- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo II. Sucesiones. series funcionales

Transcripción

1 - Ferdo Sáchez Scesioes Cálclo II y series fcioles Scesioes de fcioes E este cpítlo se v estdir scesioes (f ) y series f cyos térmios so fcioes f : A R R. Por ejemplo, se verá scesioes como (f, f 2, f 3,...) dode f (x) = se x, f 2 (x) = se 2x, f 3 (x) = se 3x,..., f (x) = se x,..., tods defiids e lgú domiio comú. Ests scesioes (y series) de fcioes se llm scesioes (y series) fcioles. Aprte de presetr myor complejidd, de ls diferecis etre ls scesioes fcioles y ls scesioes mérics es l existeci pr ls primers de más tipos de covergeci: ptl, iforme,... Ejemplos: A) Se pede cosiderr l scesió de fcioes - Ferdo Sáchez - - f (x) =, f 2 (x) = + x, f 3 (x) = + x + x2 2, f 4(x) = + x + x2 2! + x3 3!,... Es evidete qe e e x = 0 l scesió (f (0)) v tomdo los vlores (,,,...), co lo qe es covergete. Pr x = se obtiee l scesió (, +, + + 2, !,... ) cyo límite es e. B) L scesió de fcioes f (x) = x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = x, f 4 (x) = x, f 5 (x) = x,... coverge sólo pr x = /2. Pr clqier otro vlor x, l scesió (f (x)) = (x, x, x, x, x, x,...) o coverge: l difereci de térmios cosectivos es x x = 2x, qe o tiede cero. Scesioes y series fcioles

2 - Ferdo Sáchez - - C) L scesió de fcioes f (x) =, f 2 (x) = x, f 3 (x) = x 2, f 4 (x) = x 3,... coverge pr lgos vlores de x, como x = 0, x = 0 79 o x =, pero o coverge pr otros, como x = o x = 6. D) Hy scesioes de fcioes qe o coverge e igú pto, como ls fcioes costtes f (x) =. Defiició. Se cosider ls fcioes f : A R R, pr =, 2, 3,.... Se dice qe (f ) es ptlmete covergete l fció f : A R R si e cd pto x A l scesió (f (x)) coverge f (x), es decir, si x A, f (x) = lim f (x). f (x) +ε ε f f Esto sigific qe x A, ε > 0, ν N : > ν f (x) f (x) < ε. x f 2 E l defiició qed clro qe el vlor ν depede de x y de ε. Es frecete escribir ν x,ε e lgr de ν pr resltr est depedeci. L covergeci ptl se deot medite f - Ferdo Sáchez - - p f. Sele ser fácil comprobr qe scesió coverge ptlmete. Pr ver qe f A se trt de comprobr qe pr clqier x A se tiee lim f (x) = f (x). Ejemplo. L scesió de fcioes p f e f (x) = x, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x 3, f 4 (x) = x 4,... es decir, f : x [0, ] f (x) = x R coverge ptlmete l fció f : x [0, ] f (x) = { si x = 0 si x < L covergeci ptl se preb fácilmete: si 0 x < etoces f (x) = x 0 = f (x); si x = etoces f (x) = = f (). Este ejemplo mestr fcioes cotis (y diferecibles) cyo límite ptl o lo es. Hce flt ñdir lgo l covergeci ptl pr poder segrr qe el crácter cotio de ls fcioes ivolcrds o se pierde e el pso l límite. f f 2 f 3 f Scesioes y series fcioles 2

3 - Ferdo Sáchez - - Defiició. Se dice qe (f ) es iformemete covergete f si f + ε f f ε L covergeci iforme f eqivletes: f ε > 0, ν N : > ν f (x) f (x) < ε ( x A). E l defiició se observ qe ν sólo depede de ε, es vlor válido pr clqier x A. L covergeci iforme se deot f f. Gráficmete sigific qe e cd bd qe rode f de rdio ε (delimitd por ls fcioes f ± ε) está tods ls gráfics de ls fcioes f prtir de ídice. f se pede escribir de vris forms, qe so tods ) ε > 0, ν N : > ν f (x) f (x) < ε ( x A), b) ε > 0, ν N : > ν sp x A c) ε > 0, ν N : > ν f B(f, ε), f (x) f (x) < ε, dode B(f, ε) es l bd qe rode f de rdio ε: B(f, ε) = {д : A R : f ε д f + ε} = {д : A R : f (x) ε д(x) f (x) + ε ( x A)} = {д : A R : д(x) f (x) ε ( x A)} = {д : A R : sp x A - Ferdo Sáchez - - д(x) f (x) ε} p Es evidete qe f f f f (l covergeci iforme es l covergeci ptl e l qe demás pede elegirse el mismo vlor ν pr todos los vlores x A). Si embrgo hy scesioes ptlmete covergetes qe o coverge iformemete. E cosececi, si p f f etoces (f ) podrá ser iformemete covergete o o; pero si lo es, etoces el úico límite posible es el límite ptl f. Ejemplo. Y se h visto qe l scesió de fcioes f (x) = x coverge ptlmete e [0, ] l fció { si x =, f : x [0, ] f (x) = 0 si x <. Si embrgo, est scesió (f ) o es iformemete covergete. De serlo, s úico posible límite es f. Ahor bie, es flso qe f f, y qe si f se rode co bd de rdio ε, e es bd o está l gráfic de ig fció f (e es bd deberí estr tods slvo ctidd fiit de ells). +ε ε f f 2f3 bd de rdio ε Cómo comprobr l covergeci iforme. De l defiició se sige qe f f e A si y sólo si sp f (x) f (x) 0 pr. Est comprobció o sele ser difícil: se x A clcl el límite ptl de (f ), si existe. Despés se hll el vlor máximo de l fció f f. f Scesioes y series fcioles 3

4 - Ferdo Sáchez - - Este vlor máximo se pede ecotrr hciedo l derivd e igldo 0, o tmbié por simple observció cdo ls fcioes so secills,... Si ese vlor máximo tiede cero, etoces hy covergeci iforme. E otro cso, o. U pr de ejemplos (pede verse co más detlle e ls hojs de ejemplos y ejercicios): ) L scesió de fcioes f (x) = x( x) coverge ptlmete e [0, ] l fció f = 0. L fció f f lcz el vlor máximo e x = /( + ). Ese vlor máximo es mx (f f ) = ( x [0,] + )+ /e, pr, y o tiede cero. Por tto, f o coverge iformemete. b) L scesió de fcioes f (x) = x ( x) coverge ptlmete l fció f = 0 e [0, ]. Eso es fácil de comprobr. Pr ver l covergeci iforme se clcl el vlor máximo de f f. Este vlor se lcz e x = /( + ) y por tto es mx (f f ) = ( x [0,] + ) +. Como este vlor tiede 0 pr, se tiee qe f coverge iformemete 0. Ejemplo. Ls fcioes f : x [0, ] f (x) = { si x = / 0 resto coverge ptlmete l fció 0. Pero o coverge iformemete. Qe coverge ptlmete es secillo: si x [0, ] etoces todos los vlores f (x) so igles cero, slvo e sólo cso, cdo x = / y l fció es f. Qe o coverge iformemete se sige del hecho qe f vle e pto e el qe f vle 0. Ejemplo. Si deotmos los úmeros rcioles de [0, ] como (x ) = Q [0, ] (esto pede hcerse y qe los rcioles form cojto merble), ls fcioes { si x = x,..., x f : x [0, ] f (x) = 0 resto - Ferdo Sáchez - - f 3 coverge ptlmete l fció de Dirichlet x 2 x 3 x Esto es fácil de comprobr: f : x [0, ] f (x) = { si x Q 0 si x Q si x [0, ] es rciol, etoces x = x k pr cierto k y sí f (x) = pr k; si x [0, ] es irrciol etoces f (x) = 0 pr todo. Por otr prte, es fácil comprobr qe l covergeci o es iforme: bst otr qe f tom el vlor 0 e mchos vlores rcioles mietrs qe f vle e todos esos vlores. Además, este ejemplo mestr qe ls fcioes f pede ser Riem-itegrbles (so cotis csi siempre), pero el límite ptl o lo es (es fció esecilmete discoti). [Co l itegrl de Lebesge o ocrre ests omlis. Si scesió (f ) de fcioes Lebesge itegrbles coverge ptlmete fció f e A, bjo hipótesis o Scesioes y series fcioles 4

