SESIÓN 2 GRAFICAS DE FUNCIONES, INTERVALOS

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1 Mtemátis IV SESIÓN 2 GRAFICAS DE FUNCIONES, INTERVALOS I. CONTENIDOS: 1. Representión gráfi de un funión. 2. Problems plidos.. Intervlo de un vrible 4. Estrtegis Centrds en el Aprendizje: Problems propuestos II. OBJETIVOS: Al término de l Clse, el lumno: Comprenderá l importni de representr un funión por medio de un gráfi Podrá relizr pliiones prátis Entenderá ómo se interpret un mpo de vriión de un vrible Desribirá ls propieddes de un suesión y un serie III. PROBLEMATIZACIÓN: Coment ls pregunts on tu Asesor y seleion ls ides más signifitivs. Cómo se puede resolver un problem de optimizión utilizndo un gráfi? Por ué en un problem espeífio un vrible solo puede tomr iertos vlores? Qué difereni y semejnz hy entre un suesión de números y un serie de ellos mismos? IV. TEXTO INFORMATIVO-FORMATIVO: 1.1. Representión gráfi de un funión Un form útil de representr un funión y poder resolver un problem es medinte su gráfi. Usulmente suelen representrse los vlores de l vrible independiente en el eje horizontl del plno rtesino (eje de ls x) y los vlores de vrible dependiente (y o ƒ(x)) en el eje vertil de plno rtesino (eje de ls y). L gráfi de un funión y=ƒ(x) es el lugr geométrio de los puntos (X, Y) ue stisfen l euión y=ƒ(x) Pr trzr l gráfi de un funión observemos los siguientes psos: 1. L funión debe estr expresd omo un funión explíit de Y on respeto X 2. Elbormos un tbl donde espeifiuemos lo vlores de x e y.. Hemos el trzo de l gráfi siguiendo ierts regls 4. Anlizmos l gráfi pr dr respuest l problem Considermos solo dos vribles en l ul un está en funión de l otr Ejemplos: 1. Tre l gráfi de l funión Y = 2x 1 6

2 Mtemá átis IV Fig Tre l gráfi definid d por l funión: y= = 2x x2, o ƒ(x)= 2x - x². Es onveniente ue tomem mos un serie e de vlore positivos p y ne egtivos, de tl t mner ue l gráfi defin mejor y onstru uymos l tb bl. Asigne emos x= -5,--4,-,-2,,,1 1,2,,4 lulndo el vlorr de y pr d vlor ssigndo x, nos n rroj un u serie de pres orden dos ue regisstrmos en l siguiente tb bl. x y Fig.. 2 Fig. 7

3 Mtemá átis IV. Construir l gráfi definid po or l funión: y= 4x x³ dndo d los sigu uientes vlore es x= -,-2.,, 1, 2,, lulndo los vlores pr y, pon niéndolos en un u tbl y tr zndo l grá áfi, ued. 4 y 1 x -2 - Fig. 4 X y Prroblems pllidos Doñ Zoil Z Díz rí gllins en su peue eñ grnj, dese d onstrruir un glline ero en l p rte trser de su s, sus horro os le lnz n pr om mprr mt de mll ilóni, solo se errr n tres ldos s y ue l brd de l s se utilizrá u omo o el urto ldo, l hllr ls dimenssiones del gllinero retngulr ue ten ng l myor áre á posible. Psos pr su solu ión: 1. De l l letur del enunido del problem, se trt de enontrr e ls dimensiones de un glline ero retng gulr ue ou upe l myor áre posible. s he emos un dibujjo ue nos de esrib el problem. 2. En seguid, Fig. 5 8

4 Mtemátis IV. Proedemos plnter ls ondiiones mtemátis del problem: Simboliemos on un l l perímetro totl del gllinero, on un b l bse del retángulo y on h su ltur. Entones: l = mts pero tmbién l = 2b + h despejndo h: h = 2b Si llmmos A l áre del gllinero, l ul es de form retngulr, entones: A = b x h, ejeutndo los álulos. Tenemos Si b= 1 mt h = 2(1) = 28 mts por lo tnto A = (1mt) (28 mt) = 28 m² Si b= mt h = 2() = 24 mts por lo tnto A = ( mt) (24 mt) = 72 m² Y sí suesivmente dmos vlores b = 5, 7, 9,11 y Con los pres ordendos pr todos estos vlores y luldos, proedemos onstruir l siguiente tbl. Bse Altur re erd (m) (m) (m 2 ) Fig Al her un nálisis de l gráfi podemos estbleer un soluión l problem 6. Ls dimensiones del gllinero, pr ue este se de l myor áre posible son: Bse b = 7.5 mts L ltur h l podemos determinr medinte l fórmul: h = 2(7.5) = 15 mt 9

