3 - VARIABLES ALEATORIAS

Transcripción

1 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli - VRIBLS LTORIS.- Grlidds muchs situcios rimtls s quir sigr u úmro rl cd uo d los lmtos dl scio mustrl. l dscriir l scio mustrl d u rimto u rsultdo idividul o ti qu sr csrimt u úmro, or jmlo, l tirr u mod tomr como scio mustrl S { c, s}, o l tirr u ddo dos vcs tommos como scio mustrl S,,,,5,6,,,,5,6, quí S s u cojuto d rs orddos. { } { } Dfiició: S ε u rimto ltorio S u scio mustrl socido él. U vril ltori s u fució qu sig cd lmto d S u úmro rl. Notció: s ot u vril ltori co ltrs músculs, Y, Z, W, tocs, si s u vril ltori d S R o digrms d V : S R tl qu s Dsd hor lugr d scriir vril ltori, scriirmos v.. jmlos: - S tir u mod trs vcs S l v.. : úmro d crs otids lugo d los trs tiros Si tommos como scio mustrl S c, c, c ; c, c, s; c, s, c; s, c, c; c, s, s ; s, s, c ; s, c, s ; s, s, s tocs c, c, c s, s, s { } c, c, s s, c, c c, s, c c, s, s s, c, s s, s, c L img d st fució s l cojuto {,,, } Dd u v.. su img s l ot R s l domi rgo o rcorrido d 6

2 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli l jmlo trior R {,,, } - S tir u ddo tts vcs como s csris hst qu sl l úmro or rimr vz. odmos simolizr l scio mustrl d l siguit mr {,,,, K} S, or jmlo simoliz l rsultdo qu los dos rimros tiros o slió l úmro l trcr tiro slió l. S Y l v..: Y: úmro d tiros csrios hst qu sl l or rimr vz tocs R {,,,,K } Y, s dcir l rgo d Y s l cojuto d los úmros turls. - l itrior d u círculo d rdio r ctro l orig d coordds, s lig u uto l zr. Tommos como scio mustrl S {,, r }. quí S s ifiito o umrl Dfiimos l v.. Z: distci dl uto lgido l orig z; z r tocs { } R Z Ls vrils ltoris s clsific sgú su rgo. S s u v.. co rgo R. Si R s u cojuto fiito o ifiito umrl tocs s dic qu s u v.. discrt. Si R s u cojuto ifiito o umrl tocs s u v.. cotiu. l rgo R s cosidrdo u uvo scio mustrl, sus sucojutos so vtos. or jmlo: l jmlo, los vtos uitrios o lmtls so { }; { }; { } ; { }, ro los otmos { }; { }; { } ; { } Otros vtos so, or jmlo: { }, s dcir, slió lo sumo u cr. Notr qu odmos scriir { } { } { }, o s scriimos l vto como uió d vtos lmtls { > }, s dcir, sliro u o más crs. Tmos qu { > } R { } l jmlo, { Y } srí l vto l mos tiros so csrios r qu slg or rimr vz l umro { Y 6} srí l vto s csit tr 6 tiros r qu slg l or rimr vz Y 6 Y Y 5 Y 6 Notr qu { } { } { } { } l jmlo, r < Z < r srí l vto l uto lgido s cutr u distci dl ctro mor qu r, ro mor qu r Volvido l jmlo, otr qu { } B ocurr ocurr S. S dic qu B so vtos quivlts. D l mism form los vtos { c, c, c } B { } so quivlts { c, c, s ; c, s, c ; s, c, c } B { } so quivlts grl sido S R R si solo si l vto { s, s, s } B, B so quivlts si { s S; s B} 7

3 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Si s u v.. d S R, R s l rgo d, r clculr l roilidd d u vto B d s usc l vto S quivlt B tocs B or jmlo, l jmlo, B { s, s, s } si l mod s orml. 8 B { s, s, s ; c, s, s ; s, c, s ; s, s, c }. 5 si l mod s orml 8 Tmié odrímos hr ltdo B l jmlo, si B r Z r, tocs B s quivlt, ; r r, or lo tto R B r d r d S π r π r π r 9 Osrvció: st jmlo si r d B Z r, tocs B r d S π r. - Vrils ltoris discrts S u v.. discrt. otmos su rgo como R {,, K, } d lmtos, otmos {,,KK} si l rgo s u cojuto fiito R si l rgo s u cojuto ifiito umrl. cd i s l sig u úmro i i. stos úmros d stisfcr ls codicios siguits r todo i i i i L fució qu ts s dfiió, s llm fució d roilidd o d frcuci d l v... l cojuto d rs i, i i,,... s l distriució d roilidd d. or jmlo -S tir u mod orml trs vcs, s l v.. : úmro d crs otids R,,, tocs { } r hllr l distriució d roilidd d suogmos qu l roilidd d slir cr s ½ tocs { s, s, } s 8 8

4 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli { c, s, s ; s, c, s ; s, s, } c { c, c, s ; s, c, c ; c, s, } c 8 8 { c, c, c } 8 S ud rstr l distriució d roilidd d u tl d l siguit form /8 /8 /8 /8 U gráfico d l distriució d roilidd d srí -S tir u ddo orml. S : úmro qu qud l cr surior tocs R {,,,,5,6 } L fució d distriució d s 5 6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Osrvció: S u v.. discrt co rgo fiito R {,,, } i s l coscutivo d i. Si, dod cd i s u úmro tro K r cd i tocs s dic qu ti distriució uiform discrt. i or jmlo odrí sr R {,,,...,, } turl [, ]., st cso s uiform discrt l itrvlo L v.. dl jmlo trior s uiform discrt l itrvlo turl [,6] Fució d distriució cumuld S u v.. co rgo F.d. d como R. S dfi l fució d distriució cumuld d rvimos F < < 9

5 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli l cso d sr u v.. discrt < < F i i Volvido l jmlo trior, l F.d.. d s > < < < < > < < < < si si 8 7 si si 8 si si si si 8 8 si 8 si F F L gráfic d l F.d.. d s Osrvció: l F.d.. d s u fució sclod, los utos d slto coicid co los utos dl rgo d, l mgitud dl slto i s igul i grl si s u v.. discrt culquir, su F.d.. srá u fució sclod. dmás si,...,, so los vlors dl rgo d orddos d mor mor tocs i F F F i i i,..., s dcir, s ud otr l fució d distriució d rtir d su F.d.. r úmros culsquir - Si tocs < - Si < tocs < - Si < tocs F F s dcir F s u fució crcit

6 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli dmás s cuml qu lim F lim lim F lim i i i i i i i i. srz d u vril ltori discrt S u v.. discrt co rgo R. L srz, vlor mdio o vlor srdo d, lo otmos, s dfi como i i i R L sumtori s hc sor todos los osils vlors d Otr otció usul s µ o µ jmlos: - S l v.. : úmro qu qud l cr d rri l tirr u ddo orml R,,,,5,6 tocs { } S tir u mod orml trs vcs, s l v.. : úmro d crs otids tocs R {,,, } lculmos l srz d Osrvcios: - L srz d u v.. o ti qu coicidir csrimt co lgú vlor dl rgo d l vril - l jmlo dod l rgo s fiito quirol, l srz d coicid co l romdio d los vlors dl rgo d - S ud itrrtr l srz d u v.. como u romdio sdo o odrdo d los vlors dl rgo d l vril, dod l so d cd i s l roilidd i - Otr itrrtció qu s ud hcr d l srz s l siguit: cosidrmos l jmlo, suogmos qu tirmos l ddo muchs vcs, N vcs, tocs otmos u scuci d N vlors,,..., N dod cd i s u úmro turl dl l 6. Suogmos dmás qu hcmos u romdio d sos N vlors, si llmmos i l úmro d vcs qu sl l úmro i tmos qu