5 - Ferdo Sáchez - - demsido fertes se pede segrr qe est últim fció f es itegrble y demás A f f. Se cooce como teorems de l covergeci moóto y covergeci A domid y mrc gr difereci etre l itegrl de Riem y l de Lebesge.] Ejemplo (jorob deslizte y creciete). Se cosider ls fcioes f cys gráfics so triáglos de áre /2, tl y como se mestr e l figr de l derech. Ests fcioes coverge ptlmete l fció f = 0. Tods so Riem itegrbles. Si embrgo, i siqier e este cso l itegrl del límite (ptl) es el límite de ls itegrles, y qe 0 f = 2 pr todo N, pero f = 0, es decir, pr 0 el límite ptl se tiee 2 = lim f 0 0 lim f = f = 0. f 3 f 2 /3 /2 f f 4 f 3 f 2 f Ejemplo (otr jorob deslizte y creciete). L scesió de fcioes f (x) = 2 x( x) coverge ptlmete f (x) = 0 e [0, ]. Si embrgo 0 f (x)dx = 2 x( x) dx = 2 ( t)t dt - Ferdo Sáchez - - = Esto preb otr vez qe el límite de ls itegrles o es igl l itegrl del límite (e l covergeci ptl). Ls opercioes itegrció y límite ptl o pede ser itercmbids. Ejemplo (jorob deslizte o creciete). L gráfic mestr fcioes f, tods cotds por el mismo vlor, qe coverge ptlmete l fció 0, pero qe o coverge iformemete. Se pede hcer costrcció precid tilizdo f- f 2 f f cioes cys gráfics se triáglos, similr los de l gráfic 3 f 4 de más rrib sólo qe todos co l mism ltr. Ests fcioes o coverge iformemete. El úico límite iforme posible es el límite ptl f = 0, pero mx(f f ) = pr todo. Propieddes fdmetles de l covergeci iforme Teorem (covergeci iforme y cotiidd). El límite iforme de fcioes cotis es cotio: si cd f es coti y f f etoces f es coti. Demostrció. Se f, f : A R R, co f coti y f f. Se trt de ver qe f es coti e cd x A. Se etoces ε > 0. Si y A se pede escribir f (x) f (y) f (x) f (x) + f (x) f (y) + f (y) f (y). 0 Por prte f (x) f (x) ε/3, f (y) f (y) ε/3 Scesioes y series fcioles 5

6 - Ferdo Sáchez - - si ν (el mismo vlor ν pr mbos) por l covergeci iforme. Se elige etoces fció f co ν. Como f es coti e x existe δ > 0 tl qe si x y < δ. Así, existe δ > 0 qe verific f (x) f (y) ε/3 f (x) f (y) < ε pr x y < δ, y por tto f es coti e x. L covergeci iforme coserv l cotiidd y, como se verá más delte, otrs propieddes de ls fcioes f. Si embrgo hy ejemplos qe delimit hst dóde lleg est coservció de propieddes medite l covergeci iforme. Ejemplo. Ls fcioes f represetds tiee tods ss f gráfics co l mism logitd y coverge iformemete fció (l fció cero) cy gráfic tiee logitd f 2 distit. f 3 L logitd de ls gráfics o se coserv medite l covergeci iforme. 2 Ejemplo. Ls fcioes f f 2 f Ferdo Sáchez - - f (x) = { / si x 0 si x > coverge iformemete l fció 0. Se verific demás qe f = 2 ( N). R Este ejemplo mestr qe co l covergeci iforme o se d siempre qe l itegrl del límite se el límite de ls itegrles: f y 2 = lim lim f = 0 = 0. f f R Teorem (covergeci iforme e itegrbilidd Riem). Si f f R[,b], etoces f R[,b] y demás ( b ) b f f. Se sele expresr tmbié como b R b lim f = lim f. R f e [,b] y cd Se podrí represetr este teorem medite el digrm sigiete: si cd f es Riem itegrble etoces tmbie lo es f y ls itegrles coverge l itegrl de f : Scesioes y series fcioles 6

7 - Ferdo Sáchez - - f f b f Demostrció. Se ε > 0. Pr probr qe f R[,b] se trt de ecotrr prtició P P[, b] pr l cl se verifiqe U (f, P) L(f, P) < ε. L clve de l demostrció está e l igldd U (f, P) L(f, P) = U (f, P) U (f, P) + U (f, P) L(f, P) + L(f, P) L(f, P). Por hipótesis (covergeci iforme) existe ν N tl qe si > ν etoces f (x) f (x) < ε/(4(b )) pr todo x [, b]. Así, pr clqier prtició P se tiee b U (f, P) U (f, P) M(f f )(b ) ε/4 L(f, P) L(f, P) M(f f )(b ) ε/4 f Además, como f R[,b] existe prtició P P[,b] co U (f, P) L(f, P) < ε/2. E totl U (f, P) L(f, P) < ε y f R[,b]. Por último b b b f f f f ε 4. - Ferdo Sáchez - - L itegrl de Riem ecesit hipótesis fertes pr psr l límite: éste debe ser iforme y sobre itervlo cotdo. E cotexto mcho más mplio, l itegrl de Lebesge, qe extiede l itegrl de Riem y qe permite itegrr mchs más fcioes, permite hcer el pso l límite co hipótesis más débiles. p Teorem (covergeci domid de Lebesge). Si cd f es Lebesge itegrble e A, f f y existe fció д Lebesge itegrble e A co f д pr todo N, etoces f es Lebesge itegrble y lim A f = A lim f. E el último ejemplo, l meor fció д qe verific f д pr todo es fció esclod cy áre e todo R es ifiit. No existe etoces fció itegrble qe domie ls fcioes f y o pede plicrse por tto este teorem de Lebesge. Y l covergeci iforme y derivbilidd? Cbe esperr lgú resltdo positivo e lgú setido? Por ejemplo, si ls fcioes f so derivbles y f f. debe ser f derivble? Y si lo es, debe cmplirse qe f f o l meos f p f? f f f f L respest mbs cestioes es o, como mestr los ejemplos sigietes. E otrs plbrs, qe tods ls fcioes f se derivbles y coverj iformemete, pede ocrrir qe l fció lim f o se derivble. Y e el cso qe lo se, e geerl se tiee ( lim ) f lim f. Scesioes y series fcioles 7

