MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS

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1 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS I INTRODUCCION E estos aputes dscutremos e más detalle el modelo de regresó múltple e la preseca de errores o esfércos. Esto es, aquellos que vola los supuestos de heterocedastcdad o autocorrelacó. Supodremos el modelo leal geeral: Y β + u ( E(u E(uu Ω dode Ω es ua matrz postva defda. Recordemos que los errores so heterocedástcos cuado tee dsttas varazas. Este feómeo se da usualmete cuado trabajamos co datos de corte trasversal. Por ejemplo, cosderemos la retabldad promedo de u cojuto de empresas e u mometo del tempo. La escala de la varable depedete y el valor explcatvo del modelo tede a varar etre las dsttas observacoes, aú s cotrolamos por factores tales como el tamaño de la frma. E efecto, la varaza de la retabldad podría depeder del grado de dversfcacó de la produccó y de factores típcos de cada dustra, los cuales varía etre empresas de smlar tamaño. E la auseca de autocorrelacó, la matrz varaza-covaraza de los errores tomaría la forma: E( uu' Ω La autocorrelacó se ecuetra usualmete e datos de seres de tempo. Se dce que éstos tee memora porque la varacó de la regresó o es depedete de u período a otro. Por ejemplo, e el caso de los Codcoamos e los valores de las s porque éstas pueda ser varables aleatoras.

2 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez precos ajustados estacoalmete, la observacó e t depede típcamete de lo observado e el pasado. Las seres de tempo so geeralmete homocedástcas, de modo que la matrz varaza-covaraza de los errores toma la forma: E( uu' Ω E geeral, los valores de las correlacoes etre los errores decla a medda que os movemos fuera de la dagoal. Esto es, a medda que las observacoes está más espacadas e el tempo. II PROPIEDADES DE MICO EN MUESTRAS FINITAS Sabemos que: ˆ β ( ' ' Y β + ( ' ' u ( Por lo tato, E(ˆ β β + ( ' ' E( u β (3 Es decr, dado que E(u, el estmador de mímos cuadrados ordaros (MICO es sesgado (codcoal e. Por otra parte, la varaza de MICO vee dada por: Var(ˆ β E{(ˆ β β(ˆ β β' } (4 E{( ' E{( ' ' uu' ( ' ' uu' ( ' ( ' ' Ω ( ' } }

3 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 3 De ello, es claro que Var(ˆ β ( '. S, además, u N(, Ω, etoces: ˆ β ~ N( β, ( ' ' Ω ( ' (5 Esto es, el estmador MICO sgue dstrbuyédose ormal, pero perde su propedad de estmador MELI. Es mportate señalar que el estmador de : ˆ ( Y βˆ' ( Y βˆ k (6 es sesgado. Esto es, E( ˆ. De lo ateror, los tervalos de cofaza para β costrudos e base a ˆ ( ' será sesgados. Prmero, porque el estmador (6 es sesgado, y segudo, porque Var(ˆ β ( ' ' Ω ( '. III MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS 3. Coceptos Prelmares Sabemos que la matrz Ω es smétrca. Por lo tato, admte ua descomposcó espectral: Ω C Λ C (7 dode las columas de C so los vectores propos de Ω, y los valores propos de Ω está ordeados e la matrz dagoal Λ. Dado que la matrz Ω es, además, postva defda, todos sus valores propos so postvos. Por lo tato, Λ / exste y vee dada por:

4 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 4 Λ / λ λ λ Defíase la matrz P C Λ /. Co lo cual, Ω P P. El modelo de regresó trasformado vee dado por: P Y P β + P u Yβ + ε (8 dode YPY, P, upu. S la matrz Ω es coocda, etoces e Y so observables. Por qué esta trasformacó, e partcular? Notemos que E(uu P E(uu P P Ω P Λ / C C Λ C C Λ / I porque, dado que la matrz Ω es smétrca, C CI. De lo ateror, los errores del modelo trasformado satsface los supuestos del modelo leal clásco. Sabemos que, bajo dchos supuestos, el estmador MICO es el más efcete. Por lo tato, el estmador de mímos cuadrados ordaros aplcado al modelo trasformado també lo es: βˆ MCG ( ' ' Y ( ' P' P ' P' PY ( ' Ω ' Ω Y (9

