{ }: en determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término ( , es 10. El término enésimo o general es. n 2

Transcripción

1 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios L INTEGRL UNIDD V V. SUESIONES V.. DEFINIIÓN DE SUESIÓN U scsió s list d úmros q sig rgl dtrmid: { } {,,,, }, i Formlmt, ls scsios s dfi como tipo spcil d fció d cyo domiio s l cojto d úmros trls N: Ejmplos d scsios: ) { } {,,,,, } ) { } {.,.,.,.,., } ) { } {,,,,, } ) { } {,,,,, } El térmio i-ésimo { }: N R i d scsió s l q v compñdo d l ltr q idic l vlor dl úmro s, l sgdo dtrmido térmio. Por jmplo, l primr scsió l primr térmio ( ) térmio ( ) s, l trcr térmio ( )., s. El térmio ésimo o grl s Ejmplo. E l scsió:{ },,,,,, l térmio ésimo o grl s:. Pr coocr los térmios d scsió, s sstity l vlor d dsd hst l vlor q s ds. Ejmplos. Dtrmir los primros cico térmios d ls sigits scsios: ) l primr térmio s: l sgdo térmio s: ( ) ( )

2 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios l trcr térmio s: l crto térmio s: ( ) ( ) 7 l qito térmio s: ( ) 9 Por lo tto: { },,,,, 7 9 ) l primr térmio s: l sgdo térmio s: l trcr térmio s: l crto térmio s: l qito térmio s: Por lo tto: { },,,,, omo s pd vr, cdo s ti l térmio grl s my scillo otr térmio dtrmido. Si mrgo, l cso ivrso q s, ddos os pocos térmios, otr l térmio grl, o simpr rslt fácil. Pr stlcr l térmio grl q rig l scsió, primro s d lizr l comportmito d ss compots. Ejmplos. Otr l térmio grl d ls sigits scsios: ) { } {,,, 7, 9, } S prci q s compo por úmros imprs, por lo q s ddc q l térmio grl d st. scsió s { } ) { },,,,, Pr dtrmir l térmio ésimo d scsió s csrio coocr como míimo cico d ss térmios.

3 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Nóts como l domidor d cd compot s igl l mrdor más o, por lo q s coly q l térmio grl d st scsió s ) { },,,,, 9 7. S dvirt q l domidor d cd térmio crc d l form térmio grl d st scsió s. ) { },,,,, 7, por lo q s ddc q l lizdo los mrdors, s ddc q stá ddos por l cdrdo d cd úmro trl mos o. Similrmt, los domidors stá ddos por l cdrdo d s mismo úmro trl pro más l idd. Por lo tto, l térmio grl d st scsió s. Eist dos csos spcils d scsios q dstc por s importci: S dfi como progrsió ritmétic, l scsió q pos l propidd d q l difrci tr dos térmios cosctivos s simpr costt. Esto s, ist úmro d, llmdo l difrci comú, tl q Ejmplos. { } {,, 7,,, } { } {,,,,, } d d d pr todo. S dfi como progrsió gométric, l scsió l q ist úmro r llmdo l rzó comú, co l propidd d: Ejmplos. { } {,,,,, } pr todo. r r { },,,,, V.. TIPOS DE SUESIONES r U scsió s ifiit cdo ti úmro ifiito d térmios. Ejmplo: { } {,,,,, } U scsió s fiit cdo ti úmro dtrmido d térmios.

4 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Ejmplo: { } {, 7,,, 9,, 7, } U scsió q s proim cd vz más cirto úmro, s llm covrgt. Ejmplo: { },,,,, (s crc cro) U scsió q o ti límit s divrgt.,,,,,, (o s crc igú úmro) Ejmplo: { } { } U scsió s crcit si cd térmio d l scsió s myor q l trior. Ejmplo: { } {,, 9,,,, } U scsió s dcrcit si cd térmio d l scsió s mor q l trior. Ejmplo: { } {,,,, 7, } U scsió s moóto si s crcit o dcrcit. Ejmplos: Moóto crcit: { } {,,,,, } Moóto dcrcit: { } {,,,,, } U scsió s dic cotd spriormt por úmro, si. 7 9 Ejmplo:{ },,,,, (stá cotd por, y q ). U scsió s dic cotd ifriormt por úmro, si. Ejmplo: { },,,,, (stá cotd por 7 9, y q ). U scsió s dic cotd si stá cotd sprior ifriormt. Ejmplo: { },,,,, (stá cotd y q < ). V.. LÍMITE DE UN SUESIÓN Ecotrr l límit d scsió s prolm q cosist dtrmir qé úmro, si s q ist, s proim ss térmios. Por jmplo, l scsió { },,,,, l mtr, i stá cd vz más próimo cro. Esto s:. ;. ;.. psr d q igú térmio d l scsió llg vlr cro, l límit s cro., cyo térmio grl, vidtmt s

