Derivación e Integración Numérica
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- María Jesús Córdoba Martin
- hace 5 años
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1 Titulció: Asigtur: Autor: Grdo e Igeierí Métodos Numéricos Césr Meédez Ultim ctulizció: // Derivció e Itegrció Numéric Plificció: Mteriles: Coocimietos previos: Teorí+ Práctics+ Lortorio MATLAB T ms. ásicos de Cálculo Desrrollos de Tylor Sistems lieles
2 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Descripció del prolem Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Evlució de l derivd e u puto o de l itegrl de u fució e u itervlo prtir de los vlores de l fució Fució muy complej (difícil de clculr su itegrl) No se cooce l fució sio sólo sus vlores e lguos putos No existe l primitiv de l fució Fórmuls de derivció e itegrció uméric i i f xdx f x f x f x i i i i Oteció de los vlores de los coeficietes Determició del error cometido
3 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Evlució de l derivd e u puto o de l itegrl de u fució e u itervlo prtir de los vlores de l fució Fució muy complej (difícil de clculr su itegrl) No se cooce l fució sio sólo sus vlores e lguos putos No existe l primitiv de l fució Fórmuls de derivció e itegrció uméric i i f xdx f x f x f x i i i i Oteció de los vlores de los coeficietes Determició del error cometido
4 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ojetivos Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Coocer ls diferetes forms de oteer ls fórmuls umérics Iterpolció Coeficietes idetermidos Desrrollo de Tylor o poliomios ortogoles Apreder oteer el error de l fórmuls Recoocer ls vetjs de ls fórmuls cetrds Apreder l motivció de l extrpolció de Ricrdso Compreder que el error e l derivció uméric depede o solo de l fórmul uméric y de l fució derivr sio del puto e que se clcul y del vlor de espcido. Eteder cómo se plic el lgoritmo de itegrció de Romerg. Eteder l difereci fudmetl etre ls fórmuls de Newto-Cotes y l cudrtur gusi. Compreder el fuciomieto de l itegrció dpttiv Aplicr ls regls itegrles impropis o múltiples
5 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Pltemieto y defiicioes Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl 5 Fórmuls de derivció uméric f f x error f f x i i i i i i Fórmuls de itegrció uméric f x dx f x error f x dx f x Procedimieto Oteció de los vlores de los coeficietes Determició o cotció del error cometido Error U fórmul es de orde cudo es exct pr poliomios de grdo meor o igul que El error de trucmieto de l fórmul es Se deomi prte pricipl del error de trucmieto l ifiitésimo de meor orde i i i i i i k,,, f x x k error k error k error : lim cte : lim k k error k k k 5 6
6 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl 6 L siguiete fórmul de derivció es de orde y co error de trucmieto O() f f f f RN! f x f x x f x x f error f RN lim lim lim! f L siguiete fórmul de itegrció es de orde y co error de trucmieto O( ) f x dx f f RN f x f x x f x x! error f x dx RN f lim lim lim f
7 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Oteció de ls fórmuls: Derivció Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Fórmuls de tipo iterpoltorio Derivdo los poliomios de iterpolció (itulmete co putos equiespcidos) f x P x E x f x P x E x Métodos de desrrollo de Tylor Desrrolldo por Tylor e toro l puto de derivció y elimido los térmios o desedos f f f f f f f f!! Método de coeficietes idetermidos Plte u sistem de ecucioes, depediedo del orde de l fórmul, cuy resolució permite oteer los coeficietes k,, : f x x k f if xi i 7
