ucesioes sumbles (eries) Mrio Augusto Buge Ciclo Básico Comú Uiversidd de Bueos Aires El símbolo de sumtori upógse dd u ctidd fiit de úmeros, digmos,, 3,, y cosidermos su sum + + 3 +... + E ocsioes es coveiete más hcer breve est expresió, y esto se logr medite el símbolo de sum, llmdo sumtori, cuy utilizció psmos describir. Podremos = E el especil cso e que se =, = + + +... + 3 =. = El elemeto se llm térmio geerl de l sum y, e muchos csos prácticos, es preciso coocer el specto de este térmio geerl. El úmero que figur debjo del símbolo se llm ídice de sumció, y etedemos que los vlores que tom este ídice so,,, Más geerlmete, si p y q so dos úmeros eteros, co p q, podremos q p p+ " = p = + + + es el lí- E este cotexto, el úmero p se llm límite iferior de l sum, e tto q mite superior de es sum. Ejemplos. q ) e quiere expresr l sum de los cudrdos de los primeros 0 turles: o se,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 Como es fácil ver, el térmio geerl es =, co lo que uestr sum puede dquirir el specto más descsdo 0 = 0 =. Así, se tiee l iguldd = + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0,
dode el ldo izquierdo debe etederse como u otció más compct del ldo derecho. i queremos cosiderr solmete 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 podremos 0 = 3 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0
3 b) L sum p + p+ " + p #$$%$$&, co l otció de sumtori, se escribe p, lo cul sumdos o os debier sorpreder durte demsido tiempo. L prieci óml se debe que o figur lgo sí como, cos que se subsrí formlmete defiiedo = = " = Co est otció, el ídice de sumció: = p. Clrmete est precisió serí tedios y bsolutmete iútil. 7 = 3 mismo, el lector etederá ls igulddes = 5, y que estmos sumdo el úmero medid que vz = 3, 4,5,6,7 hbiedo etoces (7 3) + sumdos. Por lo = y = = +. c) Fijemos u úmero rel r, y cosideremos sus primers potecis = 0 = 0 3 4 r, r, r, r, r,, r Utilizdo l otció estádr pr su sum, se tiee 0 3 r + r + r + r + " + r. Co l otció compct, y teiedo presete que el térmio geerl es r, poemos Así Como 0 r = y r = 0 r. = 0 0 3 r = r + r + r + r + + r " = r, será más turl poer Volveremos sobre est sum. 3 r r r " r + + + + + Observció. U vez fmilirizdos co l otció sumtori, debe resistirse l tetció de bdor defiitivmete l otció trdiciol. E ocsioes ls mipulcioes so más clrs cudo se hce l estilo clásico. Por lo tto, seremos dueños, y o esclvos, del símbolo de sumtori.
4 Propieddes elemetles de l sumtori e dos lists fiits de úmeros, digmos,,, y b, b,, b. Etoces se cumple ls siguietes propieddes. Aditividd (sum térmio térmio) ( ) + b = + b = = Homogeeidd (scr los esclres fuer) = λ = λ ( λ es u úmero fijo) = = Prueb de l ditividd. urge de l defiició de sum, más u plicció reiterd de ls coocids propieddes socitiv y comuttiv de l sum ( + b) = ( + b) + ( + b) + " + ( + b) = ( " ) ( b b " b ) = + + + + + + + = + = = b Prueb de l homogeeidd. producto co respecto l sum: e bs solmete de l propiedd distributiv del λ = λ + λ + " + λ = λ( + + " + ) = λ = = Combido mbs propieddes, se obtiee l tmbié llmd lielidd: ( α + βb) = α + βb ( α, β reles fijos) = = = Ejemplos. ) ( ) 3 + 5 = 3 + 5 = 3 + 5 = = = = b) + = + = + (teer presete que es l ( ) = = = = sum de uos: = ) = = =
5 ums prciles y recurreci upógse que se tiee u list de úmeros reles, digmos,,,, +, Podemos cosiderr ls llmds sums prciles =, = +, = + + 3 = + + " + = + + " + + + + 3 Ejemplos ) Dd =, se tiee ls sums prciles = = + 3 = + +,, = + + + " + 3 3 b) Pr b = r, co = 0,,,, ls sums prciles T so T 0 =, T = + r, T = + r+r,, T = + r+ r + " + r c) Dd l sucesió,,,, cuyo térmio geerl es ( ) +, se tiee 3 4 5 =, = + ( ) =0, 3 = + ( ) =, 4 = 3 + ( ) = 0 y, como es fácil ver: si impr = 0 si pr d) (Puede omitirse e l primer lectur) ( ) + Ls sums prciles de l sucesió = tiee l expresió geerl + + ( ) ( ) T = = + + " + 3 4 = i se quiere visulizr más e detlle ls sums prciles, será T = T = T3 = T + = + 3 3 T 4 = + 3 4 E ocsioes, podrí ocurrir que pr el térmio geerl debmos hcer l distició, segú se el ídice pr o impr:
6 Observdo tetmete l evolució de ls primers sums prciles, y vemos lo que ocurre: T = + + " + 3 mietrs, pr ls impres: T = T + = + + 3 + " + + + L recurreci. Observmos que u vez coocid, pr clculr o hce flt sumr los 3 tres vlores,,, sio que recurrimos l cuet relizd pr clculr, y que 3 = + 3. Pr clculr 4 recurrimos l cuet hech co 3, y le ñdimos 4. Adviértse que = +, y sí sucesivmete. U hecho trivil que, si 3 embrgo, desemos destcr, es que mostrr que esto es relmete sí. Ejemplos. ) i es = r, etoces = r = 0 (*) =. El lector debe estr dispuesto b) L ide terior puede extederse e el siguiete setido: si os pregutmos qué es, puede coveir escribir mbs sums: + p = + + " + + + " + ( + + " + ) + p + + p = + " + + + p Y hor reflexiomos: sumr hst + p es lo mismo que sumr hst, tomrse u respiro y luego, prtiedo desde +, seguir hst + p. Es por ello que si le + p quitmos, es como si sumármos solmete después del respiro: prtimos desde + y termimos e + p. Así, por ejemplo, 07 8 = 9 + 30 + " + 07. A l sum de los primeros 07 térmios le hemos quitdo l sum de los primeros 8, lo que equivle rrcr desde el térmio 9. c) Pr = + + + " +, se tiee 3 = + + " + + + Clculdo sums si cotr uo por uo (*) i usted h decidido comezr hcer u horro dirio, y es el diero que itroduce el dí =, etoces l sum prcil es el horro cumuldo hst el dí. =
7 Todos sbemos que pr clculr el totl de bldoss de u ptio rectgulr embldosdo de l mer comú, o hce flt cotr ls bldoss u por u, sio que bst co multiplicr ls ctiddes de bldoss existetes e dos ldos cotiguos. Aálogmete veremos que lgus sums muy importtes, puede ser coocids si sumr todos los térmios! Dremos uos ejemplos que correspode fórmuls muy populres. Ejemplos. ) L sum de los primeros turles. Queremos sumr = + + 3+ " +. Ecotrremos u fórmul pr est sum. Veremos que Quizá el lector coozc y el truco: pogmos ( + ) = = + + 3 + " + ( ) + Mirmos est mism sum pero leyédol de derech izquierd: = + ( ) + ( ) + " + 3+ +. Procedemos sumr, pero tes ls comodmos pr que se ve mejor el procedimieto: = + + 3 + " + + + = + + + " + 3 + + ummos hor, pero por colums. Visulizmos ls colums: 3 +,,,,, Al sumr detro de cd colum, vemos que siempre se tiee el mismo vlor: +. Además teemos exctmete colums. Etoces + = ( + ) + ( + ) + " + ( + ) = ( + ) #$$$ $%$$$$$& sumdos = ( + ) ( + ) = De est form, si queremos clculr = + + 3 + " + 00, bst co hcer 00 0 = = 5050. Hemos pues clculdo l sum de los primeros cie turles, si sumrlos uo por uo!. b) um de u progresió geométric de rzó r, co r. Queremos clculr l sum Veremos que si r, etoces + r+ r + " + r.
