CLCULO DE CENTOS DE S EXPESION GENEL: La poscón del centro de masas de un sstema de partículas vene dada por la expresón: r C.. m r m m r (1) donde es la masa total del sstema de partículas. Esta es una ecuacón vectoral, cada una de las componentes de la poscón del centro de masas vendrá dada por: x C.. m x m m x C.. m m m z C.. m z m m z (2) Ejemplo: Sstema de 3 partículas: m 1 1kg, m 2 m 3 2kg, r C.. m r m 1, "1, r 1 ( 1, 1, )m, r 2 (1, 2,1 )m, ( ) + 2 ("1, 2,1 ) + 2( 2, 2,1 ) 1 + 2 + 2 # m 3 5, 7 5, 4 % $ 5& m r 3 ( 2, 2,1 )m PSO L CONTINUO: Cuando un sstema está formado por un número extremadamente grande de partículas (como es el caso de un sóldo, un volumen líqudo, etc.) Se realza lo que se llama el paso al contnuo que consste en consderar el sstema consttudo no por partículas ndvduales sno como un contnuo de matera. En este caso se dvde al sstema en pequeños dferencales de masa dm, cada uno con su poscón correspondente. Las sumas de la expresón anteror se transforman ahora en ntegrales (a que en el límte estamos sumando un número nfntamente grande de cantdades nfntesmalmente pequeñas), la expresón de la poscón del centro de masas queda ahora: r C.. r dm dm r dm " x C.. x dm C.. dm z C.. z dm (3) S el cuerpo es flforme (tene forma de hlo o alambre) los dferencales de masa dm en que lo dvdmos están asocados a dferencales de longtud dl: dm dl, donde λ es la densdad lneal (masa por undad de longtud). Esta densdad lneal puede ser constante o no. En caso de que sea constante puede salr fuera de las ntegrales en el numerador el denomnador smplfcándose. Las ntegrales se transforman en ntegrales de longtud las ecuacones (3) quedan en este caso: Jose Javer Sandonís uz
x C.. x dl L C.. dl L z C.. zdl L (4) donde L es la longtud total del cuerpo. S el cuerpo tene forma de placa los dferencales de masa dm en que lo dvdmos están asocados a dferencales de área d: dm d, donde σ es la densdad superfcal (masa por undad de superfce). Esta densdad superfcal puede ser constante o no. En caso de que sea constante, gual que en el caso anteror, puede salr fuera de las ntegrales en el numerador el denomnador smplfcándose. Las ntegrales se transforman en ntegrales de superfce las ecuacones (3) quedan en este caso: x C.. x d C.. d z C.. zd (5) donde es la superfce total del cuerpo. Por últmo, s el cuerpo es volúmco los dferencales de masa dm en que lo dvdmos están asocados a dferencales de volumen dv: dm dv, donde ρ es la densdad volúmca (masa por undad de volumen). Esta densdad lneal puede ser constante o no. En caso de que sea constante, como en los dos casos anterores, puede salr fuera de las ntegrales en el numerador el denomnador smplfcándose. Las ntegrales se transforman en ntegrales de volumen las ecuacones (3) quedan en este caso: x C.. x dv V C.. dv V z C.. zdv V (6) donde V es el volumen total del cuerpo. NOT: Es un error típco utlzar las sguentes expresones para calcular la masa de un objeto utlzando las densdades lneal, superfcal o volúmca: L, ", #V Esto sólo es correcto cuando las densdades son constantes, es decr, cuando la masa del objeto está unformemente repartda a lo largo de su longtud, superfce o volumen, según sea el caso. S las densdades no son constantes la forma correcta de calcular la masa del objeto es por ntegracón: " dl, "# d, " $dv Jose Javer Sandonís uz
EJEPLOS PCTICOS: En cualquera de los tres casos el cálculo de la poscón del centro de masas puede realzarse de muchas formas posbles dependendo de cómo se haa dvddo el sstema en dferencales de masa. Dependendo de la eleccón dcho cálculo puede ser más o menos laboroso. De forma de lustrar dferentes formas de calcular un msmo C.. vamos a analzar un caso concreto. 1) USO DE DIFEENCILES DE S COECTOS NOT: Es un error mu común encontrar la expresón del dferencal de longtud, superfce o volumen, según sea el caso, a partr de la expresón de la longtud, superfce o volumen total dferencando. En el caso del ejemplo del semcírculo, su superfce total es 1 2 2. El razonamento erróneo consste en nterpretar que el dferencal de área debe forzosamente tomar la expresón: d d. Por un lado no tene sentdo hablar de un d, es el rado del semcírculo, es una constante, no una varable Un segundo error bastante habtual consste en que dándose cuenta del razonamento erróneo anteror se susttue por la varable r, tomando como dferencal de área la expresón:d rdr. El orgen de todos estos errores está en el concepto matemátco de dferencal. Cuando se aplca a un ejemplo concreto, el dferencal no es algo abstracto que se pueda manpular matemátcamente sn entender qué es lo que se está hacendo, sno que tene una geometría determnada. Se puede se debería dbujar, para ndcar claramente con qué tpo de dferencal, de los muchos posbles con los que se puede trabajar, (ver ejemplos) estamos realmente trabajando. Ejemplo: Cálculo de la poscón del C.. de un semcírculo homogéneo (densdad superfcal σ constante) σ x Prmeramente deberemos dvdr al semcírculo en dferencales de área después aplcar las ecuacones (5). En nuestro caso s el semcírculo se encuentra en el plano XY, no es necesaro calcular la coordenada z c.m. a que todas las partículas del semcírculo tenen coordenada z nula con lo que z c.m.. La eleccón del dferencal de área correcto debe hacerse de forma de poder calcular las ntegrales de las ecuacones (5). En la fgura de la derecha se presentan algunas de las muchas eleccones posbles de dferencal de área. d dx d r dx dr dθ Jose Javer Sandonís uz
Para el cálculo de la coordenada x c.m. el dferencal de área escogdo debe tener una coordenada x ben determnada. S escogemos el rectángulo de lados dx, d, todos los puntos de dcho dferencal de área tenen la msma coordenada x ( la msma coordenada ). Nuestra ntegral se transformaría en una ntegral doble en x en de forma de coger los nfntos rectángulos nfntesmalmente pequeños que forman el semcírculo. Una manera de smplfcar el cálculo sería coger bandas vertcales de espesor dx. Todos los puntos de dchas bandas tenen la msma coordenada x, nuestra ntegral será una ntegral senclla en x, desde x gual a hasta x gual a : d dx # " % d 2 & x 2 dx x 2 + 2 2 $ # x d x 2 " x 2 # dx " 1 3 2 " x 2 $ % " ( ) 3/ 2 & ( " dx ) x C., Para el cálculo de la coordenada c.m. el dferencal de área escogdo debe tener una coordenada ben determnada. Por analogía con el cálculo anteror, nos convendría coger bandas horzontales de espesor d. Todos los puntos de dchas bandas tenen la msma coordenada, nuestra ntegral será una ntegral senclla en, desde gual a hasta gual a : d 2x d x 2 + 2 2 # " $ # % d 2 2 & 2 d d 2 2 " 2 # d " 2 3 2 " 2 $ % ( ) 3/2 & ( 2 3 3 d l2x x ) C., d 2 3 3 * 2 2 4 3* Los cálculos realzados en el ejemplo anteror no tenen por qué ser la forma más senclla de calcular C.., smplemente consttuen la forma más drecta de cálculo de C.. de acuerdo con lo que dcta la teoría: la eleccón del dferencal de área correcto debe hacerse de forma de poder calcular las ntegrales. Es el tpo de cálculos que se hacen cuando no se tene gran experenca. medda que se va cogendo experenca en este tpo de cálculos se ve la posbldad de escoger dferencales de masa que aunque en una prmera mpresón no parecen ser los más correctos permtrán, como vamos a ver a contnuacón, smplfcar grandemente los cálculos. Jose Javer Sandonís uz
2) USO DE DIFEENCILES DE S PENTEENTE INCOECTOS eptamos de nuevo los cálculos pero cogendo ahora como dferencales de superfce bandas semcrculares de rado r de espesor dr. Estos dferencales de superfce no tenen una coordenada x o ben determnada. Los puntos que forman estos dferencales de superfce tenen coordenadas x que van desde r hasta r, coordenadas que van desde hasta r. prmera vsta estos dferencales de superfce no parecen ser los más dóneos para el cálculo del C.., sn embargo podemos nterpretar estos dferencales de superfce de espesor nfntesmal como alambres semcrculares de rado r. Ben porque lo hemos calculado anterormente o porque dsponemos de tablas sobre C.. de dferentes cuerpos, sabemos que el centro de masas de un alambre de este tpo vene dado por la poscón: (, 2r/π). Esta es la poscón que va caracterzar a nuestro dferencal de superfce. d rdr x banda, banda 2r " x banda d " ( ) rdr # x C.. ( $ 2r& " banda d ) * % rdr + 2., - 3 r3 / 2 " 3 3 # C.. banda d dr 2 3 3 4 1 2 3 2 Vemos que en este caso las ntegrales que aparecen son más sencllas que las que aparecían en los cálculos anterores. Otra manera de calcular el C.. del semcírculo sería dvdendo éste en sectores crculares de abertura dθ. l gual que en el ejemplo anteror estos dferencales no parecen ser los más dóneos a que no tenen una coordenada x o ben determnada. l gual que hcmos en el caso anteror podemos nterpretar dchos dferencales como trángulos con base dθ, área d 1 2 2 d. Como el C.. de un trángulo se encuentra a un terco de la altura sobre la base, la poscón que va a caracterzar a nuestro " 2 dferencal de superfce será: 3 cos, 2 # 3 sen $ %. x sec tor d sec tor d ( # 2 $ 3 cos" % 1 & 2 2 d" ) * + 1, - 3 3sen". / ( # 2 $ 3 sen" % 1 & 2 2 d" ) * + 2 1, - 3 3cos". / 1 x C.. 2 3 3 1 C.. sec tor d 2 3 3 4 1 2 3 2 De nuevo las ntegrales que surgen son más sencllas que las que aparecían en los prmeros cálculos. r dθ dθ Jose Javer Sandonís uz
Vemos pues que el uso de elementos de masa que en un prmer momento pueden parecer nadecuados porque no tenen una coordenada x o únca para todos sus puntos (anllos semcrculares, cuñas trangulares en el ejemplo anteror) puede facltar el cálculo del C.. de la fgura que nos nteresa. Para dchos elementos de masa utlzamos como poscón representatva su propo centro de masas que a conocemos por haberlo calculado anterormente o por dsponer de tablas. Otros ejemplos de aplcacón de este método es calcular la poscón del C.. de una fgura homogénea de revolucón (esfera, parabolode, etc) dvdéndola por ejemplo en nfntas rodajas perpendculares al eje de revolucón. Cada rodaja sería un dsco cua poscón representatva en los cálculos sería la de su centro: z z C.. z rodaja dm rodaja Por otro lado, no es necesaro que dcha dvsón en elementos de masa sea en un número nfnto de ellos. Se puede dvdr la fgura en un número fnto de pezas, utlzar para cada peza la poscón de su centro de masas: z r C.. m r m m cono r cono + m clndro rclndro + m semesfera rsemesfera m cono + m clndro + m semesfera NOT: Es un error consderar que el cálculo de la poscón del C de una fgura verfca la propedad adtva escrbr para el últmo ejemplo: r C.. r r cono + r clndro + r semesfera esta expresón es ncorrecta a que no tene en cuenta las masas de las dferentes pezas en las que ha sdo dvdda la fgura. Jose Javer Sandonís uz
PIEZS CON SIETÍ Otra forma de ahorrarse trabajo matemátco consste en fjarse s el objeto en cuestón posee algún tpo de smetría (ejes de smetría, planos de smetría, etc.). S es así el C.. debe encontrarse en algún punto de dcho elemento de smetría. En el caso estudado del semcírculo, el eje de coordenadas Y es un eje de smetría que dvde al semcírculo en dos cuartos de círculo smétrcos. Por lo tanto el C.. que estamos buscando se encontrará en el eje Y, su coordenada x por lo tanto será nula: x c.m.. Nos podíamos haber evtado de esta forma la mtad del trabajo matemátco, ocupándonos solo del cálculo de c.m.. En los casos en los que haa más de un elemento de smetría, el C.. debe pertenecer a cada uno de dchos elementos de smetría, estará por lo tanto en la nterseccón de dchos elementos de smetría. El ahorro matemátco en estos casos puede ser total, de forma que conozcamos la poscón del C.. sn necesdad de realzar nngún cálculo. En la sguente fgura se muestran los elementos de smetría de dversos objetos la poscón del C.. de cada uno de ellos. TEOES DE PPPUS-GULDIN: Exsten dos teoremas que relaconan C.. con longtudes, superfces volúmenes. Conocdos estos últmos se puede calcular la poscón del C.. sn necesdad de hacer nnguna ntegral. Y vceversa, s se conoce la poscón del C.. se puede calcular la longtud, superfce o volumen que nos nterese. 1 er Teorema: S tenemos una curva de longtud L la hacemos grar alrededor de un eje se genera una superfce de revolucón de área. Este área, la longtud de la curva la poscón del C.. de la curva están relaconados por la ecuacón: L ( recorrdo del C.. de la curva) Jose Javer Sandonís uz
Ejemplo: C.. de un alambre semcrcular de rado. sup.esférca L semcrcunfertenca ( recorrdo del C.. de la semcrcunf. ) 4" 2 " ( 2" C.. ) C.. 2 " C.. C.. Eje de gro x 2 o Teorema: S tenemos una placa plana de superfce la hacemos grar alrededor de un eje se genera un cuerpo de revolucón de volumen V. Este volumen, el área de la placa la poscón del C.. de la placa están relaconados por la ecuacón: V ( recorrdo del C.. de la placa) Ejemplo: C.. de un semcírculo de rado. V esfera L semcírculo ( recorrdo del C.. del semcírculo) 4 3 "3 " ( 2 2 2" C.. ) C.. 4 3" C.. C.. Eje de gro x NOT: Un error mu común consste en utlzar los teoremas de Pappus-Guldn para calcular C.. de cuerpos volúmcos. En cualquera de los dos teoremas el C.. que aparece en las fórmulas es el del cuerpo que rota. El prmer teorema nos permte calcular por lo tanto C.. de cuerpos flformes o alambres, mentras que el segundo teorema nos permte calcular C.. de placas. Los teoremas de Pappus-Guldn son tambén váldos s la rotacón no es completa (el recorrdo del C.. del cuerpo que rota no será en este caso una crcunferenca completa). Estos teoremas no son váldos s el eje de rotacón corta a la curva (1 er teorema) o a la placa (2 o teorema) que rota. Jose Javer Sandonís uz