8 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Oteció de ls fórmuls: Itegrció Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Fórmuls de Newto-Cotes Itegrdo los poliomios de iterpolció (itulmete co putos equiespcidos) f x P x E x f x dx P x dx E x dx Fórmuls de cudrtur gusi Utilizdo ls ríces de poliomios ortogoles como putos de iterpolció (Depede del itervlo y de l fució) f x dx P x dx error R x dx error Método de coeficietes idetermidos Plte u sistem de ecucioes, depediedo del orde de l fórmul, cuy resolució permite oteer los coeficietes k,, : f x x k f x dx i f x i i 8
9 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Formuls de tipo iterpoltorio Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. 9 Se defie por el úmero de putos del poliomio de iterpolció Ls fórmuls geérics se tom pr putos equiespcidos, uque su método de oteció es válido pr culesquier putos f x f x P x E x f xi Li x x xk! i k d f x P x e x e x E x dx Acotció del error d d f x e x E x x xk dx dx! k x No es posile l cotció pr culquier vlor de x Se cot e uo de los putos de iterpolció x f x df f d x x x x! dx! dx siedo f x k k k d x xk x x! dx! x! k f e x x x i i k k ki j k k j k k
10 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. Derivds primers ( y ) putos x x x x P x f x f x P x x Equiespcidos putos Equiespcidos x x x x x x i i k k f f e x x x e x x x!! ki f x f x f f x! f x f x x x x x x x x x x x x x P x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x P x f x f x f x x x x x x x x x x x x x f f x f x f x f x f f x f x f x 6
11 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Derivds primers: ( y 5) Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. putos f f x f x 8 f x 9 f x f x 6 5 putos f x 5 f x 8 f x 6 f x 6 f x f x f 5 f x 6 f x f x 6 f x f x f x f f x f x 8 f x 8 f x f x f f f x f x f x 6 f x f x 6
12 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Aplicció: f(x)=cos(x), clculr f (/) tomdo =.5 y =. Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. si.77 f Pts =.5 =. cos.5 cos cos cos.5 cos.78.5 cos.5 cos cos 8cos.5 9cos. cos cos.5 cos 6cos.5 cos cos 8cos.5 6cos cos.5 cos 6cos.5 cos 6cos cos cos.5 f cos 8cos cos.5 cos
13 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Derivds orde superior: Tylor Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. Fórmuls iterpoltoris: cotció del error x x x d d k k k No se ul e los putos de iterpolció! d d f d f x e x E x x xk x xk dx dx! k! dx k Tylor: df f x x x x! dx dx! dx Plte l oteció de ls derivds de culquier orde e u puto prtir del desrrollo de Tylor de l fució e otros putos próximos Proceso: Desrrollr e serie e los putos coocidos e toro l vlor desedo Comir ls expresioes teriores, uldo todos los térmios posiles Oteer l expresió fil de l formul y el error (cudo se posile) k
14 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Tylor pr derivds primers y seguds Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. Oteer, utilizdo el desrrollmos e serie de Tylor, u fórmul uméric pr clculr f () y f () prtir de los vlores de f(x) e {,,+} f f f f f f I!!! f f f f f f II Comimos los desrrollos: (I)+(II) y ulmos los térmios o desedos Derivd ª: ul térmios e (=-) Derivd ª: ul térmios e (=) Derivd ª: No tiee setido!!! k : f f f : f : f! : f k k! : f k k! k! f f f f f f f f f 6! iv iv iv f f f f f f f f f f f
15 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Derivds de orde superior () Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. 5 Derivd segud Lterles f x f x f x 9f x f x f x 5 f x f x f x Cetrds f x f x f x f x f x f x 6 f x f x 6 f x f x Ejemplo f(x)=cos(x), clculr l derivd segud e / tomdo =.5 y =. cos.77 f Pts Cet. =.5 =. No cos cos.5 9cos Si cos.5 cos cos No cos 5cos.5 cos cos Si cos 6cos.5 cos 6cos.5 cos