8 Pogmos + r+ r + " + r = r r r " r r r + 3 = + + + + + + r (A) Ahor préstese teció l siguiete truco: multiplicmos por r mbos ldos de l sum (A): 3 r = r.( + r + r + r + " + r + r ) r = r + rr + rr + rr + + rr + rr 3. " ) Teiedo presete que si es u úmero turl, etoces r es el producto de r por sí mismo veces, se tiee rr= r +, y etoces esto os d 3 r = r + r + r + " + r + r + (B) Obsérvese que (A) y (B) tiee e comú csi todos sus sumdos: desde r hst r. i cosidermos l difereci, estos sumdos que vive e mbs expresioes se v ccelr. Restmos pues (B) de (A), despreciedo csi todo: r = r + ( r ) = r + y como el fctor de es distito de cero (siedo r, es r 0), podemos dividir mbos ldos de l iguldd pr obteer + r + r+ r + " + r = ( r ) r que es lo que se querí probr. 0 3 9 Por ejemplo, pr r = y = 9 se tiee + + + + " + = = 03 Not. est sum es muy importte, y coviee que el estudite pred de memori dos coss: ) El rgumeto que permite deducir l fórmul. b) L iguldd hlld. Aclremos que esto o es u icitció estudir de memori, lo que sigificrí repetir u rgumeto si comprederlo. í e cmbio es importte memorizr l estrtegi. Ls siguietes sums, coocids como telescópics, será de importci
9 ums telescópics U sum se llm telescópic cudo es de lgu de ls siguietes forms ( ) ( b b o bie b b ) + + = = Exmiremos l primer, siedo l segud etermete álog. ( b b ) ( b b ) ( b b ) ( b b ) " ( b b ) ( b b = + = + 3 + 3 4 + + + +) Los prétesis se h colocdo solmete pr mostrr cómo prece cd sumdo, y quitádolos se hce más evidete que etre primer y segudo grupo muere jutos b co su opuesto b ; tmbié se v jutos b co b. Auque o se muestr todo, el 3 3 b 4 4 del tercer grupo se ccel co el b del grupo imedito. Tmpoco se ve, pero se siete, que el b del peúltimo grupo se ccel co su imedito izquierdo (escodido etre los mtorrles de los putos suspesivos). Por fi, el se ccel co su vecio b. Luego de tt ccelció, solmete qued dos sobrevivietes: los extremos y, que o tiee co quié ccelrse. E defiitiv, os qued b b + ( ) b b + = b b + = i teemos presete cómo qued u telescopio l plegrlo o desplegrlo, se etiede l rzó por ls que ests sums se llm telescópics. Pr setir est últim form, más que recurrir l memori (que puede tricioros), result quizá más secillo imgir ls sums y luego sus ccelcioes. Ejemplos. ( 3 3 = ) ) ( + ) es u sum telescópic, y mirádol e detlle podremos luego ccelr, comprobdo que ( ) ( + ) 3 3 = 3 3 + 3 3 3 + " + 3 ( ) 3 + ( + ) 3 3 = ( + ) 3 = O se: ( ) = ( + ) 3 3 = ( + ) 3 b) Probemos que es telescópic (uque de etrd o se ote), l siguiete sum. = + + + " + + " + = ( + )..3 3.4 ( + ) ( + ) Co u secill cuet comprobmos que =, co lo cul ( + ) + = = = ( + ) = + = + + + " + 3 3 4 + = + b
0 Así hemos obteido prácticmete grtis l fórmul de codesció = ( + ) + = Luego volveremos sobre est fórmul. Observció. Est triquiñuel cosistete e escribir =, pr de est ( + ) + mer escribir l sum propuest de mer telescópic, os produce sombro e u primer cotcto; Vése l Práctic pr csos similres. c) Ddo que pr todo pr de reles x > 0 e y > 0 vle l x = l x l y, se podrá y ver si esfuerzo otr telescópic; observemos tes que e virtud de est propiedd del + logritmo, se tiee l + = l =l ( +) l( ). Alizmos hor l + = + l + = l = [l( + ) l( )] = = = = l l+ l 3 l + " + l( + ) l( ) = l( + ) E fi: l + = l( + ). = d) (Este ejemplo puede omitirse e u primer lectur) Estudiremos l sum ( r r + ) = 0 Escribiremos est sum de dos mers distits: Por u ldo, l telescopí os sumiistr l iguldd = 0 ( ) r r = r r+ r r + r r + " + r r = r Por otro ldo, teiedo presete que + 0 3 + + + r r r r = ( ), se tiee ( + ) = ( ) = ( ) r r r r r r = 0 = 0 Hechs ests dos escriturs de l mism sum, los ldos derechos tiee que resultr igules: ( r) r = r + i demás es r, obteemos uevmete l formul de codesció = 0 = 0
+ r r = ( r ). r = 0 e) (Puede omitirse e u primer lectur) ( + ) Ecotrremos uevmete l iguldd =, pero medite u rtificio de = u lcce myor, y que os permitirá luego clculr fórmuls pr ls sums Estudimos l sum ( + ) =, = = 3, etc., bie telescópic ell: ( + ) = + 3 + 4 3 + " + ( + ) = ( + ) (A) = Por otro ldo, l mism sum, provechdo el hecho de que ( + ) = +, tom el siguiete specto: dode hemos puesto ( + ) = (+ ) = + = + (B) = = = = = = Iguldo hor los ldos derechos de (A) y (B) se tiee + = ( + ) de dode = ( + ) ( + ) = ( + )[ + ] ( + ) = Observció. Puede pesrse que est prueb es demsido complicd comprdo co l estrtegi expuest págis trás pr obteer el mismo resultdo. Nigu es mejor que l otr, y e el ejemplo siguiete puede verse cómo est mism estrtegi os permite hllr u fórmul pr clculr l sum de los cudrdos de los primeros turles, + + " + f) (Puede omitirse e u primer lectur) ( + )(+ ) + + " + = 6 " Llmemos T = + + + y cosideremos l sum Como tes lo hiciérmos co = de dos mers distits. Por u ldo, l sum es telescópic: ( + ) = 3 3 ( + ), hor clculmos 3 3 ( + ) =
3 3 3 3 3 3 3 3 ( + ) = + 3 + " + ( + ) = ( + ) = Por otro ldo, y coociedo el desrrollo del cubo de u sum, e el pso (I) se obtiee 3 3 3 ( + ) = 3.+ 3. + Esto lo plicmos sobre cd sumdo de 3 3 ( + ) = 3 + 3+ = ( ) 3 3 ( ) 3 3 3 3 = = = 3 3 ( + ), obteiedo + = + + = + + = (*) (II) Ahor bie, (I) y (II) tiee e comú el ldo izquierdo, de mer tl que so igules sus ldos derechos: 3 3 + 3 + = ( + ) = = Recorddo que T es lo que queremos clculr, y que, como y hemos probdo, ( + ) =, se tiee = 3 3 3 T + ( + ) + = ( + ) y, luego de despejr u poco: 3 ( + ) 3 T = ( + ) 3 3 3 = ( + ) ( + ) ( + ). E fi: O se 3 = ( + )[( + ) ] = ( + )[ + ] = ( + )[ + ] = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = 3T 3 ( + )(+ ) = (*) Recuerde que = =
3 Obtuvimos sí l fórmul T ( + )(+ ) = 6 ( + )(+ ) + + " + = 6 (*) Por ejemplo, 00.0.0 + + 3 + " + 00 =, 6 resultdo l cul hubiésemos llegdo solmete luego de lrgos pdecimietos e cso de sumr cudrdos de los primeros cie úmeros turles. Podemos resumir lgus sums importtes: ( + ) + + 3+ " + = ( + )(+ ) + + " + = 6 + r + r+ r + " + r = r ( r ) + 3+ 5 + " + ( ) = (puede hllrse utilizdo l mism triquiñuel utilizd e l primer obteció de l fórmul pr sumr los primeros turles). (*) i esto o es bellez / l bellez dóde está...
