Trigonometría del triángulo rectángulo

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1 LECCIÓN CONDENSADA 1.1 Trigonometrí del triángulo retángulo En est leión prenderás sore rzones trigonométris soids un triángulo retángulo usrás rzones trigonométris pr hllr ls longitudes lterles desonoids de un triángulo retángulo usrás inversos trigonométrios pr hllr medids de ángulos desonoids en un triángulo retángulo Supón que elevs un omet. H un viento fuerte, por lo tnto l uerd está tens. Hs mrdo l uerd, por lo tnto ses uánt uerd hs soltdo puedes medir el ángulo que form l uerd on l horizontl. Puedes usr un rzón trigonométri pr hllr l ltur de l omet. En est leión prenderás ómo. L trigonometrí relion ls medids ngulres de los triángulos retángulos on ls longitudes de sus ldos. Primero, reuerd que los triángulos que tienen ls misms medids ngulres son semejntes, por lo tnto ls rzones de sus ldos orrespondientes son igules. Los triángulos retángulos tienen nomres espeiles pr ls rzones. Pr ulquier ángulo gudo A de un triángulo retángulo, Hipotenus el seno (sin) de A es l rzón entre l longitud del teto opuesto A l longitud de l hipotenus. teto opuesto sin A A hipotenus El oseno (os) de A es l rzón entre l longitud del teto dente A l longitud de l hipotenus. Este teto es C dente A. os A t eto dente hipotenus L tngente (tn) de A es l rzón entre l longitud del teto opuesto l longitud del teto dente. teto opuesto tn A teto dente Lee el Ejemplo A en tu liro después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Hll l longitud desonoid,. Este teto es opuesto A. 1 C 5 A Soluión Conoes l longitud del ldo opuesto l ángulo de 5 deses hllr l longitud de l hipotenus. Por onsiguiente, puedes usr l rzón seno. sin sin Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER (ontinú)

2 Leión 1.1 Trigonometrí del triángulo retángulo (ontinuión) El inverso de un funión trigonométri d l medid del ángulo que tiene un rzón dd. Por ejemplo, sin 30 1_, por lo tnto sin 1 1_ 30. El Ejemplo en tu liro us el inverso de l funión tngente. Lee el ejemplo tentmente. Investigión: Eslones empindos Lee el párrfo de pertur de l investigión en tu liro. Complet los Psos 1 de l investigión después ompr tus resultdos on los siguientes. Pso 1 Primero diuj un eslón on l máim distni vertil l mínim distni horizontl. 10 in. Se el ángulo de inlinión. Ddo que tnto el piso omo l distni horizontl son horizontles (, de este modo, prlelos), el ángulo 7.75 in. entre l distni horizontl l hipotenus tmién es. Conoes l longitud de los ldos opuestos dentes, por lo tnto us l tngente pr resolver pr. tn tn El ángulo de inlinión es de proimdmente 38. Pso Dos trmos de esler que siguen tnto el ódigo omo l regl generl son un serie on un unidd de distni horizontl de 11 in un unidd de distni vertil de 6.5 in, un trmo de un unidd de distni vertil de 11.5 in un unidd de distni vertil de 6 in. Los ángulos de inlinión respetivos pr estos trmos de esler se otienen por tn tn Un ejemplo de un trmo de esler que sigue l regl omún pero no el ódigo es un trmo on un unidd de distni vertil de 8.75 in un unidd de distni vertil de 8.75 in. El ángulo de inlinión pr este trmo se otiene por tn Pso 3 Consult l foto el digrm de l págin 68 en tu liro.. Eiste un infinidd de diseños posiles, pero no todos los diseños siguen los ódigos ddos en el Pso 1. Por ejemplo, un esler on un unidd de distni vertil de proimdmente 15.6 in un unidd de distni vertil de 1 in se justrí l ángulo de inlinión de 0.8 pero no seguirí el ódigo, porque l distni vertil es mu lt.. Pr hllr l soluión, se r l unidd de distni horizontl. Entones l unidd de distni vertil será representd por 17.5 r. Pr hllr r, us l rzón tngente. tn r r r r r 17.5 r r 17.5 r r 1.68 in Por lo tnto l distni horizontl es 1.68 in l distni vertil es in. Pso Us l funión tngente que se el ángulo de inlinión. Usndo tn 1 16, tn usndo tn 1 0, tn Por lo tnto el ángulo dee estr entre CHAPTER 1 Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish

3 LECCIÓN CONDENSADA 1. L Le de los senos En est leión desurirás plirás l Le de los senos, que desrie un relión entre los ldos los ángulos de un triángulo oliuángulo Hs investigdo ls reliones entre los ldos los ángulos de los triángulos retángulos. Ahor investigrás ls reliones entre los ldos los ángulos de los triángulos no retángulos, o triángulos oliuángulos (olique). Investigión: Triángulos oliuángulos Pso 1 Diuj un triángulo utángulo AC. Rotul el ldo opuesto A omo, el ldo opuesto omo, el ldo opuesto C omo. Después, diuj l ltitud que v de A C. Rotul l ltitud omo h. A l dereh está el ejemplo. A h Pso Del digrm, puedes esriir ls siguientes euiones: sin h ó h sin C sin C h ó h sin C Como mos sin sin C son igules h, tmién son igules entre sí. Es deir, sin sin C Al dividir mos ldos de l euión nterior entre, se otiene: sin sin C Pso 3 Ahor, diuj l ltitud que v desde AC rotúll omo j. Usndo un método preido l del Pso, dees hllr que: sin A sin C ( Asegúrte de que puedes derivr est euión por tu uent!) Psos 5 Puedes ominr ls proporiones de los Psos 3 pr esriir un proporión etendid: sin A sin sin C El triángulo que diujste en el Pso 1 es utángulo. Crees que l mism proporión será válid pr los triángulos otusángulos? Pso 6 Diuj un triángulo otusángulo AC mide d ángulo ldo. Éste es un ejemplo. Hll sin A, sin C, sin pr tu triángulo. Pr el triángulo l dereh: sin A sin 31 sin 0.13 sin 3 sin C sin Por lo tnto, pree que sin A sin sin C es válido pr triángulos otusángulos tmién. A 31 3 m 6.3 m 16 3 C m Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER (ontinú)

4 Leión 1. L Le de los senos (ontinuión) El Ejemplo A en tu liro pli lo que hs prendido en l investigión un prolem rel. Lee el ejemplo tentmente. L relión que desuriste en l investigión se llm Le de los senos. Se resume en el reudro Lw of Sines (Le de los senos) en tu liro. El Ejemplo muestr ómo plir l Le de los senos pr hllr l longitud desonoid de un ldo de un triángulo, undo onoes ls medids de dos ángulos l longitud de un ldo. Lee el ejemplo tentmente. Prue tu entendimiento, hllndo l longitud del ldo AC. (Sugereni: Primero neesitrás hllr l medid de.) Dees hllr que l longitud de AC es proimdmente 15. m. Tmién puedes usr l Le de los senos pr hllr l medid desonoid de un ángulo, undo onoes ls longitudes de dos ldos l medid del ángulo opuesto uno de los ldos. Sin emrgo, en este so puedes hllr más de un soluión. Como ud pr entender por qué puede her más de un soluión, oserv los digrms en l págin 693 de tu liro lee el Ejemplo C. Éste es otro ejemplo. EJEMPLO Soluión En el AC, l medid de A es 30, l longitud del ldo A es 8 m l longitud del ldo C es 5 m. Diuj rotul dos triángulos que se justen est desripión. Pr d triángulo, hll ls medids de C l longitud del ldo AC. A ontinuión están ls dos posiiliddes. 8 m 5 m 8 m 5 m A A C C Pr hllr un medid posile de C, us l Le de los senos. sin 30 5 sin C 8 sin C 8 sin 30 5 C sin 1 8 sin L medid de C es 53.1, por lo tnto l medid de es 180 ( ), ó Pr hllr l longitud de AC, us l Le de los senos otr vez. sin 30 5 sin sin sin m L longitud de AC es 9.9 m. L otr posile medid pr C es el suplemento de 53.1, ó Entones, l medid de es 180 ( ), ó 3.1. Us l Le de los senos pr hllr l longitud de AC. sin 30 5 sin sin 3. 1 sin m L longitud de AC es 3.9 m. 180 CHAPTER 1 Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish

5 LECCIÓN CONDENSADA 1.3 L Le de los osenos En est leión usrás l Le de los osenos pr hllr ls medids desonoids de un triángulo, undo onoes ls longitudes de dos ldos l medid del ángulo formdo por éstos usrás l Le de los osenos pr hllr ls medids desonoids de un triángulo undo onoes ls longitudes de sus tres ldos Puedes usr l Le de los senos pr hllr ls longitudes de los ldos o ls medids de los ángulos de un triángulo, si onoes ls medids de dos ángulos l longitud de un ldo; o lterntivmente si onoes ls longitudes de dos ldos l medid del ángulo opuesto uno de esos ldos. El Ejemplo A en tu liro d ls longitudes de dos ldos l medid del ángulo omprendido entre los ldos, dees hllr l longitud del terer ldo. L Le de los senos no se puede plir en est situión. Anliz l soluión pr ver ómo hllr l longitud desonoid. Si utilizs el proedimiento del Ejemplo A en un so generl donde dn ls longitudes de dos ldos,, de un triángulo AC l medid del ángulo omprendido entre ellos, C, otienes l Le de los osenos: os C donde es opuesto C. Oserv que esto se pree l Teorem de Pitágors on un término etr, os C. (De heho, si C es un ángulo reto, entones os C es 0, l euión se onvierte en el Teorem de Pitágors.) Lee el teto del reudro Lw of Cosines (Le de los osenos) en l págin 699 de tu liro estudi los digrms que siguen l reudro. Investigión: A l vuelt de l esquin Lee l investigión en tu liro. Si tienes los mteriles lguns persons que te uden, hz l investigión. Si no, puedes usr el digrm de l dereh. Complet l investigión por tu uent después ompr tus resultdos on los siguientes. Conoes ls longitudes de dos ldos l medid del ángulo inluido, por lo tnto puedes usr l Le de los osenos pr hllr l longitud del terer ldo. C m 3.5 m A os C Le de los osenos..5 (.5)() os 3 Sustitue los vlores onoidos os 3 Multipli os 3 Resuelve pr Evlú. L distni entre ls dos iuddes es proimdmente 1.71 metros. (ontinú) Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 1 181

6 Leión 1.3 L Le de los osenos (ontinuión) Pr hllr ls medids desonoids en el Ejemplo, l Le de los osenos se pli dos vees. Intent hllr ls medids desonoids por tu uent, luego lee l soluión. Tnto l investigión omo el Ejemplo dn ls longitudes de dos ldos l medid del ángulo inluido. Tmién puedes usr l Le de los osenos si onoes ls longitudes de los tres ldos. El siguiente ejemplo te muestr ómo. EJEMPLO Hll l medid de los ángulos. 5.1 m 3.5 m C.0 m A Soluión Empiez usndo l Le de los osenos pr hllr l medid de C. os C Le de los osenos (5.1)(.0) os C Sustitue los vlores onoidos os C Multipli os C Rest de mos ldos. os C Resuelve pr os C. 0. C os Tom el inverso del oseno en mos ldos. C 9.5 Evlú. Ahor, us l Le de los senos pr hllr l medid de. sin C sin sin si n.0 Le de los senos. Sustitue los vlores onoidos. sin.0 sin 9.5 Resuelve pr sin. 3.5 sin 1.0 sin Tom el inverso del seno en mos ldos Evlú. Pr hllr l medid de A, us el dto de que l sum de ls medids de los ángulos de un triángulo es 180. A 180 ( ) 13. Lee el resto de l leión en tu liro, que resume lo que hs prendido en est leión en l nterior. 18 CHAPTER 1 Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish

7 LECCIÓN CONDENSADA 1. Amplir l trigonometrí En est leión mplirás ls definiiones de seno, oseno tngente pr inluir ángulos de ulquier medid hllrás el seno, el oseno l tngente de los ángulos de rotión usrás los ángulos de refereni pr hllr el seno, el oseno l tngente de los ángulos reliondos En l Leión 1.1, pliste ls definiiones dds pr seno, oseno tngente los ángulos gudos en los triángulos retángulos. En est leión, mplirás ls definiiones pr plirls ángulos de ulquier tmño. Reuerd que los ángulos en los plnos de oordends se miden omenzndo desde el eje positivo se mueven en el sentido opuesto ls mneills del reloj por los Cudrntes I, II, III IV. II III I IV Investigión: Amplir ls funiones trigonométris Lee el Proedure Note (Not del proedimiento) estudi el ejemplo del Pso 1. Después nliz l investigión en tu liro. Cundo termines, ompr tus respuests on los siguientes resultdos. Asegúrte de que tu luldor esté onfigurd en grdos. Pso 1 Ls respuests de muestr usn el punto (, 0) omo punto de prtid pr d ángulo. Tus respuests pr ls oordends l longitud de los segmentos vrirán dependiendo del punto de prtid que esogiste, pero los resultdos de seno, oseno tngente deen ser igules los siguientes sin , os tn Ls oordends del punto rotdo son proimdmente (.8,.8). L longitud del segmento es proimdmente (.8) uniddes.. 10 sin , os tn Ls oordends del punto rotdo son proimdmente (3.5, ). L longitud del segmento es proimdmente (3.5) ().03 uniddes. (ontinú) Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 1 183

8 Leión 1. Amplir l trigonometrí (ontinuión). 70 sin 70 1, os 70 0 tn 70 es indefinid. Ls oordends del punto rotdo son (0, ). L longitud del segmento es 0 () uniddes. d. 30 sin , os tn Ls oordends del punto rotdo son proimdmente (3.1,.6). L longitud del segmento es proimdmente 3.1 (.6).05 uniddes. e. 100 sin , os tn Ls oordends del punto rotdo son proimdmente (0.7, 3.9). L longitud del segmento es proimdmente ( 0.7) (3.9) 3.96 uniddes. Pso Los resultdos se resumen ontinuión. Según estos resultdos oordend puedes deduir est hipótesis, el seno es, el oseno es oordend longtitud del segmento l tngente es oordend longitud del segmento oordend. Ángulo Seno Coseno Tngente es indefinid (ontinú) 18 CHAPTER 1 Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish

9 Leión 1. Amplir l trigonometrí (ontinuión) Pso 3 ( 3, 1) L longitud del segmento es (3) Usndo el método del Pso, 1 sin A, os A 3 10 tn A L luldor d que sin tn Este ángulo está en el Cudrnte I; por lo tnto no se orresponde on el digrm. Sin emrgo, usndo l luldor, os Este ángulo pree orresponder on el digrm. Pso Ls definiiones están en l j de definiiones en l págin 707 de tu liro. Lee ests definiiones tentmente. Lee el párrfo nterior l Ejemplo A después nliz los Ejemplos A en tu liro. Si neesits repsr los triángulos retángulos, lee Refreshing Your Skills (Repsr tus hiliddes) del Cpítulo 1 en tu liro. A ontinuión, h otro ejemplo similr l Ejemplo A. EJEMPLO Soluión Hll el seno, el oseno l tngente de 150 sin l luldor. Rot un punto 150 desde el eje positivo en el sentido opuesto ls mneills del reloj. L imgen del punto está en el Cudrnte II, 30 sore el eje. El ángulo de refereni es 30. El seno, el oseno l tngente de un ángulo de refereni de 30 son 1_, 3 1, respetivmente Ddo que l oordend es negtiv l oordend es positiv en el Cudrnte II, sin , os 150, tn 150 = 1. 3 Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 1 185

