PRINCIPALES VARIABLES DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO EN CADENAS CINEMATICAS ABIERTAS

Transcripción

1 PRINCIPALES VARIABLES DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO EN CADENAS CINEMATICAS ABIERTAS 1 Calderón López Hugo Enrque, 1 Szwedowcs Wask Darusz, 2 Bedolla Hernández Jorge. 1 Departamento de Ingenería Mecánca, Centro Naconal de Investgacón y Desarrollo Tecnológco (CENIDET), Interor Internado Palmra s/n, Cuernavaca, Mor., Méxco. Tel/fax:+52 (777) Departamento de Metal Mecánca, Insttuto Tecnológco de Apzaco, Av. Insttuto Tecnológco S/N, Apzaco, Tlaxcala, Méxco. Teléfono (01) , Fax (01) hecl555@hotmal.com, d.sz@cendet.edu.mx, ljbedolla@tapzaco.edu.mx RESUMEN. Este trabajo muestra las prncpales varables que ntervenen en el funconamento de una cadena cnemátca aberta de 3 grados de lbertad, con confguracón tpo artcular. Para su determnacón se dseñaron una sere de ejerccos que permten analzar claramente la nfluenca del desplazamento angular, la velocdad angular, la aceleracón angular, la dstanca del punto central de la herramenta, el torque, la trayectora y el tempo. Varables que ntervenen en el comportamento dnámco y que afectan al funconamento. Los ejerccos presentados muestran claramente las característcas de estas varables, así como su nfluenca en el funconamento de las cadenas cnemátcas abertas. Se pudo determnar que la trayectora es la varable prncpal pero que debdo a la nfndad de posbles trayectoras esta es muy dfícl de calcular, pero que se puede hacer uso del desplazamento angular, la aceleracón y la dstanca del punto central de la herramenta para encontrar la mejor de las opcones. ABSTRACT. Ths work shows the man varables nvolved n the operaton of an open knematc chan of 3 degrees of freedom, wth all rotatonal jonts. For ts determnaton were desgned a seres of exercses to analyze clearly the nfluence of angular dsplacement, angular velocty, angular acceleraton, the dstance from the center pont of the tool, torque, trajectory and tme. Varables nvolved n the dynamc behavor and affectng the operaton. The exercses presented clearly show the characterstcs of these varables and ther nfluence on the operaton of open knematc chans. It was determned that the trajectory s the man varable but because of the many possble paths ths s very dffcult to estmate, but can make use of angular dsplacement, acceleraton and dstance from the center pont of the tool to fnd the best opton. NOMENCLATURA. m masa del -ésmo eslabón. dθ dervada del desplazamento de la - ésma artculacón. d 2 θ segunda dervada del desplazamento de la -ésma artculacón. ω velocdad angular del -ésmo eslabón. α aceleracón angular del -ésmo eslabón. a aceleracón lneal del -ésmo eslabón. a C aceleracón lneal del centro de masa del -ésmo eslabón. -1 r, vector del orgen del sstema -ésmo -1 al orgen del sstema -ésmo. r,c vector del orgen del sstema -ésmo al centro de masa del eslabón -ésmo. f fuerza ejercda sobre el -ésmo eslabón. z vector untaro de gro del -ésmo sstema. R -1 matrz de rotacón que relacona un sstema de coordenadas con otro. μ momento ejercdo sobre el -ésmo eslabón. I tensor de nerca al centro de masa del - ésmo eslabón. τ momento de torsón del actuador de la - ésma artculacón. T transpuesta. INTRODUCCIÓN El uso de cadenas cnemátcas abertas se ha ncrementado en los últmos años debdo a su ISBN Págna 409