4 ucesioes sumbles (eries) Y sbemos sumr u ctidd fiit de úmeros; hor queremos exteder l oció de sum u ctidd ifiit de úmeros reles. Esto serí lgo sí como poer + + 3+" dode los putos suspesivos idicrí que summos idefiidmete. Pero ello sigificrí que jmás termimos de sumr, lo que o prece prometedor. Como veremos cotiució, lgo se puede resctr. El recurso es cosiderr ls sums prciles, que hemos visto teriormete. Pogmos ls sums prciles socids: = = + = + + 3 3 = + + 3 + " + A medid que umet, vmos sumdo más y más, pero uc os deteemos. He quí que el pso l límite, de existir, puede ligerr uestr ftig, como veremos eseguid. Defiició de sucesió sumble e u sucesió y llmemos l sucesió de sus sums prciles. i existe u úmero rel tl que lí m =, diremos que l sucesió es sumble, co sum. i el límite meciodo o existe, o bie existe pero es ifiito, diremos que l sucesió o es sumble. Obsérvese etoces que co est defiició de sumbilidd, u sucesió ifiit se puede sumr cudo, y solmete cudo, sus sums prciles tiee u límite fiito. Ejemplos de sucesioes sumbles 3 ) Fijdo u rel r co r <, l sucesió r :, r, r, r,, r, es sumble. Pr verlo formmos ls sums prciles 0 = = + r, = + r+r = + r+ r + " + r y queremos verigur si l sucesió de ests sums prciles tiee u límite fiito. Como y lo hemos clculdo: = + r+ r + " + r = r r +
5 Alizr etoces l existeci de límite fiito pr = + r+ r + + r " se reduce + r lizr l situció sobre. r iedo + + r r = r r r + r y puesto que lím = 0 (recuérdese que hemos decidido cosiderr solmete el r cso r < ), se obtiee lím =. r Esto os dice que l sucesió cosiderd, cudo r < es sumble, co sum r. b) L sucesió,,,,,( ), o es sumble, y que sus sums prciles so =, = + = 0 3 = = 4 = 3+ = 0 y como l sucesió de sus sums prciles o tiee límite, cocluimos que l sucesió ( ) o es sumble. si es impr = 0 si es pr c) Probremos que l sucesió,,,, ",, " 3 4 o es sumble. L prueb, muy breve, es por el bsurdo. Imgiemos, por u rto, que dich sucesió es sumble. Ello sigificrí que sus sums prciles form u sucesió co límite fiito, digmos. Más precismete: lím = ( ' ) U sum prcil típic será = = + + " +. = Ahor bie, si lím =, tmbié lo mismo es cierto pr l subsucesió de ls sums prciles de ídice pr: lím =, por lo cul, y grcis que es u úmero rel, podemos restr si problems, y obteer lím( ) = 0 (*) ( * ) Obsérvese que e cso de ser = +, hubiésemos teido u rest co form idetermid + ( +).
6 Pero poiedo de mer explícit Así:, es fácil ver que se tiee = + + " + + + + lím + + " + = 0 + + + Pero l siguiete cotció será reveldor: l sum + + " + + + + de sumdos ( ** ), es segurmete myor que veces el sumdo más chico, que es (el último sumdo). Más precismete + + " + > + + " + = = + + + #$ $%$$$& Pero hor obteemos lo que v e cotr de lím( ) = 0. sumdos = + + " + > + + + > El bsurdo provio de supoer que ls sums prciles teí límite fiito. Por lo tto, l sucesió de los recíprocos de los turles o es sumble. d) Pr l sucesió,,,,,..3 3.4 4.5 + ( ) se tiee ls sums prciles T = = ( + ). Como vimos l itroducir sums telescópics, es =, merced lo cul ( + ) + T = = ( ) = = ( + ) = + + E fi: T =, de dode obteemos que l sucesió de sums prciles T tiee + límite, lo que os dice que l sucesió exmid es sumble, co sum U vez clrd l oció de sumbilidd de u sucesió, bdoremos csi defiitivmete l plbr sumble (bdoremos l plbr, o el cocepto), y os subordiremos l trdició, que hbl de series. ( ** ) Mirdo los deomidores, es fácil ver que hy sumdos.
7 El leguje de ls series Y hemos compredido el sigificdo de sucesió sumble. Coectremos hor este cocepto co el cocepto de serie covergete, que es el mismo, pero co u otció que icluye lguos busos de otció y leguje; hemos querido evitr estos busos l tomr cotcto por primer vez co l ide de sumbilidd. Prtiedo de l sucesió ( ) de úmeros reles,, 3,,, podemos producir u uev sucesió formd por ls llmds sums prciles =, = +, 3 = + + y sí sucesivmete, queddo defiid l sum prcil = + + 3 + " + = = Est uev sucesió ( ) de ls sums prciles se llm serie de térmio geerl, y es trdiciol represetrl por medio de lgu de ls tres otcioes: + + 3 + "; + + 3 + " + + "; Cudo o hy lugr cofusió, podremos poer simplemete Defiició. Cudo l sucesió de sums prciles 3 =. tiee u límite fiito, decimos que l serie coverge, y su límite lo llmmos igul que l serie:. i e = = cmbio el límite es ifiito, o bie o existe, decimos que l serie es divergete. Observció. Nótese los dos setidos sigdos =. Por u ldo este símbolo deot l sucesió de ls sums prciles. Por otro, deot l límite de ls sums prciles, e cso de que este límite exist. Uos ejemplos clrrá este puto. Ejemplos. ) Cudo hblmos de l serie = 0 de sums prciles = r. = 0 Cudo decimos que l serie r, estmos hciedo refereci l sucesió r es covergete, estmos diciedo que sus = 0 sums prciles tiee u límite fiito (De mometo, hemos observdo que cudo r <, l serie coverge) Cudo decimos que = 0 r = ( r < ), estmos diciedo que r
8 lim r = ( r < ) = r 0 Tmbié podemos poer + r+ r + " + r + " =, bie etedido el sigificdo del ldo r izquierdo. b) Al hblr de l serie, estmos hbldo de l sucesió de sums prciles, 0,, ( ) = 0, Podemos decir que l serie + ( ) + es divergete, porque sbemos que l su- = cesió de sums prciles o tiee límite. c) Cudo decimos l serie estmos pesdo e l sucesió de sums = prciles costruids prtir de l sucesió. Podemos decir que l serie es divergete, porque sbemos que sus sums = prciles, o tiee u límite fiito. =+ sigific o solmete l divergeci de l serie, sio que especific = tmbié que pr ls sums prciles = vle = +. Esto es secillo de eteder por l siguiete rzó: iedo = = + +, l sucesió + es creciete (*), y sbemos que tod sucesió creciete tiee límite, fiito o más ifiito. egú hemos visto teriormete, l suposició de límite fiito os llevb u cotrdicció, de dode lí m = +. d) = sigific que, demás de l covergeci, teemos l iformció exct sobre su sum, e este cso igul, y que como vimos, = ( + ) =. ( + ) + = (*) + se obtiee sumdo u úmero positivo.
