Apunte preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza con fines de docencia Unidad 1: Estadística Descriptiva

Transcripción

1 Undad 1: Estadístca Descrptva La estadístca es entendda como un conjunto de técncas que nos permten, por un lado, recoger, representar, clasfcar, resumr datos de un colectvo (Estadístca descrptva). Por otro lado, nos permten obtener conclusones a partr de esos datos (Estadístca nferencal). El análss descrptvo, consttuye el prmer nvel de análss, y sus funcones son las de establecer cuál es la forma de dstrbucón de una, dos o tres varables en el ámbto global del colectvo, cuántas undades se dstrbuyen en categorías naturales o construdas de esas varables, cuál es la magntud de ella expresada en forma de una síntess de valores, cuál es la dspersón con que se da entre las undades del conjunto, etc. La estadístca descrptva se encarga de las muestras. Las muestras provenen de poblacones, sn embargo, el objetvo de la estadístca descrptva no son las poblacones. La estadístca descrptva no afrma n nega nada en relacón a las poblacones de orgen, n sobre los fenómenos generales. Las dstrbucones de datos son el resultado de la recogda de nformacón en los expermentos. Las dstrbucones de datos organzan por medo de varables. La estadístca descrptva se encarga de cuantfcar característcas de las varables asocadas a las muestras. Antes de prosegur daremos algunas defncones de conceptos. Indvduos o elementos: personas u objetos que contenen certa nformacón que se desea estudar. Poblacón: conjunto de ndvduos o elementos que cumplen certas propedades comunes. En relacón al tamaño de la poblacón, ésta puede ser: Fnta, Infnta, Muestra: subconjunto representatvo de una poblacón, esto sgnfca que la muestra debe ser como un modelo a escala de la poblacón, es decr, debería verse reflejada la dversdad de rasgos presente en la poblacón. Parámetro: funcón defnda sobre los valores numércos de característcas medbles de una poblacón. Estadístco: funcón defnda sobre los valores numércos de una muestra. Caracteres: propedades, rasgos o cualdades de los elementos de la poblacón. Estos caracteres pueden dvdrse en cualtatvos y cuanttatvos. Modaldades: dferentes stuacones posbles de un carácter. Las modaldades deben ser a la vez exhaustvas y mutuamente excluyentes (cada elemento posee una y sólo una de las modaldades posbles). Clases: conjunto de una o más modaldades en el que se verfca que cada modaldad pertenece a una y sólo una de las clases. 1

2 TIPOS DE VARIABLES Cuando hablemos de varable hacemos referenca a un símbolo (X, Y, X 1, X,..,) que puede tomar cualquer modaldad (valor) de un conjunto determnado, que llamaremos domno de la varable. En funcón del tpo de domno, las varables las clasfcamos del sguente modo: Varables cualtatvas o no métrcas, son las que tenen por modaldades cantdades no numércas, por lo que no podemos hacer operacones artmétcas con ellas. Dentro de este tpo de varables podemos dstngur escalas de meddas: Escala Nomnal, en este caso los valores asgnados a cada característca se comportan como etquetas. Por ejemplo, Lugar de nacmento (Talcahuano, Concepcón, Chllán, etc), Bebda favorta (Fanta, Sprte, Coca cola, etc). Las varables meddas en escala nomnal no admten puntuacones numércas ordenadas sgnfcatvamente, aunque para efectos prncpalmente de procesos computaconales asgnamos números a estas categorías. Por ejemplo, s medmos el genero de una persona, podemos asgnar 1 al valor hombre y al valor mujer. Esto no sgnfca la mujer sea mayor que el hombre (>1) n el doble (=x1) como tampoco que exstan personas ntermedas (1,5). Una exgenca básca de las escalas nomnales es que los objetos han de poder clasfcarse en categorías que sean mutuamente excluyentes y exhaustvas, es decr, un objeto debe poder asgnarse a una y sólo una categoría, y todos los elementos han de poder clasfcarse en las categorías exstentes. Ordnales, son las que, aunque sus modaldades son de tpo nomnal, es posble establecer un orden entre ellas. Ejemplo, clase socal (ndgente, baja, meda y alta). La varable acttud haca el aborto legal podría ordenar el grado de acuerdo medante el uso de categorías de respuestas; totalmente de acuerdo, de acuerdo, no sabe, en desacuerdo, totalmente en desacuerdo. Este conjunto de valores amplamente utlzado se denomna escala de Lkert. Aquí tambén podemos usar número para ndcar los valores de las categorías, sn embargo estos tenen el sentdo de dstngur y ordenar, pero no las dferencas n las razones. Varables cuanttatvas, son las que tenen por modaldades cantdades numércas con las que podemos hacer operacones artmétcas. Dentro de este tpo de varables podemos dstngur dos grupos: Varables Dscretas, sólo pueden tomar un número un número determnado de valores en un ntervalo determnado. En general, las varables dscretas se asocan a varables que ndquen un conteo. Varables Contnuas, pueden tomar un número nfnto de valores en un ntervalo dado. Por otra parte las varables cuanttatvas se clasfcan en dos grupos de acuerdo a su escala de medcón; de Intervalo y de Razón.

