Godofredo Iommi Cálculo Rel
Prefcio Ests so ots costruíds prtir de diversos cursos de cálculo dictdos e l Potifici Uiversidd Ctólic de Chile etre 8 y 4. Los coteidos icluídos correspode proximdmete quellos de los progrms de dichos cursos. Existe u gr ctidd de muy bueos textos de cálculo y de álisis e u vrible y ests ots est bsds e prte e dichos textos. He icluído lists de ejercicios l fil de cd cápitulo. Vrios de los problems propuestos est bsdos e rtículos publicdos e diverss revists especilizds. El objetivo es que los estudites se fmilirice cuto tes co l lectur de l litertur cietífic. Agrdezco Bstiá Glsso por trscribir prte de ests ots y por hcer los gráficos que quí prece. Este texto fue escrito utlizdo el softwre svmoo de Spriger y fue prcilmete ficido por Ceter of Dymicl Systems d Relted Fields código ACT3 y por los proyectos Fodecyt 4 y 75. Godofredo Iommi Stigo, Agosto 4. V
Ídice geerl. Números Reles...................................................................... Axiom del Supremo............................................................. Límite de Sucesioes........................................................... 5... Subsucesioes........................................................... 4... Sucesioes de Cuchy.................................................... 7..3. Límites Ifiitos......................................................... 7.3. Series.........................................................................4. Ejercicios..................................................................... 5 Referecis........................................................................ 36. Fucioes Reles................................................................... 39.. Límite de Fucioes............................................................ 39.. Límites Lterles............................................................... 47.3. Límites Ifiitos............................................................... 48.4. Fucioes Cotius............................................................ 49.5. Discotiuiddes............................................................... 54.6. Fucioes Cotius e el Itervlo............................................... 55.7. Ejercicios..................................................................... 59 Referecis........................................................................ 64 3. L Derivd....................................................................... 65 3.. Defiició y Ejemplos.......................................................... 65 3.. Iterpretcioes de l Derivd................................................... 7 3... Aproximció liel de u fució........................................ 7 3... Iterpretció geométric de l derivd..................................... 7 3..3. Iterpretció físic de l derivd.......................................... 73 3.3. Técics de derivció y derivds de fucioes elemetles.......................... 73 3.4. Fucioes derivbles e u itervlo.............................................. 8 3.5. Derivds de Orde Superior..................................................... 88 3.6. Fórmul de Tylor.............................................................. 9 3.6.. Regl de L Hopitl....................................................... 95 3.6.. Máximos y Míimos..................................................... 3.6.3. Fucioes cócvs y covexs............................................ 3 3.7. Asítots..................................................................... 5 3.8. Gráfico de Curvs.............................................................. 6 3.9. Fucioes cotius o diferecibles e igú puto............................... 3.. Ejercicios..................................................................... 4 Referecis........................................................................ VII
VIII Ídice geerl 4. L Itegrl........................................................................ 3 4.. L itegrl de Riem.......................................................... 3 4... Sums de Drboux....................................................... 4 4... L itegrl superior y l itegrl iferior..................................... 7 4.. Fucioes Itegrbles........................................................... 3 4... L defiició de Riem................................................. 39 4.3. Teorem Fudmetl del Cálculo................................................ 4 4.4. Técics de itegrció......................................................... 49 4.4.. Itegrció por Prtes.................................................... 5 4.4.. Cmbio de Vrible...................................................... 55 4.4.3. Sustitucioes Trigoométrics............................................. 59 4.4.4. Frccioes Prciles...................................................... 6 4.5. Logritmo y Expoecil........................................................ 65 4.6. Itegrles impropis............................................................ 69 4.6.. Itegrles Impropis de tipo.............................................. 69 4.6.. Itegrles impropis de tipo.............................................. 74 4.6.3. Ejemplos............................................................... 76 4.7. Ejercicios..................................................................... 79 Referecis........................................................................ 9 A. Números Nturles................................................................. 93 A.. Iducció..................................................................... 93 A.. Progresioes Aritmétics y Geométrics........................................... 97 A.3. Sumtoris.................................................................... 99 A.4. Teorem del Biomio........................................................... B. Cojutos umerbles y o umerbles.............................................. 5 C. Cotiuidd Uiforme.............................................................. 7
Cpítulo Números Reles.. Axiom del Supremo El cojuto de los úmeros reles, que deotremos por R, stisfce diverss propieddes. Desde l perspectiv lgebric es u cuerpo. Es decir, (R,+, ), stisfce todos los xioms de cuerpo, por ejemplo, mbs opercioes so socitivs, comuttitivs, posee iversos y demás so distributivs. El cojuto de los úmeros rcioles, que deotremos por Q, tmbié posee estructur de cuerpo. Es posible, demás, dotr l cojuto de los reles de u orde. E efecto, pr ello bst defiir l clse de úmeros positivos P. Así, diremos que es myor que b si b P. Notemos que los úmeros rcioles tmbié posee u estructur de orde, de hecho es l mism que se hered de los úmeros reles. E est secció estudiremos u propiedd que es exclusiv de los úmeros reles y que o l stisfce el cojuto de los úmeros rcioles, sber, l completitud. Defiició.. Se A subcojuto de R y b R tl que pr todo A se tiee que b, decimos que b es u cot superior de A. Si A es u cojuto tl que posee cots superiores diremos que A cotdo superiormete. Ejemplo.. El úmero x = 5 es cot superior pr el cojuto A = {x R : x < }. Ejemplo.. El cojuto (, ) o posee cot superior. Defiició.. Aálogmete defiimos cot iferior. Diremos que b R es cot iferior de A si pr todo A, se tiee que b, e tl cso diremos que A es cotdo iferiormete. Ejemplo.3. El úmero x = es cot iferior pr el cojuto { }, N. Defiició.3. Diremos que el cojuto A es cotdo si es cotdo superior e iferiormete. Observció.. Ls cots superiores e iferiores o so úics, e efecto si b es cot superior pr el cojuto A, etoces b + es cot superior de A pr >. Defiició.4. Se A u cojuto cotdo superiormete (resp. iferiormete) de modo tl que b es cot superior (resp. iferior). Si b A etoces diremos que b es máximo (resp. míimo) de A. Ejemplo.4. El cojuto { } : N, o posee míimo, pero el máximo es igul.
