ENUNCADOS DE LOS EJERCCOS PROPUESTOS EN 011 EN MATEMÁTCAS APLCADAS A LAS CENCAS SOCALES. EJERCCO 1 a (5 puntos Raconalce las epresones y. 7 b (5 puntos Halle el conjunto de solucones de la necuacón EJERCCO (. a (5 puntos Calcule las dervadas de las funcones f ( y ( g. b (5 puntos Halle el valor de la constante a para que la funcón a 6 f ( 1 a s s sea contnua en todos los números reales y estude s es dervable en = para ese valor de a. EJERCCO a (5 puntos Sabendo que el prmer térmno de una progresón artmétca es 0 y el cuarto es, halle la dferenca de la progresón y la suma de sus prmeros 5 térmnos. b (5 puntos Hace cuatro años se depostó una cantdad de dnero en una cuenta de ahorro, a un nterés compuesto, con un rédto del % anual. S el captal obtendo fnalmente es de 6. euros, calcule el captal ncal que se depostó y los ntereses totales que ha producdo en los años. 17
EJERCCO En la correccón de errores tpográfcos de un teto se han encontrado págnas con 1 solo error en cada una, págnas con errores en cada una, 6 págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una, págnas con 5 errores en cada una y nngún error en las 58 págnas restantes. a ( puntos Construya las tablas de frecuencas absolutas y de frecuencas relatvas de la dstrbucón del número de errores por págna en este teto. b (6 puntos Halle la meda y la desvacón típca del número de errores por págna en dcho teto. EJERCCO 5 De una caja que contene bolas rojas, blancas y 1 negra, se etraen al azar dos bolas, sucesvamente y sn reemplazamento, y se observan sus colores en el orden en el que se etraen. a ( puntos Descrba el espaco muestral de este epermento aleatoro. b ( puntos Halle la probabldad de que la prmera bola etraída sea roja. c ( puntos Halle la probabldad de que las dos bolas sean del msmo color. EJERCCO 6 El peso de las manzanas que se producen en una huerta sgue una ley Normal de meda 150 gramos y una desvacón típca de 0 gramos. a (5 puntos Qué porcentaje de estas manzanas tendrá un peso nferor a 115 gramos? b (5 puntos Halle la probabldad de que una manzana, elegda al azar en este huerto, tenga un peso que se encuentre entre 165 y 0 gramos. 18
1 RESOLUCÓN DE LOS EJERCCOS DE 011 EJERCCO 1 a (5 puntos Raconalce las epresones 7 y. 1 1 16 1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 b (5 puntos Halle el conjunto de solucones de la necuacón. ( ( 18 18 ( 11 11 11 11. Se puede epresar el conjunto solucón, de forma equvalente, así., EJERCCO a (5 puntos Calcule las dervadas de las funcones. ( y ( g f. 1 1 1 6 1 ( 1 ( ( f. 6 5 1 ( g
b (5 puntos Halle el valor de la constante a para que la funcón a 6 s f ( 1 a s sea contnua en todos los números reales y estude s es dervable en = para ese valor de a. Para que sea contnua la funcón en debe cumplrse a 6 a a 1. 1 Para que sea dervable debe cumplrse sea gual a, lo que, evdentemente, no es certo, por lo que la funcón no es dervable en. EJERCCO a (5 puntos Sabendo que el prmer térmno de una progresón artmétca es 0 y el cuarto es, halle la dferenca de la progresón y la suma de sus prmeros 5 térmnos. Notemos por a 1, a, S5, el prmer térmno, cuarto térmno y la suma de los 5 prmeros térmnos, respectvamente, de esa progresón artmétca y sea d la dferenca o razón de la progresón. En una progresón artmétca se verfcan las sguentes relacones: a a 1 ( 1 d S 5 a 1 a 5 5 Susttuyendo los datos conocdos en la 1ª gualdad: 0 d 0 d d Calculemos a 5, térmno necesaro para calcular la suma de los 5 prmeros térmnos: a5 a1 (5 1 d 0 0 7 10 S a a 5 0 10 5 1 5 1 5 5 1650 0