3 Una escala de ntervalo posee las característca de una nomnal (dferentes valores representan dferentes característcas de los objetos) y de la ordnal (mayor valor representa mayor presenca de la característca). Sn embargo, la escala de ntervalo, añade una nueva propedad; la dferenca tambén tene sentdo. Las varables de ntervalo dentfcan las dferencas en monto, cantdad, grado o dstanca. Las varables de ntervalo dan sentdo de cuánto o de que tamaño, qué tan calente, que tan obstnado, qué tan conservador, que tan deprmdo, que tan largo, que tan pesado. Una de las característcas de las escalas de ntervalo es que, el cero es arbtraro, es decr, no es absoluto. En estas escalas no tenen sentdo las razones, por ejemplo, s medmos la temperatura en grados celsus y un objeto mde 0 C y otro 10 C podemos decr que uno tene el doble de temperatura que otro, pero s estas msmas temperaturas las medmos en grados Fahrenhet no es certo ya que 0 C 68 F y 10 C 50 F, en el que obvamente 68 F no es doble de 50 F. Una escala de razón tene las msmas propedades de las escalas de ntervalos pero, además, las razones s tenen sentdo. Estas escalas tenen un valor base cero natural. TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS A fn de fjar deas comenzaremos con un ejercco: Ejercco: El jefe de produccón de una compañía dedcada a la fabrcacón de alfombras con más de 500 telares, tene que medr la produccón dara (en metros) de cada telar. El conscente de lo tedoso del problema regstra la produccón dara de sólo 30 telares a fn de llegar a una conclusón sobre su problema. A contnuacón se muestran los datos obtendos de medr los 30 telares: Observe el conjunto de datos, qué puede ndcar?. Los datos presentados son conocdos como nformacón cruda y no como conocmentos en sí. La secuenca que va desde los datos hasta el conocmento es: Datos Informacón Hechos Conocmento Los datos se converten en nformacón, cuando se hacen relevantes para la toma de decsón a un problema. La nformacón se converte en hecho, cuando es respaldada por los datos. Los hechos son lo que los datos revelan. Sn embargo el conocmento nstrumental es expresado junto con un certo grado estadístco de confanza. 3

4 Un prmer paso en el estudo es determnar la varable de medcón, que tpo de varables es, en qué escala está medda y en que objeto (undad expermental) estamos efectuando la medcón. La dentfcacón de estos elementos nos ndcará por una parte que pasos debemos segur y por otra nos ayudará en la nterpretacón de nuestros resultados. En nuestro ejemplo, la varable de medcón es la produccón dara, varable contnua, medda en escala de razón. Cuando se examna la dstrbucón de los datos, debemos buscar algunas característcas mportantes, tales como forma, ubcacón, varabldad, y valores nusuales. Transformar los datos en nformacón mplca realzar procesos que ayuden a la toma de decsones. Un prmer paso es conocer las característcas más mportantes de la varable en estudo como por ejemplo, la dstrbucón de los datos, la forma, ubcacón, varabldad, valores nusuales, etc. Un prmer paso, tal vez, es ordenar los datos en orden ascendente, así Qué se observa ahora? A pesar de las ventajas que muestra el ordenamento de los datos este en s no resulta útl puesto que da una lsta de todos los valores, lo cual es una forma ncómoda de mostrar grandes cantdades de datos. Necestamos comprmr aún más la nformacón y ser capaces de utlzarla para su nterpretacón y para la toma de decsones. Una forma de comprmr los datos es la tabla de dstrbucón de frecuencas que corresponde a una lsta de clases o categorías de datos junto con el número de valores que caen dentro de cada una. Tabla de dstrbucón de frecuencas para varables contnuas: No exste una regla fja para determnar el número apropado de clases para una dstrbucón de frecuencas, pero en general estas deben ser entre 5 y 0. Dos reglas bastante usadas para determnar el número aproxmado k de clases son: ) Determnar el número k (k Ζ + k ) de clases tal que > n. ) Determnar el número k (k Ζ donde n representa el total de observacones. + ) de clases tal que k 1+3,3log 10 n (regla de Sturge) El número de clases debe ser un entero postvo, luego, como regla practca, toda vez que el valor de K no resulte entero este será aproxmado al entero sguente ndependente del decmal resultante. 4