5 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 5 Claramete, E( ˆβ MCG β. Ello, porque E(u E(Pu P E(u, dado que P es ua matrz de costates coocdas. Además, por el teorema de Gauss-Markov, la varaza de ˆβ MCG es míma detro de la clase de estmadores sesgados y leales e Y: Var( βˆ MCG ( ' ( ' Ω ( S, además, asummos que u N(, Ω, etoces ˆβ MCG será MEI (Mejor Estmador Isesgado, porque cocdrá co el estmador de máxma verosmltud de β. 3. Test de Hpótess Los test de restrccoes leales dvduales se lleva a cabo co u test t, como es habtual. E el caso geeral, e el cual se quere cotrastar u cojuto de J restrccoes leales, se utlza u test F: H : R Jxk β kx q Jx F(J, k ( Rβˆ J ( uˆ r q' ( ˆ r ' uˆ r uˆ r ˆ ' uˆ r R( / J ' R' ( Rβˆ r q ( dode uˆ r Y βˆ r βˆ r ( ' ' Y ˆ ' ˆ ( ˆ ' ˆ u r u r Y βr Ω k ( Y βˆ k r uˆ r Y βˆ r βˆ r βˆ r ( ' Ω R' ( R ( ' Ω R' ( Rβˆ r q E resume, todos los resultados del modelo leal clásco para los datos trasformados se aplca, cluyedo los test de hpótess.

6 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 6 IMPORTANTE: El coefcete de determacó múltple o medda de bodad de ajuste del modelo, R, NO tee ua cotrapartda e el cotexto de mímos cuadrados geeralzados. Por qué? Porque el R calculado por la computadora mde la bodad del ajuste del modelo que utlza los datos trasformados, es decr, aquel e el cual la varable depedete es Y. Por lo tato, se ha sugerdo utlzar: R ~ ( Y βˆ MCG (Y ' ( Y β ˆ Y MCG ( como medda de bodad de ajuste del modelo s trasformar. S embargo, o hay garatía de que R ~ se ubque e el tervalo [, ]. Por lo tato, o es ua medda útl para comparar modelos IV ESTIMACION EN LA PRESENCIA DE HETEROCEDASTICIDAD S la varaza del error o es costate a lo largo de las observacoes, estamos e la preseca de heterocedastcdad: Var(u,,, (3 que: Bajo el supuesto de que los errores o está correlacoados, teemos E( uu' Ω Como mecoamos, la heterocedastcdad surge prcpalmete e las seres de corte trasversal. Como sabemos, e la preseca de heterocedastcdad, MICO es sesgado, pero es efcete e relacó a MCG.

7 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 7 Ejemplo Cosderemos el sguete modelo (s tercepto: Y β + u (u Var Co ello, ' ( E Ω uu 4 MICO ' ( ' ' ( Var( ˆ Ω β ' ( Var( ˆ MCG Ω β Por lo tato, la efceca relatva de MICO vee dada por: k 4 4 > Para demostrar que k>, defíase Z. Etoces

8 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 8 k Z Z Z Z Pero Z (Z Z + Z. Por lo tato, k (Z Z + > Z 4. Deteccó de la Heterocedastcdad Bajo la preseca de heterocedastcdad, los estmadores MICO sgue sedo sesgados. Por lo tato, los resduos MICO reproducrá la heterocedastcdad de los errores poblacoales (auque de maera mperfecta, debdo a la varaza muestral. Por ello, los tests para detectar la preseca de heterocedastcdad se basa e los resduos de MICO. Los tests más coocdos para detectar la heterocedastcdad so los sguetes: Whte Breusch-Paga-Godfrey Glejser Goldfeld-Quadt Los tres prmeros test aparece descrtos e los aputes de repaso. Por lo tato, sólo os referremos brevemete al test de Goldfeld-Quadt. Goldfeld-Quadt: Este test asume que las observacoes puede ser dvddas e dos grupos de maera tal que, bajo la hpótess ula de homocedastcdad, las varazas debe ser guales e ambos grupos. Bajo la hpótess alteratva, e tato, las varazas de los errores dfere sstemátcamete.