7 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli... N N N N N N s dcir si romdimos los N vlors mdidos d, s romdio tid cudo us i i cudo N s grd. N N, srz d u fució vcs imort hllr l srz d u fució d o d mism. Vmos u jmlo. U istructor d scritur técic h solicitdo qu cirto rort s trgdo l sm siguit, grgdo l rstricció d qu culquir rort qu sors ls cutro ágis srá rchzdo. S : úmro d ágis dl rort d cirto studit slcciodo l zr Suogmos qu tg l siguit distriució d roilidd Suog qu l istructor trd miutos clificdo u trjo qu cosist ágis. lrmt s otr vril ltori. uál srá su srz?, s dcir qué s igul? r clculr l srz d u v.. s csit coocr su fució d distriució d roilidd, or lo tto hrí qu hllr rvimt l distriució d roilidd d l v.. Y. stá clro qu si l rgo d s R {,,, } tocs l rgo d Y srá R Y {,,, }. dmás Y. Y.9 Y.5 Y.5 or lo tto Y Y Y Y Y.789 O s Y Lo visto st jmlo s ud grlizr l siguit Torm: Si s u v.. discrt co rgo R distriució d roilidd, tocs l srz d culquir fució h s igul h h jmlo: U gocio d comutdors h comrdo trs comutdors d cirto tio $5 cd u ls

8 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli vdrá $ cd u. l frict h ctdo volvr comrr $ culquir comutdor qu o s h vdido u timo scificdo. S : úmro d comutdors vdids, suogmos qu l distriució d roilidd d s.... Si cosidrmos l v.. Y: utilidd otid, tocs Y s u fució d, s dcir Y h scíficmt Y L utilidd srd, s dcir l Y srá Y $7 Notr qu licdo roidds d l otció Σ s ud ltr Y clculdo l srz d, s llg l mismo rsultdo 8 9 roidds d l srz l jmlo trior tmos qu Y s u fució lil d, s dcir úmros rls. st cso vl tocs l siguit roidd Y co L dmostrció sigu los mismos sos qu l jmlo trior jmlo: l jmlo trior dod Y 8 9 Dirctmt clculmos Y 8 9 Y.... coscuci Y

9 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Osrvcios: - r culquir costt, - r culquir costt, Vriz d u vril ltori L srz d u v.. mid dód stá ctrd l distriució d roilidd. ro suogmos l siguit jmlo S Y dos vrils ltoris co distriucios dds or s fácil vrificr qu Y, ro los vlors qu tom l v.. Y stá más ljdos d su srz qu los vlors d. S usc u mdid qu rflj st hcho, s dfi tocs l vriz d u v.. S u v.. discrt co rgo µ, tocs l vriz d, qu otmos V L dsvició stádr d s σ V R, fució d distriució d roilidd srz σ σ s, o [ µ ] µ V R Y Osrvcios: - L vriz d u v.. uc s gtiv - L ctidd h µ s l cudrdo d l dsvició d dsd su mdi, l vriz d s l srz d l dsvició l cudrdo. Si l mor rt d l distriució d roilidd stá crc d µ, tocs σ srá rltivmt quñ. Si h vlors d l vril ljdos d µ qu tg lt roilidd, tocs σ srá grd. - σ stá rsdo ls uidds d mdid d l cudrdo, mitrs qu σ stá rsd ls misms uidds d mdid qu. jmlo: l cso d ls vrils ltoris Y omrds triormt, V.5.5 σ

10 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli.5.5 V Y σ Otr form d scriir l vriz d u v.., qu fcilit los cálculos s V µ µ µ µ µ R R R µ µ µ µ µ or lo tto Y R R V µ roidds d l vriz Ls roidds d l vriz d u v.. so coscuci d ls roidds d l srz d u v.. Si s u v.. discrt co rgo R distriució d roilidd, tocs l vriz d culquir fució h s igul Si h s u fució lil, tocs Osrvcios: - V V - V V h h V h R V V σ V σ jmlo: u jmlo trior dod : úmro d comutdors vdids Y: utilidd otid, l VY srí V Y 8 V Ncsitmos clculr V V µ Smos qu µ lculmos coscuci V Y 8 V 8 µ Vrils ltoris discrts imortts Distriució iomil S ε u rimto ltorio. S u vto socido ε otmos. 5

11 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Suogmos u rimto ltorio ε qu cuml los siguits rquisitos: - s rliz rticios iddits d ε, dod s fij d tmo. - ls rticios so idétics, cd rtició d ε osrvmos si ocurr o o ocurr cudo ocurr s dic qu s otuvo u éito, cso cotrrio s otuvo u frcso - l roilidd d éito s costt d u rtició otr d ε, s igul S dic tocs qu ε s u rimto iomil jmlos: - S tir u mod vcs form sucsiv iddit, osrvmos cd tiro si sl cr o o sl cr. tocs st s u rimto iomil us: ε srí l rimto tirr u mod srí l vto sl cr ε s rit form sucsiv iddit vcs s l mism cd tiro. - S ti u ur co 5 olills lcs 5 vrds. S tr l zr co rmlzo trs olills s osrv si l olill tríd s lc. tocs st s u rimto iomil us: ε srí l rimto trr l zr u olill d l ur srí l vto s tr olill lc ε s rit form sucsiv iddit vcs 5 s l mism cd trcció. - Si l jmlo trior s tr ls olills si rmlzo tocs l rimto o s iomil, us fll l iddci: Si otmos :" s tr olill lc l i ésim trcció", tocs i 5 ; / / ro 5 / or lo tto ls trccios o so iddits 9 Osrvció: si l ur huis 5 olills lcs 5 vrds s tr dos olills l zr si rmlzo, tocs / or lo tto sts codicios odmos sumir qu l rimto s iomil L vril ltori iomil su distriució l morí d los rimtos iomils, itrs l úmro totl d éitos, más qu sr ctmt cuáls rticios rodujro los éitos S l v.. : úmro d éitos ls rticios d ε tocs s dic qu s u v.. iomil Vmos cuál s l distriució d roilidd d, r sto rimro tommos u cso cocrto: l jmlo trior l qu s tir u mod vcs. Suogmos qu l roilidd d cr s ¾ 6

12 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli 7 quí l rgo d srí { },,,, R r fcilitr l otció scriimos,,, ésimo tiro" l sl cr :" i i i or lo tto or iddci r clculr l smos qu h cutro csos osils los qu s ud otr ctmt u cr, qu l cr slg l º tiro, o l º o l º o l º tiro. Notr qu tmos cutro csos so s igul l ctidd d forms qu odmos lgir tr los tiros uo d llos l cul sl cr, s dcir tmos csos difrts. d térmio s igul or lo tto álogmt, r clculr tmos 6 csos los qu sl ctmt dos crs, or lo tto K K sdo d l mism form los otros csos s llg ; grl co u rgumto álogo tmos qu { } R,,,, K,,,..., Notció: idicmos qu s u v.. iomil co rámtros co l símolo, ~ B Ddo qu los úmros corrsod l distriució d u v.., utomáticmt cuml qu D tods forms s odrí hcr u vrificció lgric utilizdo l fórmul dl iomio d Nwto

13 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli 8 jmlos: - l jmlo trior l qu s tir u mod vcs, clculr l roilidd d otr: ctmt u cr l mos u cr c lo sumo u cr Solució: tmos qu l v.. : úmro d crs otido s,.5 B s id 875. l roilidd d otr l mos u cr s ro más fácil s hcr c l roilidd d otr lo sumo u cr s.875 Osrvció: si, ~ B r clculr grl s d hcr i i K K Notr qu s l F.d.. d vlud, s dcir F ist tls d l fució d distriució cumuld d l iomil r difrts vlors d osultdo sts tls s ud otr dirctmt l rsultdo dl iciso c uscdo r.5 dmás cosultdo ls tls odmos vlur hcido F F,...,, - Suogmos qu l % d todos los jmlrs d u tto rticulr fll u ru d rsistci l cudrció. S slccio 5 jmlrs l zr. S l v.. : úmro d jmlrs qu fll l ru tr los 5 slcciodos cuál s l roilidd d qu lo sumo 8 fll l ru? cuál s l roilidd d qu ctmt 8 fll l ru? c cuál s l roilidd d qu l mos 8 fll l ru?

