Método alterno para la gráfica de funciones polinómicas

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1 Juio de 0, Número 0, págis -9 ISSN: Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Resume E este rtículo propoemos u método pr ecotrr los etremos y putos de ileió (si eiste de l gráic de u ució poliómic si hcer uso de l derivd, plicdo solmete coceptos de álgebr elemetl. E el Apédice se demuestr u teorem que d soporte l método epuesto. Abstrct I this pper we propose method to id the etremes d ilectio poits (i y o the grph o polyomil uctio without the use o the derivtive o uctio, usig oly elemetry lgebr cocepts. We prove theorem i the ppedi tht supports the method described Resumo Neste trblho, propomos um método pr ecotrr os etremos e os potos de ileão (se houver do gráico de um ução poliomil, sem utilizção do derivdo de um ução, usdo pes os coceitos de álgebr elemetr. rovmos um teorem o pêdice que suport o método descrito.. Itroducció Es coocido por todo estudite el método elemetl de costruir l gráic de u ució poliómic dd su ecució e coordeds crtesis, el cul se reliz ddo vlores l vrible idepediete y obteer el correspodiete vlor de l vrible depediete y luego ubicrlos e el plo crtesio. Dicho procedimieto result ser muy lborioso. Ahor bie, como lo que se dese es teer u ide de l orm geerl de u curv, el cálculo dierecil os sumiistr métodos pr poder determir l orm de u curv co muy poco cálculo umérico. primer derivd os d l pediete de l curv e culquier puto; l segud derivd determi los itervlos detro los cules l curv es cócv hci bjo o hci rrib, y los putos de ileió que sepr estos itervlos; los putos dode hy máimo so los putos ltos de l curv, y los putos dode hy u míimo so los putos bjos. El método que se propoe es purmete lgebrico, el cul se bs e el hecho que pr que u ució poliómic, teg u etremo reltivo, esto es, u máimo o u míimo, se deberá cumplir que el poliomio teg dos ríces reles e igules. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

2 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co. Método El teorem siguiete será crucil pr el desrrollo del rtículo. Dicho teorem ue costruido precismete pr dr soporte l método epuesto (Método Algebrico Elemetl (MAE, y será probdo e el pédice. Teorem. gráic de l ució poliómic de grdo, (, si y sólo si l ecució poliómic 0 tiee u ríz rel de multiplicidd lgebric dos,. E otrs plbrs, 0 puede escribirse como tiee u rect tgete horizotl e el puto (, dode (, ( 0 es u poliomio de grdo. Not : Cudo se h ecotrdo el vlor de (ríz de multiplicidd lgebric dos y pr tl se tiee que 0, esto es, el puto dode está l rect tgete horizotl l gráic de l ució poliomio ( es (,0, luego lo que se h ecotrdo e este cso es u ríz (doble del poliomio (, es decir, se h ctorizdo el poliomio (, o se que pr ctorizr el poliomio (, lo que se hrí serí ctorizr el poliomio que es u poliomio de grdo. Not : Si 0 etoces el puto ( REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA, es u puto de ileió. Not : El método MAE, cosiste etoces e igulr l ució u prámetro, ecotrr, el cul resultrá ser el vlor etremo (si eiste. No tiee d que ver co obteer l ució costte. os ejemplos siguietes será decudmete bricdos de orm tl que los sistems de ecucioes pr l obteció de los etremos resultr reltivmete áciles de resolver, esto es pr los poliomios de grdo myor que tres. E geerl, tles sistems de ecucioes result imposibles de resolver e orm ect. Y e tles csos se utiliz u método umérico. Debe de quedr clro sí como los ejercicios o ejemplos de los tetos de Cálculo Dierecil h sido escogidos pr obteer ecucioes dode pued ser ctorizdo, esos mismos ejemplos y/o ejercicios ucio si problem co este método... Método Altertivo pr l gráic de ucioes poliómics... Método ltertivo pr l gráic de u ució cudrátic. Se l ució cudrátic: b c r l gráic de u ecució cudrátic, os bsremos e el hecho de que l gráic es cócv hci rrib o hci bjo (segú el sigo de, luego deberá eistir u rect tgete horizotl, se ést y. uego el método ucio como sigue: Supoer que tiee e u ríz de multiplicidd lgebric dos, esto es:

3 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co b c Iguldo coeicietes, se tiee el sistem: c b ( b De ( se tiee:. Reemplzdo e (, ecotrmos que el vlor de es b c.uego el vértice de l prábol es b b,, c.... U segud orm: Hcemos solucioes so:, esto es, b c ( c o bie, b ( c 0 b ± b co ríces reles e igules: cuys b, si b b ( c 0, o mejor, despejdo : c. (Obsérvese que el discrimite b deberá ser myor o igul cero, luego el vlor de deberá ser c. b b uego el vértice de l prábol es, c. Depediedo del sigo de, se sbe hci dóde se bre l prábol. Ejemplo. Relizr l gráic de Solució: Se hrá este ejemplo de dos orms: Form. (usdo l etesió Hcemos, esto es, (, o bie, ( 0 cuys ± 9 solucioes so : co ríces reles e igules: 9 ( 0 o bie, despejdo :., si Observció: El discrimite deberá ser myor o igul cero, luego el vlor de deberá ser. uego el vértice de l prábol es,, y se bre hci rrib, pues (teer presete que el vlor de, es precismete el vlor de l vrible y, esto es, l etesió de l gráic. E resume, se tiee u rect tgete horizotl e el puto (, (ver Figur REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

4 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Figur Form. Como lo que se quiere es obteer, e l cudrátic, ríces reles e igules, supoemos etoces que l ríz es etoces lo que se hce es igulr lo siguiete: Iguldo los coeicietes se obtiee:, ( De (6 ecotrmos que el vlor de l bscis es (7 se tiee el vlor de l orded, esto es, uego el vértice es: (, 9. ( 6 ( 7, que l reemplzr e l Cudo se us est segud orm, e geerl se ecuetr el vlor etremo, pero o es cocluyete co el tipo de etremo, como e este ejemplo, sbímos que l prábol se brí hci rrib pues el sigo del coeiciete de es positivo. Not: segud orm result ser más eectiv pr ls ucioes cudrátics, pues de etrd d ls coordeds del vértice. Ejemplo : Dibujr l gráic co ecució y 8 6y 0 Solució: Hcemos y ( pr obteer 6y ( 8 0 y. Resolviedo l ecució pr y, se tiee: ( 8. 6 ± 6 6 y 8 or u ldo se tiee que l orded del vértice es y, el cul se obtiee l 9 hcer el discrimite igul cero: 6 6( 8 0 o bie, y sí que el vértice de l prábol es 9 9,. uesto que, l prábol se bre hci REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

5 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co l izquierd, o hy itercepto co el eje y, pues hciedo 0, se lleg que el discrimite es 6, el cul es meor que cero (Fig.. Figur... Método ltertivo pr l gráic de u ució cúbic Se l ució cúbic b c Segú el método, hcemos (, co ( 0, dode es el vlor etremo ecotrr (si eiste, pr el cul. r ecotrr el puto de ileió, usmos l ecució ( del Apédice, ecotrdo que. Hciedo 0 pr obteer. co lo cul el puto de ileió ocurre e,. r ecotrr el o los putos críticos (si eiste, hcemos ( ( β o bie, ( c ( β ( β β b Iguldo coeicietes, se obtiee el sistem resolver: β β b β c Aplicremos el método e los siguietes ejemplos. Ejemplo : Gricr ls siguietes ucioes cúbics. b. Solució. Se dd. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

6 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Ecotremos el puto de ileió. r esto, hcemos ácilmete que el puto (,. Vemos 0 es el puto de ileió, pues e este cso. 0 Se puede otr que ( ( Ahor buscremos el (los puto(s críticos (si eiste. r ello hcemos esto es, ( 0 podemos escribir Iguldo coeicietes, se obtiee el sistem: de (8 se tiee,. Como eigimos que ls ríces se reles e igules, β 0 β ( ( β ( β β β ( 8 ( 9 ( 0 β que l reemplzr e (9 se obtiee, de quí que β.. Ahor reemplzdo los vlores ecotrdos de y β e l ecució (0 se ecuetr que y. Estos vlores so ls 7 7 ordeds de los putos dode l tgete es horizotl y ocurre precismete cudo y respectivmete. uego e los putos, y, eiste rects tgetes 7 7 horizotles. Se preset e l siguiete tbl u resume: Tbl tipo 7 máimo 0 ileió 7 míimo Se preset su gráic e l siguiete igur: REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 6