9 Hemos etedido qué se etiede por covergeci de u serie, y qué por divergeci. Tmbié hemos vlordo l importci que puede teer el rmr ls sums prciles y estudirls. Nos iteres hor desrrollr lguos criterios pr detectr cuádo u serie coverge o o, si recurrir l álisis de ls sums prciles. Esto es sí porque o tods ls series covergetes tiee socid u fórmul que os iforme de su sum, como hemos visto e el cso de ls series geométrics de rzó r co r <, i tmpoco so t mbles como l telescópic. = ( + ) Es preciso obteer uos criterios pr detectr el comportmieto de ls series, álogmete lo que ocurre cudo estudimos ls sucesioes. Digresió. U hecho sobre el cul ivitmos reflexior: cmbir u úmero fiito de térmios de u sucesió o lter su sumbilidd. (por supuesto que e cso de covergeci, lo que sí se lter es l sum). El más elemetl de todos los criterios, es el llmdo criterio de l codició ecesri, que psmos exmir. U codició ecesri pr l covergeci de u serie culquier Teorem. (Codició ecesri de Cuchy) i es covergete, etoces lím = 0. = Demostrció. Por hipótesis, l sucesió de sums prciles fiito. Más precismete, existe u úmero rel lím tl que =, deducimos que lím( ) = = 0 Pero como es fácil ver, teemos l í m = 0. Ejemplos ) L serie = 0 = lí m = = tiee límite =. Como tmbié ( hg ls sums prciles y reste!), de dode ( ) o es covergete, y que lím( ) o existe. b) r o coverge si r, y que e este cso o se cumple l codició c) = 0 ecesri = 3 + 5 límr = 0 o coverge, y que d) ( ) o coverge, y que o existe = lím = 0 3 + 5 3 lím( )
0 e) o coverge, y que = lím 0 Adverteci. No se debe hcer decir l teorem más de lo que éste dice. El teorem dice que si l serie coverge etoces forzosmete su térmio geerl h de teder cero. Dicho de otr form: si el térmio geerl o tiede cero, etoces l serie o puede ser covergete. E cmbio, el hecho de que el térmio geerl tied cero d dice sobre l covergeci de l serie. Por ejemplo, como lo hemos lizdo, l serie es divergete, = si importr que lí m = 0. Por lo tto, preteder que se covergete rgumetdo que lím = 0 sigific o hber reflexiodo certdmete sobre el sigificdo del teorem. (*) Este teorem permite firmr que cierts series o coverge, pero uc, jmás, puede ser rgumeto fvor de l covergeci de u serie. eries de térmios o egtivos Ls series de térmios o egtivos so ls más secills pr estudir, y su estudio costituirá u bse pr estudir series co térmios geerles co sigo vrible. Comezremos co u hecho clve, segú luego se verá. Propiedd. Dd u sucesió de térmios o egtivos,,,,, ( 0 N) l sucesió 3 de sus sums prciles es u sucesió creciete. Demostrció. Ddo que = + + +, e este pso estmos gregdo +, que es o egtivo. Más precismete: + = + + (pues 0) O se: + que es lo que se querí demostrr. Como sbemos, tod sucesió creciete tiee límite: limite fiito si l sucesió es cotd superiormete, y límite más ifiito si l sucesió o está cotd superiormete. E vist de esto, l covergeci de u serie de térmios o egtivos es equivlete l cotció superior de sus sums prciles. A l luz de est reflexió, el lector deberá justr los detlles del siguiete (*) Errores de este tipo so frecuetes e distits ctividdes hums. e lude est cofusió co frses como cofudir el directo co el recíproco o bie cofudir codició ecesri co suficiete. i bie es u error comú, o se trt de u error meor, y hy e l vid diri iumerbles muestrs de sus efectos ctstróficos.
Teorem. Dd u serie = de térmios o egtivos, se tiee: está cotd superiormete = o está cotd superiormete = coverge = o coverge = Defiició. i dos series = = b pr todo ídice N, se dice que l serie y b so tles que existe u turl = N tl que b es myorte de l serie =. Tmbié se dice que l primer está myord o domid por l segud. Ejemplos. ) myor l serie l =, y que de 0< l <, se obtiee = > l b) dds ls series de respectivos térmios geerles ( ) + y ( ), igu es myorte de l otr. Primer criterio de comprció. (U serie de térmios o egtivos domid por u serie covergete, es covergete). e ( ) y ( ) us sucesioes de úmeros reles o egtivos. Etoces c i 0 c N y c = coverge, etoces = coverge Demostrció. Pogmos A = + + " + C = c + c + " + c Puesto que c, c,, c, se tiee O se + + " + c + c + " + c A C Pero como sbemos, l covergeci de l serie C está cotds superiormete: existe u C ' tl que C C. c sigific que sus sums prciles =
De A C, se tiee A C C, lo que os dice tmbié que ls sums prciles está cotds superiormete. Como l sucesió os permite cocluir que que l serie = A coverge. A es creciete, su cotció superior tiee u límite fiito. Pero esto es lo mismo que firmr Observció. el criterio sigue vliedo si l desiguldd 0 c es válid desde u turl e delte. L justificció qued crgo del lector, y o debier ser soslyd. Es recomedble que el lector itete hcer u esbozo de l estrtegi empled e est prueb, lgo sí como u croquis, e el que solmete escribirá los trzos más gruesos de l demostrció. Luego itetrá ller metlmete los clros dejdos. Por fi itetrá escribir tod u prueb complet y, si y o le ecuetr errores pr remedir, se l drá l crític de uo o dos compñeros. Ejemplos. ) L serie es covergete: = Ddo que > ( ) >0, se tiee < ( ), pero como hemos predido teriormete, l serie es covergete. Por el criterio de comprció es ( ) = ( ) covergete l serie. Los detlles referidos que y o so u = = = mism cos deberá ser tedidos por el lector. b) Prueb de l covergeci de = + + + +! 3. 4.3. " + + = ( )( ) 3. " Tomemos >, y estudiemos! = ( )( ) 3. #$$$%$$$& >, todos los fctores slvo el último so myores que, de dode se obtie- iedo e fctores! >.. #$%$& = fctores Como es fácil comprobr prtir de esto, vle! pr todo turl, quedádoos ls desigulddes 0!! 3! 3 4!! tomdo recíprocos: ; ; ; ; 0!! 3!! A De este modo, l sucesió,,,,, 3!! qued domid por,,,,, 0