14 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Solució: Tmos qu ~ B5,. 8 8 F8.999 or tl d l F.d.. 8 F8 F or tl d l F.d.. c 8 7 F or tl d l F.d.. Osrvcios: - Si ~ B, tocs l v.. tom sólo dos vlors co roilidds - s dcir odmos scriir si l jcutr ε ocurr éito cso cotrrio st cso s dic qu ti distriució d Broulli l cso d sr ~ B, s dic qu s ti sos d Broulli - cotiució s mustr cómo vrí l form d l distriució mdid qu umt mtido fijo 5. S grfic l distriució d frcuci r.;.,.5, Osrvr qu r.5 l distriució d frcuci s simétric.,8, 5,6,, 6 9 5,,5,,5,, , 5 9

15 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli,,6,5 5,,8, 6 9 5,,,6,,8, 6 9 5,7 5,8,6,,, srz vriz S ~ B,, tocs V Dm. licmos l dfiició: l rimr térmio s cro, or lo tto odmos comzr l sum :

16 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli omos todo térmios d -: [ ] [ ] Scmos fur d l sum qu o dd dl ídic hcmos l cmio d ídic: s : [ ] [ ] [ ] s s s s s s s s s Rcorddo l dsrrollo dl iomio d Nwto [ ] s r s r r s r, tmos co r-: [ ] [ ] Vmos l cálculo d l vriz [ ] V. Lugo: [ ] V. Nos qud clculr r clculr st sum trtmos d llvrl l form dl dsrrollo d u iomio d Nwto. omo l rimr térmio s cro comzmos sumr dsd. dmás simlificmos l umrdor co l fctor dl domidor:..... Srmos dos sums: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].... sto s: [ ] [ ] r r r s s s. r... s..

17 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Ls sums corrsod l dsrrollo d u iomio d Nwto: V V [ ] [ ] [ ] [ ]. tocs: [ ] [ ] o s:, s dcir Distriució gométric S ε u rimto ltorio. S u vto socido ε otmos. Suogmos u rimto ltorio ε qu cuml los siguits rquisitos: - s rliz rticios iddits d ε, hst qu ocurr or rimr vz iclusiv. - ls rticios so idétics, cd rtició d ε osrvmos si ocurr o o ocurr cudo ocurr s dic qu s otuvo u éito, cso cotrrio s otuvo u frcso - l roilidd d éito s costt d u rtició otr d ε, s igul S l v.. : úmro d rticios d ε hst qu ocurr or rimr vz iclusiv Vmos cuál s l distriució d roilidd d l rgo s l cojuto R {,,,...} N dmás si otmos :" ocurr l i ésim rtició d ε", tocs i K K coscuci or iddci,,... Notció: ~ G r vrificr qu rcordr qu si < Osrvcios: - s dcir,,... odmos itrrtr qu r cd, los so los térmios d u sucsió gométri- c co rzó - rimr térmio

18 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli - L F.d.. srí F dod [ ] idic rt tr d [ ] Si s u tro ositivo tocs rcorddo qu l sum d los rimros térmios d u suc r sió gométric co rzó r térmio grl r s tmos qu r [ ] [ ] F [ ] r [ ] r r or lo tto [ ] si F cso cotrrio - U vrit l dfiició d distriució gométric s dfiir l v.. Y: úmro d frcsos hst l rimr éito, st cso R Y {,,,... }, s dcir s iclu l cro. L distriució d roilidd o frcuci srí st cso,,,... Y Notr qu l rlció tr tr Y srí: Y. s dcir si dotmos st últim dfiició o icluimos l rtició dl rimto l cul ocurr l rimr éito. jmlos: - L roilidd d qu u comutdor qu corr cirto sistm ortivo s dscomog dtrmido dí s d.. Dtrmir l roilidd d qu l máqui s dscomog or rimr vz l duodécimo dí, dsués d l istlció dl sistm ortivo Solució: Dfiimos l v.. : úmro d dís hst qu l comutdor s dscomo or rimr vz tocs ~ G. S id clculr l U ru d rsistci l solddur cosist or crg uios soldds hst qu s dé u rutur. r cirto tio d solddur, 8% d ls ruturs ocurr l roi solddur, mitrs qu otro % s d ls vigs. S ru cirto úmro d solddurs. S l v.. : úmro d rus hst qu s roduc l rutur d l vig

19 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Qué distriució ti?. uál s l roilidd qu l trcr ru s roduzc l rimr rutur d l vig? Solució: d ru s u so d Broulli, co u éito dfiido como l rutur d u vig. or lo tto, l roilidd d éito s.. L v.. ti u distriució gométric co rámtro. s dcir G. ~ r clculr l roilidd did hcmos srz vriz Dm. Llmmos q ltmos q Notr qu q q dq d, or lo tto como si < q q q dq d q dq d q dq d lculmos hor l vriz µ V dod µ q q ro q q dq d q q dq d q q dq d q q q q q q q Y q or lo tto tocs S V ~G

20 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli V q q Distriució iomil gtiv L distriució iomil gtiv costitu u tsió d l distriució gométric. S r u tro ositivo. S ε u rimto ltorio. S u vto socido ε otmos. Suogmos u rimto ltorio ε qu cuml los siguits rquisitos: - s rliz rticios iddits d ε, hst qu ocurr or r-ésim vz iclusiv. - ls rticios so idétics, cd rtició d ε osrvmos si ocurr o o ocurr cudo ocurr s dic qu s otuvo u éito, cso cotrrio s otuvo u frcso - l roilidd d éito s costt d u rtició otr d ε, s igul S l v.. : úmro d rticios d ε hst qu ocurr or r-ésim vz, icludo l r-ésim vz qu ocurr Vmos cuál s l distriució d roilidd d l rgo s l cojuto R { r, r, r, r,... } r otr u rsió géric d l, otr qu si l -ésimo so ocurr éito or r-ésim vz, tocs los - rimros sos ocurriro r- éitos. Si otmos B: los rimros - sos ocurr r- éitos, tocs r r r r B r r dmás si otmos :" ocurr l r ésim rtició d ε", tocs B so iddits, or lo tto rsum r r r r r B B Notció: ~ BN r, r r r r r, r, r,... r vrificr qu s driv r vcs l iguldd l qu s dduc d jmlo: u ru d furz d solddur, 8% d ls rus d como rsultdo rutur d solddur, mitrs qu otro % d rutur d l vig. S l v.. : úmro d rus hst l trcr rutur d l vig iclusiv. uál s l distriució d?. Dtrmir l 8 Solució: 5

