Capítulo 1 Ejemplo paso a paso

Transcripción

1 Índic Índic... 1 Capítulo 1 Ejmplo paso a paso Dscripción dl problma Prprocso: Malla d lmntos finitos Procso d cálculo Obtnción, organización y prsntación d rsultados...14 Capítulo Problmas unidimnsionals d campo scalar Dflxión d una viga con lmntos unidimnsionals linals Dflxión d una viga con lmntos unidimnsionals cuadráticos...9 Capítulo 3 Problmas bidimnsionals d campo scalar Barra prismática somtida a torsión pura Dscripción dl problma y dfinición d la malla d lmntos finitos Procso d cálculo y rsultados obtnidos Rsultados con difrnts mallas d lmntos finitos Infiltración dl agua n sulos prmabls Infiltración dl agua n acuífros...50 Capítulo 4 Problmas d lasticidad bidimnsional Formulación n lmntos finitos Implmntación n l programa PEFiCA Ejmplo d aplicación: ménsula d concrto Ejmplo d aplicación: principio d Saint Vnant Ejmplo d aplicación: structura d drnaj...65 Rfrncias...69

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3 Capítulo 1 Ejmplo paso a paso Con l fin d prparar al usuario n l manjo dl programa, st capítulo prsnta la solución d un problma d lasticidad bidimnsional utilizando PEFiCA, n l cual s obtin la distribución d sfurzos n una lámina d aluminio con orificio n l cntro somtida a prsión uniform n dos d sus caras. Inicialmnt s indica la gomtría, las condicions d contorno y las accions xtrnas aplicadas sobr la lámina, dspués s dscrib la construcción d la malla d lmntos finitos, mostrando como s introduc n las hojas d cálculo las propidads gnrals dl problma, las coordnadas d los nudos, las conctividads d los lmntos, las condicions d bord y las furzas actuants. El procso d cálculo, compilado y jcutado, s xplica por taras particulars ralizadas por pquños grupos d línas d código. Entr las rutinas llamadas dsd la macro principal stán las instruccions d postprocso ddicadas a la imprsión d las matrics cradas y obtnidas n l procso d cálculo y a la prsntación gráfica n mapas d colors d los rsultados sobr la malla d lmntos finitos. Obsrvación. La carpta \jmplos\ incluida n los mdios d instalación dl programa PEFiCA contin l jmplo paso a paso, los jmplos d aplicación y d validación prsntados n st documnto. En particular l libro d Excl llamado PEFICA-Ejmplo-Lamina.xls corrspond al jmplo d la lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro dscrito n st capítulo Dscripción dl problma Una lámina cuadrada d L = 8.0 pul d lado, t = 0.1 pul d spsor y un orificio n l cntro d diámtro d = 1 pul, stá somtida a una carga distribuida por unidad d longitud qx = 1.0 k/pul n dircción x como s indica n la Figura 1.1. La lámina sta hcha d aluminio cuyo módulo d Young y rlación d Poisson son iguals a E = k/pul y ν = 0.3, rspctivamnt. El objtivo dl problma s ncontrar los dsplazamintos, las dformacions y los sfurzos sobr la lámina. En particular, s dsa calcular la distribución dl sfurzo normal σ xx n la lína AB Figura 1.1. Para l nivl d carga aplicado l matrial s lástico y las dformacions son infinitsimals. D acurdo con la gomtría y las condicions d carga s pud considrar ést problma como un stado plano d sfurzos.

4 4 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso 1.. Prprocso: Malla d lmntos finitos Dbido a qu l problma s doblmnt simétrico, s analiza una cuarta part d la lámina, colocando rstriccions n dircción x sobr la frontra AB y rstriccions n y sobr la frontra CD, como s indica n la Figura 1.1. El tipo d lmnto utilizado s l triangular linal d lasticidad plana o también dnominado lmnto triangular d dformación constant. La toría d la lasticidad stablc qu la concntración d sfurzos ocurr n la vcindad dl orificio, por lo tanto s ncsario utilizar una rd d lmntos más dnsa alrddor d st. B L E B E L q x q x d A C D q x A C D b a Figura 1.1. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Esquma dscriptivo: a lámina complta, b rgión modlada, condicions d carga y d bord. S construy una malla d 108 nudos y 176 lmntos, introducindo las coordnadas d los nudos n la hoja d cálculo TB_XYZ Figura 1. y las conctividads d los lmntos n la hoja d cálculo TB_ELE Figura 1.3. Figura 1.. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Hoja d cálculo TB_XYZ

5 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 5 Los nudos asociados a cada lmnto dbn numrars n sntido anti-horario a partir dl nudo inicial i prsntado n la columna NI d la tabla TB_ELE. Al utilizar solo lmntos triangulars linals l númro máximo d nudos por lmnto s d 3. Las caractrísticas gnrals d la malla, las propidads mcánicas dl matrial y los parámtros d dibujo stán contnidos n la hoja TB_GEN mostrada n la Figura 1.4. En un spacio bidimnsional l campo d dsplazamintos s dscrib por las componnts d dsplazaminto linal n x y n y: u x y u y : por lo tanto, l númro d grados d librtad por nudo s igual a. Figura 1.3. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Hoja d cálculo TB_ELE Figura 1.4. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Hoja d cálculo TB_GEN

6 6 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso 1.3. Procso d cálculo El algoritmo d cálculo s scrib n l Editor d Visual Basic VBE, como un grupo d subrutinas organizadas n módulos sgún su objtivo, por jmplo, las rutinas ncargadas d crar la matriz d rigidz d difrnts tipos d lmntos finitos stán contnidas n l módulo MdRG, mintras qu, las rutinas qu ralizan las opracions matricials básicas s ncuntran n l módulo MdMT. Para accdr al código dl programa dsd la hoja d cálculo s hac clic d forma scuncial sobr l mnú Hrramintas > Macro > Editor d Visual Basic. Como rsultado s activa la vntana dl ditor d Visual Basic mostrada n la Figura 1.5, n la cual s cran, ditan, dpuran y jcutan las macros utilizadas sobr Microsoft Excl. ára d código xplorador d proyctos vntana d propidads dl objto vntana d inspcción d variabls Figura 1.5. Editor d Visual Basic n Excl El xplorador d proyctos ubicado al lado izquirdo dl VBE, prsnta los objtos y los módulos qu hacn part dl libro d Excl. Está vntana s activa hacindo clic n l mnú Vr > Explorador d proyctos. A la drcha dl VBE s ubica l código scrito n un módulo spcífico, l cual s activa dsd l mnú Vr > Código. El análisis por lmntos finitos s raliza jcutando la subrutina principal d cálculo PEFICA ubicada n l módulo Md. En sta rutina s construy l procdiminto gnral invocando subrutinas qu ralizan taras spcíficas. Inicialmnt s dclaran las variabls scalars y las matrics qu s utilizarán durant l cálculo, n sto s rcominda dscribir cada variabl mdiant comntarios y sparar la dclaración d los scalars y las matrics, como s indica n la Figura 1.6. A continuación s l la información gnral y la gomtría dl problma introducida n las hojas d cálculo TB_GEN, TB_XYZ y TB_ELE, mdiant las línas d código prsntadas n la Figura 1.7.