Números Reles Ejemplo.5. El cojuto posee míimo y es igul, mietrs que o posee míimo. A = {x R : x }, B = {x R : x > }, Ejemplo.6. El cojuto (,3] posee máximo igul 3 y o posee míimo. Defiició.5. Se A u cojuto o vcío cotdo superiormete. Diremos que el úmero R es el supremo de A, que deotremos por supa =, si stisfce ls siguietes propieddes:. El úmero es cot superior de A;. Si b es cot superior de A, etoces b. Es decir, es el supremo de A si es l meor de ls cots superiores. Observció.. U codició equivlete l segud prte de l defiició es,. Si b <, etoces existe x A tl que b < x. Otr form de expresr l codició terior es que pr todo ε >, existe x A tl que ε < x. Aálogmete podemos defiir el ífimo. Defiició.6. Se A u cojuto o vcío cotdo iferiormete. Diremos que el úmero rel es el ífimo de A, que deotremos por ífa =, si. el úmero es cot iferior de A.. Si b es cot iferior de A, etoces b. Es decir, es el ífimo de A si es l myor de ls cots iferiores. Al igul que e l defiició de supremo, teemos u codició equivlete l segud prte de l defiició,. Pr todo ε >, existe x A tl que x < + ε. Defiició.7 (Axiom del Supremo). Todo subcojuto A de R, o vcío y cotdo superiormete posee supremo. Observció.3. U cojuto que stisfce el Axiom del supremo se dice completo. Así el cojuto de los úmeros reles es u cuerpo ordedo y completo. Observció.4. Es posible deducir directmete prtir del Axiom del supremo que todo subcojuto A de R, o vcío y cotdo iferiormete posee ífimo. Ejemplo.7. Pruebe que si A =(,b), etoces ífa =. Solució. Por defiició del cojuto A, teemos que x = es cot iferior de A. Probremos hor que es l myor de ls cots iferiores. Ddo < ε < b, otmos que el úmero es tl que c = + ε +( + ε) =, < c < + ε, y demás pr vlores suficietemete cercos cero de ε teemos que c A, por lo que es l myor cot iferior. Si supoemos que ε b, etoces b + ε, de dode tmbíe se obtiee el resultdo.
. Axiom del Supremo 3 Ejemplo.8. Cosideremos el subcojuto de Q defiido por Determie el supremo de A. A = { Q : x < } Solució. Es clro que supa = pero Q. E prticulr teemos que Q o es u cuerpo ordedo completo, y que o stisfce el xiom del supremo. Desde l perspectiv del Aálisis l myor creci de los rcioles es que o es completo. Teorem. (Propiedd Arquimidi). Ddo u úmero rel x R, existe u úmero turl N tl que x <. Demostrció. Cbe otr que l firmció terior es equivlete decir que el cojuto de los úmeros turles o es cotdo superiormete. Ahor, supogmos por el cotrrio que si lo es y que c = supn. Etoces c o es cot superior de N, es decir, existe N tl que c <. Así c < +, pero + N y c = supn, lo que es u cotrdicció. Por lo tto, N o es cotdo superiormete. Ejemplo.9. Pruebe que el ífimo del cojuto es igul cero. A = { } : N Demostrció. El úmero x = es cot iferior del cojuto y que todos los elemetos de éste so positivos. Supogmos que = ífa >. Es decir, pr todo N se tiee que < <. Teemos etoces que pr todo N se cumple < / cotrdiciedo l propiedd rquimide. Ejemplo.. Demuestre que el ífimo del cojuto { si() A = } : N es igul cero. Solució. Notemos que el úmero x = es cot iferior pr el cojuto A, y que si() y > por lo que l primer prte e l defiició de supremo se stisfce. Probremos hor que x = es l myor de ls cots iferiores. Ddo ε >, debemos probr que existe N tl que Recordemos que si(), luego < si() si() < ε.. E virtud del Ejemplo.9 existe N tl que / < ε. Por lo tto,
4 Números Reles < si( ) < ε. Es decir, el úmero x = es l myor de ls cots iferiores. Ejemplo.. Pruebe que íf {( ) : N} =. Solució. Notemos que pr cd N se tiee que (/) >, por lo tto x = es u cot iferior del cojuto. Notemos que pr todo úmero turl N se tiee que >, es decir, / < /. Se ε >, como íf{/ : N} = existe N tl que / < ε y por lo tto, Es decir, x = es l myor de ls cots iferiores. Ejemplo.. Se A B. Pruebe que sup A sup B. < < ε. Solució. Notemos que supb es cot superior de B, es decir, pr todo x B se tiee que x supb. E prticulr, si y A, como A B, teemos que y supb. Luego como supa es l meor cot superior de A, cocluimos que supa supb. Ejemplo.3. Se A R u cojuto cotdo iferiormete y se A = { x : x A}. Pruebe que A es cotdo superiormete y que sup{ A} = íf{a}. Solució. Se cot iferior de A, es decir, pr todo x A se tiee que x. De dode x. Recordemos que u elemeto y A es de l form y = x. Es decir, pr todo y A teemos que y. De dode, el cojuto A es cotdo superiormete y por lo tto, posee supremo, sup{ A}. Por otr prte, otemos que ddo ε >, existe x A tl que sup{ A} ε < x < sup{ A}, es decir, sup{ A} < x < ε sup{ A}. Por lo tto sup{ A} = íf{a}. Ejemplo.4. Se A R u cojuto o vcío y cotdo. Ddo c > cosidere el cojuto ca := {cx : x A}. Pruebe que el cojuto ca es cotdo (superior e iferiormete) y que sup(ca)=csupa. Solució. Se R cot superior de A, es decir, pr todo x A se tiee que x. Como c > teemos que cx c. Es decir c es cot superior de ca. Aálogmete, se b R cot iferior de A, es decir, pr todo x A se tiee que x b. Como c > teemos que cx cb. Es decir cb es cot iferior de ca. Así el cojuto ca es cotdo. Notemos que como = supa es cot superior de A teemos que sup(ca) csupa. E prticulr csupa es cot superior de ca. Por otr prte, otemos que ddo ε >, existe x A tl que Multiplicdo por c > obteemos que supa ε c < x supa. csupa ε < cx csupa. Por lo tto sup(ca) < csupa.