5 Una vez fjado el número de clases se deben construr las clases, ojalá de gual ampltud para facltar su nterpretacón. Las clases corresponden a ntervalos cerrados de la forma [a, b] donde a es llamado lmte nferor de la clase y b el lmte superor. Se debe tener en cuenta que las clases deben ser nclusvas y mutuamente excluyentes, es decr, por una parte deben nclur todos los valores del conjunto de datos y por otra, un dato debe pertenecer claramente a una y sólo una clase. Calculo de la ampltud, A. A = Rango k donde Rango = valor máxmo valor mínmo k : número de clases Como crtero y como una forma de facltar la nterpretacón, la ampltud deberá presentarse con la msma cantdad de decmales que los datos orgnales por lo tanto está debe aproxmarse haca arrba de acuerdo al formato de los datos. Para escrbr las clases, un crtero es comenzar a anotar los lmtes nferores de cada clase, correspondendo al lmte nferor de la prmera clase el valor mínmo luego a este sumamos la ampltud y obtenemos el lmte nferor de la segunda clase y por sumas sucesvas de la ampltud al valor obtendo vamos obtenendo los restantes lmtes nferores de las clases sguentes. Para escrbr los lmtes superores de cada clase se procede de la sguente forma: El lmte superor de la prmera clase corresponde al valor del lmte nferor de la segunda clase menos una undad de paso (up), donde 1 s los datos son enteros 0,1 s los datos tenen un decmal up = 0, 01 s los datos tenen dos decmales y así sucesvamente Una vez escrta las k clases, llamadas tambén ntervalos de clases o lmtes aparentes, debemos contar cuantos datos pertenecen a cada clase, a estos valores los llamaremos frecuenca absoluta de la clase y lo denotaremos por n (frecuenca absoluta de la clase ). De nuestro ejemplo tenemos: n= 30 k= 1 + 3,3 log 10 30=5, ,9 15, A= =0,83 0,3 (los datos se presentan con un decmal) 6 5

6 Así la tabla de dstrbucón de frecuencas es: Intervalos de clase 15, - 15,4 15,5-15,7 15,8-16,0 16,1-16,3 16,4-16,6 16,7-16,9 frecuenca absoluta Observe la tabla de dstrbucón de frecuencas qué puede comentar ahora?. Trabajar con cfras absolutas no da una dea de la real dmensón respecto de la mportanca del dato, de aquí, que se acostumbra a agregar a la tabla de dstrbucón de frecuencas una columna con las frecuencas relatvas f. Adconalmente, tambén se agregan las columnas con las frecuencas absolutas acumuladas N, frecuencas relatvas acumuladas F y las marcas de clases m, donde: n N f = N = n j F = = f n n j= 1 j= 1 j m = lm. nf + lm.sup Con estas nuevas columnas las tabla de dstrbucón de frecuencas anteror queda: Intervalos clase 15, - 15,4 15,5-15,7 15,8-16,0 16,1-16,3 16,4-16,6 16,7-16,9 de frecuenc a absoluta n Frecuenca relatva f 0,067 0,167 0,367 0,00 0,100 0,100 Frecuenca absoluta acum. N Frecuenca relatva acum. F 0,067 0,34 0,601 0,801 0,901 1,000 Marca de clases m 15,3 15,6 15,9 16, 16,5 16,8 Comente e nterprete algunos valores. 6