7 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 7 'dclaración d variabls scalars Dim NNUD As Intgr, NELE As Intgr, NGLE As Intgr, NGLN As Intgr, _ NNUE As Intgr, NGLD As Intgr, NGLC As Intgr, NDIM As Intgr, _ NMAE As Intgr Dim EYOU As Doubl, POIS As Doubl, ESPE As Doubl, PXEL As Doubl, _ PYEL As Doubl, LADO As Intgr, SP As Doubl, TP As Doubl Dim I As Intgr, J As Intgr, FILA As Intgr, COLM As Intgr, _ IELE As Intgr, IDST As Intgr 'NNUD númro d nudos 'NELE númro d lmntos 'NGLE númro d grados d librtad por lmnto 'NGLN númro d grados d librtad por nudo : : 'dclaración d matrics Dim ELE As Intgr, MGL As Intgr, INC As Intgr, MRE As Intgr, _ NUD As Intgr, LNU As Intgr, LEL As Intgr Dim XYZ As Doubl, KEL As Doubl, KGL As Doubl, FEL As Doubl, _ FGL As Doubl Dim DGL As Doubl, DGC As Doubl, DGT As Doubl, DXY As Doubl Dim DEL As Doubl, BEL As Doubl, EPE As Doubl, CEL As Doubl, _ STE As Doubl, SXX As Doubl, SPE As Doubl, TPE As Doubl Dim NXX As Doubl, FXY As Doubl, VO As Doubl, DNU As Doubl, _ NAB As Doubl, EAB As Doubl Dim GEM10, 1 As Doubl, GRA As Intgr, TM1 As Doubl, TM As Doubl Figura 1.6. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Dclaración d variabls. 'parámtros prdfinidos 'posición inicial d la fila n la hoja TB_OUT FILA = COLM = 1 EDLIMH "TB_OUT" 'limpiar la hoja d salida 'lr parámtros gnrals EDLECE "TB_GEN", 5,, NNUD 'númro d nudos EDLECE "TB_GEN", 6,, NELE 'númro d lmntos EDLECE "TB_GEN", 7,, NGLN 'grados d librtad por nudo EDLECE "TB_GEN", 8,, NNUE 'númro d gl por lmnto EDLECE "TB_GEN", 9,, NDIM 'númro d dimnsions 'lr gomtría EDLECR "TB_XYZ", 5,, XYZ, NNUD, NDIM 'lr matriz d coord. nudos EDLECI "TB_ELE", 5,, ELE, NELE, NNUE 'lr matriz d conctividads 'opcional scribir gomtría EDIMPR "TB_OUT", "XYZ", FILA, COLM, XYZ 'scribir matriz d coord. nudos EDIMPI "TB_OUT", "ELE", FILA, COLM, ELE 'scribir matriz d conctividads 'opcional dibujar gomtría 'GRAFDE GRA 'si no tin parámtros d dibujo pud activar sta lína EDLECI "TB_GEN", 33,, GRA, 14, 1 'lr parámtros d dibujo GRAGEO XYZ, ELE, GRA, 'dibuja lmntos 'lr propidads mcánicas EDLECE "TB_GEN", 1,, EYOU 'módulo d Young EDLECE "TB_GEN", 13,, POIS 'rlación d Poisson EDLECE "TB_GEN", 14,, ESPE 'spsor 'matriz d rstriccions EDTABI "TB_RES", 5,, MRE, NNUD, NGLN EDIMPI "TB_OUT", "MRE", FILA, COLM, MRE 'lr matriz d rstriccions 'scribir matriz d rstric. Figura 1.7. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Lctura d datos d las hojas d cálculo.

8 8 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso Dspués d jcutadas stas instruccions, s obtin n pantalla l dibujo d la malla d lmntos finitos mostrado n la Figura 1.8, dond s indican la posición y numración d los nudos y los lmntos. La lína al lado dl númro dl lmnto sñala l nudo inicial dl mismo. Las condicions d bord dl problma d lasticidad corrspondn a valors conocidos d los dsplazamintos n puntos spcíficos. En st jmplo n particular l dsplazaminto n dircción y s cro u y = 0 sobr la lína CD Figura 1.1 y n conscuncia, también lo s sobr los nudos 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 105 mostrados n la Figura 1.8. En cambio, los nudos 17, 5, 6, 7, 8, 9, 30, 31, 90, 9, 105 y 106 Figura 1.8 sobr la lína AB Figura 1.1, tinn un dsplazaminto u x = 0. La información rlacionada con los grados d librtad conocidos mostrada n la Figura 1.9 s guarda n la hoja TB_RES. Allí s indica con l valor ntro d 001 qu l grado d librtad corrspondint s conocido y con 000 si s dsconocido. La magnitud d los dsplazamintos no hac part d sta tabla, suponindo por dfcto qu todo dsplazaminto conocido s igual a cro rstricción. Figura 1.8. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Malla d lmntos finitos La matriz d incidncias indica l código d cada grado d librtad asociado a cada uno d los lmntos. Con la información antrior s pud gnrar sta matriz así: Dada la ubicación d los grados d librtad conocidos, s stablc la numración d los grados d librtad d los nudos. Para tal caso, primro s numran d forma

9 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 9 conscutiva los grados d librtad dsconocidos agrupándolos y dspués s numran los grados d librtad conocidos. Dada la matriz d conctividads d los lmntos y la matriz d grados d librtad por cada nudo obtnida n l ítm antrior, s stablcn los grados d librtad por cada lmnto o matriz d incidncias. Figura 1.9. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Hoja d cálculo TB_RES El algoritmo d cálculo corrspondint s l siguint: 'construcción d la matriz d incidncias NGLNUD MGL, MRE 'construir la matriz d grados d librtad por nudo EDIMPI "TB_OUT", "MGL", FILA, COLM, MGL 'opcional scribir la matriz NGLELE INC, MGL, ELE 'construir la matriz d gl por lmnto 'o matriz d incidncias 'numro d grados d librtad NGLC = MTSUCIMRE 'númro d grados d librtad conocidos NGLD = NNUD * NGLN - NGLC 'númro d grados d librtad dsconocidos Figura Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Construcción d la matriz d incidncias. Con la gomtría d la malla d lmntos finitos dscrita por la matriz d coordnadas, la matriz d conctividads d los lmntos, la matriz d incidncias y las propidads mcánicas dl matrial s construy la matriz d rigidz d cada uno d los lmntos y s nsambla la matriz d rigidz dl sistma, d acurdo con l siguint código:

10 10 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso 'matriz d rigidz d la structura submatriz d cálculo Kdd MTCONS KGL, 0, NGLD, NGLD 'cra matriz d rigidz llna d cros d tamaño 'gl dsconocidosxgl dsconocidos For I = 1 To NELE 'crar matriz d rigidz dl lmnto KTRIEL KEL, XYZ, ELE, I, EYOU, POIS, ESPE 'nsamblaj d la matriz d rigidz dl lmnto ENSAMK KGL, KEL, INC, I 'opcional scribir matriz d rigidz d cada lmnto EDIMPR "TB_OUT", "KEL lmnto #" & I, FILA, COLM, KEL Nxt I 'opcional scribir matriz d rigidz dl sistma EDIMPR "TB_OUT", "KGL Kdd", FILA, COLM, KGL Figura Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Cración d la matriz d rigidz Los rsultados prliminars dl procso pudn scribirs n cualquir hoja d cálculo, sin mbargo s rcominda utilizar una sola hoja para tal fin. En st jmplo la hoja d rsultados d dnomina TB_OUT. Las instruccions d imprsión como EDIMPR y EDIMPI scribn los coficints d una matriz spcificada con un formato spcial. La Figura 1.1 y la Figura 1.13 mustran dicho formato l cual tin las siguints caractrísticas: Cada matriz prsnta un título idntificador n color ngro qu trmina con l tamaño d la misma ntr paréntsis. Los rótulos n color gris C1, C,. y F1, F, indican l númro d la columna y d la fila rspctivamnt. Los coficints positivos d la matriz s prsntan n color azul, los ngativos n color rojo y los coficints iguals a cro n color ngro. Los coficints d matrics rals s scribn n notación cintífica con formato E+00. En cambio, los coficints d matrics ntras s rprsntan con formato 000. La carga distribuida aplicada a la lámina s rprsnta como una prsión sobr l lado d los lmntos d la malla vcinos a la lína DE Figura 1.1. La tabla TB_FUE prsntada n la Figura 1.14, contin los datos rlacionados con las cargas distribuidas n l volumn d un lmnto finito y las cargas distribuidas n un lado dl mismo. Las columnas WX y WY d la tabla y las componnts wx y w y d la Figura 1.15a indican las furzas d curpo o cargas por unidad d volumn aplicadas n las dirccions x y y rspctivamnt. En cambio, las columnas PX y PY n la tabla y las componnts p x y p y n la Figura 1.15b, rprsntan las prsions o cargas por unidad d ára aplicadas sobr un lado dl lmnto.

11 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 11 Tamaño d matriz Rótulos indicadors d columnas d la matriz Título d matriz Rótulos indicadors d filas d la matriz Coficint ntro cro Coficint ntro positivo Matriz d términos ntros Figura 1.1. Formato d imprsión d matrics con términos ntros Tamaño d matriz Rótulos indicadors d columnas d la matriz Título d matriz Rótulos indicadors d filas d la matriz Coficint ral positivo Coficint ral cro Coficint ral ngativo Matriz d términos rals Figura Formato d imprsión d matrics con términos rals La columna LADO d la tabla stablc l lado dl lmnto dond s aplica la prsión. Como lo indica la Figura 1.15b, l lado 1 corrspond al sgmnto ij, l lado s l sgmnto jk y l lado 3 s l sgmnto ik, rcordando qu los nudos s numran n sntido anti-horario a partir dl nudo i.

12 1 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso Figura Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Hoja d cálculo TB_FUE nudo k w y w x nudo i a nudo j nudo k nudo k y p x x p y lado 3 lado lado 3 lado nudo i lado 1 nudo i lado 1 nudo j b nudo j Figura Cargas aplicadas sobr un lmnto triangular linal: a carga distribuida sobr l volumn dl lmnto n dircción x y y, b carga por unidad d ára distribuida sobr l lado dl lmnto n dircción x y y. Como jmplo s prsnta a continuación l procdiminto d asignación d cargas sobr l lmnto 0 d malla. S idntifica los lmntos finitos cuyo lado coincid con la zona d aplicación d la carga, ntr llos l lmnto 0 mostrado n color gris n la Figura 1.16a. Obsrvando la malla d lmntos finitos Figura 1.16a-b y la tabla d nudos asociados a los lmntos TB_ELE Figura 1.16c, s stablc l lado dond s aplica la carga. Para l lmnto 0, la prsión s aplica sobr l lado o lado jk, n dircción x.

13 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 13 En la tabla TB_FUE s scrib l valor d la prsión aplicada p = q t = 1 k / pul 0.1pul 10 k / pul como lo indica la Figura 1.16d. x x = E lado 3 nudo 10 q x = 1 / pul t = 0. 1k pul nudo 87 inicial lm. 0 lado lado 1 nudo 1 p x = 10 k / pul b a D c d Figura Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Cargas aplicada sobr un lmnto 0: a lmntos finitos dond s aplica la carga, b carga por unidad d ára distribuida sobr l lado dl lmnto 0, c Nudos asociados al lmnto 0 n la hoja d cálculo TB_ELE, d Furzas sobr l lmnto 0 n la hoja d cálculo TB_FUE A partir d la información contnida n la tabla TB_FUE, la matriz d coordnadas, la matriz d conctividads d los lmntos, la matriz d incidncias y las propidads mcánicas dl matrial s construy l vctor d furzas d cada uno d los lmntos y s nsambla l vctor d furzas dl sistma, d acurdo con l código mostrado n la Figura En st caso, l vctor d dsplazamintos dsconocidos corrspond a la solución dl sistma d cuacions simultánas d la forma [ K dd ]{ u d } = { f d } dado qu los dsplazamintos conocidos son iguals a cro. La instrucción SOCHLK prsntada n la Figura 1.18 utiliza l método d Cholsky modificado para rsolvr d forma dircta sistmas d cuacions simultánas con matrics simétricas. Un vctor complto d dsplazamintos { u } [{ } { }] T n ud, uc { u d } y conocidos { u } { } T c 0 = stará compusto por los subvctors d dsplazamintos dsconocidos =.

14 14 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso 'vctor d furzas d la structura subvctor d cálculo Fd MTCONS FGL, 0, NGLD, 1 'cra vctor furzas llno d cros d tamaño 'númro d gl dsconocidosx1 For I = 1 To NELE 'lr cargas distribuidas n lmntos EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 1, IELE 'numro d lmnto If IELE = 0 Thn Exit For EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 4, PXEL 'carga por unidad d ára n x EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 5, PYEL 'carga por unidad d ára n y EDLECE "TB_FUE", 4 + I, 6, LADO 'lado dl lm dond s aplica la carga 'crar vctor d furzas n l lmnto FTRIES FEL, XYZ, ELE, IELE, ESPE, PXEL, PYEL, LADO 'nsamblaj dl vctor d furzas n l lmnto ENSAMV FGL, FEL, INC, IELE Nxt I 'opcional scribir vctor d furzas dl sistma EDIMPR "TB_OUT", "FGL", FILA, COLM, FGL Figura Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Cración dl vctor d furzas n l sistma Obtnción, organización y prsntación d rsultados Est vctor s prsnta ordnado sgún la numración d los grados d librtad dsconocidos, sin mbargo, s posibl mostrar las componnts n dircción x y y dl vctor d dsplazaminto d cada nudo d la structura, ordnados sgún la numración d los nudos. La rutina ORGLFU s la ncargada d ralizar st tipo d ordnaminto, l cual consist n: Lr la matriz qu contin la numración d los grados d librtad por nudo dnominada n l jmplo MGL y l vctor d dsplazamintos d la structura ordnado d acurdo con la numración d los grados d librtad dfinido como DGT. Crar una tabla qu contin por cada fila, las componnts d dsplazaminto n x y n y d cada nudo dnominada n st jmplo DXY. En gnral, l númro d filas d sta matriz corrspond al númro d nudos d la structura y la cantidad d columnas coincid con l númro d grados d librtad posibls n cada nudo, al igual qu n la matriz d grados d librtad por nudo MGL. En lasticidad plana los grados d librtad n cada nudo corrspondn a las dos componnts dl vctor d dsplazamintos u, u. x y Como lo indica la Figura 1.19, la componnt j dl dsplazaminto d un nudo i contnida n la tabla DXY s igual al coficint dl vctor d dsplazamintos FGL n la fila corrspondint al grado librtad d la componnt d dsplazaminto j n l nudo i indicada n la matriz MGL. Es dcir, DXYI,J=FGLMGLI,J,1. Si l númro asignado a un grado d librtad n la matriz MGL s igual a cro, l coficint corrspondint n la tabla DXY también srá igual a cro. Es dcir, si MGLI,J=000 ntoncs DXYI,J= E00.