7 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Figur Solució. b: r obteer l gráic de l ució, hcemos co lo cul: 0. Como eigimos que ls ríces se reles e igules, l meos dos de ells, podemos escribir ( β ( β β Iguldo coeicietes, se obtiee el sistem. de ( se tiee β β β 0 β. Reemplzdo este vlor de β e ( se obtiee: de l últim ecució se tiee dos csos: ( 0 ( 8 0 Cso 0 : luego β remplzdo estos vlores e ( se tiee 0. uego segú el teorem, ( puede ser ctorizdo como ( idic que l gráic tiee u rect tgete e el puto ( 0, Cso. : luego β y sí e ( se tiee. uego e los putos ( 0,0 y, eiste rects tgetes horizotles. 7 Ecotremos hor el puto de ileió, pr esto usmos lo siguiete: ( ( ( E uestro cso: ( ( ( Aquí uto de ileió: ( de dode se tiee: 0. esto REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 7

8 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co 6 uego e el puto, está el puto de ileió.(ver Figur 7 Se resume e l siguiete tbl: Tbl Tipo 0 0 máimo 6 ileió míimo. 7 Ejemplo : Gricr. Figur ( Solució: Segú el método: (, 0, dode. Ecotremos el puto de ileió. r ello, hcemos 0 0, o 9 bie,. uego co lo que el puto de 7 9 ileió es,. 7 Busquemos hor, si eiste, los putos críticos. r obteer l gráic de l ució hcemos ( 0 REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 8, co lo cul se obtiee. Ahor bie, como eigimos que ls ríces se reles e igules, podemos escribir ( ( β ( β β Iguldo coeicietes, se obtiee el sistem:

9 de ( se tiee cules tiee como ríces: r : β β β Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co ( 6 β.esto e ( d u ecució cudrátic e, ls ±. se tiee que β ( (6 se tiee β (. Reemplzdo estos vlores e 9 6. Aálogmete, pr : se tiee que 7. Reemplzdo estos vlores e (6 se tiee El resume se preset e l siguiete tbl Tbl Tipo 9 6, 7, , , Y su gráic; máimo ileió míimo Figur... Método ltertivo pr l gráic de u ució cuártic. Se l ució de grdo cutro: b c d r l gráic de u ecució de grdo cutro, utilizmos el mismo procedimieto pr l de grdo tres, esto es, supoemos que l gráic de l ecució tiee rects tgetes horizotles y, ecotrr, si eiste. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 9

10 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Segú el método, hcemos (, co ( 0, dode es el vlor óptimo ecotrr, si eiste, pr el cul. r esto hcemos, esto es, b c d o bie, b c ( d 0 eigimos que dos de ls ríces se reles e igules, esto es, podemos escribir: ( d ( ( ( β ( γ b c l simpliicr y reuir térmios semejtes, teemos b c ( d [( β γ ] ( β γ [ βγ ] [ ( β γ βγ ] βγ hciedo los siguietes cmbios de vribles: ω β γ, η βγ : b c ( d [ ω ] [ ω η] [ ω η ] η iguldo coeicietes, se obtiee el sistem resolver: [ ω ] ω η b [ ω η ] c η d r ecotrr los putos de ileió de l curv, usmos uevmete l ecució ( del Apédice, esto es, ( d ( ( ( ( ( b b c de dode ( ( ( b b 0 Resolviedo pr, se obtiee ls bsciss de los putos de ileió so: ± 9 6 b. Ejemplo : Gricr ls siguietes ucioes poliómics de grdo cutro:. b. Solució. r obteer l gráic de l ució hcemos obteemos: 0, co lo cul Como eigimos que dos de ls ríces se reles e igules, podemos escribir [( β γ ] ( β γ [ βγ ] [ ( β γ βγ ] βγ REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 0

11 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Iguldo coeicietes, se obtiee el sistem. de (7 se tiee [ ω ] 0 ( 7 ω η 0 ( 8 [ ω η ] ( 9 η ( 0 ω. Reemplzdoω e (8 se obtiee: ω η 0 η 0 η Reemplzdo ω, y η e (9 luego ω η ( ( 9 η. Reemplzdo estos vlores e (0 se obtiee el vlor de, sber: ( uego l rect tgete l,, ,.060 gráic ocurre e el puto. r ecotrr los putos de ileió usmos (, dode. viee dd por: ( Co lo cul, se sigue que: 0 ( uego el puto de ileió es: ( 0,0. ver gráic de igur 6: Figur 6 Solució. b r obteer l gráic de l ució hcemos : ( 0 REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