16 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Derivds de orde superior () Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. 6 Derivd tercer Lterles f x f x f x f x f x f x 5 f x 8 f x f x f x f x Cetrds f x f x f x f x f x f x f x 8 f x f x f x 8 f x f x 8 Ejemplo f(x)=cos(x), clculr l derivd tercer e / tomdo =.5 y =. f si.77 Pts Cet. =.5 =. No.88 cos cos.5 cos cos No 5cos.7 8cos.5 cos cos.5 cos Si cos cos.5 cos.5 cos Si cos.5 8cos cos cos.5 8cos 8cos
17 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Derivds de orde superior () Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. 7 Derivd curt Lterles iv f x f x f x 6 f x x f x iv f x f x f x 6 f x f x f x f x5 Cetrds iv f x f x f x 6 f x f x f x iv f x f x f x 9 f x 56 f x 9 f x f x f x 6 Ejemplo f(x)=cos(x), clculr l derivd curt e / tomdo =.5 y =. iv f cos.77 Pts Cet. =.5 =. 5 No cos cos.5 6cos cos.5 cos Si.759 cos cos.5 6cos cos.5 cos No cos cos.5 6cos cos.5 cos cos.5 7 Si 8cos.5 cos 9cos.5 56cos cos.5 cos cos.5
18 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez El método de Coeficietes Idetermidos Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. Fij los putos de l fórmul Prte de u relció de coeficietes Plte u sistem pr que l fórmul se exct pr el myor orde posile (grdo del poliomio) Otiee el orde del error f f f x x i f x x x i i i i i i f x x i xi i f x x i xi i i 8
19 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo de oteció por coef. Idet. Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl F. Iterpoltoris - Derivds primers - Der. Orde superior Desrrollo Tylor Coeficietes ideterm. Clculr f () prtir del vlor de f(x) e {-,,+} Sistem f f f f f f x x f x x Solució f f f f Orde? f x x 6 f x x x 9
20 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Extrpolció de Ricrdso: oteció de fórmuls de myor orde Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Se M u vlor excto y N () l fórmul uméric que lo proxim depediedo del prámetro, pudiédose expresr como M N k k k k N I Dode los coeficietes so costtes. Aplicádol pr ½, se tiee M N k k k k II y uldo etre ms expresioes los térmios e : (II)-(I), M N N k k k N k k k N II se cosigue umetr l precisió de l fórmul. Repitiedo el proceso pr ulr : M N N k k N k k N IV Y por iducció se lleg M N dode N N N N N N
21 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Dd l fórmul de derivció uméric f f f k k k k N I Aplicr l extrpolció de Ricrdso, tomdo f(x)=cos(x) pr clculr f (/) tomdo =.5. Comprrl co l solució exct: -.77 E este cso N N M N dode N N N () N () N () N () N ()
22 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Oteció de fórmuls de myor orde Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl NOTA: Si l formul fuer 6 M N k k k k N I Este proceso geerrí l relció M N dode N N N N N N Aplicr l ejemplo terior tomdo f f 6 f k k k k N I N () N () N () N () N ()
23 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Iestilidd uméric de l derivció Motivció co Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Prtiedo de l fórmul de derivció uméric f ( ) f ( ) f ( ) N, f co N,! pero l operr co ritmétic fiit, se evlú f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) N, dode, siedo el error de represetció del ordedor. El error totl es por tto E f ( ) N, f ( ) N, N, N, M co M sup f x! x que tiee u míimo pr opt M Por tto le precisió o mejor idefiidmete co l dismiució del vlor de. E l práctic o podemos clculr el vlor de óptimo, y que l cot del error de represetció depede de l máqui y M depede de l fució y del itervlo e estudio.