2 flexbldad y versatldad. Se usan prncpalmente en la ndustra, en dferentes ambentes de trabajo para realzar dversas tareas tales como soldadura, pntura, carga, corte, manpulacón y montaje de pezas.. El aumento en su uso sgnfca un aumento en el consumo de energía y la necesdad de una mayor nversón de recursos tanto naturales como fnanceros. Esto hace necesaro generar estrategas que permtan dsmnur el gasto de energía en modelos ya exstentes, así como mejorar los dseños futuros. Por lo cual es mportante determnar las prncpales varables que nfluyen en su comportamento dnámco. Además se requere dentfcar cómo nfluyen cada una de estas varables en el desempeño del sstema y en el consumo de energía. En la lteratura [ndcar ejemplos de referencas] se emplean dferentes varables y crteros para tratar de optmzar el funconamento y consumo de energía de las cadenas cnemátcas abertas. Algunos de esos crteros están centrados en la estructura de la cadena cnemátca aberta optmzando parámetros geométrcos y buscando una mayor destreza en los movmentos, mentras que otros se enfocan en la trayectora y el tempo de operacón. Autores como Van Henten [1], Chang [2], Park [3], Barss [4], Kucuk [5], Kebrle [6] hceron uso de la geometría y el trabajo a desarrollar para aumentar la productvdad de las cadenas cnemátcas abertas. Soltero [7], ntentó optmzar al msmo tempo la trayectora, el tempo de operacón y la estructura de la cadena cnemátca aberta encontrando que para cada trayectora óptma exstía una estructura dferente. Ata [8], hzo una revsón de los prncpales crteros y métodos utlzados en la planeacón de trayectoras. Dentro de los prncpales crteros utlzados se encuentran el dsmnur el tempo de operacón [9,10], la dstanca [11, 12], el torque [13], y el desplazamento de las artculacones [14, 15]. La mayoría de los autores utlzan más de una varable como crtero de optmzacón, Saravana [16] usó al tempo de operacón, al torque, las colsones, la manpulabldad, el jerk y la aceleracón como crteros. Borges [17] usó al tempo y la dstanca para mnmzar el torque necesaro durante el desplazamento, Gurunath [18] y Shankar [19] utlzaron como crteros la dstanca y el desplazamento de las artculacones para mnmzar el consumo de energía y el tempo de operacón sn exceder el torque máxmo permtdo por el actuador. Por su parte Ur-Rehman [20] utlzó al desplazamento, la velocdad y al torque para dsmnur el consumo de energía, Soltero [21, 22, 23] utlzó la dstanca del efector fnal, el desplazamento de las artculacones, el tempo de operacón, el torque y la velocdad. Kasem [24] utlzó al torque, el desplazamento de las artculacones, la dstanca del efector fnal, el tempo de operacón y los obstáculos en el espaco de trabajo. Como se puede observar, exsten varados puntos de vsta sobre cuáles son los prncpales crteros para optmzar el funconamento y consumo de energía de las cadenas cnemátcas abertas. En este trabajo se muestra un análss realzado a la mayoría de las varables utlzadas en la lteratura como son el desplazamento, la velocdad, la aceleracón, la dstanca recorrda por el efector fnal, el torque y el tempo, varables fundamentales en el comportamento dnámco de las cadenas cnemátcas abertas. Al comenzo se presentan la formulacón de Newton-Euler. Después se presenta al robot SCORBOT ER-V+. Enseguda se presentan los análss realzados al desplazamento angular, la velocdad angular, la aceleracón angular, la dstanca del punto central de la herramenta, el torque y el tempo en ese orden. Para termnar con un análss de resultados y las conclusones. FORMULACIÓN DE NEWTON-EULER Se utlzo la formulacón de Newton-Euler para poder generar el comportamento de las dferentes varables sguendo dferentes trayectoras, esto con la fnaldad de tener una mayor perspectva del comportamento de las varables analzadas en este documento. La formulacón de Newton-Euler se basa en el equlbro de fuerzas que actúan sobre un eslabón de la cadena cnemátca aberta. Esto resulta en un conjunto de ecuacones cuya estructura permte una solucón de tpo recursvo. Exsten ISBN Págna 410