21 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Tmos qu ~ BN, or lo tto Osrvció: l distriució gométric ud vrs como u cso rticulr d l distriució iomil gtiv co r srz vriz r r Si ~ BN r, tocs V Dm. S hrá ms dlt Distriució hirgométric Suogmos qu tmos u olció o cojuto d N ojtos o idividuos s dcir tmos u olció fiit. lsificmos los ojtos d l olció dos ctgorís. H M ojtos d u ctgorí N-M d l otr ctgorí. S sul dcir qu tmos M éitos N-M frcsos. S tr l zr si rmlzo ojtos d dich olció. s dcir s tr u mustr d ojtos d l olció, d mr tl qu s igulmt rol qu s slccio cd sucojuto d tmño. osidrmos l v.. : úmro d éitos l mustr tríd S dic qu ti u distriució hirgométric co rámtros, M N Notció: ~ H, M, N Vmos cuál s l distriució d rimro otr qu u rsió r l, usdo comitori s M N M dod r qu los úmros comitorios sté i dfiidos d N cumlirs M N M. ro sts codicios so quivlts, N M mi, M m or lo tto l distriució d roilidd d s M N M N m,, N M mi M 6

22 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli S vrific qu us los úmros corrsod l distriució d u v.. jmlo: - D 5 dificios u rqu idustril, o cuml l código léctrico. Si s slccio ltorimt dificios r iscciorlos, cuál s l roilidd d qu ctmt trs d los diz o cuml l código? Solució: S l v.. : úmro d dificios slcciodos qu viol l código, tocs ~ H,, 5. s id clculr l U crgmto coti lmtos. S slcciorá d form ltori s rorá 5 lmtos. Si dos o más stá dfctuosos, s rgrsrá l crgmto. si d hcho l crgmto coti cico lmtos dfctuosos, cuál s l roilidd d qu s ctdos? si d hcho l crgmto coti diz lmtos dfctuosos, cuál s l roilidd d qu o s ctdos? Solució: S l v.. : úmro d lmtos dfctuosos l mustr st cso ~ H 5, 5,. H qu clculr l S l v.. : úmro d lmtos dfctuosos l mustr st cso ~ H 5,,. H qu clculr l Osrvció: 7

23 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli 8 l jmlo trior si l crgmto huis tido lmtos s odrí hr cosidrdo l rt co distriució iomil co rámtros 5 5 grl, si l tmño d l olció N l úmro d éitos M crc ro d mr tl qu N M s chico comrdo co N, s ud vrificr qu N M N M N M N dod lim or lo tto, r u frcció fij d dfctuosos N M l fució d roilidd hirgométric covrg l fució d roilidd iomil cudo N s hc grd. srz vriz Dm. L dmostrció s hrá ms dlt. Distriució d oisso U v.. co rgo { },,,... R s dic tr distriució d oisso co rámtro, si r lgú >,,,... s fácil vrificr qu usdo l hcho qu los siguits gráficos s v como vrí l form d l distriució co los vlors d Notr qu r vlors d quños l distriució s simétric, mdid qu umt, l distriució tid sr cd vz más simétric tocs, ~ Si N N N M N N M V N M N M, H

24 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli roilidd,8,6,, lmd,,5,5,5 roilidd,,,6,,8, 6 8 lmd roilidd,5,,9,6, lmd roilidd,,,8,6,, lmd 5 9

25 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli roilidd,,8,6,, lmd 5 roilidd,8,6,, lmd jmlo: osidr scriir u disco d comutdor lugo vir l scrito or u crtificdor qu cut l úmro d ulsos fltts. Suog qu st úmro ti u distriució d oisso co rámtro igul. uál s l roilidd d qu u disco tg ctmt u ulso fltt? uál s l roilidd d qu u disco tg l mos dos ulsos fltts? c Si dos discos s slccio idditmt, cuál s l roilidd d qu iguo cotg lgú ulso fltt? Solució: S l v.. : úmro d ulsos fltts u disco tocs ~... S id. 676 Sido como s id clculr c S l v.. Y: úmro d discos si ulsos fltts. tocs Y ~ B, dod or lo tto s id clculr Y Y

26 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli 5 srz vriz Dm. µ V dod µ or lo tto V liccios d l distriució d oisso L v.. oisso ti u gr rgo d liccios, u d lls s l roimció r u v.. iomil co rámtros cudo s grd s quño d mr tl qu, scíficmt, s, ~ B s, tocs... r grd chico ;... ; tocs, r grd chico s dcir cudo s grd, chico s modrdo tocs l v.. iomil co rámtros ti u distriució qu s roim l d u oisso co rámtro jmlo: Suogmos qu l roilidd d qu u rtículo roducido or cirt máqui s dfctuoso s.. Hllr l roilidd qu u mustr d rtículos cotg lo sumo u dfctuoso. tocs ~ Si V

27 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli S : úmro d rtículos dfctuosos l mustr odmos sumir qu ~ B,. L roilidd ct did s..9. L roimció d oisso d lguos utors sosti qu l roimció d oisso fucio i cudo s grd, s chico < 7 Mdhll, stdístic mtmátic co liccios, otros rcomid usr l roimció d oisso l iomil cudo. Dvor, roilidd r igirí cicis l siguit tl s d u jmlo d u roimció d oisso l fució d distriució d l iomil. S tul l r lguos vlors d r ls distriucios iomil oisso co los rámtros qu s idic K B 5, -5 B, jmlo: u ru d trjts d circuitos, l roilidd d qu u diodo rticulr fll s.. Suog qu u trjt coti diodos. uál s l roilidd roimd d qu or lo mos diodos fll u trjt slcciod l zr? Si s mrc cico trjts u clit rticulr, cuál s l roilidd d qu or lo mos cutro d lls fucio i? U trjt fucio i solo si todos sus diodos fucio i Solució: 5

28 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli S l v.. : úmro d diodos u trjt qu fll tocs ~ B,.. omo s grd chico licmos l roimció oisso co. S id clculr l.857. or tl d l cumuld d l oisso S l v.. Y: úmro d trjts tr 5 qu fucio i Tmos qu Y ~ B5, dod S id clculr Y 5 Y Y Y rocso d oisso U licció imortt d l distriució d oisso s rst rlció co l cotcimito d vtos d u tio rticulr l timo. or jmlo, u vto odrí sr u idividuo trdo u stlcimito rticulr, o ulsos rdictivos rgistrdos or u cotdor Gigr, o utomóvils sdo or u cruc dtrmido. Suogmos qu tmos vtos qu ocurr cirtos utos ltorios d timo, sumimos qu r lgu costt ositiv ls siguits suosicios s sosti: - L roilidd qu ctmt vto ocurr u itrvlo d logitud t s l mism r todos los itrvlos d logitud t s igul t ot dod ot simoliz u fució f t tl f t qu lim, or jmlo f t t s o t, ro f t t o lo s t t - L roilidd qu o ms vtos ocurr u itrvlo d logitud t s l mism r todos los itrvlos d logitud t s igul o t. - r culsquir tros,,,..., culquir cojuto d itrvlos I, I,..., I qu o s surog, si dfiimos los vtos i :" l itrvlo I i ocurr ctmt i vtos" i,,...,, tocs los vtos,,..., so iddits. Ls suosicios stlc qu r quños vlors d t, l roilidd d qu ctmt u vto ocurr u itrvlo d logitud t s igul t ms lgo qu s chico comrdo co t, mitrs qu l roilidd d qu o ms vtos ocurr s quño comrdo co t. l suosició stlc qu lo qu ocurr u itrvlo o ti fcto l roilidd sor lo qu ocurrirá otro itrvlo qu o s surog. Bjo ls suosicios, s ud ror qu l v.. :" úmro d vtos qu ocurr culquir itrvlo d logitud t", ti distriució oisso co rámtro t scíficmt t t,,,... 5