24 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Itroducció Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd Teorem del vlor medio pr itegrles Se f(x), g(x) C[, ] dode g(x) es itegrle y o cmi de sigo e [,], etoces existe u puto c e (,) tl que f x gxdx f c gx dx So formuls de tipo iterpoltorio que se defie por el úmero de putos del poliomio de iterpolció Ls fórmuls geérics se tom pr putos equiespcidos, uque su método de oteció es válido pr culesquier putos Motivció P x f xi Li x : Li x i f x P x E x f x E x x xk! k f x dx P x dx e x e x E x dx
25 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Método de coeficietes idetermidos Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd 5 Oteer los coeficietes de l siguiete fórmul pr que teg el myor orde posile f x dx f f f Pltemieto: dee ser exct pr poliomios del myor orde, luego comezmos e orde creciete f x dx f x x xdx f x x x dx Resolució del sistem f x dx f f f Orde de l fórmul? f x x x dx? 7 f x x x dx Fórmul de orde 5 9
26 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplos de regls simples Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd 6 Iterpolte de grdo Vlor e el extremo del itervlo f x dx f dx f x dx f f Vlor e el puto medio f xdx f dx f, x x dx f f,,, Iterpolte de grdo como f x, x f x, x, x x x f x, x y x dx= f x x dx f x x x x x dx x f,, x x f x dx P x dx f x x dx f x x f P xdx f dx f dx f x x dx f x x dx f
27 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplos de regls simples Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd 7 Iterpolte de grdo f xdx P xdx f x x x dx! Comimos trpecio y puto medio como f x,,, f x,,,, x x x f,,, x y x x x dx=,,,, 5! f x x x dx f x x x x x dx iv f 6 P P RT P xdx P RPM P x dx P P RT RPM P x dx P P P RSimpso f xdx f f f 6
28 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Regls cerrds Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd 8 El poliomio de iterpolció SI icluye los extremos del itervlo = Regl del trpecio 5 = Regl de Simpso = f xdx i f xi x, x xk x k f! f i Tm: Dd u fórmul cerrd de + putos el error es! s s s ds pr Fórmuls cerrds usules s s s ds impr 8 f x f x f f x f x f x f 9 5 f x f x f x f x f 8 7 = R. Boole f x f x f x f x 7 f x f 95,
29 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo x cos x dx si Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd 9 = = = = f x f x cos cos.785 Error f. f x f x f x cos cos cos. 5 iv Error f cos 6 cos f x f x f x f x 8 cos cos 6. 5 iv 6 Error f f x f x f x f x 7 f x 8 7 cos cos cos cos 7 cos vi Error f
30 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Regls ierts Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd El poliomio de iterpolció NO icluye los extremos del itervlo = Regl del puto medio = = = f xdx i f xi x, x xk x k f! f i Tm: Dd u fórmul iert de + putos el error es! s s s ds pr Fórmuls ierts usules 5 s s s ds impr f x f f x f x f 5 f x f x f x f f x f x f x f x f,
31 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo x cos x dx si Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd = = = = x f cos.7 Error f.65 6 f x f x cos 6 cos.79 Error f f x f x f x 5 cos 8 cos cos iv Error f cos cos f x f x f x f x.9986 cos cos iv Error f.
32 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Regls Compuests Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Sudivisió e suitervlos y plicció de l regl simple cd suitervlo f xdx f xdx i I i Regls más itules Regl del trpecio compuest x i f xdx f xdx f xi f xi f i x i i i f x f xi f x f i Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd Regl de Simpso compuest 5 x i f x dx f x dx f x f x i i f x i f i x i i i 9 f x f xi f xi f x f i i 8
33 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Ejemplo: trpecio compuest f xdx f x f xi f x f i Regl itervlos ( putos) f f f itervlos ( putos) 6 f f 6 f f itervlos (5 putos) 8 f f i 8 f i Cot y error rel M sup f sup cos x, x, x cos x dx si Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd itervlos itervlos itervlos M.87 f x dx RT M.59 f x dx RT M. f x dx RT
