los casos e los que pueda llevarse a cabo. 3. Represetacoes gráfcas y tablas 3..- Normas para la represetacó gráfca de datos epermetales El método gráfco es muy coveete e tutvo para represetar los datos epermetales. Al estudar ua depedeca fucoal cualquera, es coveete escrbr los resultados e forma de tabla, dode a cada valor de u parámetro correspode u valor determado de otro parámetro y. Normalmete, covee també costrur la gráfca correspodete a esta tabla. Para cocretar, magemos que los valores que ha resultado de u epermeto e el cual se ha determado la dfereca de potecal, V, etre los etremos de u codesador, y, e fucó del tempo,, cuado se coloca el codesador e u crcuto de correte cotua que cotee ua ressteca de valor coocdo, so

14 Aálss de errores 9 y[v (V)] [t (s)] S se toma el sstema de coordeadas rectagulares y se traza por el eje de ordeadas los valores del voltaje, y por el eje de abcsas los valores del tempo, se obtee u sstema de putos e el plao (ver Fg. 7) Descarga de u codesador Voltaje (V) tempo (s) Fgura 7. Ejemplo de represetacó gráfca de resultados epermetales. Las gráfcas debe elaborarse sguedo los sguetes crteros: Cada gráfca que elaboremos cotará, como e el ejemplo ateror, co u breve título que se refera a la epereca físca a la que correspode los datos. Alteratvamete, puede r acompañada de u pe de fgura umerado, e el que se aparezca éste u otro tpo de formacó (descrpcó de dferetes símbolos utlzados, codcoes de medda,...). Por su parte, el título de cada uo de los ejes cotedrá la formacó sobre la magtud represetada y las udades e la que se epresa. La escala de los ejes será la adecuada para que los putos ocupe el mámo espaco e la gráfca. Las dvsoes del eje, regularmete espacadas, dcará el valor correspodete, pero o así las posbles subdvsoes. La escala o tee por qué comezar e las coordeadas (0,0), ya que e muchos casos covee trasladar el orge a u puto arbtraro para utlzar totalmete el área de la gráfca. E el caso de estr dferecas de varos órdees de magtud e los valores de los datos represetados, covee adoptar ua escala logarítmca e vez de leal. Como orma geeral, e la gráfca ha de ser claramete aprecables los putos epermetales y para ello se dca drectamete e la gráfca el error de las coordeadas del puto, trazado por él ua líea vertcal y otra horzotal, de modo que la dstaca del puto hasta los etremos de estas líeas es gual al error e la correspodete coordeada (ver Fg. 7) Iterpolacó e ua gráfca Es frecuete que se eceste obteer valores de alguas magtudes físcas a partr de gráfcas. Así, por ejemplo, cosdérese el caso ateror e que teemos ua gráfca que represeta los valores de la dfereca de potecal etre los etremos de u codesador e fucó del tempo para u crcuto de correte cotua RC. Nuestro objetvo será determar el valor del voltaje, V, para u determado valor del tempo o cocdete co guo de los tabulados para la costruccó de la gráfca. Para ello se localzará sobre el eje de abcsas dcho valor temporal, t, y se represetará sobre él co su correspodete tervalo de error [t ε t, t+ε t ]. A cotuacó se trazará sobre el valor de t y los etremos del tervalo de error sedos segmetos

15 0 Laborator de Físca paralelos al eje de ordeadas hasta determar su puto de terseccó co la gráfca que represeta V e fucó del tempo, tal y como se muestra e la Fg. 8. A partr de dcho puto de terseccó se trazará ahora segmetos paralelos al eje de abcsas y se determará su puto corte co el eje de ordeadas. El valor de V se obtee como el valor leído sobre el eje de ordeadas para el puto de corte que parte del valor de t metras que el error de V se obtedrá como la semdfereca del tervalo de error que aparecerá sobre el eje cosderado, es decr, como ε V (V M V m )/, ver Fg Descarga de u codesador 5.0 Voltaje (V) V V M V m t - ε(t) t + ε(t) 0.0 t tempo (s) Fgura 8. Iterpolacó e ua gráfca y determacó del tervalo de error Iterpolacó leal e ua tabla. Es frecuete que se eceste obteer valores de alguas magtudes físcas a partr de tablas umércas. Nosotros vamos a cosderar el caso de tablas de smple etrada que so aquéllas e que la varable depedete, y, es sólo fucó de ua varable depedete,, es decr, y f(). Así, por ejemplo, cosdérese el caso e que aparece tabulados los valores de la vscosdad del agua, η, medda e cetposes para dferetes temperaturas, T, meddas e grados cetígrados, tal y como se muestra e la sguete tabla [T(ºC)] y[η(cp)] Nuestro objetvo será determar el valor de y (que para el ejemplo propuesto es la vscosdad del agua) para u determado valor de, e uestro caso la temperatura. E el caso e que el valor de cocda co alguo de los valores de la tabla se tomará como valor de y el valor tabulado y se asgará u error de ± e la últma cfra decmal que aparezca tabulada. Así, e el ejemplo propuesto s os preguta cuál es el valor de la vscosdad del agua para ua temperatura de 0ºC, la respuesta sería que ésta es η (.3037 ± 0.000) cp. Estamos ahora teresados e ecotrar el valor de y para u valor de o cludo eactamete e la tabla. Para ello, se comeza por ecotrar aquellos valores de etre los que se ecuetra uestro valor o tabulado. De este modo, la tabla presetará etoces la forma y y

