E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido. Fórmuls de cudrtur. Fórmuls de Newton-Cotes 3. Fórmuls compuests Fórmuls de cudrtur Objetivo Aproximr l integrl I = b f(x) dx usndo un combinción linel de vlores de f(x) en puntos del intervlo [, b]. Puntos del intervlo (nodos) Aproximción b L fórmul de cudrtur es x <x < <x n b. f(x) dx ' α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n ). F (f) =α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n ). L notción F (f) indic que los coeficientes α j y los nodos x j son conocidos; es l función f l que ctú como vrible en l fórmul. Error E (f) = I F (f) = b f(x) dx [α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n )].
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. Ejemplo. Considermos l integrl I = x sin xdx.. Aproxim el vlor de I con l fórmul de cudrtur F (f) = b µ + b f()+4f + f(b) 6 [, b] represent el intervlo de integrción [, ].. Clcul el vlor excto de l integrl y el vlor del error.. Vlor proximdo. enemos =, b =, f(x) =x sin x. F (f) = ( + 4 (.5) sin (.5) + sin ) =. 35. 6. Vlor excto y error.clculmos un primitiv de f(x) x sin xdx= integrmos por prtes µ = x cos x ( cos x) dx u = x du = dx dv =sinxdx v = cos x = x cos x + cos xdx = x cos x +sinx + c Error. x sin xdx=[ x cos x +sinx] x= x= = cos + sin =. 37. E (f) = I F (f) =. 37. 35 =.. Vemos que l fórmul de cudrtur h producido un proximción de l integrl con decimles exctos. Grdo de precisión Ddo un intervlo [, b], un fórmul de cudrtur F (f) =α f(x )+α f(x )+ + α n f(x n )
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 3 tiene grdo de precisión g si es exct pr todos los polinomios de grdo g (y no lo és pr lguno de grdo g +). Es decir, si p(x) es un polinomio de grdo g, entonces b p(x) dx = α p(x )+α p(x )+ + α n p(x n ). Determinción del grdo de precisión Puede demostrrse que l fórmul de cudrtur F (f) tiene grdo de precisión g si es exct pr los polinomios p (x) =,p (x) =x, p (x) =x,...,p g (x) =x g ynoloespr p g+ (x) =x g+. Ejemplo. Considermos el intervlo [, ]. Determin el grdo de precisión de l fórmul de cudrtur F (f) = [f() + 4f() + f()] 3 enemos que verificr l exctitud de F (f) sobre los monomios p (x) =,p (x) =x, p (x) =x,... dx =[x] =, F (f) exct pr p (x) =. F () = 3 (+4+)= 6 3 =. x xdx= =, F (f) exct pr p (x) =x. F (x) = 3 ( + 4 +)= 6 3 =. x x 3 dx = = 8 3 3, F (f) exct pr p (x) =x F x = 3 ( + 4 +4)= 8 3. x x 3 4 dx = = 6 4 4 =4, F x 3 = 3 ( + 4 +8)= 3 =4. F (f) exct pr p 3 (x) =x 3.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 4 x x 4 5 dx = 5 = 3 5, F (f)no exct pr p 4 (x) =x 4 F x 4 = 3 ( + 4 + 6) = 3. L fórmul de cudrtur tiene grdo de precisión 3, y es exct pr tods ls integrles p(x) dx con p(x) polinomio de grdo 3. Por ejemplo, tomemos p(x) =x 3 x, x 3 x x 4 dx = 4 x = 6 4 4 =4 =, F (p) = [ + 4 ( ) +(8 ) ]= 6 3 {z } {z } 3 =. p() p() Fórmuls de Newton-Cotes Ls fórmuls de Newton-Cotes se obtienen integrndo el polinomio interpoldor construido con nodos igulmente espcidos. Estrtegi. Dividimos [, b] en n subintervlos de longitud h = b n, los puntos de división son de l form x =, x = + h,
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 5 x = +h,. x j = + jh,. x n = + nh = b.. Clculmos el polinomio p n (x) que interpol f(x) en los nodos x,x,x,...,x n. 3. ommos b f(x) dx ' b p n (x) dx.. Fórmul del trpecio y de impson Fórmul del rpecio Es l fórmul de Newton-Cotes de puntos b L fórmul del trpecio es p (x) dx = f()+f(b) (b ). F (f) = b [f()+f(b)]. i tommos h = b, obtenemos l siguiente expresión Fórmul de impson F (f) = h [f(x )+f(x )], x =, x = + h, h = b.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 6 Es l fórmul de Newton-Cotes de 3 puntos h = b, x =, x = + h, x = +h = b. Puede demostrrse que b p (x) dx = b 6 L fórmul de impson es f()+4f µ + b = h 3 [f(x )+4f (x )+f(x )]. + f(b) F (f) = h 3 [f(x )+4f (x )+f(x )], x =, x = + h, x = +h, h = b. Ejemplo. Considermos l integrl I = x dx.. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul del trpecio.. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul de impson. 3. Clcul los errores.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 7. Aproximción con l fórmul del trpecio. enemos F (f) = =, b =, f(x) = x, µ + = 3 = 3 4 =.75.. Aproximción con l fórmul de impson. enemos h = =.5, x =, x =.5, x =, F (f) =.5 µ +4 3.5 + =. 69444. 3. Vlor excto y errores. Clculmos l integrl exct Error pr l fórmul del trpecio x dx =[lnx] =ln=. 6935. E (f) = I F (f) =. 6935.75 =. 5685. Errorprlfórmuldeimpson E (f) = I F (f) =. 6935. 69444 =. 9. Con l fórmul impson, hemos obtenido decimles exctos.. Errores Fórmul del trpecio e f(x) de clse C [, b] se cumple I = b x =, x = b, h = b, F (f) z } { h f(x) dx = [f (x )+f (x )] h3 f () (t), t (, b). Vlor bsoluto del error E (f) = I F (f) = h3 f () (t), t (, b).