29 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli L id d l dmostrció s l siguit, rtimos l itrvlo [,t] suitrvlos qu o s t surog cd uo d logitud lgimos suficitmt grd r qu cd suitrvlo s tg u ocurrci ctmt o igu ocurrci. S l v.. Y: úmro d suitrvlos los qu h ctmt u ocurrci, tocs odmos sumir qu Y ~ B, dod s l roilidd qu u suitrvlo h ctmt t u ocurrci si s grd tocs l logitud dl suitrvlo s chic co lo cul or suosició tmos qu t. t tocs, utilizdo l roimció d oisso l iomil co rámtro t tmos t t Y,,,... Osrvcios: - U rocso tmorl d oisso cosist vtos qu ocurr l timo form ltori qu cuml co ls suosicios,. - l rámtro s l ts o ridz dl rocso. - Si lugr d osrvr vtos l timo, cosidrmos osrvr vtos d lgú tio qu ocurr u rgió d dos o trs dimsios, or jmlo, odrímos slccior d u m u rgió R d u osqu, ir s rgió cotr l úmro d árols. d árol rrstrí u vto qu ocurr u uto rticulr dl scio. Bjo ls suosicios,, s ud dmostrr qu l úmro d vtos qu ocurr l rgió R ti u distriució d oisso co rámtro dod s l ár d R s itrrt como l dsidd dl rocso. S trt hor d u rocso scil d oisso. jmlos: - Suog qu vios quños llg cirto rourto sgú u rocso d oisso, co ts 8 vios or hor, d modo qu l úmro d llgds durt u ríodo d t hors s u v.. oisso co rámtro 8t. uál s l roilidd d qu ctmt 5 vios quños llgu durt u ríodo d u hor? or lo mos 5? uál s l roilidd d qu or lo mos vios quños llgu durt u ríodo d ½ hs? D qu lo sumo llgu s ríodo? Solució: S l v.. : úmro d vios quños qu llg cirto rourto u hor tocs ~ 8. or lo tto 5

30 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli O tmié usdo l tl d distriució cumuld r l oisso Y l roilidd d qu llgu l mos 5 vios srá S l v.. : úmro d vios quños qu llg cirto rourto ½ hors tocs ~ 8.5 s dcir hor t or tl d F.d.. Y or último clculmos or tl. - S suo qu l úmro d dfctos los rollos d tl d cirt idustri ttil s u v.. oisso co ts. dfctos or mtro cudrdo.. uál s l roilidd d tr dos dfctos u mtro cudrdo d tl? uál s l roilidd d tr u dfcto mtros cudrdos d tl? c uál s l roilidd d qu o hll dfctos mtros cudrdos d tl? d suogmos qu l úmro d dfctos stá rlciodo co l máqui qu roduc l tl, dido dsrfctos d l máqui l úmro d dfctos vrí cirtos trmos dl rollo. S ud sumir qu l úmro d dfctos sigu u distriució d oisso? Solució: S : úmro d dfctos u mtro cudrdo. tocs ~. us Si : úmro d dfctos mtros cudrdos. tocs ~ us c : úmro d dfctos mtros cudrdos. tocs ~ us..5 d NO s ud sumir qu l úmro d dfctos sigu u distriució d oisso, qu ls suosicios qu d stisfcr u rocso d oisso o s cumlirí. 55

31 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli.5 Vrils ltoris cotius l scció trior s cosidrro vrils ltoris discrts, o s vrils ltoris cuo rgo s u cojuto fiito o ifiito umrl. ro h vrils ltoris cuo rgo so todos los úmros rls d u itrvlo ddo, s dcir s u cojuto ifiito o umrl. jmlos d vrils cotius odrí sr : timo qu trd llgr u colctivo u rd Y: timo d vid d u fusil omo hor los vlors d u v.. cotiu o so cotls o s ud hlr dl i-ésimo vlor d l v.. or lo tto ird su sigificdo. Lo qu s hc s sustituir l fució i i, dfiid sólo r,..., or u fució f dfiid r todos los vlors dl rgo d. or lo tto s d l siguit dfiició d v.. cotiu S u v... Dcimos qu s cotiu si ist u fució o gtiv f, dfiid sor todos los,, tl qu r culquir cojuto B d úmros rls rls B f d B O s qu l roilidd d qu tom vlors B s oti l itgrr l fució f sor l cojuto B. l fució f l llmmos fució dsidd d roilidd f.d... Osrvcios: - omo d tomr lgú vlor rl, tocs d cumlirs qu < < f d - Si B s l itrvlo rl [ ] { R; }, tocs B f d Notr qu st cso l roilidd d qu tom vlors l itrvlo [, ] s l ár jo f tr - Si l osrvció trior tocs f d s dcir l roilidd qu u v.. cotiu tom lgú vlor fijdo s cro. or lo tto, r u v.. cotiu 56

32 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli < < < < f d Fució d distriució cumuld S u v.. cotiu. S dfi l fució d distriució cumuld d rvimos F.d. d como Si ti f.d.. f tocs F < < dmás F f t dt < < f d f d f d F F Osrvcios: - Si s u v.. co f.d.. f fució d distriució cumuld F tocs df d f t dt f d d dod F s drivl s dcir, s ud otr l fució d dsidd d rtir d su F.d.. - omo l cso discrto vl Si < tocs F F s dcir F s u fució crcit Y dmás s cuml qu lim F lim lim F lim f t dt f t dt f t dt f t dt jmlos: - Suogmos qu s u v.. cotiu co f.d.. dd or uál s l vlor d? si Hllr > f cso cotrrio c Hllr l F.d.. d Solució: 57

33 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli or lo dicho l osrvció, s d cumlir qu f d, or lo tto f d d d d d tocs 8 d s útil hcr u gráfico d l dsidd r clculr l roilidd qu s mor qu, ltmos 8 > d c r clculr l F.d.. otr qu tmos trs csos: <, >, or lo tto si < F t t dt si s dcir 8 si > si < F si si > l gráfico d l F.d.. s S odrí hr clculdo l > rtir d l F.d.. d l siguit form 58

34 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli > F - l timo d vid hors qu u comutdor fucio ts d dscomors s u v.. cotiu co f.d.. dd or hllr l F.d.. d.. si f uál s l roilidd qu l comutdor fucio si < tr 5 5 hors ts d dscomors? c uál s l roilidd qu u comutdor s dscomog ts d rgistrr hors d uso? d uál s l roilidd qu ctmt d 5 comutdors s dscomog ts d rgistrr hors d uso?. sumir qu ls comutdors trj form iddit. Solució: Hcmos u gráfico d l dsidd tocs osrvmos clrmt qu h dos csos cosidrr r clculr l F.d..: <. Si < tocs F d Y si tmos F dt..t....t dt si F cso cotrrio L gráfic d l F.d.. s S id clculr 5 5, lo hcmos co l F.d..: 5 5 F5 F

35 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli f c H qu clculr < < F..6 d odmos dfiir l v.. Y: úmro d comutdors tr 5 qu s dscomo ts d ls hors d uso tocs Y ~ B 5, dod < or lo tto h qu clculr 5 5 Y srz d u vril ltori cotiu r u v.. discrt l s dfiió como l sum d los. Si s u v.. cotiu co f.d.. f, s dfi sustitudo l sumtori or itgrció or f. i i i L srz d u v.. cotiu co f.d.. f s dfi como f d jmlo: r cirts mustrs d mirls l roorció d imurzs or mustr, s u v.. co f.d.. dd or Hllr l srz d Solució: S lt si < < f cso cotrrio 6