34 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd Ejemplo: simpso compuest itervlos (5 putos) f f 8 f 8 f 8 f itervlos (7 putos) i f f f i f i i itervlos (9 putos) i f f f i f 6 i i Cot y error rel M sup f sup cos x it. it. it., x, x cos x dx si f xdx i i f x f x f x f x f i i 8 Regl M f x dx RT M f x dx RT M. f x dx RT
35 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Cotrol de error y ejemplo Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd 5 Ls regls compuests permite cotrolr el error vrido el úmero de suitervlos (modific el vlor de ). Cots de error Trpecio Simpso Ejemplo Oteer el umero de suitervlos pr poder segurr que el cálculo de l itegrl idicd medite ls regls compuests teg u error o superior u milloésim Trpecio M co M sup f, M co M sup f, 8 M Simpso iv M
36 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Coef. Idetermidos R. cerrds simples R. ierts simples R. compuests Cotrol del error Estilidd 6 Estilidd uméric Ls fórmuls de itegrció uméric itules so estles e Trpecio compuest (co errores de represetció) N f f x dx f f x f k k N k N f f xdx RTc f,,, k N k M M N Simpso compuest (co errores de represetció) Cso geerl (co errores de represetció) E ls regls simples, se cumple geerlmete que i > y ii = N N iv f f xdx k k k k N f f x f x f k k 8 N N iv f f xdx RSc f,,, k k N k k 8 N i M M 6N 8 8 f x dx f x E i i k truc N f x dx RN f,,, E E i k truc i truc i i N
37 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Cudrtur gussi Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo 7 No fij los putos. Vlores óptimos pr oteer myor grdo Ejemplo f x coef. f x x x x f xdx if xi ideter i f x x x x f x x x x ª x x ª x x ª ª x x x ª x x x x f x dx f f f x Poliomios ortogoles Bse de poliomios,,, / x x x grdo x Defiidos e u itervlo [,] Ortogoles pr u determid fució w(x), deomid peso si i Se wx C, / wx : wxix jx si i j j
38 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Propieddes Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo 8 Relció de recurreci x x x B x x B x C x k k k k k xw x x dx xw x k x dx xw x k x k x dx B B k C k w x k k x dx w x x dx w x x dx Orde de ls fórmuls y error Ddo el poliomio ortogol (x) co ríces {,,,}, se tiee P x xp x R x P P R R k k k k k Itegrdo w x P x dx w x x P x dx w x R x dx k Y por tto el error viee ddo por f wx f xdx wxr xdx wx x i dx! i k k k k k w x R x dx P w x L x dx P
39 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Fmilis de poliomios ortogoles Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo Nomre [,] w(x) Nots Legedre [-,] Se impoe que su vlor e x= se Asocidos l ecució diferecil x y xy y Tceisev [-,] Uso e iterpolció (proximció miimx) x Asocidos l ecució diferecil Hermite (-,) Asocidos l ecució diferecil e x Lguerre [,) Asocidos l ecució diferecil e x Jcoi, Gegeurer, Appell, Crlier, Jck, Krwtcouk, x y xy y y xy y xy x y y 9
40 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Poliomios de Legedre Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo Poliomios L x L x x L x x L x x x L x x x 8 L x x x x 5 8 Norm P x P x dx Relció de recurreci Ríces y coeficietes N Ríces Coeff , , P x xp x P x
41 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Poliomios de Tceisev Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo Poliomios T x 5 T5 x 6x x 5x Norm T x x x T x x T x x T x x x 8 8 T x T x dx x Relció de recurreci cos, cos T x xt x T x T x rc x Ríces y coeficietes ríces k cos k,, extremos k cos k,, N Ríces Coeff
42 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Poliomios de Hermite Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo Poliomios H Norm x H x 8x x H x x H x x H x x x H5 x x 6x x x e H x H x dx! Relció de recurreci H x xh x H x x d x H x e e dx N Ríces Coeff. 5 Ríces y coeficietes 6, ,
43 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Poliomios de Lguerre Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo Poliomios L x L x x L x x x L x x x x L x x x L5 x 6x x 5x Norm.656 x e L x L x dx Relció de recurreci x e d x L x x e.68! dx L x x L x L x N Ríces Coeff
44 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itroducció Poliomios ortogoles Cmio de itervlo Itegrl e u itervlo culquier Cmio de vrile y x F ydy F yx dx w x f xdx dy dx Ejemplos f k f k w x x k dx! k k cos cos dy dx k k k x dx y x x dx f cos cos cos cos cos cos 55 7 cos cos cos cos 5 7 cos cos cos 5 7 cos 5 7