b (5 puntos Hace cuatro años se depostó una cantdad de dnero en una cuenta de ahorro, a un nterés compuesto, con un rédto del % anual. S el captal obtendo fnalmente es de 6. euros, calcule el captal ncal que se depostó y los ntereses totales que ha producdo en los años. C F C r 1 100 t C 1 100 6. C 1 100 6. C 1.0 6. 1.168 C 6. C 6. 1.168 51.7 Los ntereses producdos son la dferenca entre el captal fnal obtendo, 6. euros, y el captal ncal desembolsado, 51.7, es decr: 6. 51.7=.5 euros. EJERCCO En la correccón de errores tpográfcos de un teto se han encontrado págnas con 1 solo error en cada una, págnas con errores en cada una, 6 págnas con errores en cada una, págnas con errores en cada una, págnas con 5 errores en cada una y nngún error en las 58 págnas restantes. a ( puntos Construya las tablas de frecuencas absolutas y de frecuencas relatvas de la dstrbucón del número de errores por págna en este teto. Del enuncado se desprende que la varable estadístca, X, que se estuda es número de errores por págna. Esta varable toma los valores 0, 1,,,, 5 puesto que hay págnas en las que hay 0 errores, págnas en las que hay 1 error, así sucesvamente hasta págnas con 5 errores. El número de págnas que hay con 0 errores, que es 58, es la frecuenca absoluta del valor 0; la frecuenca absoluta del valor 1 es y así sucesvamente. En consecuenca la tabla estadístca correspondente sería 1
Nº de errores: X Nº págnas: frecuenca absoluta, n 0 58 1 6 5 Frecuenca n n Relatva f 58 0.58 0 0 100 0. 100 0.0 18 6 100 6 0.06 18 5 100 0.0 1 8 100 0.0 10 50 100 Sumas 100 1 80 10 b (6 puntos Halle la meda y la desvacón típca del número de errores por págna en dcho teto. Las dos últmas columnas de la tabla anteror dsponen los cálculos prevos para determnar la meda artmétca, _, la varanza, s, y la desvacón típca, s. _ n 1 n n 80 100 0.8 s n 1 n n _ 10 0.8 100.1 0.6 1.6 s 1.6 1.1.
EJERCCO 5 De una caja que contene bolas rojas, blancas y 1 negra, se etraen al azar dos bolas, sucesvamente y sn reemplazamento, y se observan sus colores en el orden en el que se etraen. a ( puntos Descrba el espaco muestral de este epermento aleatoro. Tenendo en cuenta que el espaco muestral consta de los resultados posbles del epermento aleatoro y denotando por r etraer bola roja, b blanca y n negra y tenendo en cuenta que cada resultado sería una pareja de bolas en un determnado orden, tendríamos como espaco muestral: r r, r b, r n, b r, b b, b n, n r, n b b ( puntos Halle la probabldad de que la prmera bola etraída sea roja. Puesto que hay bolas rojas en un total de 6, s etraemos una bola, la probabldad de que esta sea roja es 0.. 6 c ( puntos Halle la probabldad de que las dos bolas sean del msmo color. Es la suma de la probabldad de etraer r r con la probabldad de etraer b b, es decr: 1 6 8 0.7 6 5 6 5 0 0 0 15 EJERCCO 6 El peso de las manzanas que se producen en una huerta sgue una ley Normal de meda 150 gramos y una desvacón típca de 0 gramos. a (5 puntos Qué porcentaje de estas manzanas tendrá un peso nferor a 115 gramos? Sea X la varable aleatora peso de las manzanas producdas en la huerta. S X sgue X 150 una ley Normal de meda 150 y desvacón típca 0, la varable =Z sgue una 0 ley Normal de meda 0 y desvacón típca 1. Tenendo en cuenta lo anteror, la probabldad de que esa varable X tome valores nferores a 115 vene dada por P( X X 115 P 150 115 150 P 0 0 Z 1.75 PZ 1.75 1 P Z 1.75 1 0.5 0.001.01%.
b (5 puntos Halle la probabldad de que una manzana, elegda al azar en este huerto, tenga un peso que se encuentre entre 165 y 0 gramos. P(165 X 165 150 0 P 0 X 150 0 0 150 0 P 0.75 Z.5 PZ.5 PZ 0.75 0.77 0.77 0.67.