7 Tabla de dstrbucón de frecuencas para varables cualtatvas. Cuando se trate de varables cualtatvas, las clases serán naturales, correspondendo cada modaldad de la varable a una clase. Ejemplo. En una encuesta realzada a un grupo de empleados de una empresa se les solctó que marcaran una actvdad de mayor preferenca, para realzar el día vernes, después de termnar su jornada laboral. Las opcones eran: 1.- Salr a balar.- Hacer deporte 3.- Jugar juego de salón. 4.- Ir al cne 5.- Ir a casa a descansar 6.- Otro no especfcado Las respuestas de esta encuesta fueron las sguentes: Escrba la tabla de dstrbucón de frecuencas. Ya tenemos claro que la varable de estudo es cualtatva, s embargo aún nos faltan algunas preguntas que responder: en que escala está medda?, cuál es la undad expermental? Respondda estas preguntas estamos en condcones de escrbr la tabla de dstrbucón de frecuencas. Clases frecuenca absoluta Salr a balar 8 Hacer deportes 1 Jugar juego de salón 7 Ir al cne Ir a casa a descansar 6 Otro no especfcado 5 Total 40 Observe la tabla de dstrbucón de frecuencas y comente. 7

8 Tabla de dstrbucón de frecuencas para varables dscretas. Para agrupar los datos de una varable dscreta se recomenda en prmer térmno contar el número de valores dferentes de la varable. S este es menor o gual a 10, la varable es tratada como una varable cualtatva, en caso contraro es tratada como varable contnua. Ejemplo: En un centro de computacón se regstra el número de veces que un computador se detene por errores de hardware. Durante un perodo de 63 días se obtuveron los sguentes datos: Escrba la tabla de dstrbucón de frecuencas. Comente e nterprete algunos valores. A contnuacón se proporconan dos ejerccos para su desarrollo. Ejercco 1: Rob Whtner, propetaro de Whtner Pontac, está nteresado en reunr nformacón sobre los precos de ventas de los vehúlos venddos en su agenca. Los datos que se muestran a contnuacón corresponden al preco pagado por 80 clentes para cada vehículo. Ayude Ud. a Rob Whtner Ejercco : Los sguentes regstros corresponden 80 determnacones de la emsón daras (en toneladas) de óxdos de azufre de una planta ndustral

9 Representacón Gráfca Para transmtr un sentdo de proporcón se descrbe numércamente la dstrbucón de una varable de manera porcentual. Las dstrbucones numércas, sn embargo, tenen sentdo sólo s una persona tende a pensar de manera proporconal. Por consguente a menudo nos valemos de recursos gráfcos para motvar drectamente el sentdo proporconal. Los gráfcos consttuyen un excelente soporte al célebre refrán Una magen dce más que ml palabras. La gráfca a realzar depende del tpo de varable: Gráfcos para varables contnuas. Los gráfcos más utlzados en este tpo de varable son el hstograma, el polígono de frecuencas y la ojva. El hstograma es un conjunto de barras rectangulares, de ancho gual a la ampltud y de altura gual a la frecuenca absoluta o relatva. Para dbujar el hstograma en el eje de las abscsas ubcamos los lmtes reales y en el eje de las ordenadas la frecuenca. Para obtener los lmtes reales procedemos de la sguente forma: lm. real nfj = lm. nf.j - 1 up lm. real sup.j = lm. sup.j + 1 up j = 1,...,n Del ejemplo de las emsones de azufre el hstograma queda: Nº de días Dstrbucón de las emsones daras 0 6,15 9,45 1,75 16,05 19,35,65 5,95 9,5 3,55 Emsones daras (en toneladas) El Polígono de frecuencas es un gráfco que muestra un perfl más suavzado de la forma de la dstrbucón de la varable. Para dbujar el polígono de frecuencas ubcamos en el eje de las abscsas las marcas de clases y en el eje de las ordenadas la frecuenca absoluta o la frecuenca relatva, luego medante trazos rectos unmos dchos puntos. Esta gráfca se muestra como una curva cerrada, luego bajamos un trazo a ambos extremos de la curva. El polígono de frecuencas se puede dbujar de manera ndependente o junto al hstograma. 9