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 8 Cot superior de error Fórmul de impson e f(x) de clse C 4 [, b] se cumple E (f) h3 M, M = mx f () (x). x [,b] x =, x = + h, x = b, h = b, F (f) z } { b h I = f(x) dx = 3 [f (x )+4f (x )+f (x )] h5 9 f (4) (t), t (, b). Vlor bsoluto del error E (f) = I F (f) = h5 f (4) (t), t (, b). 9 Cot superior de error E (f) h5 9 M 4, M 4 = mx f (4) (x). x [,b] Ejemplo. Considermos l integrl I = x ln xdx.. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul del trpecio; clcul un cot superior de error.. Aproxim el vlor de I usndo l fórmul de impson; clcul un cot superior de error. 3. Clcul el vlor excto de l integrl y verific los resultdos.. Aproximción trpecio. enemos =, b =, h = =, f(x) =x ln x, Vlor de l proximción F (f) = ( ln + ln ) = ln =. 6935.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 9 L cot de error es E (f) h3 M, M = mx f () (x). x [,] Clculmos ls derivds pr determinr M. f (x) =lnx +, f (x) = x. Observmos que f (x) es positiv si x [, ], l función objetivo en el cálculo de M es g(x) = f () (x) = x, g (x) = x. Vemos que g (x) es negtiv, por lo tnto g es decreciente en el intervlo y result M = mx f () (x) = g() =. x [,] Finlmente, obtenemos l cot de error E (f) h3 M = =.83333.. Aproximción por impson. enemos h = =.5, x =, x =.5, x =. Vlor de l proximción F (f) =.5 ( ln + 4.5ln(.5) + ln ) =. 6365. 3 L cot de error es E s (f) h5 9 M 4, M 4 = mx f (4) (x). x [,] Clculmos ls derivds pr determinr M 4. f (x) = x, f (4) (x) = x 3.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. Vemos que f (4) (x) es positiv si x [, ], l función objetivo es g(x) = f (4) (x) = x 3, g (x) = 6 x 4. L derivd g (x) es negtiv, por lo tnto g es decreciente y result M 4 = mx f (4) (x) = g() =. x [,] Finlmente, obtenemos l cot de error E (f) h5 9 M 4 = (.5)5 =.6 9444. 9 Por lo tnto, podemos segurr que el vlor obtenido usndo l fórmul de impson proxim el vlor de l integrl con (l menos) decimles exctos. 3. Vlor excto y errores. Clculmos un primitiv de f(x) x ln xdx= integrmos por prtes u =lnx dv = xdx du = x dx v = x = x ln x = x ln x = x x x dx xdx ln x x 4 + c. Error trpecio. x ln xdx = x x= µ x ln x =(ln ) 4 x= ln 4 = ln +/4 =. 6369. E (f) = I F (f) =. 6369. 6935 =. 5686, cot clculd pr el error trpecio Error impson E (f).83333. E (f) = I F (f) =. 6369. 6365 =., cot error impson E (f).6 94.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. Vemosque,enmboscsos,loserroressoninferioreslscotsclculds. mbién observmos que con l fórmul impson hemos obtenido 3 decimles exctos. Importnte: recuerd que l distnci entre nodos es h = b pr l fórmul del trpecio, h = b pr l fórmul de impson. 3 Fórmuls compuests Ls fórmuls compuests permiten obtener mejores proximciones dividiendo el intervlo de integrción en vrios trmos y plicndo un fórmul simple cd uno de los trmos. 3. rpecio compuesto Estrtegi. Dividimos el intervlo [, b] en n trmos de longitud h = b n, obtenemos n +puntos x =, x = + h, x = +h,...,x n = + nh = b, los n trmos son A =[x,x ],A =[x,x ],...,A j =[x j,x j ],...,A n =[x n,x n ].. Aplicmos l fórmul del trpecio cd trmo A =[x,x ] F () = h [f (x )+f (x )],.. A j =[x j,x j ] F (j) = h [f (x j )+f (x j )],.. A n =[x n,x n ] F (n) = h [f (x n )+f (x n )]. 3. ommos como proximción globl l sum de ls proximciones sobre los trmos F (n) C = F () + F () + + F (j) + + F (n).