8 Ejemplos. ) Ls fcioes f (x) = x 2 + /, represetds e color rojo e l gráfic de l derech, so diferecibles y coverge iformemete l fció f (x) = x qe o es diferecible. Este ejemplo cierr clqier posibilidd sobre teorem (similr l probdo pr l cotiidd) del tipo covergeci iforme y derivbilidd. E ls hojs de ejemplos y ejercicios pede verse cómo jstificr l covergeci iforme de ests fcioes. b) Ls fcioes costtes f (x) = cmple f 0 pero (f ) o coverge i siqier ptlmete. - Ferdo Sáchez x 2 2 f c) Ls fcioes f (x) = (se x)/ so tods diferecibles f 5 y coverge iformemete l fció cero (e l gráfic se h represetdo sólo f y f 5 ). Ss derivds so ls fcioes f (x) = cos x, qe o coverge i siqier ptlmete. Estos ejemplos dej clro qe l derivció y l covergeci iforme o tiee mcho e comú. Si embrgo, sí existe resltdo sobre el pso primitivs, qe sele ecirse erróemete como covergeci iforme y derivció y qe qí se llmrá covergeci iforme y primitivs. Pr s ecido y demostrció coviee defiir el crácter de Cchy de scesió, tto ptl como iforme. Defiició. Dds ls fcioes f : A R R, se dice qe (f ) es ptlmete de Cchy si e cd pto x A l scesió (f (x)) es de Cchy. Es decir, si x A, ε > 0 ν N :,m > ν f (x) f m (x) < ε. Se dice qe (f ) es iformemete de Cchy si - Ferdo Sáchez - - ε > 0 ν N :,m > ν f (x) f m (x) < ε ( x A.) (e este cso el vlor ν es el mismo pr todos los vlores x A) Al igl qe ocrre co ls scesioes de úmeros reles, scesió de fcioes es ptlmete de Cchy si y sólo si es ptlmete covergete. Y scesió es iformemete de Cchy si y sólo si es iformemete covergete. Teorem (covergeci iforme y primitivs). Se f diferecible e [,b] pr todo N. Si l scesió de fcioes derivds coverge iformemete, f д, y existe vlor c [,b] e el qe f (c) es covergete, etoces l scesió f coverge iformemete fció f derivble, f f, y demás f = д. f f f д Si ls fcioes derivds coverge iformemete f д y ls primitivs se elige decdmete, es decir, f (c) coverge pr lgú vlor (elegir l costte de itegrció es lo mismo qe elegir cáto vle f e pto c), etoces ests primitivs coverge iformemete fció f qe es primitiv de д. Demostrció. Se trt de probr qe (f ) es iformemete de Cchy. Se ε > 0. L clve de l demostrció está e l desigldd f (x) f m (x) (f f m )(x) (f f m )(c) + (f f m )(c). Scesioes y series fcioles 8

9 Por el teorem del vlor medio del cálclo diferecil existe z A qe verific - Ferdo Sáchez - - (f f m )(x) (f f m )(c) = (f f m ) (z) x c (f f m ) (z) b. Por hipótesis (f ) es iformemete covergete y por tto iformemete de Cchy. Lego existe ν N tl qe (f f m ) ε (z) 2(b ) pr,m > ν. Además (f (c)) es covergete, lego es de Cchy y por tto existe ν 2 N tl qe pr,m > ν 2. E totl, si,m > mx{ν,ν 2 } etoces (f f m )(c) ε 2 f (x) f m (x) (f f m )(x) (f f m )(c) + (f f m )(c) ε 2 + ε 2 = ε. Por tto (f ) es iformemete de Cchy y sí existe el límite iforme, f f. Se trt de probr qe f es diferecible y f = д. L demostrció es l desigldd sigiete f (y) f (x) д(x) y x f (y) f (x) f (y) f (x) y x y x + f (y) f (x) f (x) y x + f (x) д(x). Se etoces ε > 0. - Ferdo Sáchez - - De evo por el teorem del vlor medio del cálclo diferecil, existe vlor z A pr el cl f m (y) f m (x) f (y) f (x) y x y x f m(z) f (z) 0,m y sí de dode pr sficietemete grde. Por hipótesis f f (y) f (x) y x д y por tto pr sficietemete grde. f (y) f (x) y x f (y) f (x) y x f (y) f (x) y x f (x) д(x) < ε 3 0 < ε 3 Se elige etoces sficietemete grde pr qe se cmpl ls dos estimcioes teriores. Por hipótesis, f es diferecible y sí, existe δ > 0 tl qe f (y) f (x) f (x) y x < ε 3 Scesioes y series fcioles 9

10 si x y < δ. Por tto - Ferdo Sáchez - - f (y) f (x) y x pr x y < δ y sí f es diferecible y f = д. - Ferdo Sáchez - - д(x) < ε Not. Este teorem es cierto e itervlos cotdos. Ls fcioes costtes f (x) = / coverge iformemete 0 e R. Se pede elegir como primitivs ) f (x) = x/, pr ls cles se verific qe (f (0)) es covergete. Se cmple etoces ls hipótesis de teorem. Si embrgo, (f ) o es iformemete covergete e R, pero sí es iformemete covergete l fció f = 0 e cd itervlo cotdo. b) f (x) = x/ + 2, qe o coverge i siqier ptlmete. Not 2. L relció qe hy etre fció y s primitiv qed pediete de costte de itegrció: se dice qe F(x) es primitiv de f (x) si F (x) = f (x), y etoces tmbié es primitiv fció del tipo F(x) + C. Por ejemplo, f (x) = 2x tiee como primitiv F(x) = x x 2 + C. Es costte C se pede determir fijdo el vlor de F e lgú pto. Por ejemplo, l primitiv F qe verific F(3) = 2 es l fció F(x) = x x Por este motivo prece es codició existe vlor c [,b] e el qe f (c) es covergete. Co ello se idic qe ls primitivs f de ls fcioes f tiee ls costtes de itegrció decds. Series de fcioes Dd scesió de fcioes (f ), dode f : A R R, se hbl de l serie f como l scesió de sms prciles (f, f + f 2, f + f 2 + f 3,...), y se escribe f = (f, f + f 2, f + f 2 + f 3,...) = f + f 2 + f 3 + f = Segú qe est scesió de sms prciles se covergete (ptl o iformemete) se dice qe l serie es smble (ptl o iformemete). Ejemplo. Si f (x) = x pr todo = 0,, 2,..., l serie es l scesió (, + x, + x + x 2,... ), y se escribe f = (, + x, + x + x 2,... ) = + x + x 2 + x 3... = x. Ejemplo. Si f (x) = x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = x, f 4 (x) = x,... l serie es l scesió de fcioes (x,, + x, 2, 2 + x, 3, 3 + x... ), qe se sele escribir como f = (x,, + x, 2, 2 + x, 3, 3 + x... ) = x + ( x) + x + ( x) +... = Scesioes y series fcioles 0