3 dos tpos de solucones recursvas, la prmera es la solucón recursva haca adelante que muestra la propagacón de la velocdad y aceleracón partendo del prmer eslabón, segudo de la recursón haca atrás que muestra la propagacón de las fuerzas partendo del últmo eslabón o de la carga en caso de exstr [25]. Consderando un eslabón que contene un sstema de transmsón a base de un motor (fg. 1), este puede caracterzarse con los sguentes parámetros dnámcos: La ecuacón de Euler que descrbe el movmento de rotacón del centro de masa del eslabón, se expresa: μ = R +1 μ r,c ₓ (m a C ) + r, -1 ₓR +1 f I α + ω ₓ I ω (6) La fuerza generalzada necesara para el movmento de una artculacón se puede calcular medante la sguente expresón: τ = μ T z (7) ROBOT SCORBOT ER - V+ Para poder presentar un análss real sobre el comportamento de las varables presentadas en este documento se utlzaran los parámetros estructurales del robot SCORBOT ER-V+ (fg. 2), el cual se encuentra en el laboratoro de mecatrónca del Centro Naconal de Investgacón y Desarrollo Tecnológco (CENIDET). Fgura 1.- Caracterzacón de los parámetros dnámcos de un eslabón. La ecuacón de Newton que descrbe el comportamento recursvo de la velocdad angular ω. Para una artculacón de rotacón, se expresa: ω = R -1 (ω dθ z ) (1) La aceleracón angular α. Para una artculacón de rotacón, se expresa: a) Robot SCORBOT ER V+ α = R -1 α R -1 ω -1-1 ₓ dθ z + d 2 θ z (2) La aceleracón lneal a. Para una artculacón de rotacón, se expresa: a =R -1 (α -1-1 ₓ r, -1 +ω -1-1 ₓ(ω -1-1 ₓ r, -1 )+a -1-1 ) (3) La aceleracón lneal del centro de masa del eslabón, a C queda expresada como: a C = α ₓ r,c + ω ₓ (ω ₓ r,c ) + a (4) La ecuacón de Newton que descrbe el movmento de translacón del centro de masa del eslabón, se expresa: f = R +1 f m a C (5) b) Dagrama de bloques cnemátco. Fgura 2. SCORBOT ER - V+. Tabla 1. Valores consderados para el análss de varables. ISBN Págna 411

4 Parámetros estructurales del robot SCORBOT ER-V+ Eslabón Base Hombro Brazo Antebrazo Longtud D-H (m) Masa (kg) Dstanca al centro de masa (m) Momento de nerca (kg m 2 ) Los valores de masa, dstanca al centro de masa y momento de nerca de la base no son mportantes ya que esta no se mueve por lo que no fueron consderados. Los parámetros se obtuveron por alumnos del CENIDET pertenecentes al área de mecatrónca para sus trabajos de tess [26, 27], por medo de modelado en el programa de dseño mecánco PRO-ENGINEERING. DESPLAZAMIENTO ANGULAR. Para el análss del desplazamento angular se utlzaron una trayectora coordnada (en color rojo) la cual genera un desplazamento angular drecto, una trayectora parabólca (en color verde) y una lneal (en color azul) estas últmas dos generan un desplazamento angular ndrecto. Se utlzaron estas tres trayectoras para analzar el comportamento del desplazamento angular por caracterzar de una manera senclla el comportamento de los dos tpos de desplazamento angular que se pueden presentar (fg. 3). Fgura 3. Característcas de los desplazamentos y velocdades de la artculacón 2, en trayectoras coordnada, lneal y parabólca. Analzando la fgura 3 se puede observar que el desplazamento angular ndrecto genera un mayor movmento de la artculacón (fg. 3-a) lo que derva en mayores valores de velocdad (fg. 3-b), y que mentras mayor sea este movmento mayor será el valor de la velocdad. Además de puede observar que los movmentos ndrectos tenen al menos un punto de nflexón lo que mplca un paro