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. Fórmul de trpecio compuesto con n trmos. F (n) C = h [f(x )+f (x )+ +f (x j )+ +f (x n )+f (x n )], h = b n. i grupmos términos, obtenemos C = h n [f(x X )+f (x n )] + h f (x j ), F (n) j= h = b n. Cot de error i f(x) es de clse C [, b], se cumple E (n) b C = f(x)dx F (n) C b h M, h = b n donde M = mx f () (x). x [,b] Demostrción de l cot de error enemos b x x xn f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + + f (x) dx x x x n = f (x) dx + f (x) dx + + f (x) dx A A A n = I + I + + I n.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 3 L fórmul de trpecio compuesto se obtiene sumndo el vlor del trpecio simple en cd uno de los trmos, es decir F (n) C = F () + F () + + F (n), donde F (j) es el vlor de l fórmul simple del trpecio sobre el trmo A j =[x j,x j ]. Entonces E (n) b C = f (x) dx F (n) C ³ = (I + I + + I n ) F () + F () + + F (n) ³ ³ ³ = I F () + I F () + + I n F (n) I F () + I F () + + I n F (n) E () + E () + + E (n) donde E (j) represent el error del trpecio simple en el trmo A j. bemos quesecumple E (j) h3 M (j), M(j) =mx f () (x), x A j entonces E (n) C h3 M () + h3 M () + + h3 M (n). i tommos M = mx f () (x), x [,b] se cumple pr todos los trmos M (j) =mx f () (x) mx f () (x) = M, x A j x [,b] por lo tnto E (n) C h3 M + h3 M + + h3 M = n h3 M = n b h n M b h M. Ejemplo 3. Clcul el vlor de l integrl x ln xdx con decimles exctos usndo l fórmul del trpecio compuesto.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 4. Cálculo del número de trmos. enemos l cot de error es donde E (n) C =,b=,f(x) =x ln x, b h M, h = b n, M = mx f () (x). x [,b] En el Ejemplo. hemos obtenido el vlor de l cot de l derivd M = mx f () (x) =, x [,] entonces l cot de error tom l form E (n) h. C Exigimos y determinmos h h.5 h.5 =.6, h.6=. 4495. Finlmente, como h = n = n, result n. 4495 n =4. 85.. 4495 Es decir, pr grntizr decimles exctos en l proximción, necesitmos n =5trmos.. Vlor de l proximción. Con n =5, result los nodos son h = 5 =., x =,x =., x =.4, x 3 =.6, x 4 =.8, x 5 =.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 5 L fórmul del trpecio con 5 trmos es F (5) C = h [f (x )+f (x 5 )] + h 4X f (x j ), en concreto F (5) C =. ( ln + ln ) + (.) (.ln.+.4ln.4+.6ln.6+.8ln.8) =. 3863 +. 49997 =. 6386. 3. Error excto. El vlor de l integrl es I = j= x ln xdx=. 6369, de donde result el error E (5) = I F (5) =. 6369. 6386 =. 3. C C Vemos que, efectivmente, l fórmul de trpecio compuest con 5 trmos proxim el vlor de l integrl con decimles exctos. 3. Fórmul de impson compuesto Estrtegi L ide es dividir el intervlo [, b] en m trmos de igul longitud A,A,...,A m y plicr l regl simple de impson cd trmo. expondremos el cso m =3. Pr centrr ides,. Pr plicr l regl de impson, debemos tomr el punto medio de cd trmo. Por lo tnto, tendremos un distnci entre nodos Los nodos son h = b m. x =, x = + h, x = +h,...,x n = +mh = b. i m =3, l distnci entre nodos será h = b 6 y tendremos m +=7nodos
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 6 en este cso, los trmos son A = [x,x ], punto medio x, A = [x,x 4 ], punto medio x 3, A 3 = [x 4,x 6 ], punto medio x 5.. Aplicmos l fórmul de impson simple cd trmo A =[x,x ] F () = h 3 [f (x )+4f (x )+f(x )], A =[x,x 4 ] F () = h 3 [f (x )+4f (x 3 )+f(x 4 )], A 3 =[x 4,x 6 ], F (3) = h 3 [f (x 4)+4f (x 5 )+f(x 6 )]. 3. ommos como proximción globl l sum de ls proximciones sobre los trmos en el cso m =3 F (m) C = F () + F () (m) + + F, F (3) C = h 3 [f (x )+4f (x )+f(x )+4f (x 3 )+f(x 4 )+4f (x 5 )+f(x 6 )] L fórmul puede reorgnizrse como sigue: F (3) C = h 3 {f (x )+f(x 6 ) + [f(x {z } )+f(x 4 )] +4 [f (x {z } )+f (x 3 )+f (x 5 )]} {z } nodos extremos nodos pres interiores nodos impres Fórmul de impson compuesto L expresión generl pr l fórmul de impson compuest con m trmos es F (m) C = h 3 f(x )+f (x m )+ m X j= f (x j )+4 mx f (x j ), j= h = b m.