11 - Ferdo Sáchez - - Defiició. Se dice qe f es ptlmete (iformemete) smble si l scesió de sms prciles (f, f + f 2, f + f 2 + f 3,...) es ptlmete (iformemete) covergete. El límite ptl o iforme de est scesió de sms prciles, cdo exist, se llm sm ptl o iforme de l serie. Se dice qe f es bsoltmete smble (ptl o iformemete) si f es smble (ptl o iformemete) Los resltdos y vistos pr scesioes se trsld hor pr series (pesto qe so scesioes de sms prciles). Teorem (smbilidd iforme y cotiidd). Si cd f es coti y f es iformemete smble f etoces est sm f es coti. Demostrció. Como cd f es coti etoces tods ls sms prciles f f tmbié so cotis y coverge iformemete f. Por el teorem y visto pr scesioes, f = f = lim (f f ) es coti. Teorem (smbilidd e itegrbilidd Riem). Si cd f R[,b] y f es iformemete smble f etoces f R[, b] y demás b f = b f = = b = f. Demostrció. Si cd f es Riem itegrble e [,b] etoces tods ls sms prciles f f tmbié lo so y coverge iformemete f. Por el teorem y visto pr scesioes, f es Riem itegrble y b f = b f = = b = lim - Ferdo Sáchez - - lim (f f ) = lim k= b f k = b f = b (f f ) (l últim igldd es l defiició de sm de serie: el límite de ls sms prciles). Teorem (smbilidd iforme y primitivs). Se f diferecible e [,b] pr todo N. Si l serie f es iformemete smble co sm igl д, y si existe c [,b] tl qe f (c) es smble, etoces f es smble, s sm es fció derivble f qe demás verific f = д, es decir, ( ) f = f. Demostrció. Como cd f es diferecible etoces tmbié lo so ls fcioes f f qe form l scesió de sms prciles. Por hipótesis, l scesió (f +...+f ) = f +...+f coverge iformemete д y existe c pr el qe l scesió (f (c)+...+ f (c)) es covergete. Por el teorem y visto sobre covergeci iforme y primitivs, l scesió f f coverge iformemete fció derivble f, cy derivd es f = д. Hy dos tipos especilmete importtes de series de fcioes: ls series de potecis y ls series trigoométrics. Scesioes y series fcioles

12 A) Ls series de potecis, qe tiee expresió de l form - Ferdo Sáchez - - c (x ) = c 0 + c (x ) + c 2 (x ) (es poliomio ifiito escrito e potecis de (x )). Ls fcioes qe se pede escribir como series de potecis so my reglres (dode esté defiids): so cotis, itegrbles y se pede derivr ifiits veces. B) Ls series trigoométrics so de l form ( cos x + b se x ) = 0 + cos x + b se x + 2 cos 2x + b 2 se 2x +... (es poliomio trigoométrico ifiito). A veces prece sólo expresds co l fció coseo: si tg φ = B/A etoces A cos z + B se z = A (cos z + BA ) ( se z = A cos z + se φ ) cos φ se z = A cos φ (cos φ cos z + se φ se z) = A - Ferdo Sáchez - - cos φ cos(φ z) Est cde de iglddes dice qe ls combicioes lieles de seos y coseos del mismo rgmeto pede escribirse sólo como coseo, o como seo. Por este motivo veces ls series trigoométrics prece de form distit. Ls fcioes qe pede escribirse como series trigoométrics so clse my mpli, precticmete, clqier fció imgible. El teorem de Crleso, demostrdo e 965, preb qe l serie de Forier (trigoométric) de fció de L 2 coverge e csi todo pto l fció. E este crso o se estdirá series trigoométrics. E por ejemplo, pede verse ejemplos sobre este tipos de series. Fció esclod y serie de Forier (hst grdo 4) Series de potecis. Fcioes lítics U serie c (x ) = c 0 + c (x ) + c 2 (x ) se llm serie de potecis cetrd e R y co coeficietes c 0,c,c 2,... Depediedo de cómo se estos vlores será ls propieddes de l serie: dóde está defiid, cómo es l covergeci iforme,... Ejemplos. ) L serie de potecis +x +x 2 +x 3 +x está cetrd e 0 y ss coeficietes todos so igles. Pr x = 6 est serie o tiee setido, s sm es + ; sí tiee setido pr x = 0 (s sm sle etoces ) y pr x = /2 (s sm es 2). 2) L serie de potecis + 2(x + 4) + 3(x + 4) 2 + 4(x + 4) 3 + 5(x + 4) está cetrd e 4 y ss coeficietes so, 2, 3, 4,... Pr x = 6 o pr x = 0 est serie o tiee setido, s sm es +. E cmbio, pr x = 4 s sm es. Scesioes y series fcioles 2

13 - Ferdo Sáchez - - Rdio de covergeci o smbilidd. Pr serie c (x ) cbe pregtrse pr qé vlores de x tiee setido, es decir, cál es el domiio de defiició de f (x) = c (x ) o, dicho de otr form, e qé vlores x l serie es ptlmete covergete. Evidetemete l serie es smble pr x = y e ese cso l sm es c 0. Pero, qé ocrre pr otro vlores? Es posible qe pr ptos próximos x = se obteg l covergeci. Por ejemplo, pr x = + l serie es c y pr x = + 2 l serie qe se obtiee es c 2. So smbles ésts dos últims series? Está clro qe l respest depede de cómo se los coeficietes c. Pr el estdio de l covergeci ptl de l serie de potecis se tiliz el criterio de l ríz, y visto pr series mérics. Pr cd x l serie c (x ) verific: si limsp c (x ) si limsp c (x ) < etoces l serie es bsoltmete smble > etoces l serie o es smble si limsp c (x ) este cso por seprdo Como se pede defiir = etoces l serie pede ser smble o o y hy qe estdir limsp c (x ) = x limsp c r = - Ferdo Sáchez - - ( limsp c (r = 0 si este limsp = +, y r = + si este limsp = 0) y expresr lo terior como si x < r etoces l serie c (x ) es bsoltmete smble ) si x > r etoces l serie c (x ) o es smble si x = r, es decir, pr x = ± r, etoces l serie pede ser smble o o y hy qe estdir este cso por seprdo El vlor r se llm rdio de covergeci o de smbilidd de l serie. Mrc el itervlo ( r, +r) e el cl l serie está defiid. Si x ( r, +r) (es decir, si x < r) etoces c (x ) es bsoltmete smble. Si x > r etoces l serie es o smble. Pr los vlores x = r y x = + r hy qe comprobr cómo es el crácter de l serie, smble o o. Ejercicio. El rdio de covergeci pede clclrse tmbié tilizdo el criterio del cociete. El resltdo es el mismo (ver ls hojs de problems de Cálclo I). Pede probrse qe si r es el rdio de covergeci de serie (x ) y 0 etoces Ejemplos: ) L serie limif + r limsp + x = + x + x 2 + x Scesioes y series fcioles 3

14 está cetrd e = 0. S rdio de covergeci es - Ferdo Sáchez - - r = limsp =. Por tto, l serie está bie defiid (es bsoltmete smble) e el itervlo (, ). Es o smble e [, ] c (es decir, e los ptos qe cmple x > ). Pede ser smble o o e los bordes del itervlo. E x = l serie es , qe es o smble. E x = l serie es qe tmpoco es smble. 2) L serie = (x 4) = x 4 + (x 4)2 2 está cetrd e = 4. S rdio de covergeci es + (x 4) r = limsp =. L serie es smble e el itervlo (4, 4 + ) = (3, 5), es decir, e los ptos qe cmple x 4 <. Es o smble si x 4 >. So los ptos de [3, 5] c = (, 3) (5, + ). Pr x 4 =, es decir, e los extremos x = 3 y x = 5 hy qe ver cómo es l serie. Pr x = 3 l serie es ( ), qe es smble. Pr x = 5 o es smble, y qe l serie qe se obtiee es. - Ferdo Sáchez - - x 3) L serie tiee rdio de covergeci r =. Además tmbié coverge e los bordes 2 =6 del itervlo. L serie es smble e [, ] y es o smble fer de él. 4) L serie 3 x tiee rdio de covergeci r =. E los bordes del itervlo o es smble. L serie es smble e (, ) y es o smble e el resto. 5) L serie 2 (x + 5) tiee rdio de covergeci r = /2. Como está cetrd e = 5, l serie es smble e el itervlo ( 5 5, 4 5). E los bordes del itervlo y e el resto de ptos es o smble. 6) L serie se π 6 2 (x ) tiee rdio de covergeci r = 2. Por tto es smble e el itervlo (, 3). No es smble e igú otro sitio: i e los bordes del itervlo i fer de él. 7) L serie!x tiee rdio de covergeci r = 0. Sólo tiee setido e x = 0. No es serie, es egño. Scesioes y series fcioles 4