16 Aálss de errores Cosderado que para el tervalo de a la epresó y f() puede asmlarse a ua recta, podremos escrbr + y y y y ), (6) ( que permtrá determar y e fucó de o vceversa. Aplcado, por ejemplo, el método de las dervadas parcales el error de y, ε(y), vedrá dado por la epresó ε y y y ε. (7) Así, s e el ejemplo propuesto estamos teresados e coocer el valor de la vscosdad del agua a ua temperatura de ( ± ) ºC, aplcado las epresoes aterores resulta para él u valor η ( 0).3698 cp, (8) 5 0 co u error de ε η cp, (9) 5 0 co lo cual, epresado correctamete, resultaría η (.4 ± 0.03) cp. 4.- Ajuste leal por mímos cuadrados 4..-Ajuste de ua recta por mímos cuadrados E u apartado ateror os hemos ocupado de la maera de obteer el mejor valor de ua magtud a partr de ua o varas meddas o cojutos de meddas. U problema dferete es determar la relacó fucoal etre dos magtudes e y como resultado de u epermeto. Supogamos que, por razoes teórcas be fudadas, sabemos que etre e y este la relacó leal y a + b, (30) y estamos teresados e determar los mejores valores de los parámetros a y b compatbles co u cojuto de meddas y correspodetes a los valores, també epermetales,. Para cocretar, magemos que los valores que ha resultado de u epermeto e el cual se ha determado la dfereca de potecal etre los etremos de ua ressteca (y ), cuado la recorre corretes de dferete tesdad ( ) so los sguetes y (V) (A) Como la relacó estete etre los datos epermetales es leal (ley de Ohm).. La forma más smple de resolver uestro problema es utlzar u método gráfco. Represetaremos para ello los resultados epermetales tal y como muestra la Fg. 9. El método más medato para evaluar los valores de a y b cosste e dbujar "a ojo" la recta que "parece acercarse lo mámo posble" a los putos epermetales. Decdda la recta la evaluacó de su pedete a y su ordeada e el orge b es medata (a tg α y b es el puto de corte de la recta co el eje de las ordeadas). Así para el caso partcular que os ocupa obtedríamos y ,

17 Laborator de Físca V(V) α b I(A) Fgura 9. Represetacó gráfca del voltaje e fucó de la tesdad S embargo, este método es muy subjetvo, pues dos epermetadores dsttos probablemete dbujaría rectas dferetes para ajustar u msmo cojuto de datos. Por este motvo, covee utlzar u método objetvo para obteer los parámetros de la relacó buscada. Para ello, supodremos coocdos los valores de a y b co lo cual es posble calcular, para cada uo de los datos epermetales, las desvacoes de los valores epermetales y respecto de los calculados a partr de la ecuacó (9) para, a los que deotaremos como y'. Esta dfereca es y y', (3) U bue crtero para la determacó de los valores de a y b cosste e mmzar la suma de los cuadrados de estas dferecas, lo que garatza que la suma de las desvacoes de los putos epermetales respecto a los ajustados es míma. Es decr, hemos de egr que a y b mmce la catdad R ( y y ) ( y a b). (3) Para ello basta co egr que las dervadas parcales de la ateror fucó co respecto a ambos parámetros sea guales a cero; es decr, R 0 a, R 0. (33) b Las dos codcoes epresadas e la ecuacó ateror se traduce e u sstema leal de dos ecuacoes co dos cógtas, los parámetros a y b, que resulta ser a + b y, a + b y, (34) sedo el úmero de datos. Estas ecuacoes se cooce como ecuacoes ormales para la determacó de a y b. E estas ecuacoes hemos omtdo los subídces para smplfcar la escrtura, pero hay que eteder que e gual para el resto de los sumatoros. Las solucoes de las ecuacoes ormales so (35)