. Límite de Sucesioes 5 Ejemplo.5. Se X R. U fució f : X R es cotd cudo f (X) es u cojuto cotdo. Diremos que el supremo de u fució f es sup f = sup{ f (x) : x X}. Pruebe que si f,g : X R so cotds superiormete, etoces tmbié lo es f + g y sup( f + g) sup f + sup g. Solució. Se cot superior de f y cot superior de g, etoces es clro que pr todo x X se tiee que f (x)+g(x) +, es decir, ( f + g)(x) es cotdo superiormete y posee supremo. Como sup f + supg es cot superior teemos que sup( f + g) sup f + supg. (.) Observció.5. Notemos que o siempre teemos iguldd e l ecució (.). E efecto, se f (x)=x y g(x)= x dode f,g : [,] R. Teemos que sup f = y supg =, si embrgo ( f +g)(x)=x x =, es decir, sup( f + g) =. Ejemplo.6. Cosidere el cojuto A = Pruebe que A posee supremo e ífimo. { +! +! +... +! : N }. Solució. Se = +! +! +... +!. Clrmete < pr todo N, y demás +.Más ú < + + +... + < 3, pr todo N, es decir, el cojuto A es cotdo. El resultdo se sigue e virtud del xiom del supremo. Teorem. (Teorem de los Itervlos Ecjdos). Cosidere u sucesió decreciete de itervlos cerrdos y cotdos I I I 3... I... co I =[,b ], etoces existe c R tl que c I. Demostrció. Ls iclusioes I I + sigific que 3...... b... b b El cojuto A = {,,...,,...} es cotdo y por lo tto, posee supremo c = supa. Clrmete c pr todo N, y demás como cd b es cot superior de A, etoces se tiee que c < b, luego c I pr todo N... Límite de Sucesioes U sucesió es u fució f : N R cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles. E vez de l otció usul, sber f (), utilizremos l siguiete: (x ) N o veces simplemete (x ). Así x = f (). Defiició.8. Se (x ) u sucesió rel. Diremos que el ite de (x ) cudo tiede ifiito es igul, lo que deotremos por
6 Números Reles x =, si y sólo si pr todo ε >, existe N > tl que pr cd N se tiee x < ε. Observció.6. U sucesió que posee ite se dice covergete. E cso cotrrio, diremos que l sucesió es divergete. Ejemplo.7. Se ( ) = /, demuestre que = =. Solució. Se ε >. Como x = es el ífimo de ( ) teemos que existe N tl que / < ε. Además como + <, tedremos que / < ε pr todo, es decir, < ε, pr todo. Ejemplo.8. L sucesió ( ) = es clrmete covergete co =. Teorem.3 (Uicidd del ite). Se ( ) u sucesió covergete. Si se tiee que Etoces = b. = y = b. Demostrció. Supogmos que = y b. Se ε = b /, etoces los itervlos ( ε, + ε) y (b ε,b + ε) so disjutos. Como =, existe N tl que ( ε, + ε) pr todo, es decir, (b ε,b + ε). Luego, Ejemplo.9. L sucesió o es covergete. b. { si es pr ( ) = si es impr Teorem.4. Tod sucesió covergete es cotd. Demostrció. Se = y ε =. Existe N tl que pr todo se tiee que (, + ). Cosideremos hor el cojuto de elemetos de l sucesió ú o estudidos, se F = {,,...,,,+}, c = míf y d = máxf, etoces c d. Por lo tto, { } es cotd. Ejemplo.. L sucesió ( ) = es divergete. Solució. Es divergete pues o es cotd. E efecto, ddo R y ε > se tiee que > + ε pr lo suficietemete grde.