15 - Ferdo Sáchez - - x 8) L serie tiee rdio de covergeci r = +. Es serie smble e todo R. Y se! vio (problems de Cálclo I) qe est serie verific pr todo x R e x = lim ( + x ) x =! Covergeci iforme de serie de potecis. Cosececis Este último ejemplo plte s cestioes sobre series de potecis. Si l serie coverge e lgú itervlo, lo hce hci lg fció coocid? O tmbié, dd fció f, podemos ecotrr serie de potecis qe coicid co f e lgú itervlo? De mometo hemos visto qe cd serie de potecis c (x ) está bie defiid (es smble) pr cd x ( r, + r) (y posiblemete e los bordes del itervlo), dode r es el rdio de covergeci. Dicho de otr form, l serie coverge ptlmete c (x ) = ( c 0, c 0 + c (x ),... ) p f (x) = c (x ) pr cd x ( r, + r). Y o hy covergeci ptl e [ r, + r] c. Pero, qé se pede decir sobre l smbilidd iforme de l serie de potecis? L covergeci iforme implic l covergeci ptl, y por tto, sólo pede drse detro del itervlo de covergeci ( r, + r), mplible evetlmete los extremos del itervlo. Criterio M (myorte) de Weierstrss. Si existe úmeros M tles qe f (x) M pr todo y pr todo x A, y l serie M es smble, etoces f es bsoltmete iformemete smble e A. - Ferdo Sáchez - - Demostrció. L serie M es bsoltmete smble (ss térmios so todos positivos) y por tto cmple l codició de Cchy: ddo ε > 0 existe ν N tl qe m k= M k < ε pr,m > ν. E cosececi m k= f k(x) < ε pr todo x A. Así, f es bsoltmete iformemete de Cchy, y por tto bsoltmete iformemete smble. Este criterio pede plicrse clqier tipo de serie f, de potecis o de clqier otro tipo. Bst sber ecotrr cots M pr cd de ls fcioes f tles qe l serie M se smble. Se cosige sí qe l serie f (x) esté myord por l serie M, de hí el ombre del criterio. Hllr costtes M co ests codicioes o siempre es posible, qe veces... Ejemplos: ) l serie se x 2 verific se x 2 2 pr todo x R y pr todo N. Es desigldd es evidete pes se x. Como / 2 es smble, l serie de prtid es bsoltmete iformemete smble e todo R. 2) Lo mismo pede plicrse l serie 3 + cos x + 3. Scesioes y series fcioles 5

16 Pr cd x R se tiee y l serie - Ferdo Sáchez cos x es smble ( be ejercicio de repso de Cálclo I). Por tto, l serie 3 + cos x + 3 es bsoltmete iformemete smble e todo R. Aplicció de este criterio M e ls series de potecis. E el cso de serie c (x ) de potecis, este criterio M siempre se pede plicr y sí se cosige estblecer l smbilidd iforme de l serie. Dd serie c (x ) co rdio de covergeci r > 0, se elige úmero s verificdo 0 < s < r. Pr cd x [ s, + s] (es decir x s) se tiee qe c (x ) c s. L serie c s es smble: esto es evidete trs plicr el criterio de l ríz, y qe limsp c s = s limsp - Ferdo Sáchez - - c = s r <. Se pede plicr etoces el criterio M, y sí c (x ) es bsoltmete iformemete smble e [ s, + s]. E resme Corolrio. Si c (x ) es serie co rdio de covergeci r > 0, etoces pr cd 0 < s < r l serie es bsoltmete iformemete smble e [ s, + s]. E totl, e el itervlo x ( r, + r) se tiee c (x ) = ( c 0, c 0 + c (x ),... ) p f (x) = c (x ). Despés de plicr este criterio M se tiee demás c (x ) = ( c 0, c 0 + c (x ),... ) f (x) = c (x ) e cd [ s, + s], dode 0 < s < r. L fció f (x) es límite iforme de l scesió de sms prciles ( c 0, c 0 + c (x ),... ), qe so tods fcioes cotis, diferecibles e itegrbles e ( r, + r). Corolrio. Pr serie c (x ) co rdio de covergeci r > 0 se tiee ) L fció f : x ( r, + r) f (x) = c (x ) es coti. 2) f es idefiidmete diferecible e ( r, +r) y demás f () () =!c pr cd N. 3) f es itegrble e cd [, x] coteido e el itervlo de covergeci, y s primitiv es tmbié serie de potecis co el mismo rdio de covergeci x f (t)dt = x ( c (t ) ) dt = x c (t ) dt = c + (x )+. Scesioes y series fcioles 6

17 - Ferdo Sáchez - - Demostrció. ) f es el límite iforme e [ s, + s] de fcioes cotis (ls sms prciles de l serie so fcioes poliómics) y sí f es coti e cd itervlo [ s, +s] co 0 < s < r. Por tto f es coti e ( r, + r). 2) Se д(x) = = c (x ) l serie qe reslt de derivr l serie origil c (x ) térmio térmio. Ambs series tiee el mismo rdio de covergeci, y qe r д = limsp c = limsp c = r (recérdese qe limsp = ). Lego д es el límite iforme de l scesió de sms prciles derivds, es decir, de l serie = c (x ). Aplicdo el teorem y coocido sobre covergeci iforme y primitivs, reslt qe f es derivble y f = д. Est últim igldd pede escribirse tmbié como ( c (x ) ) = c (x ). = El mismo rgmeto sirve pr probr qe f (x) = =2 ( )c (x ) 2, etcéter. Como f (x) = f (x) = f (x) = c (x ) = c 0 + c (x ) + c 2 (x ) 2 + c 3 (x ) c (x ) = c + 2c 2 (x ) + 3c 3 (x ) = ( )c (x ) 2 = 2c c 3 (x ) c 4 (x ) =2 etoces f () = c 0, f () = c, f () = 2c 2,...y e geerl, f () () =!c. - Ferdo Sáchez - - 3) A cs de l covergeci iforme, se pede itegrr térmio térmio e el itervlo de covergeci. Si x ( r, + r), como l serie coverge iformemete e [, x] y ss smdos so fcioes itegrbles, l fció sm f es itegrble e [, x] y demás x f (t)dt = x ( c (t ) ) dt = qe tiee el mismo rdio de covergeci. x c (t ) dt = c + (x )+, Ejemplo. L serie + x + x 2 + x tiee rdio de covergeci r =. Por tto x = + x + x 2 + x p, f (x) = x. L covergeci ptl es e el itervlo (, ) y l iforme e clqier itervlo cerrdo coteido e él. Además, es coocido (otro repso de Cálclo I) qe l serie es progresió geométric de rzó x, por tto, pede escribirse x = + x + x 2 + x p, f (x) = x = x. Scesioes y series fcioles 7