5 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Formlmt, S dic q úmro L s l límit d scsió, d térmio grl difrci vlor solto tr Eprsdo mtmáticmt sto s: Eist propidds coocids d límits d scsios:. Tod scsió cotd y moóto s covrgt.. El límit d scsió cyo térmio grl s k s.. El límit d scsió cyo térmio grl s s. El límit d scsió cyo térmio grl s, si l y L s mor q úmro clqir, ε, prvimt lgido. L < ε k k s, dod < < k s, dod >. El límit d scsió cyo térmio grl s. El límit d scsió cyo térmio grl s poliomio simpr s divrgt. S limit s, cdo l coficit dl trmio d myor grdo s positivo, y, cdo s gtivo. 7. El límit d sm o difrci d scsios s rspctivmt l sm o difrci d los límits d cd d lls.. El límit d prodcto o cocit d scsios s l prodcto o cocit d los límits d cd d lls. 9. lqir progrsió ritmétic s divrgt. lgs vcs, l clclr l límit d scsió s oti idtrmició,, ( ),,,. E st cso s ti q fctr oprcios q o ltr l prsió fi d dshcr ( s cso) l idtrmició. Ejmplos. lclr los límits d ls sigits scsios: ) { } Solció ,,,,, El térmio grl s por lo q s s l límit d l scsió. ) { } {,,,,, } Solció. El térmio grl s { } q l límit d l scsió s ) Solció., lo q implic q cd úmro s cd vz más prcido,, lo q sigific q l scsió s dcrcit y o cotd, sí, s dcir, s divrgt.

6 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Eprsdo ss térmios: { },,,,, idd, por lo q l límit d l scsió s.. S osrv como l cocit tid l ) Solció. Eprsdo ss térmios: { },,,,, úmros so cd vz más pqños, por lo tto, l límit d l scsió s. ) { } {,,,,, } Solció. omo l térmio grl s { } d l scsió s, s dcir, s divrgt. { } ) ( ) Solció.. S pd dvrtir como los, l scsió s crcit y o cotd, por lo q l límit Eprsdo ss térmios: { } {,,,,,, }. S prci clrmt como l sigo d los úmros so ltrdos (scsió oscilt), por lo tto, l scsió s divrgt y s límit o ist. V. SERIES V.. DEFINIIÓN DE SERIE U sri s l sm d los lmtos d scsió. L sm pd sr fiit o ifiit. Los lmtos d ls sris pd sr úmros, ltrs o comició d ms. U sri pd rprstrs d dos forms: Elistdo los lmtos co los sigos tr los lmtos. Usdo l llmd otció sigm ( Σ ), q implic l smtori d todos los lmtos, co sólo l térmio grl y l rgo d l sm idicd. Ejmplo. Ls sigits prsios rprst l mism sri: 7 9 s ( ) S dfi como sri ifiit l sm d los térmios d l scsió: s i

7 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios térmios prácticos, s dot como U sri fiit s dfi como: Ejmplos. ) Dd l scsió ifiit: { } i s. s,,,,, s ) Dd l scsió fiit: {,,,,,,, } s ( ) ( ) ( ) Ejmplos. Dtrmir l sm proimd d ls sigits scsios: ) s s ) s ( ) ( ) s D form similr q ls scsios, ls pricipls árs d itrés d ls sris so: i. L dtrmició dl térmio grl d ls sris. ii. Otr, si ist, l sm d l sri. i VI.. ONVERGENI DE UN SERIE E grl, sri: Es covrgt, si l scsió socid d ls sms prcils rprstds por S covrg. El lmto q S l scsió s dfi como l sm d los primros térmios d l sri. Es dcir lim ist y s fiito. E otrs plrs, l sm s úmro rl. S Es divrgt, si l lim S o ist. Es dcir cdo l sm tid ó. Es oscilt cdo o s ig d ls triors. Tod sri d térmios positivos s covrgt o divrgt, pro c oscilt, 7