y arranque del sstema, la velocdad negatva nos esta ndcando ese cambo en el sentdo de gro del elemento, estos puntos de nflexón junto con el mayor movmento de las artculacones dfculta el funconamento y control del sstema. Dado que el desplazamento angular depende drectamente de la trayectora, y ya que este nfluye drectamente en varables como la velocdad y la aceleracón, hace del desplazamento angular una de las prncpales varables para determnar trayectoras que mejoren el funconamento de las cadenas cnemátcas abertas. Lo cual se lograría mnmzando el movmento de las artculacones utlzando desplazamentos angulares drectos sempre que sea posble, o mnmzando el desplazamento angular y los puntos de nflexón cuando no se pueda evtar el desplazamento angular ndrecto. VELOCIDAD ANGULAR. La velocdad angular es una de las varables más mportantes para el comportamento de la cadena cnemátca aberta. Pero su comportamento depende drectamente del desplazamento angular, el perfl de desplazamento y del tempo de operacón, razón por la que s se pretende modfcar el comportamento de la cadena cnemátca aberta se obtendrían mejores ISBN Págna 412

5 resultados modfcando alguna de estas varables. Además de estar lmtada por factores como el actuador, la carga, o el trabajo a realzar, pero al estar lmtada por dversos factores es una de las prncpales restrccones que tene el sstema para su operacón. ACELERACIÓN ANGULAR. Para el análss de la aceleracón angular se utlzaron tres trayectoras que tenen dferencas en la aceleracón angular (fg. 4), una trayectora coordnada (en color rojo) la cual genera un comportamento tpo campana cas smétrco, y dos trayectoras curvas (en color verde y azul) que generan un comportamento asmétrco. Como se puede observar en las gráfcas de la fgura 4, los tres desplazamentos son drectos pero estos presentan dferencas en su carácter dependendo del comportamento del desplazamento angular. Analzando el comportamento de la aceleracón (fg. 4-c) se puede observar que aunque el arranque de la trayectora curva 1 es suave, el paro del sstema es más brusco y trabaja a valores mayores que las otras trayectoras. Además el trabajar con valores de aceleracón menores genera que el sstema alcance los valores de trabajo máxmos con un menor tempo de operacón, lo que permte optmzar la productvdad del sstema. Al gual que la velocdad angular la modfcacón drecta de la aceleracón no afecta al comportamento del desplazamento, y s se puede utlzar para ayudar a selecconar una mejor trayectora, esto se lograría selecconando las trayectoras cuyas aceleracones angulares presenten comportamentos suaves tanto al nco como al fnal del desplazamento esto con la fnaldad de dsmnur los trones que pueden dañar el sstema, además de mnmzar sus valores máxmos de aceleracón para poder dsmnur el tempo de operacón. DISTANCIA DEL PUNTO CENTRAL DE LA HERRAMIENTA. La dstanca del punto central de la herramenta es una varable que puede ayudar a optmzar el funconamento de las cadenas cnemátcas abertas, ya que al exstr una nfndad de trayectoras que cumplen con un desplazamento mínmo y una sobre aceleracón nula es necesaro tener alguna otra forma de dentfcar los mejores comportamentos. A lo largo de la nvestgacón se pudo observar que las trayectoras coordnadas presentan las mejores condcones para el óptmo funconamento de una cadena cnemátca aberta, por lo que en caso de no poder utlzar una trayectora coordnada se buscara que las trayectoras generadas tengan una dstanca del punto central de la herramenta lo más cercana posble. Fgura 4. Característcas de los desplazamentos, velocdades y aceleracones de la artculacón 2, en trayectoras curvas. Para demostrar como la dstanca recorrda por el punto central de la herramenta puede ayudar a optmzar el funconamento de las cadenas cnemátcas abertas se propuso un ejercco ISBN Págna 413