18 - Ferdo Sáchez - - Los resltdos y vistos dice qe clqier derivd y clqier primitiv de est fció es serie de potecis co el mismo rdio de covergeci, es decir, serie de potecis e el itervlo (, ). Por ejemplo, derivdo térmio térmio se cosige ( x ) = x = + 2x + 3x 2 + 4x = p, f (x) = De form similr, el cálclo de primitiv F de f es secillo x 0 f = x + + = x + x2 2 + x3 3 + x p, F(x) = x = = x + + ( x) 2. = log( x). Ls derivds y primitivs (de clqier orde) tiee tods el mismo rdio de covergeci, por tto, tods está defiids e el itervlo (, ). L igldd x + x2 2 + x = log( x) es válid pr < x <. Iclso pede mplirse (ver el teorem de Abel más delte) pr el cso x = y se obtiee = log 2. Ejercicio (pr prcticr co series de potecis). Aprovechdo l derivd de l serie terior, si pede escribir x = ( + )x = x + x, y reslt = x = x = - Ferdo Sáchez - - x = E otros térmios reslt qizás más secillo, ( x) 2 x = x ( x) 2. x + 2x 2 + 3x = ( + 2x + 3x ) ( + x + x 2 + x ). Ejemplo. L serie = tiee rdio de covergeci r = +. Por tto e R. = ( ) x! ( ) x! p, f (x) = = S derivd f y s primitiv F so secills de clclr: ( ) x! f (x) = = ( ) x!, F(x) = = ( ) x + ( + )!, Scesioes y series fcioles 8

19 - Ferdo Sáchez - - mbs defiids e R. Se pede clclr ss derivds y primitivs de clqier orde, qe es my posible qe e este ejemplo o se coozc fció elemetl co l qe represetr l fció f (o lg de ss derivds o primitivs), como sí psb e el ejemplo terior. Fcioes lítics El corolrio último dice qe l serie c (x ), cy sm es f e los lrededores de, es decir, e ( r, + r), es exctmete l serie de Tylor de f lrededor de f (x) = f () ()! (x ) = f () + f ()(x ) + f () 2! (x ) 2 + f () 3! (x ) Est serie de Tylor de f es l serie cy scesió de sms prciles so los poliomios de Tylor de f e. L fció f es coti y diferecible idefiidmete. Este resltdo d eteder qe fció f qe se idefiidmete diferecible geer serie de potecis c (x ), dode c = f () ()/!, qe coicide co l propi fció. El sigiete ejemplo mestr qe esto o es ecesrimete cierto. Ejemplo. L fció f (x) = e x 2 pr x 0 y f (0) = 0, es idefiidmete diferecible e = 0 (y se h visto esto e Cálclo I). Además 0 = f (0) = f (0) = f (0) = f (0) =... Por tto, se pede formr l serie de potecis lrededor de = 0 y se obtiee f () ()! (x ) = - Ferdo Sáchez - - f () (0) x = = 0! y por tto l fció f y s serie de Tylor o coicide e igú pto, slvo e x = 0. Ejemplo. L fció f (x) = e x es idefiidmete diferecible e R y = f (0) = f (0) = f (0) = f (0) =... Se cosider l serie de potecis lrededor de = 0 (cyo rdio es r = + ) д(x) = f () ()! (x ) =! x = + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... Debe coicidir f y д? Desde lego sí qe lo hce e el pto = 0. Y e lgú itervlo? Hy motivos qe se verá más delte pr segrr l igldd f (x) = д(x) pr todo x R. Pr este ejemplo e prticlr se pede tilizr el hecho de qe mbs fcioes coicide co s propi derivd: f (x) = e x = f (x), д (x) = x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... = д(x). Como cosececi, ls dos fcioes f y д debe ser igles: l ser д F(x) = д(x)/e x verific F (x) = д (x)e x д(x)e x e 2x = 0, = д l fció y F es costte. Como demás д(0)/e 0 =, es costte es igl, es decir д(x) = e x pr todo x. Scesioes y series fcioles 9

20 - Ferdo Sáchez - - Defiició. Se dice qe f : A R R es lític e Å si f es sm de serie de potecis cetrd e y co rdio positivo, es decir, si f (x) = c (x ) ( ) x ( r, + r). Si f es lític e, etoces f (x) = c (x ) e lgú etoro ( r, + r) y demás c = f () ()/! Se dice qe fció es lític e cojto si es lític e cd o de ss ptos. Ejemplos. ) E el ejemplo terior se h visto qe l fció f (x) = e x es lític e = 0. Y es posible repetir el rgmeto tilizdo pr probr fácilmete qe es lític e clqier. Se trt de fció lític e R. 2) Clqier serie de potecis (defiid e s itervlo de covergeci) es lític. Por ejemplo, l fció f (x) = + x + x 2 + x , qe está defiid e (, ), es lític e = 0. 3) Y se h visto qe l derivd y l primitiv de fció lític e tmbié es fció lític e. El teorem de proximció de Weierstrss, qe o se v ver e este crso, preb qe cd fció coti f : [,b] R es el límite iforme de fcioes poliómics, es decir, existe poliomios P qe verific (P ) f. E otrs plbrs, e cd bd de rdio ε qe rodee l fció f hy lg fció poliómic. Ser fció lític exige demás qe esos poliomios se de ciert form: s serie de Tylor. Ejercicios (ver ls hojs de ejemplos y ejercicios sobre estos resltdos). - Ferdo Sáchez - - ) Si f es lític e, es decir, f (x) = c (x ) e ( r, + r), etoces tmbié es lític e cd b ( r, + r), y se pede escribir f como serie de potecis cetrd e b, es decir, f (x) = d (x b) pr x (b r, b + r ) 2) Dds dos fcioes lítics f (x) = c (x ) y д(x) = d (x ) e el pto, ls fcioes sm, prodcto y cociete* so lítics e el itervlo comú mbs, y se tiee (f + д)(x) = (c + d )(x ) (f д)(x) = ( f д ) (x) = ( j+k= α (x ). c j d k ) (x ) Se etiede qe pr el cociete д o se l e todo el itervlo comú. Los coeficietes α pede clclrse prtir de l igldd c (x ) = ( d (x ) ) ( α (x ) ). Así, igldo el térmio idepediete e cd ldo, el de grdo e (x ),... α 0 = c 0 d 0, α = d 0 ( c c 0d d 0 ), etcéter. Scesioes y series fcioles 20