8 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios E sri, si s ltr ritrrimt l ord d los térmios, dscompoido ritrrimt cd o d los smdos, o s ltr s cráctr, i vrí s sm. Si l sri s covrgt, tocs, lim crc cro, l sri s covrgt.. Esto qir dcir, q si los térmios s D lo trior, s pd ddcir q tods ls sris d icrmtos costts, so divrgts. U sri gométric ti l form U sri d st tipo covrg si r < y l sm s Si r, l sri gométric divrg. Ejmplos. Dtrmir l trlz d ls sigits sris: ) s Solció: r, dod s sclr fijo (úmro rl). S. r s , por lo tto, l sri s covrgt, cy sm s. ) s Solció: s omo los térmios o tid, l sri s divrgt. ) s Solció: s , por lo tto, l sri s covrgt, cy sm s. E st sri l primr térmio s y los dmás, s oti smdo ritméticmt l úmro prcdt, otro domido d. Osérvs l prllismo co l dfiició d progrsió ritmétic vist l scció VI... E st sri l primr térmio s y los dmás s oti mltiplicdo l úmro prcdt por rzó r. Osérvs l prllismo co l dfiició d progrsió gométric vist l scció VI...

9 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ) s Solció: s omo los térmios tid y o, l sri s divrgt. ) s ( ) Solció: s 7 9 S trt d sri d icrmtos costts co divrgt. ) s Solció: < y d, por lo tto, l sri s S trt d sri gométric. omo r, l sri s covrgt, cy sm s: s s 9 7) s ( ) 7 Solció: S trt d sri gométric. omo r >, l sri s divrgt. V. SUM DE RIEMNN S itrvlo crrdo [, ], l cojto d ptos P { o,,,, } itrvlo s l cooc como prtició dl itrvlo [, ]. cotidos dicho Esto implic q:, < dod i,,,,, i i cd sitrvlo s l cooc como cld. l distci tr los ptos trmos d cd cld s l cooc como mplitd d l cld. L mplitd d l primr cld s: L mplitd d l sgd cld s: L mplitd d l trcr cld s: 9

10 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Gráficmt: omo s pd dvrtir, l mplitd d ls clds vi ddo por l difrci d ss vlors fils iicils. Por lo tto, grl, l mplitd d cd cld vi dd por: i l myor mplitd d ls clds d prtició s l domi orm d l prtició y s l dot por. i i Ejmplo. Ddo l itrvlo [,], fctr dos prticios difrts d sis clds y cd cso dtrmir cál s s orm. Solció. ) Si s hc prtició d igl mplitd:

11 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios s orm s ) S hc prtició d l mr q s idic: l orm d st prtició s. S fció f ( ) y dfiid y limitd cojto D. osidérs prtició dicho cojto q cotg sitrvlos. Si s scog pto ξ cd sitrvlo d l prtició d form tl q: [ ] [ ] [ ],,, ξ ξ o i: ξ o i: ξ ξ o i: ξ y grl:

12 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios [, ] ξ i i i o i: i ξi i Si s form l sm d prodctos dl vlor d f cd pto ξ por l mplitd d l cld rspctiv, s tdrá: f ( ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) ξ q form coctrd s pd rprstr como: i prsió q s cooc como Sm d Rim. f ( ξ ) i i Est prsió clcl l sm d cd d ls ss (ls clds, so ls f ( ξ ) formdos. i i ) por s rspctiv ltr (q ) d fció, dd prtició. Esto dtrmi l sm d ls árs d los rctáglos Ejmplo. Dd l fció y co., otr l sm d Rim pr l fció dd l prtició:.,,.,.9,.,.,.9, 7 Solció: Los ptos lgidos d cd cld so: ξ., ξ., ξ., ξ, ξ., ξ.7, ξ7.9 Grficdo s ti: L sm d Rim s:

13 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios 7 i f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) i i i 7 7 (.)(.) f (.)(. ) f (.)(.9.) f ( )(..9) f (.)(.. ) (.7)(.9.) f (.9)(.9).(.).(.).7(.) (.).7(.).7(.) 7.9(.) f f y.. E l cso sigit: 7 i f ( ξ ). 9 i i s prci q lgs d ls árs so gtivs, por lo tto, l itrprtció gométric d l sm d Rim s: i f ( ξ i ) i 7 9 psto q ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ), f ( ξ ) f ( ξ ) f so úmros gtivos. 9, V. INTEGRL DEFINID Si f s fció dfiid l itrvlo crrdo [ ] s dfi como:,, tocs l itgrl dfiid d f d