. Límite de Sucesioes 7 Observció.7. Existe sucesioes cotds que o so covergetes. Por ejemplo, { si es pr ( ) = si es impr Diremos que l sucesió ( ) es creciete si pr todo < m se tiee que m. Aálogmete diremos que l sucesió ( ) es decreciete si pr todo < m se tiee que m. E cso que ls desigulddes se estricts diremos que ls sucesioes so estrictmete crecietes y estrictmete crecietes, respectivmete.u sucesió se dice moóto si es creciete o decreciete. Teorem.5. Tod sucesió moóto y cotd es covergete. Demostrció. Probremos el cso e que l sucesió es creciete, el cso decreciete es completmete álogo. Se ( ) tl que 3... y se = sup{ : N}. Afirmmos que =. E efecto, ddo ε > existe N tl que ( ε, + ε). Como l sucesió es moóto, pr todo teemos que ε < <, es decir, ( ε, + ε) pr. Ejemplo.. Cudo = y =, l sucesió ( ) es costte y e cosecueci, covergete. Cudo = l sucesió oscil y por tto, o coverge. Si > etoces l sucesió o es cotd y por lo tto diverge, y lo mismo sucede cudo <. Cosideremos el cso e que (,). Etoces l sucesió,,, 3,... es decreciete y cotd. Afirmmos que =. E efecto, otemos que pr b > l sucesió x = b es creciete y o es cotd superiormete. Esto es cosecueci de l desiguldd de Beroulli (ver ejemplo A.3), si b = +d se tiee que pr N teemos que b + d. Así pr cd N existe N N tl que N. Luego, ddo ε >, existe N tl que si >, etoces < ε. Ejemplo.. Se < < y = + + +... +. Pruebe que =. Solució. Notemos que = +, luego = + = +. E virtud del ejemplo 3.48 teemos que ddo ε >, existe N tl que si > etoces + < ε. Luego, si > etoces + < ε, es decir, < ε. Ejemplo.3. Demuestre que l siguiete sucesió es covergete: cote el vlor de su ite. = 3 5 ( ), 4 6
8 Números Reles Solució. L sucesiò ( ) es decreciete y cotd iferiormete, e efecto:. Es clro que pr todo N se tiee que <, y que es el cuociete de reles positivos. Por lo tto es cotd iferiormete.. Notemos que + = + y + <, es decir + <. Por lo tto l sucesió es decreciete. Luego, l sucesiò es covergete. Se = L. Notemos que L = íf{ : N}, = y que todos los elemetos de l sucesiò so positivos, por lo tto L. Ejemplo.4. Demuestre que, l sucesió defiid por es covergete. Clcule su ite. = + = + 6 pr >, Solució. L sucesió es creciete. E efecto, probremos el resultdo por iducció. Notemos que el resultdo es válido pr los dos primeros térmios Supogmos hor que < +. Etoces + = + 6 = < 4 =. < + + 6 = +. Por lo tto l sucesió es creciete. Notemos demás que es cotd superiormete. E efecto, = < 6. Supogmos que < 6, etoces + = + 6 < 6 + 6 Hemos porbdo que l sucesió es creciete y cotd superiormete. Por lo tto es covergete. Deotemos por L su ite. Así, por álgebr de ites, Luego De dode = 6. + + 6 L = + = = + 6 = L + 6. L = L + 6 L = 6. Ejemplo.5. Se >. Defiimos l siguiete sucesió x =, x + = (x + x ). Demuestre l sucesió es decreciete, cotd iferiormete y que x =
. Límite de Sucesioes 9 Solució. Probremos que pr l sucesió es cotd iferiormete por. Es decir, ) (x + x. Elevdo l cudrdo, l expresió terior es equivlete ( x + x ) 4. Teemos que pr todo x > ( x x ), es decir x + x. Sumdo 4 obteemos que Luego De dode Por lo tto, pr todo teemos que x + + x 4. ( x + ) = x + + x x 4 =( ). x + = ( x + ). x (x + x ). Probremos hor que l sucesió es decreciete. Notemos que si x etoces ( x + 4 x ) 4 ) (x + x = x. x E prticulr, como x teemos que x + x. Como todos los térmios de l sucesió so positivos podemos coluir que x + x. Hemos probdo que l sucesió (x ) es decreciete y cotd iferiormete, por lo tto es covergete. Se L = x, etoces por álgebr de ites ) L = x = (x + x = ( ) x + = ( L + ). x L De dode Como L cocluimos que L =. L = L +, Teorem.6. Se ( ),(b ) dos sucesioes. Si ( ) es tl que y (b ) es u sucesió cotd, etoces =
Números Reles (icluso si (b ) o es covergete.) b =. Demostrció. Sbemos que existe C > tl que b < C pr todo N. Ddo ε >, como, existe tl que si >, etoces < ε/c. Luego, b = b < C ε C = ε. Ejemplo.6. Se x R, etoces si(x) =, y que l sucesió = / coverge y si(x). Ejemplo.7. Se [,], etoces como l sucesió ( ) es cotd y / teemos que =. Ejemplo.8. Se =( ), etoces se sigue directmete del Teorem.6 que ( ) 3 =. Teorem.7. Se ( ),(b ) b dos sucesioes tles que = y b = b. Etoces. ( + b )= + b.. ( b )=b. 3. Si b etoces = b b. Demostrció. Probremos sólo el primer cso. Ddo ε > existe, N tles que si > etoces x < ε/. Por otr prte, si > etoces y b < ε/. Se = máx{, }. Si > teemos que (x + y ) ( + b) x + y b ε. Observció.8. Es importte otr que el teorem.7 sólo es válido bjo l hipótesis de que tto l sucesió ( ) como l sucesió (b ) coverge. De otro modo o es posible hcer igu tipo de firmció como vemos e los siguietes ejemplos. Se c = l sucsió costte igul cero, etoces = c = ( ) + ( ). Se d = l sucesió costte igul uo. Eotces = d =. Teorem.8 (Sdwich). Se (x ),(y ),(z ) tres sucesioes tles que x z y pr todo N. Si x ey cudo, etoces z cudo. Demostrció. Ddo ε >, existe, > tles que si >, etoces x ( ε, + ε) y si >, etoces y ( ε, + ε). Si tommos = máx{, }, etoces pr todo > tedremos Ejemplo.9. L sucesió defiid por = ε x z y + ε. + + + + + +,