15 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 15 'dsplazamintos nodals n la structura SOCHLK KGL, FGL, DGL 'solucionar sistma d cuacions MTCONS DGC, 0, NGLC, 1 'vctor d dsplazamintos conocidos EDIMPR "TB_OUT", "DGL", FILA, COLM, DGL 'opcional scribir dsplaz MTADJU DGT, DGL, DGC 'construir vctor d dsplazamintos dsc y con ORGLFU DXY, DGT, MGL 'ordnar dsplazamintos n l formato 'NUDO,UX,UY EDIMPR "TB_OUT", "DXY", FILA, COLM, DXY 'scribir dsplazamintos 'dibujar dformada MTPORE DXY, 100#, TM1 'multiplicar dsplazamintos por un factor d xag. MTSUMA XYZ, TM1, TM 'sumarl stos dsplazamintos a las coord orig GRA13, 1 = -1 'parámtro gráfico d numración d lmntos sin indicador 'd nudo inicial GRAGEO TM, ELE, GRA, 'dibujar gomtría dformada Figura Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Cálculo d los dsplazamintos d la structura y obtnción d la gomtría dformada. nudo grado d librtad qu rprsnta l dsplazaminto n x n y grado d librtad dsplazaminto nudo dsplazaminto n x n y Matriz d grados d librtad por nudo dsplazamintos ordnados por grados d librtad dsplazamintos ordnados por numración d nudos Figura Construcción d la tabla d componnts d dsplazamintos ordnados sgún la numración d los nudos mdiant la instrucción ORGLFU. Para dibujar la gomtría dformada s suman los valors d dsplazaminto amplificados a las coordnadas originals d la structura. La última lína n l código antrior gnra la Figura 1.0. El campo d dformacions s obtin como la drivada dl vctor d dsplazaminto con rspcto a la posición. En l intrior d un lmnto finito, las componnts d la dformación ε xx, ε yy, γ xy n un spacio bidimnsional son iguals al producto ntr la matriz d opradors difrncials actuando sobr funcions d forma B y l vctor d dsplazamintos n los nudos dl lmnto U T n, n otras palabras ε = [ ε xx, ε yy, γ xy ] = B Un. En gnral, la matriz B stablc l lugar n l intrior dl lmnto dond s valúa tal dformación, sin mbargo, n l lmnto triangular linal o lmnto d dformación constant la matriz B s indpndint d la posición dntro dl lmnto.

16 16 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso Figura 1.0. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Gomtría dformada matriz d incidncias nudo k =85 gl 154 gl 153 gl 155 gl 156 nudo j =86 vctor d dsplazamintos dl lmnto 1 gl 138 nudo i =77 gl 137 grados d librtad dl lmnto 1 vctor d dsplazamintos d la structura Figura 1.1. Extracción dl vctor dl dsplazamintos n l lmnto 1mdiant la instrucción EXTRAV.

17 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 17 σ σ xx σ yy, σ xy son l rsultado dl producto ntr matriz d constants lásticas y l vctor d componnts d la dformación, s dcir σ = C ε. Las componnts d sfurzo contnidas n l vctor = [, ] T 'calcular y dibujar sfurzos ' CELAPL CEL, EYOU, POIS 'constants lásticas dl matrial IDST = 1 'IDST =1 'IDST = 'IDST =3 'IDST =4 'IDST =5 'IDST =6 dibuja la componnt d sfurzo Sxx dibuja la componnt d sfurzo Syy dibuja la componnt d sfurzo Sxy dibuja sfurzo principal Sp1 dibuja sfurzo principal Sp dibuja sfurzo d Von Miss MTCONS SXX, 0, NELE, NNUE For I = 1 To NELE 'crar tabla d sfurzos por lmnto 'xtrar vctor d dsplazamintos n l lmnto I EXTRAV DGT, DEL, INC, I 'opcional scribir vctor d dsplazaminto dl lmnto I EDIMPR "TB_OUT", "DEL lm # " & I, FILA, COLM, DEL BTRIEL BEL, XYZ, ELE, I 'crar la matriz B dl lmnto I MTMULT BEL, DEL, EPE 'calcular dformación n l lmnto I MTMULT CEL, EPE, STE 'calcular sfurzo n l lmnto I 'opcional scribir vctor d componnts d sfurzo dl lmnto I EDIMPR "TB_OUT", "STE lm # " & I, FILA, COLM, STE Nxt I For J = 1 To NNUE Slct Cas IDST Cas 1 To 3 'sfurzos Sxx, Syy, Sxy SXXI, J = STEIDST, 1 Cas 4 To 5 'sfurzos principals Sp1, Sp TRPRIN STE, SPE, TPE SXXI, J = SPEIDST - 3, 1 Cas 6 'sfurzo d Von Miss SXXI, J = TRVMISSTE End Slct Nxt J 'componnt d sfurzo por lmnto 'scribir componnt d sfurzo IDST por lmnto EDIMPR "TB_OUT", "SXX", FILA, COLM, SXX 'dibujar componnt d sfurzo IDST por lmnto GRAFIE XYZ, ELE, SXX, GRA, 7 'componnt d sfurzo por nudo 'calcular valors promdio d sfurzo n los nudos ORSONO NXX, SXX, ELE, NNUD 'scribir componnt d sfurzo IDST por nudo EDIMPR "TB_OUT", "NXX", FILA, COLM, NXX 'dibujar componnt d sfurzo promdio IDST por nudo GRAFIF XYZ, ELE, NXX, GRA, 6 Figura 1.. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Calculo d las componnts d sfurzo n la structura. El vctor d dsplazamintos n los nudos d un lmnto db obtnrs dl vctor d dsplazamintos d la structura obtnido n l apartado antrior, mdiant un procdiminto invrso al nsamblaj n l cual s xtran los coficints dl vctor d la structu-