6 utlzando cnco trayectoras las cuales presentan dferencas menores al 10 % en los valores de dstanca (fg. 5). Una trayectora dscontnua con una dstanca del punto central de la herramenta gual a cm (en color rojo), otra trayectora dscontnua con una dstanca gual a cm (en color verde) en la que la artculacón 3 termna antes su recorrdo, una trayectora coordnada con una dstanca gual a cm (en color azul), y dos trayectoras curvas la prmera con una dstanca gual a cm (en color can) y la otra con una dstanca gual a cm (en color amarrllo). Fgura 5. Trayectoras con dstancas de punto central de la herramenta smlares. Fgura 6. Característcas de desplazamento, velocdad y aceleracón de dferentes trayectoras con desplazamento angular drecto. Al analzar las grafcas de la fgura 6, se puede observar que la trayectora coordnada tene los menores valores en cuanto a velocdad (fg. 6b) y aceleracón (fg.6c), lo que permte dsmnur el tempo de operacón, ya que por esta dferenca en los valores máxmos obtendos las otras trayectoras alcanzaran más rápdo los valores máxmos de operacón del sstema como son velocdad, torque y potenca máxma. ISBN Págna 414

7 Al msmo tempo se puede observar que al acercarse a los valores de la dstanca de la trayectora coordnada estos valores máxmos se ven dsmnudos, por lo que mentras más cercano sea el valor de la dstanca generada con el valor de la dstanca coordnada mejor será el funconamento de la cadena cnemátca aberta. TORQUE. Aunque el torque es una de las prncpales varables para el consumo de energía, debdo a la nfluenca que tenen varables como el desplazamento angular, la velocdad angular, la aceleracón y el tempo sobre su comportamento generan que esta no pueda ser utlzada como un ndcatvo para la optmzacón del sstema. El hecho de dsmnur su valor no es un ndcatvo de que se esta dsmnuyendo el consumo de energía o de que se esta optmzando su comportamento, por lo que al gual que la velocdad angular el torque puede ser utlzado como una restrccón del sstema. Para ejemplfcar lo anteror se presenta el análss realzado al torque consumdo por la artculacón 2 en dos dferentes trayectoras, se utlzaron estas trayectoras por mostrar de una forma senclla que el comportamento del torque no es un ndcatvo para la optmzacón del sstema. En prmer lugar se presenta el comportamento de la artculacón 2 durante una trayectora coordnada (en color rojo), como se puede observar en la fgura 7a esta presenta el mayor consumo de torque, sn embargo debdo a su desplazamento angular (fg. 3a) su velocdad de operacón (fg. 3b) presenta los menores valores hacéndola una de las trayectoras que tene el menor consumo de energía (fg. 7b), en segundo lugar se tene el comportamento de la artculacón 2 durante una trayectora lneal (en color azul), como se puede observar en la fgura 7a esta presenta el menor consumo de torque, sn embargo debdo a las característcas de su desplazamento angular (fg. 3a) su velocdad de operacón (fg. 3b) presenta los peores valores hacéndola la trayectora con el mayor consumo de energía (fg. 7b), esto no ndca que a mayor consumo de torque menor es la potenca necesara, solo ejemplfca que el dsmnur esta varable no es un ndcatvo de optmzacón y que se debe buscar un balance entre la velocdad y el torque necesaros con la fnaldad de optmzar el funconamento del sstema. Fgura 7. Comportamentos del torque y potenca de la artculacón 2 en trayectora lneal y coordnada. TIEMPO. Como se pudo observar en todos los ejerccos mostrados el tempo aunque nfluye de manera drecta en el comportamento de la cadena cnemátca aberta, por s solo no se puede utlzar para mejorar el funconamento y muchas veces se ve lmtado por la velocdad máxma de trabajo, la velocdad máxma del actuador o por el tempo de operacón. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. Con base en los ejerccos realzados y a su análss se pudo establecer que la prncpal varable que nfluye en el comportamento dnámco y funconamento de una cadena cnemátca aberta es la trayectora, la cual afecta drectamente en el comportamento de varables como: el desplazamento, la velocdad, la aceleracón, el torque y la potenca, varables que ntervenen en el funconamento y comportamento de la cadena cnemátca aberta. Se pudo observar que al mnmzar el movmento de los eslabones se dsmnuyen los valores de varables como la velocdad y la aceleracón, hacendo posble con esto una dsmnucón del tempo de operacón, hacendo ISBN Págna 415

8 del desplazamento angular una de las prncpales característcas que se tenen que consderar en una trayectora para un mejor comportamento. Tambén se pudo determnar que el mnmzar el desplazamento angular por s solo no arroja sempre la mejor opcón y que es necesaro el uso de otras varables como complemento para mejorar el comportamento de la trayectora, entre las varables a utlzar se encuentran la aceleracón la cual permte selecconar trayectoras cuyos comportamentos generen pequeñas fuerzas de mpacto, además de comportamentos que permtan dsmnur el tempo de operacón, otra varable que tambén es mportante para la correcta seleccón de una trayectora es su dstanca del punto central de la herramenta, la cual permte dferencar entre trayectoras que presentan smltudes en cuanto al desplazamento angular y la aceleracón de sus artculacones. CONCLUSIONES. Se determnó que el desplazamento angular, la aceleracón y la dstanca del punto central de la herramenta son las prncpales varables que permten dentfcar y generar aquellas trayectoras con el mejor funconamento, lo que permte además aumentar el rendmento del sstema al mnmzar el tempo de operacón, y dsmnur el consumo de energía. Además se pudo establecer que aunque la velocdad y el torque debdo a su comportamento no permten dentfcar aquellas trayectoras con el mejor funconamento, estas pueden ser utlzadas como restrccones del sstema para evtar daños tanto a los actuadores del sstema como a los materales transportados. Como una segunda fase de esta nvestgacón se desarrollaran crteros de optmzacón para el funconamento de cadenas cnemátcas abertas con base en el desplazamento angular, la aceleracón angular y a dstanca del punto central de la herramenta. REFERENCIAS. (1) E.J. Van Henten, D.A. Van t Slot, C.W. Hol, L.G Van Wllgenburg, 2009, Optmal manpulator desgn for a cucumber harvestng robot, Computers and electroncs n agrculture 65, pp (2) P.H. Chang, H.S. Park, 2003, Development of a Robotc Arm for Handcapped People: A Task - Orented Desgn Approach, Autonomous Robots, Vol. 15, pp (3) J.Y. Park, P.H. Chang, J.Y. Yang, 2003, Task-orented desgn of robot knematcs usng the Grd Method, Advanced Robotcs, Vol. 17, No. 9, pp (4) S. Barss, H.D. Taghrad, 2008, Task Based Optmal Geometrc Desgn and Postonng of Seral Robotc Manpulators, Internatonal Conference on Mechatronc and Embedded Systems and Applcatons, Bejng, pp (5) S. Kucuk, Z. Bngul, 2006, Comparatve Study of Performance Indces for Fundamental Robot Manpulator, Robotcs and Autonomous Systems 54, pp (6) P.S. Shakolas, D. Koladya, J. Kebrle, 2002, Optmum Robot Desgn