. Límite de Sucesioes pr todo N, coverge. E efecto, otemos que pr todo N teemos que Luego + + + + + + + Por otr prte, pr todo N teemos que Así Luego, + + + + + + + + + + +. ( ) + = = + +. + + + +. ( ) + = + +. = + + =. Por le Teorem del Sdwich (Teorem.8) teemos que =. Teorem.9. Se (x ),(y ) dos sucesioes covergetes. Si x y pr todo N, x x e y y, etoces x y. Demostrció. E efecto si x = x > y = y, etoces < x y = (x y ). De dode podemos cocluir que pr suficietemete grde x > y. Est cotrdicció prueb elresultdo. Observció.9. Si sólo supoemos x < y o es posible cocluir que x < y. Bst cosiderr ls sucesioes x = ey = /. El resto de est secció está dedicdo desrrollr ejemplos. Ejemplo.3. Clcule Solució. Ejemplo.3. Clcule + 3. + ( 3 = + ) =. ) 4 ( ( ) 3. Solució. ( ( ) 4 ) 3 = 4 ( ) 4 ( 3 ( ) 3 = 4 3 6 + 4 3 3 + 3 = 4 3
Números Reles Ejemplo.3. Clcule Solució. +. ( + = + ) ( = + ) =. Ejemplo.33. Demuestre que l sucesió defiid por es covergete. Solució. Notemos que el ite L buscdo es, =, + = +, + + + +... = L. E primer lugr probremos que l sucesió es creciete, es decir que pr todo N se tiee que +. Notemos que = = +. Supogmos que +. Teemos que + si y sólo si + + + si y sólo si + +. Probremos hor que l sucesió es cotd superiormete por C =, es decir que pr todo N se tiee que. Notemos que =. Supogmos que. Teemos que + = +. Así, l sucesió ( ) es creciete y cotd superiormete, por lo tto es covergete. Deotemos por L el vlos del ite. Si sumimos que =, lo que es cierto, pero ú o hemos demostrdo (ver Corolrio.5). Etoces L = + L si y sólo si L L =. Luego, como >, teemos que Ejemplo.34. Clcule Solució. = L = + 5. +. Ejemplo.35. Cosidere l sucesió ( + )= ( + ) ( + + ) ( + + ) + = + + = = + +
. Límite de Sucesioes 3 ( ) + =. Decid su covergeci. Solució. Teemos que por l fórmul del biomio, teemos ( ) + = + ( ) ( )( ) + +... +! = + + ( ) + ( )( ) +...! 3!... + ( )( ) (... ).! Así l sucesió { } es creciete y que medid que crece o solo el úmero de sumdos umet (estos so positivos) sio que demás cd sumdo crece. Probmos e el Problem.6 que l sucesió + +! +...! es cotd. Como... +! ( + + (! )( )... ) + ( 3! ( )( ) +... ) + +! +...! obteemos el resultdo. Deotremos por e el ite de ést sucesió. Ejemplo.36. Cosidere l sucesió Decid su covergeci. = Solució. Probremos que l sucesió es decreciete, como todos sus térmios so positivos, esto implic su covergeci. Notemos que > + + si y sólo si + > ( + ). E efecto, bst elevr l poteci ( + ). Es decir, ( > +. ) Como e virtud de los poblems teriores teemos que ( 3 > +. ) El resultdo es válido prtir de = 3. Así hemos probdo que es decreciete ( prtir de su tercer térmio) y cotd por lo tto coverge. Ejemplo.37. Si x > y x + x = <, etoces x =. Solució. E efecto, se < c <, etoces pr suficietemete grde, teemos que < x + x < c,
4 Números Reles es decir, < x + = x + x x < cx < x. Luego, l sucesió (x ) es moóto y cotd y por lo tto covergete. Se b = x. Como teemos que si etoces Pero como b y c >, cocluimos que b =. x + < cx, b cb ( c)b. Ejemplo.38. Como plicció del ejemplo terior, teemos que si k N, >, etoces k =! =! =. Solució. E efecto, si cosidermos x = k /, etoces teemos que x + ( + )k = x : k ( + )k = k = ( + ) k = ( + k, ) Así Si y = /!, etoces es decir, Si z =!/, etoces x + = x <. y + y = + ( + )! :! = +, y + =. y z + z = ( + )!! : ( + ) (+) = ( )!( + )!( + )( + ) =, + luego ( ) z + = = z + e <.... Subsucesioes Se ( ) N u sucesió y se N N u subcojuto de crdilidd ifiit de los úmeros turles. Llmremos subsucesió de ( ) N l sucesió ( ) N. Ejemplo.39. Cosidere l siguiete sucesió { si es pr; = si es impr. Ls siguietes so lgus subsucesioes de ( ). L sucesió formd por los úmero pres ( ) N y l sucesió formd por los úmero impres ( ) N. Ambs subsucesioes so covergetes, e efecto