18 Aálss de errores 3 y y y a a, b. (36) ( ) Volvedo al ejemplo propuesto aterormete, teemos que 6, A, 9A, y 3.6 V, co lo cual a 0.94 V/A y b 0.65 V, por lo que la relacó leal y y 99 AV, es el mejor ajuste de ua recta a los datos epermetales segú el método de los mímos cuadrados. Recuérdese que por el método gráfco y a ojo habíamos obtedo a 0.9 A/V y b 0.8 V valores muy apromados a los que hemos obtedo de este modo objetvo Determacó de los errores e la pedete y la ordeada e el orge Los valores que se obtee por el método de los mímos cuadrados so, evdetemete, eactos porque se ha determado a partr de pares de datos los cuales so mprecsos. Para el cálculo del error asocado a ambos parámetros podría, e prcpo, utlzarse u método subjetvo cosstete e la determacó de éstos a partr de las pedetes y ordeadas e el orge de ua pareja etrema de rectas que estme "a ojo" los valores mámos y mímos de a y b compatbles co los datos epermetales de que se dspoe. De este modo tomaríamos como errores de a y b la semdfereca de las pedetes y ordeadas e el orge de estas rectas. Al gual que e el apartado ateror es coveete, o obstate, dspoer de u crtero objetvo que permta estmar sempre del msmo modo el error asocado a ambos parámetros de la recta (el ateror método además sobrestma los valores del error e u factor ). U razoameto estadístco rguroso que queda fuera del alcace de este maual proporcoa para estos errores las sguetes epresoes ε e dode / s ( y) a, ( ) s ε b o es más que el valor medo de los datos y e dode s ( y) ( y a b) ( y), (37), (38) está relacoado co las desvacoes al cuadrado de los valores epermetales y respecto a los calculados a partr de la recta ajustada, a + b. Así, para el ejemplo que os ocupa ocurre que co lo cual s (y) 0.3 V, ε a 0.4 V/A, ε b 0.3 V, so los valores estmados para los errores de ambos parámetros. Por lo tato, la epresó correcta de los parámetros a y b, co sus respectvos errores, sería a (0.94 ± 0.4) V/A y b (0.65 ± 0.3) V. E estadístca se defe el coefcete de correlacó leal r para cualquer cojuto de parejas de valores de la sguete maera r y y ( ) ( ) y y Puede demostrarse que los valores de r está compreddos etre + y. Los valores postvos correspode a rectas crecetes y los egatvos a rectas decrecetes. Además, el valor del coefcete de correlacó os dca (39)

19 4 Laborator de Físca el grado de aleacó de uestros putos epermetales. El valor r ( e el caso de rectas decrecetes) correspode a u cojuto de putos perfectamete aleados. Para putos meos aleados el valor de r es meor. De este modo, també es posble estmar el error de los parámetros de la recta e térmos de este coefcete de correlacó. Segú este método, los errores de a y b queda ε a a r, N ε ε dode r vee dado por la ecuacó (38). b a, (40) N Ajuste de otro tpo de fucoes medate learzacó El caso de ua relacó leal que hemos tomado como ejemplo o es ta especal como podría pesarse porque muchas relacoes fucoales de terés puede learzarse co algú truco. He aquí alguos ejemplos y ce d l y l c + d y cd l y l c + l d y c + d. c + d y Así, por ejemplo, para covertr ua relacó de tpo epoecal, tal como la epresada e la prmera de las aterores ecuacoes, e ua relacó leal basta co tomar logartmos eperaos e ambos lados de la gualdad y, posterormete, ajustar lealmete por mímos cuadrados la varable y ' l( y / c) frete a la varable depedete Ajuste de datos medate ordeador El ajuste de cojutos de datos es u procedmeto egorroso y totalmete repettvo. Por ello, es habtual usar u programa de ordeador dseñado a este efecto, e el cual geeralmete se sertará los datos e y, tras lo cual el programa os sumstrará todos los resultados de terés (valores de a y b co sus respectvos errores). E el mercado este muchos programas de tratameto de datos que permte llevar a cabo de forma automátca ajustes por mímos cuadrados. Nosotros emplearemos los programas deomados SgmaPlot o Kaledagraph.