21 3) L composició de fcioes lítics es fció lític. - Ferdo Sáchez - - Ejemplos. ) L fció f (x) = x o es lític e = 0, y qe i siqier es derivble e dicho pto. Si embrgo, sí es lític es =. E todo el itervlo (0, 2), qe rode l pto =, l serie de Tylor de l fció f (x) = x es f () + f ()(x ) = x. L fció coicide co s serie de Tylor e (0, 2) y por tto es lític e =. Tmbié lo es e = 4, = 5 y e clqier 0. 2) L fció { f (x) = x 2 si x 0 x 2 si x < 0 sólo es derivble vez e 0. Es fció lític e todos los ptos, slvo e el 0. Cómo sber si fció es lític? A modo de resme, los resltdos y vistos sobre series de potecis so: ) Cd serie de potecis defie fció cyo domiio es el itervlo de covergeci (x r, x + r) (posiblemete mplido hst l froter) dd por f (x) = c (x ). b) A cs de l covergeci iforme, se pede itegrr térmio térmio e el itervlo de covergeci. Si x ( r, + r) etoces x f (t)dt = - Ferdo Sáchez - - x c (t ) dt = c + (x )+, qe tiee el mismo rdio de covergeci. c) L fció f tiee derivd de clqier orde, qe se obtiee derivdo térmio térmio, f (x) = c (x ) y evmete el rdio de covergeci es el mismo. d) Como cosececi, f () () =!c y por tto l fció origil es f (x) = f () ()! (x ). Pede escribirse clqier fció como serie de este tipo? L primer respest evidete es o. Hce flt, como pso previo qe l fció se idefiidmete derivble e. Es esto sficiete pr segrr qe fció se ped escribir como serie de potecis? Otr vez l respest es o: y se h visto ejemplo de fció o l cyo vlor e pto y tods ss derivds e ese pto vle 0. Scesioes y series fcioles 2

22 - Ferdo Sáchez - - Cbe pregtrse etoces l sigiete cestió: si e lgú itervlo ( r, +r) fció f : ( r, + r) R es diferecible idefiidmete se pede formr l serie de potecis f () ()! (x ) qe se llm serie de Tylor de f e. Qé hce flt pr segrr l igldd f (x)? = f () ()! (x )? El teorem globl de Tylor (visto e Cálclo I) estblece qe pr cd x y cd existe vlor z compredido etre y x qe verific f (x) = k=0 f (k) () k! (x ) k + f () (z)! (x ). Lego codició ecesri y sficiete pr qe l serie de Tylor coverj f (x) es qe lim f () (z)! - Ferdo Sáchez - - (x ) = 0. A veces pede resltr complicdo comprobr qe este límite es cero, y qe el vlor z o es coocido y el térmio f () (z) pede resltr difícil de mejr. Si embrgo, si se cooce qe l fció f y ss derivds so cotds por mismo úmero, f () (z) M pr todo z y pr todo, etoces es evidete qe el límite terior es 0, y qe etoces lim f () (z) (x ) lim M(x )!! = 0. L mism coclsió reslt co codició más débil y, por tto, más fácil de plicr: si existe M tl qe f () (z) M pr todo z, etoces el límite terior es 0, pes lim f () (z) (x ) lim M (x )!! = 0. Este resltdo pede resmirse sí: Teorem (codició sficiete pr ser lític). Se f idefiidmete diferecible e etoro V de. Si existe costte M tl qe f () (x) M pr cd x V y pr cd =, 2, 3,... etoces f () () f (x) = (x )! pr todos los ptos x V (es decir, f es lític e etoro de ). L mism coclsió si existe costte M tl qe f () (x) M pr cd x V y pr cd =, 2, 3,... Ejemplos de fcioes lítics ) Ls fcioes poliómics so lítics. Esto es evidete. Cd fció poliómic f (x) = c 0 + c x + c 2 x c x Scesioes y series fcioles 22

23 - Ferdo Sáchez - - coicide co s serie de Tylor e todo R. Es serie fiit cetrd e = 0 y se pede expresr cetrd e clqier otro pto Por ejemplo f (x) = f () + f ()(x ) + f () 2! - Ferdo Sáchez - - (x ) f (x) = + x x 2 = 7(x 4) (x 4) 2 = 5 + 5(x + 2) (x + 2) 2. Otr form de ver qe cd fció poliómic f es lític es plicr el teorem terior: ls derivds de poliomio verific f () (x) = 0 pr clqier x prtir de vlor e delte (por ejemplo, poliomio grdo 7 tiee derivds de orde 8, 9,... igles cero). 2) L fció expoecil e x es lític. Se trt de fció idefiidmete diferecible y por tto pede ser lític. L serie de Tylor de f (x) = e x cetrd e = 0 es f () (0) x =! x! = + x + x2 2! + x3 3! x! +... y qe = f (0) = f (0) = f (0) =... El rdio de covergeci de est serie es r = +. Se trt etoces de serie bsolt y iformemete covergete e todo compcto de R. Pr comprobr si est serie coicide o o co l fció e x se tiliz el teorem globl de Tylor: e x = + x + x2 2! + x3 3! x! + e z ( + )! x+ dode z es vlor itermedio etre 0 y x. Sólo flt comprobr si e z ( + )! x+ 0. Esto es evidete, si más qe otr qe si 0 z x etoces e z ( + )! x+ ex x + ( + )! 0. E el cso x z 0 se tiee e z y l coclsió es l mism. Por tto, l fció f (x) = e x es eter (lític co rdio r = + ) y pr todo x R. e x = x! = + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... Por ejemplo, l derivd es (se deriv l serie térmio térmio) (e x ) = x + x2 2! + x3 3! +... = ex. 3) Ls fcioes trigoométrics se x y cos x so lítics. L fció f (x) = se x es idefiidmete diferecible. L serie de Tylor es f () (0) x =! ( ) x 2+ (2 + )! = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... Scesioes y series fcioles 23

24 y qe los vlores de f y ss derivds so - Ferdo Sáchez - - f (x) = se x, f (x) = cos x, f (x) = se x, f (x) = cos x y sí cíclicmete. Lego e = 0 los vlores so 0,, 0, de form cíclic. El rdio de covergeci es r = +. Lego l serie coverge bsolt y iformemete e cd compcto de R. Pr comprobr si est serie coicide co l fció f (x) = se x se plic el teorem globl de Tylor: Como demás se x = x x3 3! + x5 5! x7 7! ±(se cos)z x + ( + )! l fció coicide co l serie e todo x R se x = ( ) x 2+ (2 + )! ±(se cos)z ( + )! x + ( + )! 0 x +. = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... y se trt de fció eter (lític e todo R). Pr l fció cos x se pede hcer el mismo rzomieto: clclr ss derivds, s serie de Tylor,...Pero pede hcerse de form más secill derivdo l fció seo y l serie qe coicide co ell: cos x = ( ) (2 + )x 2 (2 + )! = - Ferdo Sáchez - - ( ) x 2 (2)! = x2 2! + x4 4! x8 8! +... y l igldd se d e todo x R. L fció cos x es tmbié eter y l serie tiee rdio de covergeci r = +. 4) L fció logritmo es lític. Se cosider l fció f (x) = log x. Como o está defiid e 0 se peder hcer l serie de Tylor e =, por ejemplo. Por comodidd se cosider l fció f : (, + ) R dd por f (x) = log( + x), y se hce el desrrollo e = 0. Los vlores de f y ss derivds so f (x) = log( + x) f (0) = 0 f (x) = f (x) = f (3) (x) = f (4) (x) =. ( + x) f (0) =! ( + x) 2 f (0) =! 2! ( + x) 3 f (3) (0) = 2! 3! ( + x) 4 f (4) (0) = 3!. Scesioes y series fcioles 24