10 LECCIÓN CONDENSADA 1.5 Introduión los vetores En est leión entenderás vetores omo distnis direts representrás l sum, rest multipliión eslr de vetores usrás vetores pr resolver prolems onvertirás vetores de un form otr Alguns ntiddes, omo l distni, l veloidd l elerión, pueden tener direiones soids on ells. Ests ntiddes dirigids se pueden representr on vetores, los ules se pueden onsiderr omo segmentos de rets dirigids. El segmento de ret tiene un longitud, llmd mgnitud, un direión. Puedes representr los vetores omo un segmento on punt de fleh en uno de los etremos, llmdo ez o punt. L ol es el otro etremo del vetor. Los vetores se pueden representr de muhos modos. L form polr de un vetor d l mgnitud el ángulo que form el vetor on el eje positivo. Por ejemplo, 3150 represent un vetor de 3 uniddes de lrgo dirigido 150 en el sentido opuesto ls mneills del reloj desde el eje positivo. L form retngulr de un vetor d el mio horizontl vertil desde l ol hst l 3 3 ez. Por ejemplo,, 3_ represent un mio horizontl de 3 3, un mio vertil de _ 3. Los vetores equivlentes tienen l mism mgnitud direión, sin importr 3 3 donde están lolizdos en un plno de oordends. 3150, 3_ son vetores equivlentes. L investigión eplor lguns de ls propieddes de l rest l sum de vetores. Oserv que son dos modos de designr un vetor. En l euión ; ls letrs en engrit, representn vetores, es el vetor resultnte del álulo. Investigión: Sum rest de vetores Anliz tod l investigión en tu liro después ompr tus resultdos on los siguientes. Psos L form retngulr de es 6,. Pso i. ii. 6 3 e d L form retngulr de es 6,. L form retngulr de es 0, 1. (ontinú) Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 1 187

11 Leión 1.5 Introduión los vetores (ontinuión) iii. 3 f 5 3 iv. 6 e 0 6 L form retngulr de es 3, 1. L form retngulr de es 5,. Psos 5 Si 1, 1,, entones l sum es 1, 1, 1 1,. Pso 6 i. ii iii. iv. e 3 d e d 5 3 e f e f 3 3 Pso 7 Si 1, 1,, entones l difereni es 1, 1, 1 1,. Pso 8 Si 1, k es un eslr, entones el produto k es k 1, k 1, k. Pso 9 Ls mgnitudes de son Si 1,, entones l mgnitud de, indid, es 1. Los vetores son útiles pr representr el movimiento. Lee el Ejemplo A pr eplorr un pliión de l sum de vetores. En osiones, l form polr de un vetor es más propid. El Ejemplo epli ómo onvertir de form retngulr form polr. Lee el Ejemplo segúrte de que entiendes ómo onvertir de un form retngulr un form polr. Lee el teto posterior l Ejemplo. Asegúrte de que entiendes ómo onvertir un ángulo reltivo un ángulo que dé l direión de un vetor en form polr. En el Ejemplo C, los vetores se deen onvertir de form polr form retngulr pr sumrlos. Anliz en Ejemplo C tentmente. 188 CHAPTER 1 Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish

12 LECCIÓN CONDENSADA 1.6 Euiones prmétris En est leión usrás un prámetro pr esriir euiones prmétris que definen por seprdo e representrás gráfimente euiones prmétris usrás euiones prmétris pr modelr prolems reles Hst hor, hs usdo euiones pr relionr e entre sí. En osiones, quieres epresr e omo funiones seprds de un terer vrile, t, llmd prámetro. Ests euiones prmétris te ofreen más informión mejor ontrol sore los puntos que trzs. Puedes usr euiones prmétris pr epresr ls oordends e omo funiones de tiempo. El Ejemplo A en tu liro muestr ómo usr euiones prmétris pr modelr un prolem de movimiento. Lee tentmente el ejemplo A su soluión. Después, lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO A Jmes está remndo 30 pies en un ote por un río. Rem un veloidd de 1 pie/s diretmente hi l ost opuest. L orriente se dirige perpendiulrmente hi su direión de remo un veloidd de 3 pies/s. El poste l ul Jmes quiere tr el ote está río jo 100 pies del punto de prtid. Llegrá Jmes l otro ldo del río ntes de psr el poste? Soluión Se l distni en pies l que se mueve el ote deido l orriente, se l distni en pies que Jmes h remdo pr trvesr el río; se t el tiempo en segundos. Entones 3t e t. Represent gráfimente este pr de euiones en tu luldor. Consult Clultor Note 1C pr prender ómo ingresr representr gráfimente euiones prmétris. Us l ventn deud pr el onteto. Puedes diujr el poste en el punto (100, 30). Si reorres (tre) un punto en l gráfi, verás que Jmes tiene 10 pies de más ntes de llegr l poste. Ls euiones prmétris pueden udrte modelr situiones omplids que impliquen movimiento. Muhos pres de euiones prmétris pueden esriirse on un sol euión usndo sólo e. Si vuelves esriir un modelo prmétrio omo un sol euión, entones tendrás dos modos diferentes de estudir un situión. (ontinú) Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 1 189