18 18 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso ra ubicados n los grados d librtad asociados al lmnto. La instrucción EXTRAV squmatizada n la Figura 1.1 s ncarga d sta tara. Dado qu la lámina sta conformada por un matrial homogéno la matriz d constants lásticas s la misma para todos los lmntos finitos, y por sta razón n l código s dfin fura dl ciclo d los lmntos. Existn varias formas d organizar los rsultados d sfurzos d acurdo con las cantidads d intrés n l problma. El código prsntado n la Figura 1. calcula y dibuja un tipo d sfurzo slccionado con la variabl IDST, tal como las componnts d sfurzos n l plano σ xx, σ yy, σ xy, los sfurzos principals σ,σ 1 o l sfurzo d von Miss σ vm. La matriz SXX guarda los valors d una componnt d sfurzo n los nudos d cada lmnto finito. Como s obsrva Figura 1.3, l sfurzo n un lmnto triangular linal s igual n sus trs nudos, lo cual s particular n st tipo d lmntos. En gnral, la matriz d opradors difrncials actuando sobr funcions d forma cambia con rspcto a la posición n l intrior dl lmnto, como n l lmnto rctangular bi-linal o l cuadrilatral isoparamétrico, n cuyo caso l algoritmo cambia un poco con rspcto al indicado para lmntos triangulars n la Figura 1.3. lmnto nudo i nudo j nudo k σ xx σ yy σ xy nudo k matriz d la componnt d sfurzos xx por lmnto sfurzo constant nudo j vctor sfurzos d los lmntos 1, y 3 nudo i sfurzos n lmntos triangulars linals Figura 1.3. Cálculo d la componnt d sfurzo σ xx n cada lmnto triangular linal rsultado lmntal. Dado qu los sfurzos al igual qu las dformacions son l rsultado d la drivación d las funcions d aproximación o campo d dsplazamintos n l caso d problmas d lasticidad, la función d sfurzos n la malla s discontinua n los nudos d los lmntos, s dcir, los lmntos qu compartn un nudo común prsntan valors difrnts d sfurzo n l mismo. Para obtnr una rspusta continua d los campos drivados s rcurr a calcular l promdio ntr los valors aportados por todos los lmntos al nudo spcífico. La instrucción ORSONO calcula los valors nodals d sfurzo a partir d la

19 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 19 matriz d sfurzos por lmnto SXX y d la matriz d conctividads ELE, como lo ilustra la Figura 1.4. Las instruccions GRAFIE y GRAFIF dibujan rgions d colors qu dscribn la distribución dl sfurzo σ xx n los lmntos y n los nudos rspctivamnt, como s mustra n la Figura 1.5. D la misma forma s pudn obtnr los rsultados para otras componnts d sfurzo, los sfurzos principals o l sfurzo d von Miss, tan solo cambiando l valor dl parámtro IDST. Para dibujar la distribución d sfurzos promdio n los nudos mdiant iso-línas s scrib l númro 3 n l último argumnto d la instrucción GRAFIF Figura 1.6. lmnto nudo i nudo j nudo k matriz d conctividads lmnto nudo i nudo j nudo k lmntos finitos qu compartn l nudo 86 nudo sfurzo promdio matriz d sfurzos n los lmntos rsultado lmntal calcular promdio vctor d sfurzos promdio n los nudos rsultado nodal Figura 1.4. Cálculo dl sfurzo σ xx promdio n l nudo 86 rsultado nodal. Como fu plantado inicialmnt, n l jmplo s prtnd mostrar la distribución d los sfurzos normals n dircción x sobr la lína AB Figura 1.1. El código prsntado n la Figura 1.7 obtin los valors nodals promdio y los valors n los lmntos qu hacn part dl sgmnto AB. Allí la instrucción ORNLIN cra la lista d los nudos sobr la lína dfinida ntr los nudos 5 punto A y 17 punto B, y los ordna d acurdo a su distancia con rspcto al nudo 5. D forma similar la instrucción

20 0 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso ORELIN cra un listado d los lmntos qu compartn uno d sus lados con la lína spcificada antriormnt, n cuyo caso no s incluyn los lmntos qu tinn un solo nudo sobr la lína, como por jmplo, los lmntos 4, 13, 15, 118, 119, 10,11,150, 171,175. a b Figura 1.5. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Gráfico d rgions llnas d la distribución dl sfurzo : a n los lmntos rsultado lmntal, b promdio n los nudos rsultado nodal. σ xx El rsultado s una tabla dond n la primra columna s indican l númro dl lmnto y n la sgunda l númro dl nudo. Ambas instruccions cran admás una matriz qu indica las distancias ntr l nudo 5 y cada uno d los nudos contnidos n la lína.

21 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 1 Figura 1.6. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Gráfico d iso-línas d la distribución dl sfurzo promdio n los nudos rsultado nodal. σ xx A partir d las matrics obtnidas por los procdimintos antriors s organiza una tabla d sfurzo promdio n los nudos mostrada n la Figura 1.8a y una tabla d sfurzo n los lmntos prsntada n la Figura 1.8b. Con stos datos s labora la gráfica tipo disprsión d la Figura 1.8c, la cual indica con lína discontinua los valors d sfurzo promdio n los nudos y con lína continua los sfurzos n l intrior d cada lmnto finito. Los scalons d sta última función dmustran l valor constant dl sfurzo n l intrior d los lmntos triangulars linals. 'calculo d sfurzo xx sobr la lína AB 'promdio n los nudos ORNLIN LNU, DNU, XYZ, 5, 17 EDIMPI "TB_OUT", " nudos l la lina AB", FILA, COLM, LNU EDIMPR "TB_OUT", "distancia d los nudos sobr la lina AB", FILA, COLM, DNU ORXYNU NAB, NXX, LNU EDIMPR "TB_OUT", "sfurzo promdio n los nudos sobr la lina AB", _ FILA, COLM, NAB 'n los lados d los lmntos ORELIN LEL, DNU, XYZ, ELE, 5, 17, 0, 1 EDIMPI "TB_OUT", " lmntos con lado n la lina AB", FILA, COLM, LEL EDIMPR "TB_OUT", "distancia d los nudos sobr la lina AB", FILA, COLM, DNU ORXYNU EAB, SXX, LEL EDIMPR "TB_OUT", "sfurzo promdio n los nudos sobr la lina AB", _ FILA, COLM, EAB Figura 1.7. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Part d la rutina PEFICA. Cálculo dl sfurzo normal n x sobr la lína AB.