9 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 9 Por ejemplo, supogamos que: H :,, H : dode es -avo regresor del modelo. Los pasos a segur para llevar a cabo el test de Goldfeld-Quadt so los sguetes: Ordee las observacoes de acuerdo a los valores de, de maera ascedete. Omta c observacoes cetrales, dode c es u úmero escogdo a pror. (E la práctca se acoseja escoger c /3 de la muestra. Las observacoes restates se dvde e dos grupos, cada uo co ( c/ observacoes. 3 Estme el modelo de regresó para cada grupo y obtega la suma de cuadrados resduales (SCR correspodete. 4 Bajo ormaldad de los errores poblacoales, se tee que: λ SCR ( c / k SCR ( c / k c c ~ F k, k (4 dode el grupo tee la varaza más pequeña. La regla de decsó es: rechace H (homocedastcdad s λ supera el ( ε % c c valor crítco de la dstrbucó F k, k, dode ε es el vel de sgfcaca. Ejemplo Supogamos el sguete modelo: C β + β I + u,,,

10 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez dode C cosumo correte, I greso dspoble para u cojuto de famlas. Supogamos que se sospecha de la exsteca de heterocedastcdad e los datos. E partcular, se cree que I. El prmer paso cosstría, etoces, e ordear las observacoes por vel de greso, de meor a mayor. Luego omtríamos c observacoes cetrales, de modo que tedríamos dos grupos: uo de varaza pequeña y uo de varaza grade. Por ejemplo, s el tamaño de la muestra es 5, elmaríamos 7 observacoes cetrales. Luego estmaríamos la ecuacó de cosumo para cada grupo de 7 observacoes, y calcularíamos el estadígrafo λ, segú la fórmula (4 4. Estmacó vía MCG cuado Ω es Coocda Supogamos el caso geeral e que puede resumr matrcalmete como sgue: Var(u, lo cual se E( uu' Ω De modo que Ω es ua matrz dagoal, cuyo -avo elemeto es. De ello, la matrz Ω y P vee dadas, respectvamete, por: Ω / / / / P / / Co ello, Y Y Y PY Y / / / x x P x ' / ' / ' /

11 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez dode x' x ' x ' x ' ( k S estmamos el modelo trasformado por MICO, obtedremos el estmador de MCG: βˆ MCG ( ' ' Y ( ' Ω ' Ω x x ' x Y (5 Y E este caso, la expresó (5 recbe el ombre de estmador de mímos cuadrados poderados (MCP. Ello, porque las observacoes co varazas más pequeñas recbe ua poderacó mayor y, por lo tato, tee ua mayor flueca e los estmadores obtedos. Ejemplo Usualmete se platea que la varaza del error es proporcoal a uo de los regresores o a su cuadrado. Por ejemplo, e estudos sobre las gaacas de u cojuto de empresas, se asume comúmete que la varable determate de la heterocedastcdad es el tamaño de la empresa. Sea k el tamaño de la empresa. Etoces, s corregdo por heterocedastcdad sería: k, el modelo Y k β k + β k + β k u + + k S e vez la varaza es proporcoal a k, esto es, poderacó utlzada para cada observacó es / k k, la

12 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 4.3 Estmacó vía MCG cuado Ω es Descoocda Cuado la matrz Ω cotee parámetros descoocdos, se debe recurrr a algú método de estmacó para obteer estmadores de dchos parámetros. Uo de ello se cooce como MCG e dos etapas o MCG factbles. Otro método alteratvo, a ser cuberto más adelate, cosste e platear la fucó de verosmltud de la muestra y maxmzarla co respecto a los parámetros descoocdos. Este se cooce como el método de máxma verosmltud. (Geeralmete, ambos métodos será equvaletes e muestras grades. Descrbremos brevemete MCG e dos etapas para el caso cocreto de la heterocedastcdad. Recordemos prmero que el estmador MCG vee dado por: βˆ MCG x x ' x Y (6 Por lo tato, requermos de u estmador de,,,,. Cómo proceder? Notemos que e la preseca de heterocedastcdad MICO sgue sedo sesgado. Por lo tato, podemos costrur e ua prmera etapa u estmador de, e base a los resduos de MICO : û (7 dode û Y x ' βˆ. MICO E ua seguda etapa, obteemos el estmador de MCG factbles (MCGF: βˆ MCGF xx ' û û x Y (8 E muestras grades, û u. Por lo tato, E(û E(u.