14 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ( ) f s llm itgrdo. ( ) d f ( ) f lim ξ i i (si l límit ist) i y so los trmos o límits d itgrció ( s l trmo ifrior y s l trmo sprior) s llm sigo d itgrció. Si implic q, por lo tto: ( ) d lim f ( ξ ) f i i i V. INTERPRETIÓN GEOMÉTRI DE L INTEGRL DEFINID L sm d Rim f ( ) i ξ rprst l sm d los rctáglos. Si l orm d l prtició i i tid cro implic q l úmro d clds s icrmt, s dcir q cd vz s ti más y más rctáglos q s proim l ár rl jo l crv. Por lo tto, por dfiició: l itgrl dfiid s l ár jo l crv ss límits.

15 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Ls figrs triors mstr como l sm d rctáglos s proim l ár rl jo l crv si. Ejmplo. Otr d form proimd tilizdo prtició d ocho clds.

16 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Solció. Efctdo l prtició:,.,.,.7,,.,, 7., los ptos lgidos d cd cld so: ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ., ξ7., ξ.7 grficdo s ti: (.)[. ] f (.)[..] f (.)[.7.] f (.)[.7] f (.)[. ] d f f (.)[.] f (.)[. ] f (.7)[.] ( ).9(.).(.).(.).7(.) 7.(.).(.).(.).. d.. V. PROPIEDDES DE L INTEGRL DEFINID Si f ( ) y g ( ) so dos fcios cotis l itrvlo d itgrció [ ] clqir: d ) f ( ) ) f ( ) d f ( ) d, y k costt

17 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ) k f ( ) d k f ( ) d ) [ f ( ) ± g( ) ] d f ( ) d g( ) ± c ) ( ) d f ( ) d f ( ) c f d cdo < c < d V.7 INTEGRL INDEFINID O NTIDERIVD U fció F srá tidrivd, o primitiv, d otr fció f itrvlo [, ] si F '( ) f ( ) pr todo vlor d l itrvlo. Esto s, si F' ( ) f ( ) f ( ) d F( ) Ejmplo. S f ( ). Eso implic: f '( ) L tidrivd d st fció s l fció origil f ( ). Esto sigific q: ( ) d L fció f ( ) ti tidrivd prticlr [, ] q s F ( ). L tidrivd grl d f ( ) s: F ( ) dod s costt. Ejmplo. S f ( ) 9 7 f '( ) 7 ( 7) d 9 7 V. FÓRMULS FUNDMENTLES DE INTEGRIÓN, v, w trs fcios d y costt clqir. Ls 7 fórmls fdmtls d Si itgrció so: ) d ) d ) ( v ± w) d ± v d ± ± d w d d ) d ) s d cos ( ) 7

18 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ) cos d s 7) t d l sc ) cot d l s 9) sc d l sc t ) csc d l csc cot ) sc d t ) csc d cot ) sc t d sc ) csc cot d csc ) d d ) l 7) d l ( >, ) ) d s d 9) t d ) sc d ) l d ) l d ) l ( ) ) d l ) d s ) d l( ) 7) d l

19 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios V.9 INTEGRLES DIRETS E INTEGRLES QUE REQUIEREN MIO DE VRILE U itgrl dirct s qll q s dpt ctmt l itgrdo co d ls fórmls fdmtls. Si mrgo, l gr myorí o so dircts, por tto, ts d itgrr s d compltr l difrcil d pr dptrl fórml, lo q olig hcr itrvir costt q mltipliq y divid l itgrl. E sgid, s tr d l itgrl l costt q o hg flt pr compltr l difrcil d tl y como lo idic l fórml úmro. Ejmplos. lclr ls sigits itgrls imdits: ) d d 7 d d ) d ) d ) ) ( 7 ) d ) 7) d d 7 7 ) d d ) d d 9 d ) d d ( ) d ) d ( 7 ) d 9

20 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios 7 7 ) ( ) ( ) d d d d Ejmplos. lclr ls sigits itgrls fctdo cmio d vril: ) ( ) d d d ( ) d ) ( ) d 7 d d ( ) d d 7 7 ) ( ) d d d ( ) d 9 ) ( ) d 7 d d 7 ( ) d d 7 7) d ( ) d d ( ) d d ) d ( ) ( ) [ ] ( ) d d d d d