13 Leión 1.6 Euiones prmétris (ontinuión) Investigión: Pseo prmétrio Psos 1 Lee los Psos 1, el Proedure Dtos registrdos Note de l investigión en tu liro. Asegúrte por l person X de que entiendes lo que suede: Se mr un segmento en un udríul de oordends. A t medid que un person min lo lrgo del segmento, un sensor de movimiento (rgdo por l person X) registr ómo mi l oordend de l tretori de l person, otro sensor (rgdo por l person Y) registr ómo mi l oordend de l tretori de l person Ingres los dtos de muestr en tu luldor omplet el resto de l investigión por tu uent Después ompr tus resultdos on los siguientes Pso 3 Us tu luldor pr hllr d ret medin-medin. L ret medin-medin pr los dtos (t, ) es ˆ 0.18t Dtos registrdos por l person Y t Pso L ret medin-medin pr los dtos (t, ) es ŷ 0.10t Pso 5 A l dereh está l gráfi de los vlores (, ), junto on ls gráfis de ls funiones prmétris 0.18t 1.8 e 0.10t Ls funiones prmétris preen justrse los dtos. Pso 6 Al resolver ˆ 0.18t 1.8 pr t, se otiene t Sustitue t por est epresión en l euión pr : ŷ Pso 7 L gráfi de l dereh muestr los dtos (, ) l funión ŷ del Pso 6. Pso 8 Al eliminr el prámetro se otiene l mism gráfi, pero se pierde l informión sore el tiempo, no puedes limitr los vlores de t pr que muestren sólo el segmento de ret relmente reorrido. (ontinú) 190 CHAPTER 1 Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish

14 Leión 1.6 Euiones prmétris (ontinuión) Lee el teto que sigue l investigión el Ejemplo. El Ejemplo epli ómo modelr el movimiento de un proetil de form prmétri. El ejemplo que sigue tmién se relion on el movimiento de proetiles. EJEMPLO Peter pte un lón un ángulo de 55, on un veloidd iniil de 75 pies/s. Si su pie he ontto on el lón un ltur de 3.5 pies por enim del nivel del suelo, qué distni horizontl reorre el lón ntes de pegr en el suelo? Soluión Trz un figur hll los omponentes de l veloidd iniil. os sin os sin 55 El movimiento horizontl se ve fetdo solmente por l veloidd iniil el ángulo iniil, de modo que l distni horizontl se model por 75t os 55. El movimiento vertil se ve fetdo por l fuerz de grvedd l ltur iniil. Su euión es 16t 75t sin Pr ser uándo el lón to el suelo, hll t undo es pies/s 55 16t 75t sin t 75 sin 55 (75 sin 55 ) (16)(3.5) (16) t ó t Únimente l respuest positiv tiene sentido en est situión. El lón to el suelo proimdmente segundos después de ser ptedo. Pr hllr l distni que reorrió, sustitue este vlor de t en l euión de : 75(3.896) os El lón se desplz de mner horizontl proimdmente pies, ó 56 rds. Disovering Advned Alger Condensed Lessons in Spnish CHAPTER 1 191