13 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 3 V ESTIMACION EN LA PRESENCIA DE AUTOCORRELACION Como señalamos e la troduccó, es usual que las seres de tempo presete autocorrelacó. E partcular, las seres ecoómcas preseta típcamete certo grado de erca, que lleva a que la observacó cotemporáea esté correlacoada co las observacoes pasadas. Por ejemplo, e el caso chleo, la tasa de flacó presete está relacoada co las tasas de flacó de períodos pasados, a través del proceso de dexacó. La autocorrelacó també se puede deber a u sesgo de especfcacó. Por ejemplo, s se excluye accdetalmete ua de las varables perteecetes al modelo, las perturbacoes del modelo presetará u patró sstemátco. Lo msmo sucederá s se platea ua forma fucoal correcta. Por ejemplo, se establece que la varable depedete, Y, es ua fucó leal e, Y β +β +u, cuado e realdad es ua fucó cuadrátca e, Y β +β +β 3 +u. Otra potecal causal de la autocorrelacó es la mapulacó de los datos. E efecto, promedar, terpolar y/o extrapolar la formacó puede orgar u patró sstemátco e las perturbacoes. Ejemplo Supogamos que t es ua varable aleatora co esperaza y varaza, t,,, T, tal que Cov( t, s, t s. Sea Z t ua sere ajustada estacoalmete, tal que: Z t s s t s dode s es ua poderacó mesual. De lo ateror, Cov (Z t, Z t s vee dada por: Cov( t + t + + s t s + + t, t s + + t s s para s,,, para s>

14 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 4 Como vemos, la sere orgal o está correlacoada, pero sí lo está la sere ajustada estacoalmete. E efecto, el ajuste produce ua autocorrelacó de períodos de duracó 5. Procesos Autorregresvos y de Promedo Móvl para el Error E seres de tempo, usualmete se asume que los errores so homocedástcos, pero correlacoados etre observacoes. Es usual, asmsmo, supoer que la dstrbucó de u t es estacoara (e u setdo débl. Ello mplca que: El valor esperado y la varaza de u t so costates a través del tempo (e este caso guales a cero y, respectvamete. La covaraza (o autocovaraza etre las observacoes t y s es ua fucó de t s, el valor absoluto de la dstaca temporal etre las observacoes. Esto es, co γ. Cov(u t, u s Cov(u t+s, u t γ s (9 La correlacó etre u t y u t s (o autocorrelacó se defe como s : Corr(u t Cov(u t, u t s γ γs, u t s s ( Var(u t Var( u t s γ γ s Por lo tato, la matrz varaza-covaraza toma la forma: E( uu' γ T T T 3. T T T 3 (

15 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 5 Dsttos procesos para el error coducrá a dsttos patroes de la matrz (. Uo de los procesos más aalzados e la práctca es el proceso autorregresvo de orde, AR(: u t u t + ε t ( por: E geeral, u proceso autorregresvo de orde p, AR(p, vee dado u t u t + u t ++ p u t + ε t (3 Los procesos autorregresvos tee la característca de que la correlacó etre las observacoes cae e el tempo, pero ésta se desvaece sólo e térmos astótcos, esto es, cuado la dstaca temporal etre las observacoes tede a fto. Por ejemplo, tal como demostraremos más adelate, para u AR(, s s, la cual tede a cero sólo cuado s, sempre y cuado <. Por ello, se dce que los procesos autorregresvos tee buea memora. E cotraste, los procesos de promedo móvl, tee escasa memora. E efecto, para u proceso MA(q: se tee que: u t ε t + θ ε t + θ ε t ++θ q ε t q (4 γ s ε ( θs + θs+ θ + θs+ θ + + θqθq s s > q s,,,q dode θ. Esto es, E(u t u t s E(u t+s u t, s>q. Para el caso partcular de u proceso MA(, u t ε t + θ ε t, se tee: t θ γ Var(u ε ( +, γ Cov(u t,ut θ ε, γ s para s>. Lo ateror asume que ε t es rudo blaco : E(ε t, E(ε t ε s, t s. E( ε t ε, t,

16 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez Errores que sgue u AR( Esta formulacó es comúmete utlzada e la lteratura empírca porque ha demostrado ser ua aproxmacó razoable de procesos subyacetes probablemete más complejos: u t u t + ε t ε t, rudo blaco Notemos que la ecuacó ateror també es válda e t : u t u t +ε t Por lo tato, u t u t + ε t (u t + ε t +ε t ε t +ε t + u t S reemplazamos sucesvamete cada rezago de u t, llegamos a que: u t ε t +ε t + ε t +. + s u t s (5 dode s. S <, etoces s. Es decr, u proceso AR( puede ser represetado como u MA(. Esto mplca que u t corpora toda la hstora de los ε s, dode los valores más recetes de ε recbe ua mayor poderacó: u t j j ε t j Dado que los sucesvos valores de ε o está correlacoados, la varaza de u t se puede obteer como la suma poderada de la varaza de cada elemeto: Var(u t u 4 ε ε ( γ (6 dado que <.