36 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli 6 7 d mudo s ds clculr l srz d u fució d, Y h, sto s ud hcr hlldo rvimt l dsidd d Y lugo clculr Y licdo l dfiició trior. Otr form d clculr Y si hllr l dsidd d Y stá dd or l siguit Dm. si dmostrció jmlo: l jmlo trior suogmos qu l vlor dólrs d cd mustr s h Y cotrr l srz d Y odmos hllr l srz d Y cotrdo rvimt su f.d.. r sto s cutr l F.d.. d Y, r lugo hllr l dsidd d Y drivdo l F.d. otmos G g l F.d. d Y l dsidd d Y rsctivmt F Y G Dod F tocs < < cso cotrrio.5 5 si f f F d d g O s < < cso cotrrio 5 9 si g hor clculmos l Y d Y licdo l torm trior los cálculos s rduc: Torm: Si s u v.. cotiu co f.d.. f h s culquir fució d, tocs d f h h

37 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Y h 5.5 d h f 6 Notr qu d l mism form qu l cso discrto, si h, s dcir si h s u fució lil, licdo ls roidds d lilidd d l itgrl tmos l jmlo trior s odí cotrr l srz d Y hcido 7 Y h Vriz d u vril ltori cotiu S u v.. cotiu co f.d.. f s µ, tocs l vriz d s [ µ ] µ V σ f d L itrrtció d l vriz d u v.. cotiu s l mism qu r l cso discrto. dmás sigu vlido l iguldd V µ us l dmostrció hch r l cso discrto si sustitu ls sumtoris or itgrls. or l mism rzó, tmié vl qu V V σ σ jmlo: lculmos l vriz d V Y.5 V V µ 7 V Y d V Y 9 5 6

38 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli.7 - Vrils ltoris cotius imortts Distriució uiform L distriució cotiu más scill s álog su cotrrt discrt. U v.. cotiu s dic qu ti distriució uiform l itrvlo [ ] fució d dsidd d roilidd dd or,, co <, si ti si f cso cotrrio L figur mustr l gráfic d l f.d.. Notció: ~ U[, ] s fácil vrificr qu f s u f.d.. us f r todo, dmás f d d L F.d.. r srí F f t dt dt r <, tmos qu dt Y r > tmos qu dt dt dt or lo tto l F.d.. s F si si si < > Y su gráfic s F 6

39 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Osrvció: Si U[, ] ~ c < d, tocs d c c d F d F c d c f jmlo: Los colctivos d u dtrmid lí llg u rd rticulr itrvlos d 5 miutos comzdo dsd ls 7.M. sto s, llos llg l rd ls 7, 7:5, 7:, 7:5 sí siguido. Si u sjro llg l rd u timo qu s ud cosidrr u v.. distriuid uiformmt tr 7 7:, cotrr l roilidd d qu l sjro sr mos d 5 miutos l colctivo l sjro sr más d miutos l colctivo Solució: S : timo miutos dsd ls 7 hs qu l sjro llg l rd tocs odmos cosidrr qu ~ U[,] si l sjro sr mos d 5 miutos l colctivo, tocs llg l rd tr ls 7: 7:5 o tr ls 7:5 7:, tocs l roilidd did s 5 5 O tmié s ud ltr dirctmt 5 d d álogmt si d srr más d miutos, drá llgr tr ls 7 ls 7:5 o tr ls 7:5 7:, or lo tto l roilidd did s srz vriz S u vril ltori cotiu distriuid uiformmt l itrvlo [,] ~ U[, ]. tocs, V. Dm. Rcordmos qu l f.d.. d u v.. U[, ] ~ s, s dcir 6

40 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli si f cso cotrrio tocs: d d f Notr qu / rrst l uto mdio dl itrvlo [,] d l distriució d l srz: lculmos hor l vriz d [ ] Dsmos clculr V, s dcir V. Dmos otr :. d.. tocs: como s d srr or l sigificdo V. Distriució orml o gussi S u v.. Dcimos qu ti distriució orml co rámtros µ σ si su f.d.. s d l form f σ π µ σ < < Dod µ R σ > Notció: ~ N µ, σ r drs u id d l form d l gráfic otr qu: - f s simétric lrddor d µ, s dcir f µ f µ r todo - lim f j sítot horizotl ± d - Si ltmos f d µ. S ud vrificr qu µ l fució ti u máimo soluto, f µ σ π 65

41 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli d - Si ltmos f µ ± σ. S ud vrificr qu µ σ µ σ d l fució ti dos utos d iflió, dmás l itrvlo µ σ, µ σ l fució s cócv hci jo fur d s itrvlo s cócv hci rri L gráfic d f ti form d cm σ π Osrvció: µ σ µ µ σ udo µ vrí l gráfic d l fució s trsld, µ s u rámtro d osició. udo σ umt, l gráfic s cht, cudo σ dismiu l gráfic s hc ms utigud, s dic qu σ s u rámtro d scl. ls siguits figurs vmos cómo vrí l gráfic d f co l vrició d los rámtros... µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ

42 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli S ud ror qu f s u f.d.. s dcir qu f r todo f d Qu s cirt s ovio; r ror s csrio rcurrir l cálculo dos vrils o lo dmostrmos. Si µ σ tocs s dic qu ti distriució orml stádr. S ot ~ N, st cso l f.d.. s simoliz co ϕ, s dcir ϕ π < < st cso l gráfic d l dsidd s simétric co rscto l orig. L F.d.. d u v.. orml stádr s ot Φ Φ π t dt st itgrl o ud rsrs térmios d fucios lmtls, or lo tto s clcul Φ r vlors scíficos d mdit u roimció uméric. sto stá hcho, ist tls d l fució d distriució cumuld d l orml stádr r vlors d qu oscil grl tr -, us r vlors d mors qu -, Φ, r vlors d mors qu, Φ Notr qu como l ϕ s simétric co rscto l orig tocs Φ > Φ > - 67

43 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli or jmlo, si ~ N, tocs utilizdo l tl d l F.d.. d.6 Φ >.6.6 Φ c >.7.7 Φ d.5 < <.7 <.7 <.5 Φ.7 Φ.5 Φ Φ.7 r qué vlor s cuml qu < <. 95? Tmos qu < < Φ Φ Φ Φ Φ.9 or lo tto Φ.95 Φ. 975 Osrvmos l tl d l F.d.. qu. 96, us Φ r los icisos, c s grfic ls rgios corrsodits.6.6 c U roidd imortt d l distriució orml s qu si ~ N µ, σ tocs l v.. Y co úmros rls,, ti tmié distriució orml ro co rámtros µ σ, s dcir µ, σ ~ Nµ, σ ~ N 68

44 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli 69 odmos dmostrr lo trior rimro hlldo l F.d.. d Y F Y G dod F s l F.d.. d > or lo tto, l f.d.. d Y l otmos drivdo G σ µ π σ f F d d G d d g dod σ µ π σ f Ordo l ot s llg σ µ π σ g Si < tocs F Y G Y drivdo co rscto otmos σ µ π σ f F d d G d d g O s, r l f.d.. d Y s σ µ π σ g Y comrdo co s dduc qu, ~ σ µ N Y U coscuci imortt dl rsultdo s qu, ~ tocs, ~ si N Y N σ µ σ µ 5 Notr qu Y s ud scriir como σ µ σ Y s dcir clrmt Y s u fució lil d or lo tto licmos l rsultdo co σ σ µ llgmos 5. Si, ~ σ µ N tocs l F.d.. d s dt F t σ µ π σ