21 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ( ) d 9) s d d d s d cos cos ) cos d cos t t d d d s s ) d d d d l sc l sc ) cot d d d cot d l s l s ) sc d d d sc d l sc t l sc t ) 7 csc d d d csc d l csc cot l csc cot ) sc d d d sc d t t ) sc 7 t7 d 7 d d

22 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios sc t d sc sc 7 7) 7 w cscw cot dw w d w dw csc cot d csc cscw 7 ) k csc k dk 7 k d k dk 7 csc d cot cot k 9) d d d d s ) cos d 9 s d cos d d 9( ) ) d 9 d d d 9 ( ) s ) d d d d l l s ) d cos cos d s d d l l cos ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d

23 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios d ) d l l d d ( ) d l l ) 9 7 d 9 7 d 9 d d l 9 l 9 7) d ; d d d s s 9 ) d ; d d 9 d 9 9 t t 9) d 9; d d d sc sc ) d 9 9 ; 9 7 d d 7 l l ( ) 7 ; d ) d d l l ( ) ( ) d d

24 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ; d ) d 9 d l l 7 ( 7) 7 7 ) d ; d d d l l cos ) d s d ; s s d cos d d l l s s ) d ; d d ( ) s s ) d ; d d ( ) ( ) l l 7) d ; d d ( ) l l

25 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios V. TEOREM FUNDMENTL DEL ÁLULO. REGL DE RROW Si y f ( ) s coti l itrvlo [, ] y si ( ) tocs, l torm fdmtl dl cálclo stlc q: g cmpl q ( ) dg d f ( ) [, ] f ( ) d g( ) g( ) Eprsió coocid como Rgl d rrow. Ejmplos. lclr ls sigits itgrls: 7 ) d. ) ( 7 ) π d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π ) cos d s s s π ) s cos d o cmio l vril: cos d s d π cos s cmi los límits d itgrció: ; cos d omprodo (si cmio d vril): π cos L itgrl idfiid d l fció coti y f ( ) F, formlmt s dfi como: ( ) d L dmostrció d los torms pstos los Stms VI. y VI. pd cosltrs l cpítlo 7 dl liro álclo co Gomtrí lític d Prottr y Morry iclido l iliogrfí.

26 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Ejmplo. S F ( ) F df d ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) f ( ) ( ) F( ) Esto sigific q l itgrl idfiid, s itgrl dfiid co trmo sprior vril. Gráficmt: Filmt, prtir d lo trior, s ti q: y d d F ( ) d F( ) d F( ) d F d df ( ) pro por dfiició d difrcil: df ( ) F( )d ( ) d d df F ( ) ( ) El torm fdmtl dl cálclo stlc q l difrcició y l itgrció so oprcios ivrss. Los símolos y d so oprdors ivrsos.

27 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios V. TEOREM DEL VLOR MEDIO DEL ÁLULO INTEGRL Si y f ( ) s coti l itrvlo [ ] máimo solto q ocrr M ist úmro [, ]. Es dcir:, ; m s l míimo solto q ocrr m ; M s l ( m ) m m ( M ) M M f ( ) M [ ] f f m, tl q: ( ) d f ( )( ) m f ( ) M f, L igldd f ( ) d f ( )( ) s itrprt q, tod fció coti, l ár jo l crv simpr podrá sr igl l ár d rctáglo q tg como s l mplitd dl itrvlo d dfiició d l fció y como ltr l vlor d l fció lgú pto dl itrvlo. Gráficmt sto s: Ejmplo. Otr Solció. d l fció y l itrvlo. 7

28 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios d 7 7 plicdo l torm dl vlor mdio dl cálclo itgrl: f ( )( ) f ( ) 7 y 7 dspjdo d l fció: V. INTEGRIÓN POR PRTES S dos fcios y v drivls d, y cosidrdo l rgl pr otr l difrcil d prodcto: d ( v) dv v d dv d( v) v d dv d( v) v d dv v v d El itgrdo s spr dos prts. U d lls s igl y l otr dv (por so s llm método d itgrció por prts). S d cosidrr dos spctos: ) L prt q s igl dv d sr fácilmt itgrl. ) v d o d sr más complicd q dv Ejmplos. lclr ls sigits itgrls plicdo l método d itgrció por prts: ) d d, dv d v d ) s d d d d, dv s d v cos ( cos) d cos cosd s cos sd cos ) d d d, dv d ( ) d v ( ) d d ( ) ( ) ) s d s d s s d ( ) ( ) ( ) ( )