22 Capítulo 1. Ejmplo paso a paso solución nodal nudo dist pul sxx sxx/sm E E E E E E E E E E a solución lmntal lm nudo dist pul sxx sxx/sm E E E E E E E E E E E E E E E E E E b punto B nudo distancia dsd A pul solución nodal solución lmntal punto A nudo sfurzo normal n x / sfurzo mdio Figura 1.8. Lámina somtida a tnsión con orificio n l cntro. Distribución dl sfurzo normal n x sobr la lína AB: a tabla d rsultados promdio n los nudos, b tabla d rsultados n los lmntos, c gráfica d nivl d sfurzo vrsus distancia mdida dsd l punto A. c

23 Capítulo Problmas unidimnsionals d campo scalar Est capítulo prsnta los rsultados obtnidos por l programa PEFiCA d un problma d Rsistncia d Matrials dfinido por una cuación difrncial parcial unidimnsional d campo scalar d la forma Sgrlin 1984; Hughs 000; Oñat & Zárat 000: φ D + Q = 0 x x Ω.1 dond φx s un campo scalar n un dominio unidimnsional Ω, y D x y Q x son parámtros d la cuación difrncial, sin mbargo s considra qu consrvan un valor constant D y Q n l intrior d cada lmnto finito. Uno d los tipos d condicions d bord más común corrspond a valors conocidos d φ x n un contorno Ω, s dcir Γ φ φ = φ x Γ. x 0 φ La antrior cuación difrncial dscrib la dflxión d vigas como lo indican los jmplos prsntados a continuación..1. Dflxión d una viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals Una viga simplmnt apoyada d longitud L=8.00 m stá somtida a una carga distribuida parcial w=6 kn/m como s mustra n la Figura.1a. La viga sta construida con un prfil W14x8 d acro cuyo módulo d lasticidad s E=00 GPa y stá rforzada n la cuarta part cntral con dos placas d 0.5 pulgadas d spsor Figura.1b. D acurdo con la toría d vigas Timoshnko & Young 1965, la dflxión v s obtin d la solución d una cuación difrncial d la forma: d v EI x = M x.3 dx sindo M x la función momnto flctor mostrada n la Figura.1c. El objtivo d st jmplo s obtnr la dflxión a lo largo d la viga rsolvindo la cuación difrncial antrior mdiant l método d los lmntos finitos.

24 4 Capítulo. Problmas unidimnsionals d campo scalar y M x x x w = 6kN m B B E = 00 GPa A A a c z y A-A z y B-B W14x8 W14x8+ P0.5 = 7340 kn m EI AA M x = 18 6x M x = 68 x EI BB = kn m b Figura.1. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals: a squma gnral, b cort A-A y B-B, c momnto flctor a lo largo d la viga. El dominio d la viga s divid n 10 lmntos finitos unidimnsionals linals conctados ntr sí por 11 nudos como lo indica la Figura.a. Las condicions d bord dl problma corrspondn a valors conocidos d la dflxión n los nudos 10 y 11. φ = 0 φ = a EI knm b M knm Figura.. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals: a malla d lmntos finitos, b rigidz d cada lmnto finito y c momnto flctor constant aproximado n cada lmnto finito. Los lmntos finitos numrados dl 1 al 4 y dl 7 al 10 tinn una rigidz EI=7340kNm, mintras qu la rigidz d los lmntos 5 y 6 n l cntro d la viga s EI=96480kNm, como s indica n la Figura.b. Dado qu l vctor d términos indpndints considra un valor constant d M x n l dominio dl lmnto finito, s ncsario suponr un valor mdio dl momnto n cada lmnto d la malla, como lo mustra la Figura.c. c

25 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 5 Obsrvación. En la carpta \jmplos\ s incluy la solución d st problma con lmntos unidimnsionals linals n l archivo PEFICA-1Dviga01.xls. Los datos dl problma s introducn n las cldas d las difrnts hojas d cálculo d acurdo con l tipo d información. En la Figura.3 s ilustra las hojas d cálculo qu continn los datos gnrals dl problma, las coordnadas d los nudos, las conctividads d los lmntos y las propidads D y Q d cada uno d llos. a b c Figura.3. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals: a tabla d datos gnrals, b tabla d coordnadas d los nudos y c tabla d conctividads y propidads d cada lmnto finito. El procdiminto para rsolvr una cuación difrncial d campo unidimnsional mdiant l método d los lmntos finitos sta xplicado n algunas d las rfrncias rlacionadas con l tma Sgrlin 1984; Hughs 000; Oñat & Zárat 000. Part dl código scrito n la subrutina PEFICAs prsnta n la Figura.4. Algunos rsultados parcials como la matriz d rigidz y l vctor d términos indpndints dl sistma s ilustran n la Figura.5. D la solución d la cuación difrncial d campo unidimnsional s obtinn los valors dl dsplazaminto vrtical o dflxión n los nudos d la malla d lmntos finitos, los cuals s indican n la Figura.6 y rprsntan d forma gráfica n la Figura.7a. La drivada d la dflxión con rspcto a la posición, la cual corrspond al ángulo d giro d la viga, s pud calcular a partir dl producto ntr la matriz d opradors actuando sobr las funcions d forma y l vctor d valors nodals n l intrior d cada lmnto. El rsultado mostrado n la Figura.7b pon n vidncia la discontinuidad d la drivada d la función d aproximación n los nudos, cuando los lmntos finitos tinn continuidad C 0 Oñat & Zárat 000.

26 6 Capítulo. Problmas unidimnsionals d campo scalar : : 'matriz d coordnadas d los nudos EDLECR "TB_XYZ", 5,, XYZ, NNUD, 1 'matriz d conctividads = matriz d incidncias EDLECI "TB_ELE", 5,, INC, NELE, NGLE 'paramtros D y Q dl lmnto EDLECR "TB_ELE", 5, 8, DEL, NELE, 1 EDLECR "TB_ELE", 5, 9, QEL, NELE, 1 'longitud d cada lmnto RDim LELNELE, 1 For IELE = 1 To NELE LELIELE, 1 = XYZINCIELE,, 1 - XYZINCIELE, 1, 1 Nxt IELE 'scribir n hoja d salida los datos d ntrada EDIMEI "TB_OUT", "NNUD", FILA, COLM, NNUD EDIMEI "TB_OUT", "NELE", FILA, COLM, NELE EDIMEI "TB_OUT", "NGLT", FILA, COLM, NGLT EDIMEI "TB_OUT", "NGLD", FILA, COLM, NGLD EDIMPI "TB_OUT", "INC", FILA, COLM, INC EDIMPR "TB_OUT", "LEL", FILA, COLM, LEL EDIMPR "TB_OUT", "DEL", FILA, COLM, DEL EDIMPR "TB_OUT", "QEL", FILA, COLM, QEL 'matriz d rigidz dl sistma MTCONS KGL, 0, NGLT, NGLT For IELE = 1 To NELE 'matriz d rigidz dl lmnto KUNID KEL, DELIELE, 1, LELIELE, 1 EDIMPR "TB_OUT", "KEL - " & IELE, FILA, COLM, KEL ENSAMK KGL, KEL, INC, IELE Nxt IELE EDIMPR "TB_OUT", "KGL", FILA, COLM, KGL, 1 'vctor d furzas dl sistma MTCONS FGL, 0, NGLT, 1 For IELE = 1 To NELE 'vctor d furzas dl lmnto FUNID FEL, QELIELE, 1, LELIELE, 1 EDIMPR "TB_OUT", "FEL - " & IELE, FILA, COLM, FEL ENSAMV FGL, FEL, INC, IELE Nxt IELE EDIMPR "TB_OUT", "FGL", FILA, COLM, FGL 'solución dl sistma d cuacions simultanas MTSUBM KGL, KAA, 1, 1, NGLD, NGLD MTSUBM FGL, FAA, 1, 1, NGLD, 1 SOCHLK KAA, FAA, DAA 'dflxión viga formato GL MTCONS DBB, 0, NGLC, 1 MTADJU DGL, DAA, DBB EDIMPR "TB_OUT", "DGL", FILA, COLM, DGL 'grafica d la dflxion EDIMPR "TB_GRA", "XYZ", 5, 1, XYZ EDIMPR "TB_GRA", "DGL", 5, 4, DGL 'drivadas d la dflxión RDim TDR * NELE, 1 For IELE = 1 To NELE EXTRAV DGL, DEE, INC, IELE, NGLE BUNID BEL, LELIELE, 1 MTMULT BEL, DEE, DER TDR * IELE - 1, 1 = DER1, 1 TDR * IELE, 1 = DER1, 1 Nxt IELE EDIMPR "TB_OUT", "TDR", FILA, COLM, TDR Figura.4. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals: part d la rutina PEFICA.