12 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co o primero que se hce es dividir todo por el coeiciete de. Como eigimos que dos de ls ríces se reles e igules, podemos escribir ( Iguldo coeicietes, se obtiee el sistem: de ( se tiee [ ω ] [ ω η] [ ω η ] η [ ω ] ω η [ ω η ] 0 η ω.. Reemplzdoω e ( se obtiee: ω η η η Reemplzdo ω, y 8 η e (: ω η 0 0, (, 0 uego los putos dode ocurre los etremos so: r 0 : r : r : ( 0, sí (, ( 0, sí (,0 7, sí (, 7 0 es puto crítico. 8 0 es puto crítico. es puto crítico. 8 Not: observr que u vez que se ecuetr los s, o hbrá ecesidd de devolverse pr ecotrr los, como e este ejemplo. El vlor más grde de será el vlor máimo, y el vlor más pequeño será el vlor míimo. Nótese demás que segú el teorem, como 0, etoces ctoriz como: ( ( 0. r ecotrr los putos de ileió usmos l ecució (: ( ( ( ( ( b REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

13 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co dode, b 8 y. ± 7 por lo tto uego los putos de ileió so:, 7,,. 7 El resume e l tbl y su gráic e igur igur 7: Tbl tipo 0 : míimo ileió 0 : máimo ileió 7 Míimo bsoluto Figur 7... Método ltertivo pr l gráic de u ució de grdo cico. Se l ució de grdo cico: b c d e r ecotrr los etremos y los putos de ileió de l gráic, usmos el mismo pricipio que e los csos teriores, esto es, pr ecotrr los etremos, supoemos que l gráic tiee rects tgetes horizotles de l orm: y, ecotrr, si eiste. r esto hcemos, esto es, b c d ( e 0 eigimos que dos de ls ríces se reles e igules, esto es, podemos escribir: REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA ( e ( ( β ( γ ( τ b c d

14 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co O bie, l simpliicr y reuir térmios semejtes b c d ( e [ ( β γ τ ] [ ( β γ τ ( βγ τ ( β γ ] ( β γ τ [ βγ τ ( β γ ] βγτ [ βγ τ β γ ] [ ] Y que, e pricipio, o os import ecotrr los vlores de [ βγτ ] βγτ hcer el siguiete cmbio: ω β γ τ, η βγ τ( β γ, δ βγτ uego l iguldd terior qued: b c d ( e β, γ y τ, podemos [ ω] [ ω η] [ ω η δ ] [ η δ ] δ uego teemos que resolver el sistem: ω ω η b ω η δ c η δ d δ ( e r ecotrr los putos de ileió de l curv utilizmos su poliomio ddo por ( del Apédice: correspodiete ( ( b ( b c y que se cumple: (. Vemos cómo se plic e los próimos ejemplos Ejemplo 6: Gricr ls siguietes ucioes cúbics. 0 b. Solució. 6( r ecotrr los putos de ileió usmos ( ( ( c dode 0, b y c 0, co lo cul ( 0 por lo tto ,,. uego los putos de ileió so: ( 0,,, y,. r obteer los putos críticos de hcemos : Como eigimos que dos de ls ríces se reles e igules, podemos escribir REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

15 0 ( Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co [ ω] [ ω η] [ ω η δ ] [ η δ ] δ Dode los vlores de ω, η y δ so como tes. Iguldo coeicietes, se obtiee el sistem. ω 0 de ( se tiee ω η ω η δ 0 η δ 0 δ ω. que l reemplzr e (6 se obtiee ω η η 0 η Reemplzdo ω, y η e (7 ( 6 ( 7 ( 8 ( 9 ( ( δ 0 δ 0 ω η δ 0 Reemplzdo los vlores ecotrdos de ω, η y δ, e (8 obteemos: ( ( 0 0 η δ 0 De l últim ecució result: 0 ( ( 0 or lo tto se tiee dos putos críticos, sber: y. : e δ 0 produce: 0 ( ( δ, reemplzdo y δ e (9, se tiee: δ 6. uego l rect tgete l gráic ocurre e el puto (,6. Aálogmete, e δ 0 produce: 0 ( ( δ, reemplzdo y δ e (9, se tiee: δ 0. uego l rect tgete l gráic ocurre e el puto (, 0. E resume, se preset l siguiete tbl Tbl tipo 6 máimo , 9 8 ileió 0 ileió , 9 8 ileió 0 Míimo REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA

16 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Como se muestr e l gráic de l igur siguiete. Solució 6 b Se ( Figur 8 Resolvemos el siguiete sistem dode los vlores de de (0 se tiee ω 0 ω η 0 ω η δ 0 η δ ω, η y δ so como tes. ( 0 δ ω. que l reemplzr e ( se obtiee ω η 0 η 0 η Reemplzdoω, y η e ( ( ( δ 0 δ ω η δ 0 os vlores ecotrdos de ω, η y δ e l ecució ( produce: ( ( η δ Cocluimos de l últim ecució, que o eiste vlor lguo pr. E coclusió l gráic de l ució o tiee tgetes horizotles por lo tto o tiee etremos, ver igur 9. r ecotrr los putos de ileió, resolvemos l ecució: ( ( b ( b c Reemplzdo 0, b 0 y c 0, se tiee etoces Así ( 0 ( uego el úico puto de ileió es ( 0,. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 6

17 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co Coclusió Figur 9 Hemos presetdo u método lgebrico muy elemetl, el método MAE, el cul permite ácilmete ecotrr los etremos de ucioes poliómics, sí como tmbié los putos de ileió. Este método puede ser eseñdo ivel de colegio y uiversitrio. E los ejemplos dode prece ucioes poliómics de grdo myor que tres, estos uero decudmete bricdos de orm tl que los sistems de ecucioes pr l obteció de los etremos resultr reltivmete áciles de resolver. E geerl, tles sistems de ecucioes result imposibles de resolver e orm ect. Y e tles csos se utiliz u método umérico. Se h trbjdo co poliomios hst de grdo cico, pero este método ucio relmete pr ucioes poliómics de culquier grdo. Bibliogrí eithold,. (987. El Cálculo co Geometrí Alític. Ed. Hrl. Edició rso R., Hostetler, R., Edwrds, B. (006. Cálculo. Ed. Mc Grw Hill. 8 Edició. José Albeiro Sáchez Co. Doctor e Ciecis Mtemátics por l Uiversidd olitécic de Vleci (Espñ. roesor Titulr del Deprtmeto de Ciecis Básics, Uiversidd EAFIT, Medellí- Colombi. josche@eit.edu.co. Apédice Demostrció teorem. Supogmos iicilmete que, dd por (, tiee u ríz de multiplicidd lgebric dos e, esto es (, p ( 0, >, uego derivdo mbos ldos de l iguldd, se tiee ( (, REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 7

18 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 8 que l evlur e, obteemos 0. Vemos que eectivmete es u etremo. E eecto, derivdo uevmete, obteemos ( Al evlur e, se obtiee: 0 ( últim codició idic que eectivmete tiee u etremo e. Recíprocmete, vemos que ( tiee u ríz doble e, co. ( E eecto, ( Reorgizdo se tiee, ( Relizdo ls ctorizcioes y scdo ctor comú : ( Simpliicdo e térmios de, se tiee: ( Y que por hipótesis se tiee que tiee u puto crítico e,esto es, 0, o bie 0 0 ( De l últim epresió, despejmos pr teer: Reemplzdo e ( y sumdo co los térmios idepedietes se obtiee (

19 Método ltero pr l gráic de ucioes poliómics José Albeiro Sáchez Co REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA JUNIO DE 0 - NÚMERO 0- ÁGINA 9 Simpliicdo, ( Deberá observrse que e ( prece térmios de, el cul deberá ser reprtido veces, tmbié prece térmios de, el cul deberá ser reprtido veces, y sí sucesivmete, hst llegr u solo térmio de. Se hce todo esto co el i de que vy preciedo epresioes de l orm. Resumiedo lo terior, l epresió ( tom l orm: ( M Dode ilmete, se tiee que ( se puede escribir e l orm: ( dode. 6 Deberá otrse que precismete,. 0

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