25 Por tto, l serie de Tylor es - Ferdo Sáchez - - x x2 2 + x3 3 x4 4 + x = - Ferdo Sáchez - - = ( ) + Es serie cyo rdio de covergeci es r =. Lego l serie es bsolt y iformemete smble e el itervlo (, ). E x = + tmbié es smble y o lo es e x =. Pero o es secillo ver qe pr todo x (, ], si z es vlor itermedio etre 0 y x, se tiee f (z) lim x ( ) + ( x ) = lim! ( + z) x = lim = 0. + z Esto pede demostrrse pr ciertos vlores de x tilizdo ls sigietes desiglddes Si 0 < x < etoces 0 x ( + z < x < y sí x ) 0. + z Si /2 x < 0 etoces x + x < x + z < x y por tto x ( x ) 0. + z E resme, l serie de Tylor coverge log( + x) y por tto es fció lític e el itervlo ( /2, ). Tmbié lo es e (, ) qe ú o se h probdo. Se hrá cotició por método más simple. E x = tmbié es serie smble y s sm es log 2 = = = ( ) +. E relidd est igldd deberí jstificrse; sele hcerse tilizdo teorem de Abel: si fció y serie coicide e itervlo y l serie coverge e extremo del itervlo etoces l fció y l serie coicide tmbié e ese extremo. Teorem (del límite de Abel). Si se tiee f (x) = c (x ) pr x ( r, + r) y l serie coverge e x = + r (podrí ser e el otro extremo) etoces lim x (+r) f (x) existe y se tiee lim x (+r) f (x) = c r. Pr l fció logritmo terior f (x) = log( + x) tmbié se podrí hber procedido de otr form. Se clcl l serie de s derivd y despés, itegrdo, se clcl l serie de l fció origil. Este procedimieto se tiliz si se cooce l serie de l fció derivd (o de l primitiv). E este cso f (x) = /( + x) y est fció es coocid como serie de potecis: es l fórml de l sm de progresió geométric de rzó x, qe tiee setido pr x <, es decir, tiee rdio r = : f (x) = + x = x + x2 x 3 + x = ( ) x. Scesioes y series fcioles 25

26 Itegrdo (l costte de itegrció sle C = 0 y qe f (0) = 0) f (x) = log( + x) = x x2 2 + x3 3 x = - Ferdo Sáchez - - ( ) + x+ = y el rdio de covergeci es el mismo. De l mism form, se podrí escribir l serie qe defie l primitiv de log( + x). = ( ) + x, Est ide permite coocer l serie de Tylor de fció siempre qe se coozc l serie de Tylor de lg derivd o lg primitiv sy. Además el rdio de covergeci se mtiee. Ls opercioes hbitles co fcioes lítics d fcioes lítics. Ls sms, rests, prodctos, cocietes y composició de fcioes lítics so lítics (co l restricció de siempre). Por tto, tods ls fcioes elemetles so lítics. Esto permite ecotrr ls series de Tylor de fcioes como se x 2, y qe y sí se x 2 Tmbié se pede clclr se x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = = x 2 x6 6 + x0 20 x = ( ) x 2+ (2 + )! ( ) (x 2 ) 2+ (2 + )!. e x tg x = x + x 2 + 5x3 6 + x x x Ferdo Sáchez - - Ahor es posible, itegrdo térmio térmio, ecotrr primitiv de se x 2 o e x tg x: se x 2 dx = x3 3 x x 320 x = ( ) x 4+3 (4 + 3)(2 + )!. = Algos ejemplos más. Y se h dicho qe ls fcioes lítics se mtiee por ls opercioes sles (sm, rest, composició,...) Ls fcioes elemetles sigietes so álitics, y lgs de ells so eters (el rdio es ifiito). e x se x cos x = + x + x2 2! + x3 3! +... = = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = = x2 2! + x4 4! x6 6! +... = x! ( ) x 2+ (2 + )! ( ) x 2 (2)! E los tres csos el rdio de covergeci es y ls fcioes so eters: l covergeci se tiee pr todo x R. Esto permite hcer el desrrollo cetrdo e otro pto, por ejemplo, e x = e e x = e (x )! Scesioes y series fcioles 26

27 o tmbié el cálclo de primitivs de fcioes como e x2 - Ferdo Sáchez - - x 0 e t 2 dt = x 0 t 2! dt = x 0 t 2! dt = x 2+!(2 + ). U serie de potecis se pede clclr coociedo l serie de potecis de s derivd o de s primitiv. Por ejemplo, x = x ( x < ) es l sm de térmios de progresió geométric de rzó x, qe coverge si x <, permite coocer x + log( x) = ( x < ). + Además, prtir de l fórml de l sm de progresió geométric se pede escribir, x + x = = + x 2 = ( ) (x ) ( x < ) ( ) x ( x < ) ( ) x 2 ( x < ) - Ferdo Sáchez - - y por tto, se pede coocer medite itegrció direct ls series de fcioes logrítmics y expoeciles, y qe (rctg x) = + x 2 y por tto, ( ) x 2+ rctg x = ( x < ). 2 + Aálogmete, log x = log( + x) = ( ) (x ) + + ( ) x + + ( x < ) ( x < ). Iclso se h visto qe est últim igldd pede mplirse l pto extremo del rdio de covergeci (x = ) pr obteer l coocid fórml log 2 = ( ) + = Scesioes y series fcioles 27

28 - Ferdo Sáchez - - U criosidd: fcioes cotis o derivbles e igú pto. Ecotrr fció coti qe o se derivble e pto, o e os ctos ptos, o es difícil. Utilizdo series se pede cosegir fcioes cotis qe cd vez oscile más. Por ejemplo f (x) = se x oscil lo lrgo de tod l rect rel; f 2 (x) = se x + se(9x)/ es fció qe oscil mcho más lrededor de l fció se x. Los úmeros 9 y se h elegido co l iteció de cosegir fció qe oscile mcho pero qe teg poc mplitd. Ls gráfics de f (x) = se x, f 2 (x) = se x + se(9x), f 3 (x) = se x + se(9x) + se(79x) 2 f 3 f 2 f se v eroscdo cd vez más cd lrededor de l terior. Si se elige bie estos úmeros qe prece 9,, 79, 2,... y ñdiedo más térmios, se pede cosegir como límite (sm de serie) fció coti qe o pede derivrse e igú pto. Est fció es similr l fció de Drbox descrit más delte. - Ferdo Sáchez - - E 872, Weierstrss ecotró l form de defiir fció co tles propieddes, coti y si derivd e cd pto. S expresió es: f (x) = b cos( πx) (x R) dode 0 < b <, es úmero impr y b > + 3π/2, es decir, b es peqeño y sficietemete grde pr qe l gráfic teg mchs oscilcioes qe o se repit. Como b cos( πx) b y l serie b coverge se tiee qe f es l sm de serie qe coverge bsolt y iformemete e R. Por tto f es fció coti e R. Si embrgo, f o dmite derivd e igú pto. Sobre es mism époc Drbox ecetr l fció y Cellérier l fció д(x) = h(x) = = = se(( + )! x)! (x R) se( x) (x R, > 000) mbs cotis y o derivbles e igú pto. Scesioes y series fcioles 28

29 - Ferdo Sáchez Ferdo Sáchez - - E todos estos ejemplos, ls fcioes so límite iforme de fcioes qe so cotis y derivbles ifiits veces. U ejemplo más de l relció etre covergeci iforme y derivbilidd. Aproximció de π co series. Números t especiles como π pede precer como sm de series, como pede verse e = 2 = π 2 6. De los desrrollos de ls fcioes e x, se x y cos x, e x = + x + x2 2! + x3 3! +... se pede comprobr qe se x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! +... e iα = cos α + i se α. Est fórml es válid pr todo α R. E prticlr, pr α = π se obtiee qe se cooce como fórml de Eler. e iπ + = 0, Scesioes y series fcioles 29