27 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 7 KGL 11x11 C1 C C3 C4 F1.9368E E E E+00 F E+05.06E E E+00 F E E E E+04 F E E E E+05 F E E E E+04 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 C5 C6 C7 C8 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+00 F E E E E+04 F E E E+04.06E+05 F E E E E+05 F E E E E+00 F E E E E+00 C9 C10 C11 F E E E+00 F E E E+00 F E E E+00 F E E E+00 F E E E+00 F E E E+00 F E E E+00 F E E E+00 F9.9368E E E+05 F E E E+00 F E E E+05 FGL 11x1 C1 F E+00 F E+01 F E+01 F E+01 F E+01 F E+01 F E+01 F E+00 F E+00 F E+00 F E-01 Figura.5. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals: matriz d rigidz y vctor d términos indpndints dl sistma scritos n la hoja d rsultados TB_OUT.

28 8 Capítulo. Problmas unidimnsionals d campo scalar DGL 11x1 C1 F E-04 F E-04 F E-03 F E-03 F E-03 F E-03 F E-03 F E-04 F E-04 F E+00 F E+00 TDR 0x1 C1 F1-9.37E-04 F -9.37E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-05 F E-05 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 F E-04 Figura.6. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals: dflxión n los nudos y drivada d la dflxión n los lmntos prsntados n la hoja d rsultados TB_OUT. x m v mm x a θ rad x b Figura.7. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals linals: a dflxión n función d x y b drivada d la dflxión o ángulo d giro n función d x.

29 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 9.. Dflxión d una viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals cuadráticos A continuación s dscrib la solución dl problma antrior utilizando lmntos unidimnsionals cuadráticos. El dominio d la viga s divid n 10 lmntos finitos unidimnsionals cuadráticos y 1 nudos como lo indica la Figura.8a. Las condicions d bord dl problma corrspondn a valors conocidos d la dflxión n los nudos 0 y 1. La magnitud d las propidads D = EI y Q = M d cada lmnto unidimnsional cuadrático corrspondn a los mismos valors dfinidos para los lmntos unidimnsionals linals dl Apartado antrior indicados n la Figura.b y c. Obsrvación. En la carpta \jmplos\ s incluy la solución d st problma con lmntos unidimnsionals cuadráticos n l archivo PEFICA-1Dviga0.xls. φ 0 = 0 φ 1 = n. xtrmos n. intrmdios Figura.8. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals cuadráticos: malla d lmntos finitos. A difrncia dl código dl jmplo antrior, las subrutinas d cración d matrics lmntals cambian. La Figura.9 mustra una part d la rutina principal PEFI- CAdond las ltras n ngrita indican las instruccions propias d lmntos unidimnsionals cuadráticos. La dflxión n cada nudo y l ángulo d giro n cada lmnto s ilustran n la Figura.11. Al igual qu n l jmplo antrior, s obsrva la discontinuidad d la drivada d la función d aproximación n los nudos d los xtrmos d los lmntos. : : 'matriz d rigidz dl sistma MTCONS KGL, 0, NGLT, NGLT For IELE = 1 To NELE 'matriz d rigidz dl lmnto unidimnsional cuadrático KUNID3 KEL, DELIELE, 1, LELIELE, 1 EDIMPR "TB_OUT", "KEL - " & IELE, FILA, COLM, KEL ENSAMK KGL, KEL, INC, IELE Nxt IELE EDIMPR "TB_OUT", "KGL", FILA, COLM, KGL, 1 'vctor d furzas dl sistma MTCONS FGL, 0, NGLT, 1 For IELE = 1 To NELE 'vctor d furzas dl lmnto unidimnsional cuadrático FUNID3 FEL, QELIELE, 1, LELIELE, 1 EDIMPR "TB_OUT", "FEL - " & IELE, FILA, COLM, FEL

30 30 Capítulo. Problmas unidimnsionals d campo scalar ENSAMV FGL, FEL, INC, IELE Nxt IELE EDIMPR "TB_OUT", "FGL", FILA, COLM, FGL : : 'drivadas d la dflxión RDim TDR * NELE, 1 For IELE = 1 To NELE EXTRAV DGL, DEE, INC, IELE, NGLE 'nudo inicial i BUNID3 BEL, 0#, LELIELE, 1 MTMULT BEL, DEE, DER TDR * IELE - 1, 1 = DER1, 1 'nudo final k BUNID3 BEL, 1#, LELIELE, 1 MTMULT BEL, DEE, DER TDR * IELE, 1 = DER1, 1 Nxt IELE Figura.9. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals cuadráticos: part d la rutina PEFICA. 0.0 x m v mm x a θ rad x Figura.10. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals cuadráticos: a dflxión n función d x y b drivada d la dflxión o ángulo d giro n función d x. Al comparar los rsultados dl problma utilizando una malla d 10 lmntos finitos linals y otra malla d 10 lmntos finitos cuadráticos, s obsrva qu la dflxión s casi la misma como lo mustra la Figura.11. Sin mbargo, hacindo un acrcaminto ntr b

31 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 31.5m y 4.5m dl xtrmo izquirdo d la viga s aprcia una pquña difrncia n l valor máximo d la dflxión. x m v mm x lm. linals lm. cuadráticos Figura.11. Viga somtida a carga distribuida con lmntos unidimnsionals cuadráticos: a dflxión n función d x y b drivada d la dflxión o ángulo d giro n función d x.