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 7 Cot de error i f(x) es de clse C 4 [, b], se cumple E (m) b C = f(x)dx F (m) C b 8 h4 M 4, h = b m. M 4 = mx f (4) (x). x [,b] Demostrción de l cot de error enemos b f (x) dx = f (x) dx + A f (x) dx + + A f (x) dx A m = I + I + + I m. L fórmul de impson compuest de m trmos es F (m) C = F () + F () + + F (m) donde F (j) es el vlor de l fórmul simple de impson sobre el trmo A j = [x j,x j ]. Entonces, el error globl no super l sum de los errores en los trmos, en efecto E (m) b C = f (x) dx F (m) C ³ = (I + I + + I m ) F () + F () (m) + + F ³ ³ ³ = I F () + I F () + + I m F (m) I F () + I F () + + I m F (m) E () + E () + + E (m), donde E (j) represent el error de impson simple en el trmo A j. Pr cd trmo, sbemos que se cumple E (j) h5 9 M (j) 4, M(j) 4 =mx f (4) (x), x A j entonces E (m) C h5 9 M () 4 + h5 9 M () 4 + + h5 9 M (m) 4. Obvimente, el vlor máximo de f (4) (x) sobre culquier de los trmos M (j) 4 no puede superr l vlor máximo sobre el intervlo completo [, b]; es decir, si tommos M 4 = mx f (4) (x), x [,b]
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 8 se cumple pr todos los trmos M (j) 4 =mx f (4) (x) mx f (4) (x) = M 4. x A j por lo tnto E (m) C h5 9 M () 4 + h5 x [,b] 9 M () 4 + + h5 9 M (m) 4 h5 9 M 4 + h5 9 M 4 + + h5 9 M 4 m h5 9 M 4 = mh h4 9 M 4 = m b m 9 M 4 b 8 h4 M 4. Ejemplo 3. Clcul el vlor de l integrl x ln xdx con 4 decimles exctos usndo l fórmul de impson compuesto. h 4. Cálculo del número de intervlos. enemos =,b=,f(x) =x ln x, l cot de error pr l fórmul de impson con m trmos es E (m) C b 8 h4 M 4, h = b m, M 4 = mx f (4) (x). Hemos visto en el Ejemplo. que x [,b] M 4 = mx x [,] f (4) (x) =, entoncesresultlcotdeerror. E (m) C 8 h4. Exigimos 8 h4.5 4
Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric. 9 y determinmos h h 4 8.5 4 =. 45, h 4. 45 =. 59. Finlmente, como h = m = m, result m. 59 m =. 935.. 59 Necesitmos tomr m =. e trt de impson doble. Observ que, como cd impson simple contiene dos subintervlos, el número de subintervlos es m =4.. Vlor de l proximción. Con m =, l distnci entre nodos es h = 4 =.5, nodos x =,x =.5, x =.5, x 3 =.75, x 4 =. L fórmul compuest de impson con trmos tiene l siguiente form F () C = h X X f (x )+f (x 4 )+ f (x j )+4 f (x j ) 3 j= j= = h 3 {f (x )+f (x 4 )+f(x )+4[f(x )+f(x 3 )]}. ustituyendo, obtenemos el vlor de l proximción F () C =.5 [(ln+ln)+(.5ln.5) + 4 (.5 ln.5 +.75 ln.75)] 3 =.5 7. 63578 =. 636398. 3 3. Error excto. Podemos tomr como vlor excto de l integrl I = x ln xdx=. 6369 44, el error es E () = I F () =. 6369 44. 6363 98 =.54 4. C C Importnte: recuerd que l distnci entre nodos es h = b n h = b m pr l fórmul compuest del trpecio con n trmos, pr l fórmul compuest de impson con m trmos.