45 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli F o ud rsrs térmios d fucios lmtls sólo h tls d l F.d.. d l orml stádr. r clculr F rocdmos d l siguit form µ µ µ µ F Y Φ σ σ σ σ Y ~ N jmlos: ~ N,9 tocs - Si 5 5 < < 5 < < Φ Φ Φ Φ. 779 > > Φ Φ c > 6 6 [ 6 6 ] Φ Φ Φ. [ ] [ ] 56 - H dos máquis r cortr corchos dstidos r usrs otlls d vio. L rimr roduc corchos co diámtros qu stá ormlmt distriuidos co mdi d cm dsvició stádr d. cm. L sgud máqui roduc corchos co diámtros qu ti u distriució orml co mdi d. cm dsvició stádr d. cm. Los corchos ctls ti diámtros tr.9 cm. cm. uál máqui ti ms roilidd d roducir u corcho ctl?, Solució: S ls vrils ltoris : diámtro d u corcho roducido or l máqui Y: diámtro d u corcho roducido or l máqui tocs ~ N,. Y ~ N.,. lculmos cuál s l roilidd qu l máqui roduzc u corcho ctl Φ Φ..... Φ Φ Φ.686 álogmt r l máqui.9. Y Y. Φ Φ..... Φ Φ tocs s más rol qu l máqui roduzc corchos ctls. - l disositivo utomático d rtur d u rcíds militr d crg s h disñdo r rir l rcíds cudo ést s cutr m d ltur sor l sulo. Suogmos qu l ltitud d rtur rlidd ti u distriució orml co vlor mdio d m dsvició stádr d m. Hrá u dño l quio si l rcíds s r u ltitud d mos d m. uál s l 7

46 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli roilidd d qu h dño l crg l mos uo d cico rcíds lzdos idditmt? Solució: S l v.. : ltitud d rtur mtros d u rcíds ~ N, tocs lculmos < Φ Φ.. osidrmos hor l v.. Y: úmro d rcíds tr 5 qu s r mos d mtros odmos cosidrr qu Y ~ B 5,. or lo tto h qu clculr Y Y Y Suógs qu l rsistci romrs Kgr d firs d ut stá dscrit or u v.. cotiu ormlmt distriuid co µ 65 Kgr σ V 9 Kgr. suoido dmás qu u mustr d st fir s cosidr dfctuos si < 6. uál s l roilidd d qu u fir lgid l zr s dfctuos? Solució: Dsmos coocr < < 6 < < Φ, 65 usto qu Z N,. tocs < 6 Φ Φ. D l tl tmos Φ. 8 Φ Φ s dcir < Osrvció: Uo ud ojtr l usr u distriució orml r dscriir l v.. qu rrst l rsistci romrs d l fir qu ést s, ovimt, u ctidd o gtiv, mitrs qu u v.. ormlmt distriuid ud tomr vlors qu vrí tr. Si mrgo l modlr l rolm co u orml qu rtmt drí sr ivlidd como modlo or lo sñldo vmos qu ls stmos sigdo l sucso { < } u roilidd rácticmt ul vr tmié l figur siguit: < < Φ 55 Φ 55. 7

47 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli,5 f,, µ 65 8 [Kgr] csos como stos s justific usr l distriució orml r modlr situcios qu l vril ltori cosidrd ud tomr, or su sigificdo, sólo vlors ositivos, ú cudo l orml rmit tomr vlors tto ositivos como gtivos or cuto l roilidd d qu l v.. tom vlors gtivos s rácticmt ul. srz vriz d u vril ltori co distriució orml S ~ N µ, σ tocs µ V σ Dm. Usrmos l rsultdo: t π dt lculmos l srz d µ σ. d π.σ hcmos l sustitució µ d t σ.t µ, dt σ σ < t <. Lugo: σ.t µ. dt t dt t t σ µ dt π π π osidrdo como fució d t, l itgrdo d l rimr itgrl f t t d t, s dcir, vrific f t f t co rscto l orig, como lo s, s ul. t s u fució imr. coscuci l itgrl lo lrgo d u itrvlo simétrico t 7

48 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli t l sgudo sumdo, or su rt, s justmt µ vcs l itgrl dt. tocs π µ. Vmos l cálculo d l vriz d V µ [ ]. Nos qud vlur µ σ,. d. Hcmos uvmt l sustitució π.σ µ d t t σ σ σ.t µ, dt < <. Rmlzdo: t t t σ σ.µ µ σ.t µ. dt t. dt t. dt dt π π π π hor l itgrdo d l sgud itgrl s imr or lo tto s ul. tocs t σ t. dt µ π Dmos clculr l itgrl t.. t dt. Itgrdo or rts t u t co dv t t dt du dt v t t. t t t dt t dt. l corcht d Brrow s ul mos trmos l itgrl s justmt t : t. dt π. or lo tto µ σ µ µ σ V σ µ, coscuci, πi π. tocs Distriució ocil S u v.. cotiu. S dic qu ti distriució ocil co rámtro si su f.d.. s d l form si f dod > cso cotrrio L distriució ocil s utiliz lgus vcs r modlr l timo qu trscurr ts d qu ocurr u vto. mudo s lo llm timo d sr. L siguit figur mustr l gráfic d l dsidd r difrts vlors dl rámtro 7

49 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli s fácil vrificr qu f s u dsidd i dfiid lrmt f r todo t t dt L F.d.. d u v.. ocil s scill: Si < tocs F Si tocs or lo tto Su gráfic s F t t dt si F cso cotrrio F Notció: ~ jmlo: Suogmos qu l timo, sgudos, d rsust cirt trmil d comutdor lí s dcir l timo trscurrido tr l fi d l cosult dl usurio l riciio d l rsust dl sistm s cosult s ud cosidrr como u vril ltori co distriució ocil co rámtro.. lculr l roilidd d qu l timo d rsust s lo sumo sgudos. 7

50 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli l roilidd d qu l timo d rsust sté tr 5 sgudos. Solució: S l v.., tocs ~. S id clculr or lo tto. F F F5. srz vriz d l distriució ocil S ~ tocs V Dm. s útil clculr grl l momto d ord co rscto l orig sido u úmro turl Itgrdo or rts: f u dv d du v d d,,,... d. µ d. l corcht d Brrow s ul qud d. licdo ritrdmt s llg filmt... d or lo tto tmos r l srz l vriz: V µ roidds d l distriució ocil - Rlció tr l distriució ocil l rocso d oisso. S T l timo d sr hst l siguit vto u rocso d oisso co rámtro. Vmos cuál s l F.d.. d T. Si t < tocs clrmt F t T t Si t tocs r hllr F t T t T t. cosidrmos l vto comlmtrio d { } Notr qu { T > t} si solo si o ocurr igú vto durt ls siguits t uidds d timo. 75

51 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli Si : úmro d vtos qu ocurr ls siguits t uidds d timo, tocs { T > t} ocurr si solo si { } ocurr, or lo tto T > t omo ~ t tocs t t t T > t or lo tto t F t T t T > t omo Ft s l F.d.. d u v.. ocil, tocs T ~ or lo tto Si los vtos sigu u rocso d oisso co rámtro, si T rrst l timo d sr dsd culquir uto iicil hst l róimo vto, tocs T ~ osidrmos u licció hidrológic d sts ids t timo i Nº d iudcios u ríodo [,t] ~ t ii Nº mdio d iudcios or uidd d timo iii T Timo trscurrido tr iudcios T t. iv T Timo mdio d rtoro d ls iudcios T - roidd flt d mmori L distriució ocil ti u roidd coocid como flt d mmori, qu s mustr l siguit jmlo: l timo d vid, ños, d u circuito itgrdo rticulr ti u distriució ocil co rámtro.5. cutr l roilidd d qu l circuito dur más d trs ños S l v.. : timo d vid, ños, d u circuito itgrdo rticulr, tocs ~.5.5 Y > F. Suogmos hor qu ctulmt u circuito ti cutro ños ú fucio. S quir hllr l roilidd d qu fucio trs ños más. or lo tto ltmos u roilidd codiciol.5 7 > 7 > > / > 7 / >..5 > > Osrvmos qu / > 7 / > > 7 > grl, l roilidd qu s tg qu srr t uidds diciols, ddo qu s h srdo s uidds, s l mism qu l roilidd d qu s tg qu srr t uidds dsd l iicio. L distriució ocil o rcurd cuáto timo s h srdo. 76