Based on Task Specfcatons Usng Evolutonary Technques and Knematc, Dynamc an Structural Constrants, Inverse Problems n Scence and Engneerng, Vol. 10, No. 4, pp (7) E.J. Soltero Pres, P.B. Tenrero Machado, P.B. Moura Olvera, 2001, An Evolutonary Approach to Robot Structure and Trajectory Optmzaton, Internatonal Conference on Advanced Robotcs, Bugapest, Hungary, pp (8) A.A.Ata, 2007, Optmal Trajectory Plannng of Manpulators: a Revew, Journal of Engneerng Scence and Technology, Vol. 2, No. 1, pp (9) C. Guardo, A. Pazz, 2002,"Mnmum Tme Trajectory Plannng of Mechancal Manpulators Under Dynamc Constrants", Internatonal Journal of Control, Vol. 75, No. 13, pp (10) P.T. Zachara, N.A Aspragathos, 2004, "Optmzaton of Industral Manpulators Cycle Tme Based on Genetc Algorthms", IEEE Internatonal Conference oo Industral Informatcs, pp (11) J.C. Rosete, A. Vega, 2006, "Aplcacón de Algortmos Neurogenétcos en la Planeacón de las Trayectoras de un Robot Polar", Inforacón Tecnológca, Vol. 17, No. 3, pp ISBN Págna 416

9 (12) G. Shanker Sharma, M. Sngh, T. Sngh, 2010, "Optmzaton of Energy n Robotc Arm Usng Genetc Algorthm", Internatonal Conference on Control, Communcaton and Power Engneerng, pp (13) D.P Garg, M. Kumar, 2002, "Optmzaton Technques Appled to Multple Manpulators for Path Plannng and Torque Mnmzaton", Engneerng Applcatons of Artfcal Intellgence, Vol. 15, pp (14) L. Tan, C. Collns, 2004, "An Effectve Robot Trajectory Plannng Method Usng a Genetc Algorthm", Elsever Mechatroncs, Vol. 14, pp (15) A.A. Ata, T.R. Myo, 2006, Collson Free Trajectory Plannng for Manpulators Usng Generalzed Pattern Search, Internatonal Journal of Smulaton Modellng, Vol. 5, No. 4, pp (16) R. Saravanan, S. Ramabalan, C. Balamurugan, A. Subash, 2010, Evolutonary Trajectory Plannng for an Industral Robot, Internatonal Journal of Automaton and Computng, Vol. 7, No. 2, pp (17) D.C Jeronymo, Y.C. Borges, L.D.S. Coelho, 2010, Clonal selecton algorthm wth oppostonal approach appled to trajectory plannng of a robotc manpulator, 11 Brazlan Symposum on Neural Networks. (18) D.R. Gurunath, T.G. James, 2009, Trajectory Optmzaton of a Robotc Arm,10th Natonal Conference on Technologcal Trends, pp (19) G. Shankar Sharma, 2009, "Optmzaton of Energy n Robotc Arm Usng Genetc Algorthm", Tess de Maestría, Thapar Unversty, Patala, Inda. (20) R. Ur-Rehman, S. Caro, D. Chablat, P. Wenger, 2009, "Path Placement Optmzaton of Manpulators Based on Energy Consumpton", Transactons of the Canadan Socety for Mechancal Engneerng. (21) E.J. Soltero, J.A. Tenrero, P.B. Moura, 2001, Structure and Trajectory Optmzaton for Redundant Manpulators, European Network on Intellgent Technologes for Smart Adaptve Systems, pp (22) E.J. Soltero, J.A. Tenrero, P.B. Moura, 2004, Robot Trajectory Plannng Usng Mult-objectve Genetc Algorthm Optmzaton, Genetc and Evolutonary Computaton Conference, Part. 1, pp (23) E.J. Soltero, J.A. Tenrero, P.B. Moura, 2007, Manpulator Trajectory Plannng Usng a MOEA, Appled Soft Computng, Vol. 7, pp (24) B.I. Kazem, A.I. Mahd, A.T. Oudah, 2008, Moton Plannng for a Robot Arm by Usng Genetc Algorthm, Jordan Journal of Mechancal and Industral Engneerng, Vol. 2, No. 3, pp (25) J.J. Crag, Introduccón a la robótca, Prentce Hall, Mexco, 3rd Ed. (26) S. Abdala y R. Ñeco, 2003, Caracterzacón de un robot manpulador artculado, Tess de Maestría, CENIDET, Cuernavaca, Morelos, Méxco. (27) J. R. Martínez, 2006, Controladores de Robots Rígdos: Un Análss Comparatvo de las Metodologías de Control Clásco, Adaptable y Robusto Basadas en el Método de Lyapunov, Tess de Maestría, CENIDET, Cuernavaca, Morelos, Méxco. ISBN Págna 417