. Límite de Sucesioes 5 = y =. L demostrció del siguiete resultdo es secill. Teorem.. Se ( ) u sucesió covergete co ite igul b, etoces tod subsucesió coverge b. Demostrció. E efecto, se ( ) N us sub-subsucesió. Ddo ε > existe N tl que pr todo > se tiee que (b ε,b + ε). Como el subcojuto N es de crdilidd ifiit, existe N tl que >. Luego, pr todo N tl que > se tiee que (b ε,b + ε). Ejemplo.4. Cosideremos l sucesió = pr >. Demuestre que =. Solució. Si > l sucesió es decreciete y si (,) l sucesió es creciete. E mbos csos es cotd, por lo que posee ite. Se L :=. Teemos que L >, e efecto, si (,) etoces / > pr todo N, de dode L. Si > etoces / >, de dode L. Cosideremos l subseucesió /((+)). Notemos que Luego Ejemplo.4. Demuestre que =. ( + ) = +. L = /((+)) / = /(+) = L L =. Solució. Y hemos probdo que est sucesió coverge. Se l =. Notemos que l = íf{ / : N}, por lo tto l. Cosideremos l subsucesió () /. Teemos que Como l teemos que l =. ( ) l = () ( ) = () = = = l. Ejemplo.4. Se {b k } u sucesió cotd. Se defie u sucesió { } por medio de: Demuestre que { } es covergete. = sup{b k ; k }. Solució. Recordemos que si A B etoces supa supb. Como {b k : k +} {b k : k } teemos que + = sup{b k : k + } {b k : k } =, es decir, l sucesió es decreciete. Por otro ldo, como {b } es cotd iferiormete existe m R tl que pr todo N se tiee que m b. Como demás, pr todo k se tiee que b, obteemos que pr todo N se tiee que { } es cotd iferiormete. por lo tto es covergete. Llmremos ite superior l úmero := supb. Teorem.. Tod sucesió ( ) posee u subsucesió moóto. Demostrció. Se A = {i N : i j excepto pr u úmero fiito de ídices j}
6 Números Reles B = {i N : i j excepto pr u úmero fiito de ídices j}, y cosideremos demás el complemeto C = N \ (A B). Si el cojuto A cotiee ifiitos elemetos etoces pr cd i A existe j A co j > i tl que i j. Por lo tto podemos defiir u subsucesió moóto decreciete escogiedo los ídices del siguiete modo: = mía y k+ = mí{i A : k+ > k y k k+ }. Si cojuto B cotiee ifiitos elemetos etoces podemos costruir u subsucesió o creciete de mer álog. E cso que tto A como B se cojutos fiitos, etoces pr cd i C existe eteros j,k C co j > i, k > i tl que i < j y i > k. Del mismo modo podemos costruir subsucesioes decrecietes y crecietes. Corolrio.. Tod sucesió cotd posee u subsucesió covergete. Demostrció. Bst otr que como tod sucesió ( ) posee u subsucesió moóto. Si supoemos demás que ( ) es cotd, etoces existe u subsucesió moóto y cotd. Ejemplo.43. Demuestre que si ( ) es u sucesió cotd tl que etoces existe u subsucesió (b ) de ( ) tl que l sucesió ( b+ b ) coverge. Solució. Cosidermos dos csos. Supogmos e primer lugr que existe ε > tl que k ε pr ifiitos vlores k N. Se (b ) l subsucesió formd or dichos elemetos. Etoces b + sup{ k : k N}. b ε Como l sucesió de los cuocietes es cotd existe u subsucesió covergete. Cosideremos hor el cso restte. Existe u subsucesió (b ) tl que b + < b. E este cso l sucesió del módulo de los cuocietes tmbié es cotd, de dode se tiee el resultdo. Cocluimos est sub-secció co el siguiete lem probdo por Michel Fekete e 939. Probremos que u sucesió sub-ditiv coverge. Ejemplo.44. Demuestre que si l sucesió ( ) es sub-ditiv, es decir, pr todo,m N se tiee que +m + m etoces el ite, existe o es igul meos ifiito. Solució. Supodremos que el ite o es meos ifiito. L prueb e ese cso es más secill y se deduce de l que presetmos. Se α = íf { : N }. Se ε > ym N tl que m m < ε + α. Noteos que todo úmero turl, puede escribirse de l form = qm+r dode r Z es tl que o r m. Defiimos =. Teemos etoces = qm+r m + m +... m + r = q m + r. Así = qm+r qm + r q m + r qm + r = m qm m qm + r + r. El resultdo se obtiee otdo que
. Límite de Sucesioes 7 α qm < (α + ε) qm + r + r.... Sucesioes de Cuchy Es posible dr u defició equivlete de covergeci pr u sucesió. L vetj de l siguiete crcterizció de suscesió covergete es que o es ecesrio coocer el ite. E efecto, bst probr que pr pr vlores suficietemete grdes los ídices,m N los vlores de l sucesió x y x m está rbitrrimete cerc. Defiició.9. Se (x ) u sucesió. Diremos que (x ) es u sucesió de Cuchy si ddo ε >, existe N tl que pr todo,m > se tiee que x x m < ε. Teorem.. U sucesió (x ) es covergete si y sólo si es u sucesió de Cuchy. Demostrció. Probremos e primer lugr que tod sucesió covergete es de Cuchy. Supogmos que x =. Es decir, ddo ε > existe N N tl que si > N etoces x < ε/ y si m > N etoces x m < ε/. Luego, si,m > N teemos que Por lo tto (x ) es u sucesió de Cuchy. x m x x + x m < ε + ε = ε. Probremos hor que tod sucesió de Cuchy es cotd. Pr ello cosideremos ε = y N tl que pr todo,m > se tiee que x x m <. Luego si > teemos que x x <. Cosiderdo x := máx{x,x,...,x,x,x +} y x := mí{x,x,...,x,x,x +} teemos que pr todo N x [x,x ]. A cotiució probremos que si u sucesió de Cuchy (x ) posee u subsucesió que coverge l puto etoces x =. Ddo ε > existe N N tl que si > N etoces x < ε/. Existe tmbié > tl que x < ε/. Luego pr > teemos que x x x + x < ε. Filmete podemos probr que tod sucesió de Cuchy coverge, Pr ellos bst otr que es cotd y que por lo tto posee u subsucesió covergete. E vist de lo terior l sucesió coverge...3. Límites Ifiitos Se (x ) u sucesió de úmeros reles. Diremos que (x ) tiede más ifiito, x =+, si y sólo si pr todo A >, existe N tl que pr todo se tiee que x > A. Ejemplo.45. El siguiete resultdo es cosecueci direct de l propiedd rquimide. =+.
8 Números Reles Ejemplo.46. Si >, etoces =+. Solució. E efecto, si >, etoces podemos escribir = + h co h >. Se A >, etoces = ( + h) > + h > A, siempre que > (A )/h. Luego, bst escoger > (A )/. Observció.. E geerl, u sucesió creciete es covergete si es cotd, y tiee ite ifiito si o es cotd. Ejemplo.47. pr p N. p =+, Aálogmete diremos que l sucesió (x ) tiede meos ifiito, y otremos x =, si ( x ) = +. Ejemplo.48. L sucesió x =( ) o tiee ite i + i. E efecto l subsucesió (x ) tiede más ifiito y l subsucesió (x ) tiede meos ifiito. Ejemplo.49. L sucesió { si = k +,k N, = k si = k,k N o posee ite. E efecto, l subsucesió ( + ) coverge cero, mietrs que l subsucesió ( ) tiede más ifiito. Observció.. Los úmeros + y o so úmeros reles. Por lo tto si = l sucesió ( ) o coverge. Teorem.3 (Opercioes Aritmétics co Límites Ifiitos). Se (x ),(y ) dos sucesioes, etoces se tiee que. Si x =+ e (y ) es cotd iferiormete, etoces (x + y ) = +.. Si x =+ y existe c > tl que y > c pr todo N, etoces 3. Se x > pr todo N, etoces 4. Si x,y, etoces x y =+. x = =+. x () Si existe c > tl que x > c pr todo N y si y =, etoces (b) Si (x ) es cotd y y =+, etoces x =+. y x =. y
. Límite de Sucesioes 9 Observció.. No es posible decir r e el cso que x =+ y y = Ejemplo.5. + =. = ( ) = +. Observció.3. Tmpoco es posible hcer igu firmció geerl e el cso de u cuociete del tipo ifiito sobre ifiito. Ejemplo.5. Ejemplo.5. Se >, etoces + =. =+. =+. Solució. E efecto, si tommos = + h co h >, luego si y por lo tto, y como se tiee el resultdo. =( + h) + h + + h + h, ( ) h, ( + h + ) h =+, Ejemplo.53. Se >, etoces =+. Solució. E efecto, si tommos = + h co h >, luego si 3 y por lo tto, y por lo tto, =( + h) + h + ( ) h + ( )( ) h 3, 3! + h + h + ( )( ) h 3, 3! =+. Ahor, co esto podemos demás deducir que ddo p N, se tiee que Ejemplo.54. Pr todo rel >, se tiee que p =+.! =+.
Números Reles Solució. E efecto, se N tl que / >, etoces si deotmos K =!/ teemos que pr todo >,! = K ( + ) ( + ) > K, luego! =+, es decir,! =+..3. Series U serie es u sum ifiit. Pr dr u setido preciso est expresió cosidermos u sucesió de úmeros reles ( ). Defiimos l sucesió de sums prciles (S ) por Llmremos serie l ite S = + + + = S = Si tl ite existe diremos que l serie coverge (o que es covergete), cso cotrrio diremos que diverge. Ejemplo.55. L siguiete serie coverge y podemos clculr su sum, E efecto, otemos que = M M = ( + ) = = ( + ) = i=. ( + ) =. M M = i= i. ( ) ( = ) =. + M M + Otro ejemplo e el que es posible clculr l sum el de l serie geométric (ver tmbié Ejemplo.). Ejemplo.56. Se R \{} y r > l serie geométric coverge si y sĺoo si r <. E efecto, teemos que r = M = r, = M = Es decir, l serie coverge sólo si r > y e tl cso r = M r = = r. U codició ecesri pr l covergeci es l siguiete, ( r r ).
.3 Series Teorem.4. Si i= es u serie covergete etoces =. Demostrció. Si S := + + + teemos que (S ) coverge. E prticulr Por lo tto S = S. = (S S )=. El recíproco de este resultdo es flso como se muestr e el siguiete ejemplo. Ejemplo.57. L serie rmóic se defiie por = /. Teemos que el térmio geerl es tl que =, y si embrgo l serie diverge. E efecto, otemos que como los sumdos de l serie so positivos l sucesió de sums prciles es creciete. Probremos que o es cotd superiormete. E efecto, otemos que Cd expresió ( 9 + + + 6 S k = + ( + 3 + 4 ) ( + + ) ( + 5 + 6 + 7 + ) 8 k + + k + + + k j + + j + + + j cotiee j térmios y cd térmio es myor que / j. Por lo tto S k > + k. Así k S k =, y como l sucesió (S ) es moóto creciete teemos que S =. Es decir, l serie rmóic diverge. Ejemplo.58. L serie = diverge y que su térmio geerl o tiede cero. ( ) = + + +... El siguiete resultdo es imedito de ls propieddes de sucesioes, Teorem.5 (Algebr de series). Si = = Ay = b = B etoces. Pr todo c R se tiee que = c = ca. = ( + b )=A + B El resultdo terior puede etederse como que ls series covergetes puede sumrse de l mer usul y que stisfce l propiedd distributiv. No hy, si embrgo, firmció lgu sobre el producto de series. Esto se debe que l propiedd comuttiv es más delicd como veremos más delte. E el siguiete Teorem se estblece u criterio pr determir l covergeci de u serie. Teorem.6 (Criterio de comprció). = x y = series de térmios positivos. + )