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33 Capítulo 3 Problmas bidimnsionals d campo scalar Est capítulo prsnta los rsultados obtnidos por l programa PEFiCA d algunos problmas d Mcánica d sólidos y d fluidos dfinidos por una cuación difrncial parcial bidimnsional d campo scalar dnominada n ocasions cuación bidimnsional d Poisson Sgrlin 1984; Oñat & Zárat 000 Sa φ x, y un campo scalar n un dominio bidimnsional Ω, la cuación d Poisson s pud xprsar d la forma: φ φ Dx + D y Gφ + Q = 0, x y x y Ω 3.1 Los parámtros D x, D y, G y Q d la cuación difrncial dpndn d x,y, sin mbargo, s considra qu consrvan un valor constant D x, D y, G y Q n l intrior d cada lmnto finito. El tipo d condición d bord más común corrspond a valors conocidos d φ x, y n un contorno Ω, s dcir Γ φ x Γφ φ x, y = φ0, y 3. La solución d la cuación difrncial antrior mdiant l método d los lmntos finitos s xprsa matricialmnt d la forma: K Φ = f 3.3 La matriz d rigidz dl sistma K y l vctor d furzas f s obtinn dl procso d nsamblaj d las matrics d rigidz y d los vctors d furzas d los lmntos, rspctivamnt así: stá dfinida como la suma d las siguin- La matriz d rigidz dl lmnto finito K ts dos intgrals n l dominio dl lmnto, K n n = A K, f = Af 3.4 = 1 = 1 Ω T T K = K D + K G = B D B da + G N N da 3.5 Asimismo, l vctor d términos indpndints o vctor d furzas dl lmnto corrspond a una intgral n l ára d la forma: Ω f

34 34 Capítulo 3. Problmas bidimnsionals d campo scalar T f = Q N da Ω 3.6 Sindo N la matriz d funcions d forma dl lmnto y B la matriz d opradors difrncials aplicados sobr las funcions d forma, s dcir: xn B = N = 3.7 yn La matriz diagonal D mostrada a continuación, contin los parámtros d la cuación difrncial n l intrior dl lmnto finito, D x y D 0 x D = Dy El vctor d valors nodals dl sistma Φ s pud dividir n un subvctor d valors nodals dsconocidos Φ α y un subvctor d valors nodals conocidos Φ β dado por las condicions d bord dl problma, d tal manra qu la Ecuación 3.3 d pud rscribir como: K K αα βα K K αβ ββ Φ Φ α β f f α β 0 = Dond la matriz d rigidz K s ha dividido n las submatrics K αα, Kαβ, K βα y K ββ, d acurdo con l númro d valors nodals dsconocidos y conocidos dl sistma. Por las mismas razons l vctor d furzas f stá conformado por los subvctors f α y f β. En conscuncia la cuación antrior corrspond a dos cuacions matricials d la forma: K K αα βα Φ Φ α α + K + K αβ ββ Φ Φ β β f α f β = 0 = Dspjando l vctor d valors nodals dsconocidos d la primra xprsión s tin qu: Φ α αα f K Φ = K α αβ Las cantidads d intrés n l intrior d cada lmnto finito, como la función d aproximación y sus drivadas, s calculan d la siguint manra. Primro s xtra l vctor d valors nodals dl lmnto Φ a partir dl vctor d valors nodals dl sistma Φ y d acurdo con la información d la tabla d incidncias. Dspués s valúa la función d aproximación n los puntos x,y dl intrior dl lmnto d la forma: = N Φ β Ω φ x, y x, y x, y 3.1 D y Finalmnt, las drivadas d la función d aproximación dl lmnto con rspcto a x y a y s calculan n cada punto x,y como:

35 PEFiCA - Programa d lmntos finitos a código abirto 35 = Φ Ω φ x, y B x, y x, y 3.13 Cada uno d los siguints apartados prsntan la simulación numérica d difrnts problmas físicos gobrnados por la Ecuación Barra prismática somtida a torsión pura A continuación s dscrib la solución d un problma particular d la mcánica d sólidos mdiant l método d los lmntos finitos, n l cual s obtin la distribución d sfurzos cortants n toda scción transvrsal d una barra prismática somtida a torsión pura. El objtivo dl problma s ncontrar la distribución d sfurzos cortants sobr la scción transvrsal d la barra mdiant l método smi-invrso d Saint-Vnant Timoshnko & Goodir 1970; Ortiz Est método s una simplificación dl problma d lasticidad tridimnsional n la cual l comportaminto d la barra s obtin n l dominio bidimnsional d la scción transvrsal. Sa φ x, y la dnominada función d Prandtl cuyas drivadas dtrminan los sfurzos cortants n la scción transvrsal d la barra como: φ φ σ zx = ; σ zy = 3.14 y x y su intgral n l ára d la scción transvrsal stablc la magnitud dl momnto torsor actuant M d la forma: M = φ da S cumpl la siguint cuación difrncial bidimnsional d campo, 1 φ 1 φ = 0 µθ x µθ y A dond µ s l módulo d lasticidad a cortant y θ s l ángulo d torsión por unidad d longitud. Las condicions d bord corrspondn a un valor d cro d la función d Prandtl n l contorno xtrno d la scción transvrsal Ω, s dcir: Γ φ φ x, y = 0 x, y Γ φ 3.17 El método smi-invrso d Saint-Vnant n gnral s aplicabl a cualquir gomtría d la scción transvrsal d la barra Timoshnko & Goodir 1970; Sgrlin 1984; Ortiz A partir d la rlación ntr la momnto torsor aplicado M y l ángulo d torsión por unidad d longitud θ, s pud dspjar la constant torsional J d la scción transvrsal d tal forma qu:

36 36 Capítulo 3. Problmas bidimnsionals d campo scalar M M = GJθ J = 3.18 µθ Dscripción dl problma y dfinición d la malla d lmntos finitos para una barra d scción rctangular Una barra prismática d acro stá somtida a un par d momntos torsors M = 50 kn m aplicados n sus xtrmos como lo indica la Figura 3.1. La scción transvrsal d forma rctangular tin una bas d 0.30m y una altura d 0.50m, y l módulo d lasticidad al cort dl matrial s d µ = kn/m. Dbido a la dobl simtría d la barra s analiza la cuarta part suprior drcha d la scción transvrsal como lo indica la Figura 3.a. Las condicions d bord corrspondn a valors d φ iguals a cro n l lado AC y BC dl dominio modlado. Obsrvación La carpta \jmplos\ incluida n los mdios d instalación dl programa PEFiCA contin un libro d Excl con cada problma rsulto. El archivo PEFICA-TorsionRctangular1.xls corrspond a la simulación d una barra prismática d scción transvrsal rctangular somtida a torsión pura con una malla d 1 lmntos finitos, prsntada a continuación. Los rsultados dl mismo problma con difrnts mallas d lmntos finitos furon obtnidos con la rutina principal dl archivo PEFICA-TorsionRctangular.xls. σ zy 0.5 σ zx y x M scción transvrsal a y L matrial: concrto G = kn m kn m M = 50 kn m z x b Figura 3.1. Barra prismática somtida a torsión pura: a scción transvrsal, b prspctiva d la barra. S construy la malla d 0 nudos y 1 lmntos finitos rctangulars bilinals d 0.05m por 0.05m, prsntada n la Figura 3.b. Los nudos d color ngro indican los valors nodals dsconocidos, n cambio los nudos d color blanco rprsntan los valors nodals conocidos iguals a cro qu rprsntan las condicions d bord dl problma.