SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 119 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar la erivaa e una función por la regla el cociente. Encontrar las erivaas e las funciones trigonométricas. Encontrar las erivaas e oren superior e una función. La regla el proucto En la sección 2.2 se vio que la erivaa e una suma e os funciones es simplemente la suma e sus erivaas. La regla para erivar el proucto e os funciones no es tan simple. TEOREMA 2.7 LA REGLA DEL PRODUCTO NOTA Algunas personas prefieren la siguiente versión e la regla el proucto fg fg fg. La ventaja e esta forma raica en que se puee generalizar con facilia a multiplicaciones con tres o más factores. El proucto e os funciones erivables ƒ y g también es erivable. Aemás, su erivaa es igual a la primera función por la erivaa e la seguna más la erivaa e la primera por la seguna. fg fg gf DEMOSTRACIÓN Algunas emostraciones matemáticas, como en el caso e la regla e la suma, son irectas. Otras requieren pasos inteligentes cuyo motivo puee resultar imperceptible para el lector. Esta emostración presenta uno e esos pasos, sumar y restar una misma cantia, la cual se muestra en istinto color. f g fg fg f g f g f g fg g f g g g f g g g f f f g fg gf f f f f g Observar que lím f f porque se consiera que ƒ es erivable y, por tanto, continua. La regla el proucto es etensiva a multiplicaciones con más e os factores. Por ejemplo, si ƒ, g y h son funciones erivables e, entonces fgh fgh fgh fgh. NOTA La prueba e la regla el proucto para prouctos e más e os factores se eja al lector como ejercicio (ver el ejercicio 141). Por ejemplo, la erivaa e y 2 sen cos es y 2 sen cos 2 cos cos 2 sen sen 2 sen cos 2 cos 2 sen 2.
120 CAPÍTULO 2 Derivación LA REGLA DEL PRODUCTO Cuano Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la regla el proucto, lo hizo motivao por la epresión y y y e la cual restó y (consieránolos espreciables) y calculano la forma iferencial y y. Esta erivación tuvo como resultao la forma traicional e la regla el proucto. (Fuente: The History of Mathematics e Davi M. Burton) En términos generales, la erivaa el proucto e os funciones no está aa por el proucto e sus erivaas. Para observarlo basta con comparar el proucto e las erivaas e ƒ() 3 2 2 y g() 5 4 con la erivaa obtenia en el ejemplo 1. EJEMPLO 1 Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e h() (3 2 2 )(5 4). Primera Derivaa e la seguna Seguna Derivaa e la primera h 3 2 2 5 4 5 4 3 22 Aplicar la regla el proucto. 3 2 2 4 5 43 4 12 8 2 15 8 16 2 24 2 4 15 En el ejemplo 1 se cuenta con la opción e calcular la erivaa con o sin la regla el proucto. Sin ella se escribiría D 3 2 2 5 4 D 8 3 2 2 15 24 2 4 15. En el siguiente ejemplo, se ebe utilizar la regla el proucto. EJEMPLO 2 Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e y 3 2 sen. 32 sen 3 2 sen sen 32 3 2 cos sen 6 3 2 cos 6 sen 3 cos 2 sen Aplicar la regla el proucto. EJEMPLO 3 Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e y 2 cos 2 sen. Regla el proucto Regla el múltiplo constante NOTA Observar que en el ejemplo 3 se usa la regla el proucto cuano ambos factores son variables, y la el múltiplo constante cuano uno e ellos es constante. y 2 cos cos 2 2 sen 2sen cos 2 2cos 2 sen
SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 121 La regla el cociente TEOREMA 2.8 LA REGLA DEL COCIENTE El cociente ƒg e os funciones erivables ƒ y g también es erivable para toos los valores e para los que g() 0. Aemás, la erivaa e ƒg se obtiene meiante el enominaor por la erivaa el numeraor menos el numeraor por la erivaa el enominaor, too iviio entre el cuarao el enominaor. g f gf fg, g 2 g 0 DEMOSTRACIÓN Al igual que en la emostración el teorema 2.7, la clave raica en sumar y restar una misma cantia. TECNOLOGÍA En una herramienta e graficación se pueen comparar las gráficas e una función y e su erivaa. Por ejemplo, en la figura 2.22, la gráfica e la función el ejemplo 4 parece incluir os puntos con rectas tangentes horizontales. Cuáles son los valores e y en ichos puntos? y 52 4 5 ( 2 1) 2 6 g f gf fg gg gf fg fg fg gg g f f fg g lím g f g f g gf fg g 2 lím f f f gg lím gg g g Definición e erivaa. Observar que lím g( ) g() porque se consiera que g es erivable y por tanto es continua. EJEMPLO 4 Aplicación e la regla el cociente Encontrar la erivaa e y 5 2 2 1. 7 y 5 2 2 1 4 Comparación gráfica e una función y su erivaa Figura 2.22 8 2 1 2 1 5 2 2 15 5 22 2 1 2 52 5 10 2 4 2 1 2 52 4 5 2 1 2 5 2 5 2 2 1 2 1 2 Aplicar la regla el cociente.
122 CAPÍTULO 2 Derivación Observar el uso e los paréntesis en el ejemplo 4. Es recomenable utilizar paréntesis en toos los problemas e erivación. Por ejemplo, cuano se usa la regla el cociente, es conveniente encerrar too factor y erivaa en un paréntesis y prestar especial atención a la resta eigia en el numeraor. Al presentar las reglas e erivación en la sección preceente, se hizo hincapié en la necesia e reescribir antes e erivar. El ejemplo siguiente ilustra este aspecto en relación con la regla el cociente. 1 3 f() = 5 La recta y 1 es tangente a la gráfica e ƒ() en el punto (1, 1) Figura 2.23 y y 1 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 5 4 3 (1, 1) 2 3 4 5 EJEMPLO 5 Reescribir antes e erivar Encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e f 3 1 en 1, 1. 5 Comenzar por reescribir la función. f 3 1 5 3 1 5 3 1 2 5 f 2 53 3 12 5 2 5 2 32 15 6 2 13 5 2 5 2 32 2 5 2 5 2 Función original. Multiplicar por a numeraor y enominaor, Reescribir. Regla el cociente. Simplificar. Con objeto e encontrar la peniente en (1, 1), evaluar ƒ(1). f1 0 Peniente e la gráfica en (1, 1). Luego, utilizano la forma punto-peniente e la ecuación e una recta, se puee eterminar que la ecuación e la recta tangente en ese punto es y 1. Ver la figura 2.23. No too cociente requiere ser erivao meiante la regla el cociente. Por ejemplo, caa uno e los cocientes el ejemplo siguiente se puee consierar como el proucto e una constante por una función e, e moo que es más sencillo aplicar la regla el múltiplo constante. EJEMPLO 6 Aplicación e la regla el múltiplo constante Función original Reescribir Derivar Simplificar NOTA Para istinguir la ventaja e la regla el múltiplo constante en ciertos cocientes, tratar e calcular las erivaas el ejemplo 6 meiante la regla el cociente. Se llegará al mismo resultao, pero con un esfuerzo mucho mayor. a) b) c) ) y 2 3 6 y 5 4 8 y 33 22 7 y 9 5 2 y 1 6 2 3 y 5 8 4 y 3 3 2 7 y 9 5 2 y 1 6 2 3 y 5 8 43 y 3 7 2 y 9 5 23 y 2 3 6 y 5 2 3 y 6 7 y 18 5 3
SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 123 En la sección 2.2 se emostró la regla e la potencia sólo para eponentes n enteros mayores que 1. En el ejemplo que sigue se amplía esa emostración a eponentes enteros negativos. EJEMPLO 7 Demostración e la regla e la potencia (eponentes enteros negativos) Si n es un entero negativo, eiste un entero positivo k tal que n k. Por tanto, usano la regla el cociente se puee escribir n 1 k k 0 1k k1 k 2 Regla el cociente y regla e la potencia. 0 kk1 2k k k1 n n1. n k. De tal moo, la regla e la potencia n n n1 Regla e la potencia. es vália para too entero. En el ejercicio 76 e la sección 2.5 se pie emostrar el caso en el que n es cualquier número racional. Derivaas e las funciones trigonométricas Conocias las erivaas e las funciones seno y coseno, la regla el cociente permite establecer las e las cuatro funciones trigonométricas restantes. TEOREMA 2.9 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS tan sec2 sec sec tan cot csc2 csc csc cot DEMOSTRACIÓN Consierano tan (sen )(cos ) y aplicano la regla el cociente, se obtiene cos cos sen sen tan cos 2 cos2 sen 2 cos 2 1 cos 2 sec 2. Aplicar la regla el cociente. La emostración e las otras tres partes el teorema se eja como ejercicio (ver el ejercicio 89).
124 CAPÍTULO 2 Derivación EJEMPLO 8 Derivación e funciones trigonométricas NOTA Debio a las ientiaes trigonométricas, la erivaa e una función trigonométrica puee aoptar iversas formas. Esto complica la comparación e las soluciones obtenias por el lector con las propuestas al final el libro. a) b) Función Derivaa y tan y sec y 1 sec2 y sec tan sec 1 sec 1 tan EJEMPLO 9 Diferentes formas e una erivaa Derivar ambas formas e y 1 cos sen Primera forma: Seguna forma: y 1 cos sen y sen2 cos 2 cos sen 2 1 cos sen 2 y csc cot y csc cot csc 2 csc cot. sen sen 1 cos cos sen 2 Para emostrar que ambas erivaas son iénticas, basta escribir 1 cos sen 2 1 sen 2 1 sen cos sen csc 2 csc cot. El siguiente compenio muestra que gran parte el trabajo necesario para obtener la forma simplificaa e una erivaa se ebe hacer espués e erivar. Observar que os características e una forma simplificaa son la ausencia e eponentes negativos y el agrupamiento e términos semejantes. Ejemplo 1 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 9 f tras erivar 3 2 2 4 5 43 4 24 2 4 15 2sen cos 2 2cos 2 15 5 22 5 2 4 5 2 1 2 2 1 2 2 53 3 12 5 3 2 2 5 2 5 2 2 5 2 sen sen 1 cos cos sen 2 f tras simplificar 2 sen 1 cos sen 2
SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 125 Derivaas e oren superior Así como al erivar una función posición se obtiene una función velocia, al erivar esta última se obtiene una función aceleración. En otras palabras, la función aceleración es la seguna erivaa e la función posición. st vt st at vt st Función posición. Función velocia. Función aceleración. NOTA La seguna erivaa e ƒ es la erivaa e la primera erivaa e ƒ. La función aa por a(t) es la seguna erivaa e s(t) y se enota como s(t). La seguna erivaa es un ejemplo e erivaa e oren superior. Se puee efinir erivaas e cualquier oren entero positivo. Por ejemplo, la tercera erivaa es la erivaa e la seguna erivaa. Las erivaas e oren superior se enotan como se muestra a continuación. Primera erivaa: Seguna erivaa: Tercera erivaa: Cuarta erivaa: n-ésima erivaa: y, y, y, y 4, y n, f, f, f, f 4, f n, y, 2 y 2, 3 y 3, 4 y 4, n y n, f, 2 2 f, 3 3 f, 4 4 f, n n f, D y D 2 y D 3 y D 4 y D n y EJEMPLO 10 Aceleración e la gravea Puesto que la Luna carece e atmósfera, un objeto que cae en ella no encuentra resistencia el aire. En 1971, el astronauta Davi Scott verificó que una pluma e ave y un martillo caen con la misma velocia. La función posición para caa uno e esos objetos es Seth ResnickGetty Images LA LUNA La masa e la Luna es e 7.349 10 22 kg y la e la Tierra 5.976 10 24 kg. El raio e la Luna es 1 737 km y el e la Tierra 6 378 km. Puesto que la fuerza e gravea e un planeta es irectamente proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuarao e su raio, la razón entre las fuerzas e gravea en la Luna y en la Tierra es 5.976 10 24 6 378 2 7.349 10 22 1 737 2 6.0. s(t) 0.81t 2 2 one s(t) es la altura en metros y t el tiempo en segunos. Cuál es la relación entre la fuerza e gravea e la Tierra respecto a la e la Luna? Para calcular la aceleración, erivar os veces la función posición. st 0.81t 2 2 st 1.62t st 1.62 Función posición. Función velocia. Función aceleración. De esta forma resulta que la aceleración e la gravea en la Luna es e 1.62 ms 2. Puesto que la aceleración e la gravea en la Tierra es e 9.8 ms 2, la fuerza e gravea e la Tierra respecto a la e la Luna es Fuerza e gravea en la Tierra Fuerza e gravea en la Luna 9.8 1.62 6.0.