3 Ahor bie, estmos e preseci de u serie geométric de rzó, siedo etoces u serie covergete de térmios o egtivos. El criterio de comprció hce el resto. Todos los detlles crgo del lector. Adverteci. U plicció despresiv del criterio de comprció puede trer resultdos ctstróficos. El siguiete procedimieto es equivocdo, como deberá descifrr el lector. Estudir l covergeci de l serie dode = = (. Observmos que su térmio geerl o stisfce l codició ecesri l í m = 0, de dode se sigue que l serie o puede ser covergete. Por otr prte, si cosidermos l serie etoces < c ( < 0) pr todo ídice, y demás c de térmio geerl c = c es clrmete coverge- = te. E cosecueci segú el teorem de myorció l serie debe ser covergete. Ecuetre el lector el defecto. = 0, se cumple = egudo criterio de comprció. (U serie de térmios o egtivos que domi u serie divergete, es divergete) e ( ) y ( d ) us sucesioes de úmeros o egtivos. i d 0 N y d Demostrció. Pogmos = diverge etoces A = + + " + y D = d+ d + " + d = diverge Que d diverge sigific que l sucesió de ls sums prciles o está cotd = superiormete. (Esto es por el crecimieto de l sucesió de sums prciles) Como hiciérmos e l demostrció del primer criterio, de l relció d N deducimos A D y como D o está cotd superiormete, etoces por ser A D, o puede estr A cotd superiormete. Pero est últim codició, e el mbiete de ls sucesioes de térmios o egtivos, es equivlete l divergeci de l serie. = D
4 Demostrció. L prueb se hce por el bsurdo, teiedo e cuet que el mbiete de ls series de térmios o egtivos, solmete cbe dos posibiliddes: o bie l serie coverge o bie tiede más ifiito. i fuese l serie de térmios o egtivos covergete, como est serie es myorte de = = d, est últim serie deberí ser covergete, e virtud del primer criterio de comprció. Pero esto v cotr l hipótesis, dode se sume que de = = d es divergete. Nos qued u úic posibilidd, y es l divergeci Ejemplos. ) L serie es divergete. Bst co comprr sus térmios co los de l serie (rmóic) divergete: se cumple = = ( ; hor el segudo criterio de comprció hce el resto. b) Estudimos l serie. bemos que l x< x ( x> 0). Además, pr = l es l > 0, y sí se tiee >. l El térmio geerl l myor l térmio geerl, cuy serie socid es divergete. Por el teorem de comprció, l serie exmid es divergete. El siguiete criterio os permitirá mplir otblemete uestro coocimieto sobre el comportmieto de umeross series El criterio itegrl de Cuchy. e f :[, +) ' 0 u fució o egtiv y decreciete (por lo tto itegrble Riem sobre cd itervlo [, b] [, +) ) Cosideremos hor ls sucesioes = f( ) y T = f ( x) dx. Etoces mbs tiee el mismo comportmieto: o mbs coverge o mbs diverge. =
5 y = f( x) y = f( x) = f ( ) = f( x) dx = f ( ) f( x) dx f () f ( ) f () f( ) 3 " 3 " Prueb visul del criterio de l itegrl Demostrció. Comprdo áres, ls figurs result elocuetes, y se tiee el pr de desigulddes f ( ) f( x) dx f( ) = o bie f() T i T está cotd superiormete, l desiguldd izquierd revel que f() cotd superiormete, y por lo tto tmbié lo estrá. i e cmbio T o estuviese cotd superiormete, etoces l desiguldd derech revel que tmpoco puede estrlo. Así, o bie mbs sucesioes está cotds superiormete, o bie mbs o lo está. iedo mbs sucesioes crecietes, esto equivle que o bie mbs tiee límite fiito, o bie mbs tiee límite más ifiito. Puede tmbié visulizrse mbs desigulddes e u solo gráfico, tomdo e cosiderció que el áre bjo l curv etre y está compredid etre el áre determid por los rectágulos grises, y el áre determid por los rectágulos mixtos. está y = f( x) f ( ) f( x) dx f( ) = = 3 "
6 Ls series p e llm series p ls de l form, dode p es u úmero rel fijo. p = Estudiremos su comportmieto segú los vlores que tome p. Cudo es p = se tiee l serie llmd rmóic, l que y sbemos divergete. = Cudo es p 0, result que o tiede cero, co lo cul pr estos vlores de p p l serie es divergete. Utilizremos hor el criterio itegrl de Cuchy. Pr ello cosideremos l fució o egtiv f :[, +) ' defiid como f( x) = ( p> 0). U ispecció sobre su p x derivd os muestr que es u fució decreciete, y por lo tto itegrble Riem sobre cd itervlo cerrdo [, b ] coteido e [, + ). Además, como debí ser, se cumple f( ) =. p egú el criterio itegrl de Cuchy, ls sucesioes p = y dx tiee mbs p x el mismo comportmieto. Estudiemos pues dx. egú el vlor de p tedre- p x mos: p = Estremos volviedo estudir l serie rmóic socid teemos x dx = l l = l, y l estudir l itegrl Ahor psmos l límite: lím dx líml = =+ x De dode l serie rmóic result divergete, lo que y hbímos verigudo por otros medios. = p p p ( dx = x dx = x = p p ) x p p p + si p < Observmos hor que lím =. E cosecueci 0 si p > + si 0< p < p lím dx lím( ) = p = x p si p > p Hemos obteido todo lo que ecesitmos pr coocer el comportmieto de ls series p. diverge si p y coverge si p > p =
7 Este resultdo debe ser predido de memori, y que ls series p se utiliz muy frecuetemete como series cotr ls cules comprr otrs series, pr sí obteer iformció sobre el comportmieto de ests últims. Obsérvese que el comportmieto de ls p series co p =, p = y p = fue verigudo mo teriormete, lo que o debier ser desechdo co el rgumeto de que el criterio de Cuchy os crcteriz ls series p de u solo golpe. U ejercicio más que sludble será hcer l cosiderció geométric que llev l criterio de Cuchy, de mer totlmete rtesl, pr probr l covergeci de = y luego l divergeci de =. O se, sugerimos que pr el primer cso esboce el gráfico de pr x etre y, dibuje los rectgulitos correspodietes, compre x áres, y filmete obteg rzodmete su coclusió. Algo álogo pr el otro cso. Háglo: o v hber perdido el tiempo. Propieddes de homogeeidd y ditividd ) (homogeeidd) i es covergete, etoces pr cd rel fijo ( = = λ ) es covergete, y demás vle l iguldd ( λ ) = λ = = λ, b) (ditividd) e dos series covergetes Etoces l serie sum Demostrció de ). ( + b = ) y = = = b. = es covergete, y vle l iguldd ( + b ) = + b = Pogmos = + + + " + co 3 T = λ + λ + λ 3 + " + λ = = Vemos que Por lo cul existe T = λ( + + 3 + " + ) = λ límt = lím( λ ) = λlím = λ Esto prueb l vez l covergeci de λ y l iguldd =
8 Hemos probdo ). ( λ ) = λ. = = E prticulr pr λ =, y ddo que ( )t = t, se tiee que l covergeci de implic l covergeci de ( ), co l iguldd = = ( ) = (*) = = ( = Corolrio. i pr lgú rel µ 0 es µ ) covergete, etoces es covergete. Pr verlo, bst multiplicr por µ. Adverteci El que se µ 0 = = es fudmetl, como lo prueb el hecho de que de l = iegble covergeci de (0. ), o se puede iferir l covergeci de. Corolrio. Pr cd rel µ 0, ( µ ) es divergete si y solmete si es divergete. = = Demostrció de b) Pogmos = + + + " + co 3 3 T = b + b + b + " + b co T T = = = U = ( + b) + ( + b ) + " + ( + b ) = b L comuttividd y l socitividd de l sum de los úmeros reles hce posible escribir U = + T de dode vemos que existe límu = lím( + T ) = + T (@) Co esto probmos que l sum de dos sucesioes sumbles, tmbié es sumble. olmete os flt ver que ( + b = ) es igul l sum de mbs series. Pero esto es imedito: por defiició es lím U = ( + b ) = obtiee y mirdo e (@) se (*) Nturlmete, est propiedd puede ser fácilmete demostrd mo.