5 Mtemá átis IV Un tlller de pilerí reibe l orden o de un liente de fb brir 1 reipientes r re etngulres de luminio sin tp prtir de pls uys dim mensiones so on 12 por 18 m. Pr estto se tienen ue her ortes udr dos en d esuin, de tl mner ue l doblr los utro ld dos pr form mr el reip piente este se e del máximo o volumen po osible. Fig Designemos el l do del udr do ue se v ortr en d esuin por x 2. Por ls ondiion nes del proble em podemoss trzr ls fig gurs desrit s. El vo olumen V del reipiente de e uerdo l fig. Es V = x ( 12 2x ) ( 18 2x ) 4. De uerdo l enunido del problem y poyándonoss en l fig. x debe vrir entre y 6 m lógim mente los vlo ores deben se er positivos. 5. De uerdo lo nterior podemos signrle e vlores x entre y 6 y onstruir l t bl 6. Se proede p trz zr l gráfi l grráfi se dedue ue el vlor v de x u ue orrespond de l máximo o volumen esst 7. Al nlizr proxim mdmente en e 2.5 m Reuerde ue no ex xisten regls rígids y rápiids ni reetts de oin ue grnttien l soluiión de un problem. Lo L ue b bmos de ve er on los ejemplos e exp puestos es ue es posib ble sistemtizr lgunos psos gene erles pr este propósito o, l práti y el esfuerzo son eseniles pr d duirir l desttrez. n vrible.1. Inttervlo de un 1. Interrvlos finitos:: Sen y b dos númeross tles ue > >b. Al on jun nto de todos los vlores ue puede tomr x en el e intervlo y b, se le de esign interv lo bierto de e hst b, en e mtemátis e simboliz < x < b. A los puntos y b se les de esign extrem mos del intervvlo. Cundo o el esto se interv lo es bierto no ontiene sus extremo os. Fig g. 8 Un inte ervlo ue o onteng su us extremos reibe r el nom mbre de interrvlo errdo y se simboliz omo x b 1

6 Mtemátis IV Observe ue undo el extremo es bierto el írulo del extremo de l ret está vío y undo es errdo est relleno. Lógimente estos intervlos se pueden ombinr, es deir en uno de sus extremos puede ser bierto y en otro errdo. 2. Intervlos infinitos. Definmos uluier número on l letr, El onjunto de todos los vlores x tles umpln x < se design on el nombre de intervlo infinito. Otros intervlos infinitos son los definidos por x, x> y x. Intervlo bierto: b intervlo errdo: b Fig. 9.- Los intervlos finitos ue ontienen uno de sus extremos, se le design intervlo semibierto Ejeriios resueltos: Desribir verblmente y grfir los intervlos 1. ) - < x < 5, b) 2 x 6, ) -4 < x d) x > 5 e) x 2 ) Todos los números myores ue - y menores ue 5 Fig. 1 b) Todos los números igules o myores ue 2 e igul o menor ue 6 Fig. 11 ) Todos los números myores ue -4 o igul o menor de d) Todos los números myores ue 5 Fig. 12 e) Todos los números igules o menores de 2 Fig. 1 Fig

7 Mtemátis IV 4.1. ESTRATEGIAS CENTRADAS EN EL APRENDIZAJE: Problems propuestos 1. Tre l gráfi de ls siguientes funiones: ).- y = x + 2 b).- y = 1 2x ).- ƒ(x) = x² - 4x + d).- ƒ(x)= 4 x - x² e).- y = x³ - 6x² + 11x 6 f).- x² + y² = Clulr el áre del retángulo más lrgo ue puede insribirse en un triángulo retángulo de tetos de 6 y 8 m según se muestr en l siguiente figur: 6 m 8 m Fig. 15. Desrib verblmente y grfiue los siguientes intervlos ) -2 < x < 2 b) x < - ) x > d) -5 x < e) x f) - 2 x < g) x 1 12