52 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli rticulr, si l timo d vid d u comot sigu u distriució ocil, tocs l roilidd d qu u comot qu ti s uidds d timo dur t uidds d timo diciols s l mism qu l roilidd d qu u comot uvo dur t uidds d timo. otrs lrs, u comot cuo timo d vid sig u distriució ocil o mustr igú sítom d los ños o dl uso. Los cálculos hchos l jmlo trior s ud rtir r vlors culsquir s t tocs s ud ror qu si ~ t s so úmros ositivos, tocs > t s / > s > t - DSIGULDD D HBYSHV- LY D LOS GRNDS NUMROS L dsiguldd d hshv s u imortt hrrmit tóric. tr otrs liccios costituirá u mdio r comrdr cómo l vriz mid l vriilidd d u dd vril ltori, co rscto su srz mtmátic. Tmié os rmitirá stlcr co más rcisió l hcho, ritrdmt sñldo, d qu l frcuci rltiv f d u sucso socido u rimto ltorio ε tid, cudo l úmro d rticios d ε s hc ifiitmt grd, l roilidd rsultdo coocido como l L d los grds úmros. ro dmás s d utilidd ráctic us, l costituir u cot d cirts roilidds, os odrá srvir como u stimció d ss misms roilidds..-dsiguldd d hshv S u vril ltori cu srz s qu c ist s fiito. tocs [ ] ε > c ε c ε, s c u úmro rl culquir suogmos [ ] Dm. osidrrmos l cso qu s u v.. cotiu. l cso d u v.. discrt s dmustr form similr cmido itgrls or sums. S, tocs, f l fd d. Tmos: c ε f : c ε d hor i, los vlors d qu vrific c ε so los mismos qu vrific c. ε tocs, usto qu f qu mos mimros l dsiguldd trior so tmié o gtivos s: 77

53 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli c ε.f : c ε d : c ε c ε.f d c dod l últim dsiguldd rovi dl hcho d qu simlmt tido los límits d itgrció todos los rls ro sido simr l itgrdo ositivo. D mr qu sto grgdo u cotriució ositiv sor l vlor d l itgrl ε.f : c ε d c Si tmos rst l rsió r l srz d u fució H d u vril ltori : H f d [ H ] lo licmos H c, tmos filmt: ε ε.f d. c ε c ε ε [ c ] Osrvció: L dsiguldd llv l omr dl mtmático ruso qu l dscurió. Su omr rc u vridd d forms l litrtur: hshv, hchv, Tchshv, tc. Forms ltrtivs d l dsiguldd d hshv. odmos scriir l dsiguldd d hshv u sri d forms ltrtivs: Tmos rimr lugr l form qu cmos d dmostrr: ε [ ] c ε c Si cosidrmos l sucso comlmtrio c ε, s dcir c < ε, odmos scriir, [ ], sto s: ε rcorddo qu : c < ε c ε c Si ε [ ] c < ε c lgimos c tmos dfiició d l vriz: V [ ] ε V ε ε [ ] rcorddo l ε tmos: L corrsodit rsió r l sucso comlmtrio s: < ε V ε 78

54 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli lgimos c dmás lgimos ε σ V V σ σ, s dcir: σ σ c Si σ c Filmt corrsodit rsió r l sucso comlmtrio c s: < σ, tmos cotiució drmos u jmlo l qu odrmos rcir cómo l dsiguldd d hshv os rmit tr stimcios d cirts roilidds qu lguos csos mjor ls stimcios trivils dds or l iom i d ls roilidds, sto s, qu. σ jmlo Dsmos stimr l roilidd Si coocr l distriució Sido qu U,. U stimció d l roilidd cosidrció cudo o s cooc l distriució, s dcir qu vl culquir s l distriució ud trs usdo l dsiguldd d hshv l form c : σ co. Tmos coscuci: σ.. Vmos qu, st cso, l stimció mjor / 9 sustcilmt l cot surior trivil :. σ < Notmos qu st stimció s licl culquir s l distriució d vl s ést discrt o cotiu. Si smos qu U, tmos tod l iformció odmos clculr l roilidd ctmt. Tmos: ` 79

55 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli σ V ` / 6 9. tocs: σ < mor qu l cot surior dd or l dsiguldd d hshv: σ. σ.. <.. st vlor cto s L vriz como u mdid d l coctrció d l fd d u v.. lrddor d l srz. odmos usr ls forms d l dsiguldd d hshv r itrrtr l vriz V como u mdid d l vriilidd d l vril ltori co rscto su srz o otrs lrs d cómo l distriució d l v.. s coctr o disrs co rscto l srz. V D l rsió ε vmos qu, r u ε ddo, si V s mu quño ε tocs l roilidd d qu tom vlors ljos d s mu chic, s dcir h u gr roilidd d qu tom vlors róimos. Ivrsmt si V s grd, l roilidd d qu tom vlors ljdos d ud sr tmié grd. odmos rcisr u oco más sto cosidrdo l siguit Torm. Si V tocs [ ]. Dcimos qu igul su srz co roilidd. Dm. r culquir > V tmos d : ε, si V < ε ε l roilidd o ud surr. < ε co roilidd s, dod m qudo sólo co l iguldd orqu usto qu ε ud hcrs ritrrimt quño, l torm qud dmostrdo. 8

56 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli. - L l d los grds úmros. L l d los grds úmros stlc form rcis l hcho qu cudo l úmro d rticios d u rimto s hc mu grd, l frcuci rltiv f d u sucso rlciodo co l rimto covrg stido roilístico l roilidd. Drmos u vrsió d l L d los grds úmros coocid como l form d Broulli. Torm Form d Broulli d l l d los grds úmros S u rimto roilístico s u sucso socido co él. osidrmos rticios iddits dl rimto. S l úmro d vcs qu ocurr ls rticios d form tl qu f s l frcuci rltiv. S qu s suo igul r tods ls rticios. tocs, r culquir úmro ε > s cuml f < ε. ε Dm. D curdo co su sigificdo, l úmro d vcs qu ocurr l sucso ls rticios, s B,. Lugo: u vril ltori distriuid iomilmt co rámtros : V or lo tto f V f V V coscuci, licdo l v.. f l dsiguldd d hshv l form V < ε, s dcir, ε V f f f < ε llgmos lo rousto or l torm: ε f < ε. ε s vidt qu l torm trior imlic qu lim f < ε r todo ε >. tocs dcimos qu, st stido, l frcuci rltiv f covrg l roilidd. Osrvció: st covrgci, llmd covrgci roilidd difir d l covrgci ormlmt usd álculo límit ritmético. Rcordmos qu u sucsió α,α,...,α,... ti límit α o tmié qu lim α α si ε > ν tl qu α α < ε r todo > ν. sto sigific qu, dsd u dlt, α s roim rmtmt l vlor límit α. cmio cudo dcimos qu f /, covrg 8

57 rt roilidds rof. Mrí B. itrlli stmos sigificdo qu l roilidd dl sucso f < ε ud hcrs ritrrimt róimo uo tomdo u suficitmt grd. ro stmos hldo d roilidd o d crtz como l cso dl límit ritmético. s dcir, o sigific qu l tomr u grd ocurr cirtmt qu os roimmos más l vlor d l roilidd sio qu ist u gr roilidd d qu so ocurr. 8