9 ( + b ) = + b = = = Como secill plicció de ls propieddes de homogeeidd y ditividd, surge l siguiete proposició que el lector demostrrá: Proposició. ) Dds dos series covergetes = y b y dos reles culesquier λ, µ, etoces λ + µ b ) es covergete, = y Ejemplos. ( = ( λ λ = + µ b) = = + b = µ b) i es covergete y = = ( es divergete. + b = ) d es divergete, etoces ) L serie (3 + ) diverge, y que si fuer covergete, etoces, = l ser covergete l serie de térmio geerl 3, tmbié serí covergete l serie de térmio geerl = (3 + ) 3, lo cul es coocidmete flso. b) El lector debe buscr (y ecotrr) por su cuet l meos dos ejemplos más. eries lterds Ampliremos uestro coocimieto sobre ls sucesioes sumbles. Y o tedremos l restricció de teer sus térmios o egtivos, pero por el mometo l libertd o será totl: estudiremos el problem de l sumbilidd pr us sucesioes que cmbi lterdmete su sigo. U serie cuyos térmios so lterdmete positivos y egtivos, como ( ) = + 3 4 + " + ( ) = + " co 0 se llm serie lterd. ( Tmbié se llm serie lterd si preset el specto ( ) = + 3 + 4 " + ( ) + " co 0 = ( Observció. El térmio geerl del primer ejemplo es, hbldo estrictmete, ( ) + y o. No obstte, u frecuete buso de leguje llev que, e el mbiete de ls series lterds, se hble de l serie lterd de térmio geerl Ejemplos
30 ) b) = + + " ( ) + = 3 4 ( ) = + + " l l l 3 l 4 = El siguiete teorem fue descubierto por Leibiz. Teorem. (criterio de Leibiz) U codició suficiete pr que u serie lterd se covergete es que su térmio geerl tied decrecietemete cero. Más precismete: Dd ( ) co 0 (, u codició suficiete pr que = se covergete es que se cumpl ls codicioes ) es decreciete b) l ím = 0 ( ) Demostrció. Probr que l serie coverge es, desde luego, probr que l sucesió de sus sums prciles tiee límite fiito. Teemos u sucesió decreciete: 3 " " Pogmos 3 ( ) + = + " +. Estudiremos cotiució el comportmieto de ls especiles sums prciles y + Ls sums prciles de ídice pr so = ) 4 = ( ) + ( 3 4 = ( ) + ( ) + ( ) 6 6 3 4 5 ) = ( ) + ( 3 4) + " + ( Observr que el decrecimieto de l sucesió grtiz 0, 3 4 0, 5 6 0, 7 8 0, etc., lo que os muestr que cd u de ests sums prciles se obtiee de l terior gregádole u úmero o egtivo. O se que l subsucesió formd por ls sums prciles de ídice pr es creciete. Más formlmete: El crecimieto de os segur que 0. Por otr prte, es Mirmos hor l sucesió Obsérvese que + + = + ( ) + + +, pero grupdo de mer distit: = ( 3) ( 4 5) " ( ) le estmos quitdo todos elemetos o egtivos: los etre prétesis por ser decreciete, y porque l sucesió es o egtiv por hipótesis. =
3 Por ests rzoes, teemos l cotció. Teemos sí que l sucesió es creciete y cotd superiormete ( es u cot superior). U coocido teorem os grtiz etoces que est sucesió tiee u límite fiito, digmos. lím = Por otr prte l sucesió de ls sums prciles impres verific + = + + Como mbos sumdos del ldo derecho tiee cd uo límite, y 0 respectivmete, el ldo izquierdo tiee límite. Más precismete lím = Teemos hor lím + = y lím = + Afirmmos que etoces l sucesió eter de ls sums prciles es covergete, que es lo que se querí demostrr. Los detlles qued crgo del lector, quie ofrecemos u esbozo de l demostrció: tomdo u etoro culquier de, por ser lím =, los está metidos e + ese etoro pr vlores suficietemete vzdos de. Aálogmete, y por ser lím =, ese mismo etoro cotiee los + pr vlores suficietemete vzdos de. De cá cocluimos que si es suficietemete grde, tto como + está e dicho etoro. Esto prueb que. Ejemplos. Estudir l covergeci pr ) ( ) b) l = = ( ) + ) iedo l fució logritmo u fució creciete y positiv e (, +), l es u sucesió creciete y positiv pr, y sí es decreciete y positiv. l Por otro ldo, puesto que líml = +, se tiee 0 l e cumple etoces ls codicioes del teorem de Leibiz pr series lterds: ) es decreciete y positiv l b) lí m = 0 l E cosecueci + + " + ( ) + " coverge l l 3 l 4 l b) Vemos que est serie está e ls codicioes del teorem de Leibiz pr series lterds: cumple
3 ) es decreciete b) lí m = 0 E virtud del teorem de Leibiz, + ( ) = = + + " es covergete. 3 4 Ejercicio propuesto. Co est últim serie, reproducir etermete l demostrció del teorem de Leibiz. Aputr ls estrtegis, hcer u esbozo y luego ir completdo los detlles. U vez hecho, itetr cotárselo lgú compñero. Covergeci bsolut e hor u sucesió de úmeros reles, de culquier sigo, y cosideremos l serie = + + 3 + " + = + " (recuerde que esto simboliz l sucesió de ls sums prciles) = Defiició. (Covergeci bsolut) Diremos que l serie coverge bsolutmete si coverge l serie de los vlores bsolutos = + + 3 + " + + " = ( ) Ejemplo. es bsolutmete covergete, porque l serie de los módulos = es, bie covergete. = Ejemplos triviles de series bsolutmete covergetes so ls series covergetes de térmios o egtivos, porque e este cso = Defiició. (Covergeci codiciol) U serie covergete pero o bsolutmete covergete se llm codiciolmete covergete. Ejemplos. ( ) ) coverge pero b) = ( ) coverge pero l = o coverge = o coverge. l = Covergeci bsolut implic covergeci Teorem. Tod serie bsolutmete covergete es covergete.
33 Demostrció. e l serie bsolutmete covergete. Por defiició, esto sigific que l serie = = es covergete. Observemos hor ls siguietes desigulddes 0 x+ x x. Esto es sí porque, cudo x es positivo o ulo, todo se hce trivil l ser x Cudo e cmbio x es egtivo, x > 0 y siedo x = x se tiee 0 = x + ( x) < x. Grcis ests desigulddes, teemos 0 + Pero esto sigific que l serie myord demás por l serie covergete ( + ) = = x. es u serie de térmios o egtivos, =. E virtud de u teorem de comprció, l serie ( + ) = es covergete. Ahor bie, como y lo hemos discutido, l difereci etre dos series covergetes es tmbié u serie covergete, co lo que result covergete Pero esto o es otr cos que ( ) + = = = se( ) Ejemplo. Vemos que l serie ( ) es bsolutmete covergete = se Ni soñr co u lterd, y que l sucesió tiee u comportmieto más que irregulr. Por fortu, l cosiderr l serie de lo módulos se tiee ( ) se ( se ) =. e tiee sí que l serie de los módulos está myord por l serie de térmio geerl, bie covergete. El correspodiete teorem de myorció os grtiz l covergeci de l serie de los módulos, y, e virtud del último teorem, l covergeci de l serie origil. Criterios de covergeci bsolut upógse u serie culquier, y o de térmios o egtivos. Los criterios = plicdos ls series de térmios o egtivos se plic, clro está, ls series de l
34 form = =. Cosecuetemete, si por lgú medio detectmos l covergeci de, el teorem terior os grtiz l covergeci de Obsérvese e cmbio que l divergeci de. = o oblig l divergeci de, = = y de esto so testigos tods ls series codiciolmete covergetes. Criterios del cociete (criterios de l rzó, o criterios de d Alembert) Por u coveieci otciol que se precirá luego, supodremos que l sucesió comiez co el ídice cero. (esto es solmete los fies demostrtivos). Tommos u sucesió de térmios o ulos ( ) y formmos el llmdo cociete de d Alembert ) i existe u rel λ y u turl N tl que pr N se cumple + λ <, 0 + 0. Co esto e mete, vemos el siguiete: Criterio de d Alembert (primer form) etoces l serie de térmio geerl coverge bsolutmete. b) i existe u turl N tl que pr N se cumple +, etoces l serie diverge Observció. E cuto l codició ), o debe creerse que ést pued reemplzrse por l codició más débil <, como lo muestr l serie rmóic,, + y que e este cso + / = < y o obstte l serie o coverge. + Demostrció. ) Es suficiete lizr el cso N = 0, y que l supresió de u úmero fiito de térmios o lter l covergeci de u serie. Por hipótesis teemos 3 λ ; λ ; λ ;... ; λ = diverge de l peor mer: el térmio geerl o tiede cero.
35 iedo todos los ldos izquierdos positivos, podemos multiplicr los fctores preservdo l desiguldd: 3 λ Y luego de u limpiez: 0 3 0 0 < λ λ < λ 0 Ddo que es 0< λ <, l serie geométric de térmio geerl 0 λ coverge, y l relció < 0 λ os muestr que est geométric domi l serie de térmios positivos de térmio geerl, l que result covergete por el criterio de comprció. + c) De surge +, de dode l sucesió de térmio geerl ser creciete, o puede teder cero. Luego tmpoco puede teder cero, co lo que l serie origil o es covergete l o cumplirse l codició ecesri (Cuchy). Este criterio es muy utilizdo e u versió que ivolucr u límite, y se formul como sigue: Criterio de d Alembert (segud form) i existe el límite del cociete de d Alembert + lím = L (0 L + ) Etoces: ) 0 L < implic que l serie b) L > implic que l serie coverge bsolutmete. = diverge = (diverge de l peor mer, pues c) L = El criterio o sumiistr iformció. Demostrció. o tiede cero). ) i es 0 L <, tomemos culquier rel λ co L < λ <. iedo λ > L, de, l
36 lím + = L y l defiició de límite (*) deducimos que existe u turl se verific + λ < N tl que pr todo N Estmos etoces e codicioes de l primer versió del criterio de d Alembert, de dode se deduce lo desedo. b) Como es L >, tommos hor culquier rel λ que cumpl < λ < L. iedo λ < L, uevmete por l defiició de límite podemos ecotrr u turl N tl que + pr todo N se cumple λ > Como es λ >, podemos plicr lo rzodo e l primer versió del criterio de d Alembert, y b qued probdo cudo el límite es fiito. E cso de teer límite más ifiito, el lector deberá probrlo por sus medios. c) Cosiderdo el cociete de d Alembert pr ls series de térmio geerl y, es fácil ver que e mbos csos el límite existe y es igul. Pero l primer serie diverge y l segud coverge. Observció. E cso de ecotrros frete este cso de idecisió, debemos ivestigr l serie por otros medios. Que el criterio o permit decidir o sigific que osotros o podmos exmir l serie. olmete que deberemos hcerlo co otros recursos. Ejemplos. Medite los criterios de d Alembert estudir cd serie ( ) )! = + Armmos el cociete de d Alembert + + ( )! = ( + )! ( )!! = = ( + )! ( + )! = + (*) i tiee dificultd pr compreder est rgumetció, y luego de u iteto persol o h podido resolverlo, puede dirigirse l prueb siguiete, el criterio de Cuchy e su segud versió, dode se d u rgumeto más detlldo.
37 + lím = lím = 0< + Estmos e el cso 0 λ < del criterio de d Alembert, lo que os grtiz l covergeci bsolut de l serie. (**) b) = 7 ( )! El cociete de d Alembert es hor Etoces + + ( ) 7+ 6 ( ) +! 7 ( + )! ( ) = ( + ) ( + )! = ( + )! = + + lim = lim + = e + Ddo que lim = e >, el criterio de d Alembert e su segud form os permite segur que l serie exmid es divergete. e! c) = El cociete de d Alembert es + ee ( + )! = ( + ) ( + ) e! e e = e = = ( + ) + + E fi: + e = + L sucesió + tiede crecietemete l úmero e, co lo cul (**) Compárese este resultdo co el trbjo relizdo e págis teriores l estudir!. =
38 + li m = lim = e + El criterio de d Alembert e su segud form os dice: No hy iformció. Pero o todo está perdido. iedo + < e, se tiee + e = > + De cá deducimos que + >, o se que l sucesió de úmeros positivos es creciete, co lo cul o puede teder cero. Cosecuetemete tmpoco puede teder cero l sucesió, co lo que l serie o coverge. Observció. E relidd pudimos plicr el criterio de d Alembert e su primer versió ( si límite), pero de mer iteciol hemos querido llevr de pseo l lector, pr yudrlo evitr l populr efermedd que pdece los plicdores de criterios. De hecho, hemos reproducido el rgumeto utilizdo l rzor quel criterio.
39 Criterios de l ríz eésim. Criterio de l ríz eésim, primer versió. Dd u sucesió ( ) 0 de úmeros reles ) i pr todo N es λ <, etoces b) i pr ifiitos vlores de, etoces Demostrció. coverge bsolutmete = = diverge. ) λ es lo mismo que λ. Esto os dice que l serie está myord por l serie geométric del criterio de comprció, = N λ, que es covergete l ser 0 λ = N = N = de, y por ede l de. = N <. E virtud coverge, lo que prueb l covergeci bsolut b) i pr ifiitos vlores de es, tmbié pr esos ifiitos vlores será, co lo cul l sucesió o puede teder cero, codició ecesri pr l covergeci de culquier clse de serie. L siguiete es u versió del criterio de l ríz que ivolucr u límite. Criterio de l ríz eésim de Cuchy, segud versió. E ls misms codicioes que teriormete, supógse que existe Etoces lim = L ( 0 L +) ) 0 L < implic b) L > (icluido L =+) implic coverge = 0 diverge = 0 c) i L = el criterio o sumiistr iformció Demostrció. ) Comezremos co el cso 0< L <. e λ u úmero tl que L < λ <.E virtud de l defiició de límite, pr vlores suficietemete vzdos de, se cumplirá λ <
40 Aplicmos etoces l versió origil de criterio de l ríz eésim, recietemete demostrdo. i le qued lgu dud: e el itervlo (zo egr) de l figur debe cer csi todo vlor de. El cso L = 0 o es demsido distito, y el lector le dedicrá su teció. ( ) 0 L λ pr b) e hor λ u úmero tl que < λ < L. E virtud de l defiició de límite, existe u N tl que si N, etoces λ >. Ahor rzomos como e l primer versió del criterio de l ríz eésim, y termi l prueb de b) pr el cso de límite fiito. El cso de límite más ifiito qued crgo del lector. 0 λ L ( ) c) Los mismos ejemplos que los del criterio de l rzó de d Alembert so útiles cá, hbid cuet que lim = y Ejemplos. ) = 0 ( ) 3 ( ) i es =, etoces será 3 lim =. ( ) = = co lo que 3 3 lim = lim = < 3 3 = = 3 3 iedo <, el criterio de l ríz eésim os grtiz l covergeci bsolut de l 3 serie estudid. s si impr b) e 0< s< t < y defiimos = t si pr Estudir = E cosecueci, o existe lim s = t si si impr pr. i embrgo, como pr todo es t <,
4 el criterio de l ríz eésim e su versió si límite, os grtiz que l serie exmid coverge. Nocioes elemetles sobre ls series de potecis Llmmos serie de potecis culquier serie de l form x 0 x x x = 0 = + + + " + + " Los se llm los coeficietes de l serie de potecis. Más geerlmete, si es u úmero fijo, l serie ( x ) = 0 + ( x ) + ( x ) + " + ( x ) + " = 0 se llm serie de potecis e x. Cudo es = 0, se tiee l primer serie, llmd por lo mismo serie de potecis e x Hciedo el cmbio de vrible t = x, est segud serie tom el specto t 0 t t t = 0 = + + + " + + ", etermete idético l primer serie. Por est rzó, el estudio de ls series co este último specto permite coocer lo esecil. Ejemplos ) x = + x+ x + " + x + " b) c) = 0 3 ( x ) = + ( x ) + ( x ) + ( x ) " + ( x ) + " = 0! 3!! ( ) 3 ( ) ( x ) = ( x ) + ( x ) ( x ) " + ( x ) + " 3 = El itervlo de covergeci Iteres coocer pr qué vlores de l vrible x es covergete u serie de potecis. i hcemos ( ) x= x = + x+ x+ "+x+", os podemos pregutr cuál es = 0 el domiio turl de est fució. Este domiio, obvimete, coicide co el cojuto de todos los x pr los cules l serie es covergete. E este prticulr cso, el domiio turl es el itervlo (,) E u serie de potecis ( ) = ( ) = 0 + ( ) + ( ) + " + ( ) = 0 x x x x x +", el domiio turl es o bie { }, ', o bie itervlos de lgu de ls forms [ δ, + δ ], Por domiio turl de u fució etedemos el más grde cojuto dode ell está bie defiid.
4 [ δ, + δ ), ( δ, + δ ], ( δ, + δ ) dode δ es u úmero que depede solmete de los coeficietes de l serie. Obsérvese que, excepció hech de los bordes, todos estos itervlos so simétricos lrededor de. i ceptmos, como es comú, llmr itervlo (, + ) y tmbié u cojuto uitrio { } (itervlo degeerdo e u puto, o simplemete itervlo degeerdo), etoces todos los cojutos ludidos so itervlos. Pr cd serie hy socido uo de estos itervlos, llmdo itervlo de covergeci. L demostrció de este hecho está fuer del lcce de este curso. Nos cocetrremos e el problem de estudir el itervlo de covergeci. Problems. ) Hllr el itervlo de covergeci de, estudido dóde l covergeci = es bsolut, y de hberl, dóde es codiciol. A medid que se v progresdo e el álisis, represetr e l rect ls regioes hllds. Dr u gráfico fil que ilustre ls regioes de covergeci bsolut, de covergeci codiciol si l hy, y de divergeci si l hy. x Hcemos =, x x = = x x = = x bemos que pr quellos vlores de x pr los que lim <, l serie será covergete, mietrs pr quellos vlores que hg li >, l serie será divergete. m Cudo se lim =, tedremos que estudir l serie resultte co otros recursos. Como es sbido, lím =, luego lim Estudimos hor los vlores de x x = lim = x ) pr x <, l serie coverge bsolutmete: lim <. covergeci bsolut e el iterior )$$*$$+ ( ) b) cudo x >, l serie es divergete: li m >
43 cá l serie diverge )$$$*$$$+ ) ( cá l serie diverge )$$ $*$$$$+ Y vmos formádoos u ide. bemos que hy covergeci bsolut e el itervlo bierto (,). bemos tmbié que l serie diverge e ls semirrects (, ) y (, +).olmete os qued por exmir los putos que produce idecisió l plicr el criterio de l ríz eésim de. Los teemos que estudir mo, y es el cso c) x = Estudimos hor ls series correspodietes los vlores que hce x = Pr x = teemos l serie, l coocid serie rmóic, que diverge = ( ) l Pr x = producimos l serie, coocid serie lterd covergete, lo que se grtiz plicdo el criterio de Leibiz pr series lterds. = Como es fácil ver, est serie es codiciolmete covergete. E fi, el itervlo de covergeci h resultdo ser [,), resltdo que l covergeci es bsolut e su iterior y codiciol e. cá l serie diverge )$$ $*$$$$+ [ covergeci bsolut e el iterior )$$$*$$$+, Covergeci codiciol e x = b) Hllr el itervlo de covergeci de ( x 3) = ( )! )[ cá l serie diverge )$$$$*$$$$+ ( ) Poiedo = ( x 3), será = x 3!! Pero tes de hcer el cociete de d Alembert, debemos observr que este o está defiido pr x = 3. Por otr prte, como es fácil ver, e x = 3 l serie es covergete. + Hech est observció, poemos etoces co l slvedd de que es x 3. + x 3 x 3! x 3 = = ( + )! x 3 + + x 3 lim = lim = 0 < +
44 Como este límite o depede del tmño de x, el criterio de d Alembert os permite segurr que l serie coverge e tod l rect rel, siedo est covergeci bsolut. c) Estudir l covergeci de = x ( ) ( + )3 x ( ) Poiedo =, observmos que l serie coverge pr x =. El cociete ( + )3 de d Alembert está bie defiido solmete pr x, e cuyo cso se tiee ( + ) x x ( + )3 + = ( + )3 3 x ( + ) = x ( + ) 3 lím + x = 3 Aplicdo el criterio de d Alembert, l serie coverge bsolutmete pr los x tles que x <3, o se pr x (,5). Tmbié diverge cudo x >3, o se e ls semirrects (, ) y (5, +). El criterio fll cudo es x =3, o se e x = y e x = 5. Cudo o tiede cero. Pr x =, teemos l serie x = 5, l serie result ( ), divergete porque el térmio geerl + = = +, uevmete divergete por l mism rzó. E fi, l serie coverge bsolutmete e el itervlo (,5), y diverge fuer. Observció. El lector iquieto debier comprobr que mucho más expeditivo hubier sido empler el criterio de l ríz eésim del módulo de l sucesió exmid. Lo hrá? http://www.ricomtemtico.com.r/buge/series/serieshtm/series.htm http://www.ricomtemtico.com.r/buge/series/seriespdf/series.pdf Mrio Augusto Buge http://www.ricomtemtico.com