17 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 7 Se puede llegar al msmo resultado hacedo uso de la codcó de estacoaredad de los ε s: Var(u t Var(u t + Cov(ε t, u t + Var(ε t lo cual se reduce a: u u + ε u ε dado que Var(u t Var(u t, por estacoaredad, y Cov(ε t, u t. Sabemos de la fórmula (5 que u t ε t +ε t + ε t +. + s u t s.. Por lo tato, podemos obteer fáclmete Cov(u t, u t s : Cov (u t, u t s Cov(ε t, u t s + Cov(ε t, u t s +.+ s Cov(u t s, u t s s Var(u t s s ε γ s s,, (7 dado que Cov(ε t, u s, t>s. De lo ateror, las correlacoes vee dadas por: Corr(u t, u t s s (8 Co <, las correlacoes se desvaece co el paso del tempo. Depededo del sgo de, éstas declará e progresó geométrca (< <, o be alterará sgos ( <<. De todo lo ateror, teemos que la matrz varaza-covaraza de los errores bajo u AR( vedrá dada por:

18 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 8 ε E( uu' T T T 3. T T T 3 (9 5. Deteccó de la Autocorrelacó Los tests más mportates so los sguetes: Durb-Watso, h-durb para AR( Breusch-Godfrey: AR(p, MA(p Box-Perce (equvalete a Breusch-Godfrey e muestras grades, cuado las s o cotee rezagos de Y. Los tres prmeros tests está descrtos e los aputes de repaso. Por lo tato, sólo os referremos al test de Box-Perce. Box-Perce: La hpótess ula es auseca de autocorrelacó y la hpótess alteratva es AR(p o MA(p. El estadígrafo de Box-Perce vee dado por: L Q T ˆ (3 j j dode T t t j ˆ es el j-avo coefcete de autocorrelacó muestral. j t t j+ T û û û t Q se dstrbuye e muestras grades χ (L. U refameto del test ateror fue propuesto por Ljug y Box:

19 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez 9 + L T(T Q ˆ j (3 T j j El estadígrafo Q ha mostrado teer u poder más alto frete a la alteratva. 5.3 Estmacó Efcete cuado Ω es Descoocda S los parámetros de Ω so coocdos, el estmador de MCG, ˆ β MCG ( ' Ω ' Ω Y, co varaza muestral dada por Var( ˆ β MCG ( ' Ω, puede ser computada drectamete de la fórmula. Por ejemplo, para el caso e que los errores poblacoes sgue u AR( se tee que: Ω P tal que Ω P P. Por lo tato, el modelo trasformado vee dado por: Y Y Y Y PY, YT YT x' x ' x ' P (3 x T ' x T '

20 Aputes de Teoría Ecoométrca I. Profesor: Vvaa Ferádez dode x' x ' x ' ' ( x. k El error trasformado tee varaza: Var(u t u t Var(ε t, y Cov(ε t, ε s, t s. 5.3 Estmacó cuado Ω es Descoocda: MCGF Asumedo uevamete que los errores sgue u AR(, podemos obteer u estmador de a partr de los resduos de MICO. Ello, porque los estmadores MICO será sesgados, sempre y cuado NO haya rezagos de la varable depedete etre los regresores,. (De lo cotraro, el error estaría correlacoado co los errores. Bajo dcho escearo, u estmador que será ua buea aproxmacó de e muestras grades será: T û tû t t ˆ (33 T û t t Etoces, e ua prmera etapa, estmamos uestro modelo por MICO y obteemos ˆ co la fórmula (33. E ua seguda etapa, corregmos el modelo de acuerdo a la fórmula (3, reemplazado por ˆ. U método alteratvo es el de Cochrae-Orcutt (ver aputes de repaso, el cual omte la prmera observacó. E muestras grades, omtr ua observacó o tee relevaca, e térmos de efceca, pero sí puede teerlo cuado la muestra es pequeña. ε