45 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Itegrció de Romerg: Proceso Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple Utiliz l regl del trpecio compuest 6 f xdx f x f xi f x k k k i Se comi co l extrp. de Ricrdso k N k N k N k N k N k N k k k Aprovec ls relcioes de l regl o N f f o o o No f f N f f f N f N f f f f f 5
46 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Itegrció de Romerg: Relcioes o N f f o o o o o N N f N N f f o f 5 f 7 f 5 f 7 f 9 f f f 5 f f No N o N N f f Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple k k N N f i o k o k k k i 6
47 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple 7 Clculr, co u error iferior -6, plicdo el método de itegrció de Romerg cos xdx si x Aplicmos l fórmul de Romerg, dode =(-)/, pr utilizr cotiució l extrpolció de Ricrdso N N N N N N N N N N () N () N () N () N () / / / / /
48 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Motivció Bsd e l fórmul de Simpso compuest Supoe comportmieto suve de f () (x) 5 f xdx S, f co y S, 9 f f f 5 f xdx f xdx S, S, f 6 9 Iguldo y tomdo, S S, f S, f f f S, S, S(, ) 9 5 f Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple 8 Estimció del error f ( x) dx S, S, S, S, S, 5
49 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Proceso Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl. Clculr. Estimr el error como e= I-Is I S(, ), Ii S,, Id S,, Is I Id. Si e<5ε tomr Is como vlor de l itegrl sio repetir el proceso co cd semi-itervlo, dividiedo tmié por dos el error dmisile Ejemplo: Clculr, co u error iferior cetésim 5 8 x dx 8 cos Represetció de l fució Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple 9
50 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple 5 Ejemplo: resultdos I S(, ) cos 5 8 cos 8 cos Is I.9 Ii S, cos 8 cos 8 cos Is I Id > Id S 5, cos 8 cos 8 cos [,] I Ii Id Is I-Is tol (,) / (,) / (,) / (,6) / (,) / (,6) / (6,) / (6,8) / (8,) / (8,9) / (9,) /
51 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ejemplo: represetció gráfic Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple 5 Itegrl:.588+ (-.569) (-.78)+.7 =.7
52 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Itegrció impropi (I) Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple Hy dos forms diferetes de ordr l itegrció impropi Usdo los poliomios ortogoles decudos (Hermite o Lguerre) Utilizdo u cmio de vrile tes de resolver el límite impropio co u fórmul iert x t f xdx f t dt dx t dt t Not: Se dee verificr > (el domiio o icluye el vlor ulo), sio es ecesrio relizr previmete u divisió del domiio g x x x g xdx e dx e f x dx x if xi e i f x dx f x dx f x dx Dode el vlor se elige lo suficietemete grde como pr que el comportmieto sitótico de l fució se O(x - ) 5
53 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Itegrció impropi (II) Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple 5 Clculr x e dx Usdo los poliomios de Lguerre (simples) x x x x e dx e e dx Descompoiedo l itegrl e dos, utilizdo l regl del trpecio pr l primer y l del puto medio pr l segud x x x x t e dx e dx e dx e dx e dt t itervlos itervlos itervlos itervlos
54 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Itegrció múltiple (I) Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple Ls itegrles múltiples sore recitos ipercúicos se resuelve plicdo de form reiterd ls fórmuls simples o utilizdo métodos estdísticos (Motecrlo),, d d f x y dxdy c c Ejemplo (utilizdo Simpso) x y dxdy x y dx dy Cudo el recito o es ipercúico l úic solucio es cudir métodos estdísticos (Motecrlo) f x y dx dy y y y dy 6 y y 8 dy d y d y f x y dxdy, f x, y dx dy c y c y 5
55 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple 55 Itegrció múltiple por Simpso x,, i, i,, d d c c x y x y f x y dx dy f x y f x y f x y f x y dy i i m m f x, y f x, y j f x, y j f x, ym j j m m f xi, y f xi, y j f xi, y j f xi, ym i j j m m f xi, y f xi, y j f xi, y j f xi, y m i j j m m f x, y f x, y j f x, y j f x, ym j j,,,, f x y f x y f x y f x y m m m f x, y j f x, y j f xi, y f xi, ym j i m f x, y j f x, y j f xi, y f xi, ym j i m m m m f x, y 8 f x, y f x, y 6 f x, y i j i j i j i j i j i j i j i j