29 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios s d cos d, dv s d v cos ( cos ) ( cos )( cos ) d s cos s s d s pro s s q: s cos cos s ( s ) d s cos d s cos s d pro l últim itgrl s igl q l scd, pro co sigo cotrrio, por lo tto: s cos s d s cos s d ) d d d d d d, dv d v d dv d d, d d d d d v, dv d v d d it grl por prts d itgrl por prts cos d V. INTEGRLES TRIGONOMÉTRIS Ls idtidds más sds l rsolció d itgrls trigoométrics so: ) cos s ) sc t ) cos cos s cos y s y s y ) s ( cos ) ) csc cot ) cos ( cos ) ) s cos ( s ) 7) s cos 9) [ ( ) ( )] 9

30 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios cos cos y cos y cos y ) s s y [ cos ( y) cos ( y) ] ) [ ( ) ( )] Ejmplos. lclr ls sigits itgrls tilizdo idtidds trigoométrics: ) s d s d cos d s ) cos d d d cos cos s ) cos d cos d ( cos ) cos d ( s ) cos d ( s s ) cosd cosd s cosd s d cos cos s d d s s s s ) s cos d s cos ( s ) cos d ( s s ) d d s cos s cos d s cos d s s ) d sc d sc sc d ( t ) sc sc d sc d t sc d t t ) s cos d s cos d [ s ( ) s ( ) ] d s ( ) d s d ( cos ( )) ( cos ) cos ( ) cos 7) s s d s s d [ cos ( ) cos ( ) ] d cos d cos d s ( s ) s s

31 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ) cos cos d cos cos d [ cos( ) cos( ) ] d cos d cosd s s s s V. MÉTODO DE INTEGRIÓN POR DESOMPOSIIÓN EN FRIONES PRILES Si P y Q so dos fcios poliómics, tóricmt simpr s posil rsolvr itgrls d l form: Si l grdo d P ( ) s mor q l d ( ) frcció impropi. P Q ( ) ( ) d Q s dic q s frcció propi, cso cotrrio s E l práctic, l otció d dichs itgrls dpd d q s posil fctorizr l domidor Q. ( ) Por l trlz d los fctors dl domidor, s cosidr ctro csos: so : Fctors lils distitos cd fctor lil d l form Ejmplos d ) Hllr:, dl domidor d frcció rciol propi, l corrspod frcció sido costt dtrmir., mltiplicdo por Si ( ) ( ) s ti: ( ) ( ) Si ( ) ( ) d d d l l ) Hllr: ( ) d

32 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ( ) ( )( ) ( ) ( ) Si : ( )( ) Si : ( )( ), mltiplicdo por s ti: Si : ( )( ) ( ) d d d d l l l so : Fctors lils igls cd fctor cdrático d l form ( ), dod, q figr l domidor d frcció rciol propi, l corrspod sm d frccios d l form Ejmplos. ) Otr: ( ) ( ) d ( ) sido ( ) ( )( ) ( ) mltiplicdo por ( ) s ti: ( ) Si : Si : ( ) d d ( ) ( ) d hor, hcido l cmio d vril pr l últim itgrl: d d d filmt: ( ) d ( ) d l l ) Otr: ( ) d,,, costts dtrmir.

33 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ( )( ) ( )( )( ) ( ), mltiplicdo por s ti: ( )( ) ( )( ) ( ) Si ( ) ( )( ) : Si ( ) ( ) : Si ( ) ( ) ( )( ) ( ) : ( ) ( ) d d d d. hor, hcido l cmio d vril pr l últim itgrl: ( ) d d d d filmt: ( ) d l l l l so : Fctors cdráticos distitos cd fctor cdrático irrdcil c, q figr l domidor d frcció rciol propi, l corrspod frcció d l form c sido, ls costts dtrmir. Ejmplos. ) Otr d ( )( ) D, mltiplicdo por s ti: ( )( ) ( )( ) D D D ( ) ( ) ( ) D D omprdo: ( ) ( ) ( ) ( ) D D d ( ) :