10 D strbucón de las em sones de a zufre D st rbucón de las em sones de a zufre frecuenca relatva frecuen ca relatva Ems on (en toneladas ) 0.00 E ms o n (en toneladas ) La Ojva es una gráfca en que se representan las frecuencas acumuladas y se usa para determnar cuántas observacones hay mayores o menores que un valor determnado en una dstrbucón. Para dbujar la ojva, en el eje de las abscsas se ubcan los lmtes reales de cada clases y en el eje de las ordenadas las frecuencas relatvas acumuladas. Cada punto de la gráfca es undo medante una curva suavzada. Ojva, ejemplo emsón de azufre F Emsones de azufre (toneladas) Ojva, ejemplo em són de azufre Ojva, ejemplo emsón de azufre F 1 F ,1% Emsone s de azufre (toneladas) ,3% 59,0% 30,7% Emsones de azufre (toneladas) 10

11 Gráfcos para varables cualtatvas Los gráfcos más utlzados en este tpo de varable son el gráfco de barras, el gráfco de torta o pastel y el pctograma. El gráfco de barras es un conjunto de rectángulos de ancho arbtraro (pero únco) y de altura gual a la frecuenca absoluta o relatva. En el eje de las abscsas ubcamos cada categoría de la varable y en el eje de las ordenadas la frecuenca. Ejemplo: En una consulta a personas de 50 años o más acerca de una pregunta a cuántos mnutos de recorrdo en auto consdera Ud. que debe estar el hosptal más cercano a su casa cuando se juble?, se obtuvo el sguente gráfco de barras. Dstrbucón de los mnutos en auto Nº de personas mnutos o menos 6 a 10 mnutos 11 a 15 mnutos 16 a 0 mnutos más de 0 mnutos Gráfco de torta o de pastel, es una forma efectva de desplegar los porcentajes en que se dvden los datos. Este tpo de gráfco es partcularmente útl cuando se quere hacer hncapé en los tamaños relatvos de las componentes de los datos. Para determnar la porcón del pastel que corresponde representar de una categoría determnada se usa la expresón: n 0 x Del ejemplo anteror el gráfco de torta es: = n = f Dstrbucón de los mnutos en auto 10% 19% 5 mnutos o menos 14% 31% 6 a 10 mnutos 11 a 15 mnutos 6% 16 a 0 mnutos más de 0 mnutos 11

12 Pctogramas: Expresan con dbujos alusvos al tema de estudo las frecuencas de las modaldades de la varable. Generalmente estos dbujos se hacen representado a dferentes escalas un msmo dbujo. Produccón de carne de conejo por cradero 40 kg. Cradero A 70 kg. Cradero B 110 kg. Cradero C Gráfcos para varables dscretas Para representar las varables dscretas debemos tomar en cuenta lo menconado anterormente, es decr, prmero contar el número de valores dferentes de la varable. S este es menor o gual a 10 la varable es tratada como una varable cualtatva, en caso contraro es tratada como varable contnua. Estadístcos descrptvos o Estadígrafos Anterormente ya resummos un conjunto de datos en un grupo de clases a fn de estudar su comportamento, posterormente representamos dcha nformacón gráfcamente. Ahora veremos algunas meddas que resumen la nformacón en un únco valor, tales meddas se clasfcan en tres categorías: Las meddas de tendenca central, las de varacón y las de poscón relatva. Antes de dar las defncones descrbremos la notacón a ser usada. Una observacón cualquera de un conjunto de datos es descrta medante la notacón x, mentras que un conjunto de n observacones será descrto por la notacón x 1,x,...,x n. Las observacones descrtas por estas notacones corresponden a los datos en bruto, no sguen nngún orden sno que aparecen tal como han sdo regstradas. S el conjunto de datos anteror, procedemos a ordenarlo en forma ascendente entonces usaremos por notacón x (1), x (),...,x (n), donde se cumple que x (1) x ()... x (n). El número entre paréntess ndca la poscón del número dentro del conjunto de datos ordenados. Meddas de tendenca central Son meddas que descrben el centro de un conjunto de datos,es decr, meddas de ubcacón que dan la nformacón sobre el lugar haca donde exste la tendenca central dentro de un grupo de números. Las tres meddas de tendenca central más comunes son la meda o promedo, la medana y la moda. 1