56 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Itegrció múltiple (III) Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple Iterpretció gráfic de ls regls compuests d c x y d c x Trpecio y Simpso f f x, y dx dy,, x y x, y dx dy,,,, x y
57 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Método de Motecrlo (I) Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple Clcul,, x x I f x x x dxdx dx f d V x, x, x V x; x, x, x x Proceso: geer u muestr letori uiforme de vlores x i y proxim l itegrl medite V I f xi I f co f N vr E i f f i f N x i I f f xdx vr I f V vlor medio muestrl de l itegrl Not : El error de l itegrl es proporciol su vriz y por tto dismiuye co O N (Reducirl l mitd exige cudruplicr el úmero de muestrs) Not : L covergeci depede del úmero de muestrs, pero NO de l dimesió del volume V N 57
58 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Método de Motecrlo (II) Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Clculr itegrl x y dxdy putos Itegrcio de Motecrlo Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple error putos
59 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Método de Motecrlo (III) El volume del elipsoide x x y y z z c Viee ddo por c x y z Clculr el volume del elipsoide pr x,y,z> V x y y x y dx dx dy.875 itegrl Iteg. Romerg Iteg. Adpttiv Iteg. impropi Iteg. múltiple error putos Itegrcio de Motecrlo putos
60 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Resume Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl 6 Hy tres forms diferetes de oteer fórmuls umérics pr derivció / itegrció Iterpolció / Newto Cotes Coeficietes idetermidos Desrrollo de Tylor / cudrtur gusi (derivció/itegrció) Derivció: L iterpolció clcul l expresió del error, pero sólo pr ls primers derivds Los desrrollos de Tylor permite oteer l prte pricipl del error El método de coeficietes idetermidos sólo idic el orde de l fórmul. Itegrció Ls fórmuls de Newto-Cotes compuests permite justr el error desedo Ls fórmuls de cudrtur se otiee utilizdo poliomios ortogoles defiidos e itervlos determidos y pr fucioes de peso, y permite fórmuls de myor orde co u úmero meor de evlucioes de l fució L itegrció de Romerg se otiee l comir l regl del trpecio y l extrpolció de Ricrdso, y permite estimr uméricmete el error L itegrció dpttiv permite justr el error y vrir el tmño del pso Ls itegrles impropis requiere usr poliomios ortogoles o comir cmios de vriles co regls de Newto-Cotes ierts L itegrció e más de u dimesió se reliz comido fórmuls de u dimesió cudo el domiio es ipercúico o utilizdo el método de Motecrlo e cso cotrrio
61 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Biliogrfí cometd Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl 6
62 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Istruccioes Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Válids e Mtl (M), Octve (O) o mos (B) M cumtrpz Cumultive trpezoidl umericl itegrtio M del Discrete Lplci M diff Differeces d pproximte derivtives M grdiet Numericl grdiet B polyder Polyomil derivtive B polyit Itegrte polyomil lyticlly O polyreduce Reduces polyomil coefficiet vector to miimum umer of terms y strippig off y ledig zeros B dlqud Numericlly evlute doule itegrl over rectgle O colloc Compute derivtive d itegrl weigt mtrices for ortogol colloctio B qud Numericlly evlute itegrl, dptive Simpso qudrture B qudd Numericlly evlute doule itegrl over plr regio B qudgk Numericlly evlute itegrl, dptive Guss-Krorod qudrture B qudl Numericlly evlute itegrl, dptive Lotto qudrture B qudv Vectorized qudrture B trpz Numericl itegrtio usig te trpezoidl metod B triplequd Numericlly evlute triple itegrl 6
63 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Aexos Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Demostrcioes y desrrollos 6
64 Derivció e Itegrció por Césr Meédez Ferádez Ruge Kutt de Orde Motivció Itroducció Extrpolció* Est. Derivció Regls NewtoCotes Otrs itegrles* Resume Geerl Volver 6
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