34 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios sstitydo ( ) : d ( ) : D, sstitydo ( ) : D D D, d d d d d, hor, hcido l cmio d vril pr l primr itgrl: d d d filmt: d t l t l ) Otr d ( )( ) D, mltiplicdo por s ti: ( )( ) ( )( ) D D D ( ) ( ) ( ) D D omprdo: ( ) ( ) ( ) ( ) D D d ( ) : sstitydo ( ) : d ( ) : D, sstitydo ( ) : D D D, d d d d d, hor, hcido l cmio d vril pr l primr itgrl: d d d filmt: d t l t l

35 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios so : Fctors cdráticos igls cd fctor cdrático irrdcil ( c), q s rpit vcs l domidor d frcció rciol propi, l corrspod sm d fctors d l form: D E F sido,,, D, costts dtrmir. c c c Ejmplos. ) Otr: ( ) ( ) ( ) d D ( ) ( ) mltiplicdo por ( ) ( )( ) ( D) s ti: ( ) ( D) D omprdo: _( ) _( ) _( ) D _( ) d ( ) : sstitydo ( ): ( ) d ( ) :, sstitydo ( ) : ( ) D D, d ( ) d ( ) d d ( ) d ( ) hor, hcido l cmio d vril pr l primr y últim itgrl: d d s ti: d d d d filmt: ( ) d d l t l t d ) Otr: ( ) d

36 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios D E F ( ) ( ) ( ) mltiplicdo por ( ) ( )( ) ( D)( ) ( E F ) ( )( ) ( D)( ) E F D D E F D E D omprdo: ( ) ( ) ( ) F _( ) _( ) _( ) D _( ) E _( ) D F _( ) d ( ) : sstitydo ( ): ( ) d ( ) :, sstitydo ( ) : ( ) D d ( ): E ( ) ( ), d ( ) : F ( ) ( ), D, d ( ) d d ( ) ( ) d d d ( ) hor, hcido l cmio d vril pr l primr y últim itgrl: d d s ti: d d d filmt: ( ) d d l ( ) l t Ejmplo. Rsolvr l sigit itgrl rciol impropi: d t d s ti:

37 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios 7 fctdo l divisió s ti: ( ) d d ( ), mltiplicdo por s ti: ( ) ( ) Si ( ) Si ( ) Si ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) d d d d d l l V. INTEGRLES IMPROPIS U itgrl dfiid ( ) d f s domi impropi si: ) El itgrdo ( ) f, ti o o más ptos d discotiidd l itrvlo ) Por lo mos o d los límits d itgrció s ifiito. ) Itgrdo discotio i) Si ( ) f s cotio l itrvlo < pro s discoti s ti q: ( ) ( ) d f d f ε ε lim simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: 9 d d ; s discoti ε ε ε ε lim 9 lim s d d

38 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios lim ε s ii) Si ( ) ε s s s s π f s cotio l itrvlo < pro s discoti s ti q: f ( ) d lim f ( ) ε ε d simpr q ist l límit. Ejmplo. d lclr: ; s discoti d lim lim ε lim [ ε ] ε ε ε ε iii) Si ( ) ti q: f s cotio l itrvlo pro s discoti c, dod c < <, s f cε ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) ε ε c ε d simpr q ist l límit. Ejmplos. ) lclr: d ( ) ( ) ; prst discotiidd d ε lim lim lim ε ε ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ε ε lim ( ε ) lim ( ε ) ( ) ε ε ) lclr: d ; prst discotiidd ε d lim lim ε ε lim ε ε ( ε ) ( ) lim ( ε ) ε 9 ( ).

39 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios ) Límits d itgrció ifiitos f s cotio l itrvlo k i) Si ( ) simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: d ( ) d f ( ) f lim k k d d k lim lim t lim t t k k k t k π ii) Si ( ) t π k ( ) f s cotio l itrvlo j simpr q ist l límit. Ejmplo. lclr: d lim d j j iii) Si ( ) d lim j j ( ) d f ( ) f lim lim j f s cotio l itrvlo j k j j ( ) j d d ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) f simpr q mos limits ist. Ejmplo. d lclr: k k j j d 9

40 Pági dl olgio d Mtmátics d l ENP-UNM L itgrl tor: Dr. José Ml crr Espios Utilizdo l cro como rfrci, s dcir, itgrdo d y d k k d d d lim lim lim t lim t k j k j j j ( t t ) ( t t ( ) ) π π π π π, s ti: