Sucesoes. SUCESIONES. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Alce Mootoí de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. 5
Sucesoes.. SUCESIONES.. DEFINICIÓN. Sucesó es u fucó, deotd como { }, cuyo domo es el cojuto de los úmeros eteros postvos y su rgo so úmeros reles. Es decr: IN X IR f ( ). Es comú referrse l rgo de l sucesó, por tto l sucesó se,,. S l sucesó tee preset como u secuec de térmos { },, u ctdd determd de térmos se l llmrá SUCESIÓN FINITA. S l sucesó tee u ctdd o defd de térmos, se l llmrá SUCESIÓN INFINITA. Ejemplo { },,,,, 5 7 mer como se presetó l sucesó e el ejemplo teror se deom form explíct, pero se l puede expresr como u formul de recursó. Ejemplo ; ; Es decr: 7 Y sí sucesvmete. 6
Sucesoes.. Covergec y ímte U sucesó { }, es covergete s y sólo s lm exste. Cso cotrro; es decr, s lm o exste, se dce que l sucesó es dvergete. S lm exste, es decr s lm, sgfc que: ξ > 0, N > 0 tlque > N < ξ Ejemplo. Determr s { } es covergete o dvergete. SOUCIÖN: lm Pr determr s es covergete o dvergete se hll. lm lm Por tto, l sucesó es covergete y demás coverge TEOREMA U codcó ecesr y sufcete pr que u sucesó se covergete es que se cotd. Note que, pr l sucesó teror l mím cot superor es máxm cot feror es. y l PREGUNTA: POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR? 7
Sucesoes Ejemplo Determr s { } { ( )} se es covergete o dvergete. SOUCION: lm se ( ) lm ( ) se( ) se( ) lm Hcedo u se lm coverge. etoces, s teemos que u 0 ( ) se u se u lm lm (). Por tto u 0 u u 0 u TEOREMA S y b so sucesoes covergetes, etoces:. lím k k lím ; k IR. lím ( ± b ) lím ± límb. lím( b ) lím límb. lím lím b s lím b 0 límb.. SUCESIONES MONOTONAS U sucesó { } es moóto s sus térmos so o decrecetes, es decr: ; ó s sus térmos so o crecetes; es decr:. 8
Sucesoes o teror quere decr que s se cumple que o será u sucesó CRECIENTE. Cso cotrro, es decr s d que o será u sucesó DECRECIENTE. Ejemplo Determr s l sucesó es crecete o decrecete. SOUCIÖN: E este cso ( ) Al dvdr mbs expresoes, result: ( )( ) ( ) ote que e l últm expresó se observ que Por qué?. Por tto, l sucesó será CRECIENTE. Ejemplo Alce l sucesó ( ) SOUCIÖN: Desrrolldo l sucesó teemos { } {,,,,} { } ( ) Se observ que l sucesó o es moóto, o es covergete, s es cotd. 9
Sucesoes Ejemplo Alce l sucesó! SOUCIÖN:. lm 0. El fctorl es más crecete que l expoecl por tto l sucesó coverge! 0.. sucesó es cotd debdo que es covergete. ( )!!.. Ahor ( )!!! ( ) Se observ que pr, por tto l sucesó es decrecete. Ejerccos propuestos.. Determe s ls sguetes sucesoes so covergetes o dvergetes.. e. b. c. d. se f. g. l. Determe s ls sucesoes so crecetes, decrecetes o o moótos.. 5 e. 5 b. c. 5! 5 ( ) d. se( )! 0
Sucesoes.. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Se l secuec,,., sum de estos úmeros, puede ser expresd medte u otcó que deot brevcó, el símbolo empledo es el de sgm: Etoces, l otcó sgm sgfc u sum de térmo, desde el prmero hst el -ésmo. Podemos teer u sum ft de térmos como tmbé podemos teer u sum ft. Ejemplo { { 5 0 { 7 { Ejemplo.. Propeddes Se { } y { b } dos sucesoes y se C u costte, etoces. C C. ( ± b ) ± b Algu formuls que se ecestrá más delte so:
Sucesoes. ( ). ( )( ) 6. ( ). ( )( ) 0 9 6 No olvde demostrrls!