Números Reles. Si = es covergete y existe N N yk> tles que pr todo > N se tiee que x k etoces = x coverge.. Si = es divergete y existe N N yk> tles que pr todo > N se tiee que x k etoces = x diverge. Demostrció. Se S := x + + x, l sucesió de térmios positivos (S ) coverge si y sólo si es cotd. El resultdo hor se deduce directmete de ls hipótesis. Ejemplo.59. Se r >, l serie coverge si y sólo si r >. Notemos que si r (,] etoces = r, r. Como l serie = / diverge teemos que pr r (,) l serie = r tmbié diverge. Cosideremos hor el cso r >. Como los térmios de l serie so positivos, pr probr l covergeci de l serie bst probr que existe u subsucesió covergete. Se m = etoces S m = + ( r + 3 r ) + ( 4 r + 5 r + 6 r + 7 r ) + + + r + 4 + + 4r ( )r = i= ( ) r ( ) i r. Como l serie geométric i= ( r ) i coverge, teemos que pr todo m = S m i= ( ) i r = C <. Por lo tto l sucesió (S m ) m es moóoto y cotd, es decir coverge. De dode se tiee el resultdo. Defiició.. Diremos que u serie = es bsolutmete covergete si = es covergete. Teorem.7. Tod serie bsolutmete covergete es covergete. Demostrció. Si = es covergete etoces ddo ε > existe N tl que si > etoces pt todo p N se tiee + + + +p < ε. El resultdo se sigue de l desiguldd trigulr, y que + + + +p + + + +p < ε. Teorem.8 (El test de l rzó). Se = u serie de térmios positivos.. Si ( + / ) < etoces l serie coverge.. Si ( + / ) > etoces l serie coverge. Demostrció. Demostrremos el resultdo supoiedo que todos los térmios so positivos. Supog que ( +/ )=L <. Se ε >, etoces existe N N tl que si > N etoces
.3 Series 3 L ε < + < L + ε. Se r = L+ε, Etoces pr > N teemos que + < r. Es decir, N+ < r N+ < r N. Iductivmete obteemos < N+ r N+. Como l serie geométric coverge el resultdo se obtiee por el criterio de comprció. Pr probr l segud firmció bst otr que si etoces N+ > ra N+ > r N+. Es decir y por lo tto l serie diverge. Observció.4. E cso que ( +/ )=L > =, ( +/ )= d podemos cocluir co respecto l covergeci de l serie. E efecto, ote que pr ls siguietes series el ite es igul uo, = y =, mietrs que l primer diverge y l segud coverge. Observció.5. E itereste otr que u versió más fuerte del Teorem.8 es válido. E efecto se = u serie de térmios positivos.. Si sup ( + / ) < etoces l serie coverge.. Si if ( + / ) > etoces l serie coverge. Ejemplo.6. Se > demuestre que l siguiete serie cioverge Notemos que Como + (+)!! =!. = +. + = el test de l rzó os permite cocluir que l serie coverge. El siguiete es otro test de covergeci Teorem.9 (El test de l ríz). Se = u serie de térmios positivos.. Si < etoces l serie coverge.. Si > etoces l serie coverge. Demostrció. Demostrremos el resultdo supoiedo que todos los térmios so positivos. Se = ρ < y cosidere ρ (ρ,). Pr vlores suficietemete grdes de teemos que < ρ. Como
4 Números Reles = ρ coverge, el criterio de comprció os permite cocluir que l serie = coverge. Del mismo modo si = ρ > y cosidere ρ (,ρ) teemos que > ρ. Como = ρ diverge, el criterio de comprció os permite cocluir que, e este cso, l serie = diverge. Observció.6. E itereste otr que u versió más fuerte del Teorem.9 es válido. E efecto se = u serie de térmios positivos.. Si sup < etoces l serie coverge.. Si if > etoces l serie coverge. Notemos demás que si sup = el test o os permite cocluir d. E efecto ote que pr ls siguietes series = y =, teemos que sup = y e u cso l serie diverge mietrs que e le otro coverge. Ejemplo.6. Demuestre que l siguiete serie coverge 3. Aplicdo el test de l ríz teemos que = Por lo tto l serie coverge. 3 = 3 <. Observció.7. Es itereste otr que el test de l ríz es más fuerte que el de l rzó. E efecto bst otr que pr tod sucesió ( ) costd de úmeros reles teemos que + if if sup El siguiete resultdo es u versió del Criterio de Cuchy pr series, + sup. Teorem. (Criterio de Cuchy). U serie = es covergete si y sólo si pr todo ε > existe N tl que si > yp N etoces Demostrció. Bst otr que + + + + + +p < ε. + + + + + +p = S +p S y plicr el criterio de Cuchy de sucesioes (ver Teorem.) (S ) Es importte otr que o tod serie covergete es bsolutmete covergete. Es más, teemos el siguiete resultdo. Teorem. (Test de Leibiz). Se ( ) u sucesió o creciete tl que = etoces l serie ( ) es covergete. =
.4 Ejercicios 5 Demostrció. Este resultdo puede demostrrse utilizdo el criterio de Cuchy. Ejemplo.6. L serie ( ) = es covergete por el test de Liebiz, si embrgo o es bsolutmete covergete. Cocluiremos l secció de series estudido reordemietos. Defiició.. Cosideremos l serie =. L serie = b es u reordemieto de = si existe u biyecció φ : N N tl que pr todo N teemos que b = φ(). Teorem.. Si l serie = coverge bsolutmete etoces todo reordemieto coverge l mismo ite. Demostrció. Supogmos e primer lugr que pr todo N se tiee que. Se (b ) u reordemieto de ( ) ddo por l biyecció φ. Se m = máx{φ(i) : i {,,...,}}. Etoces i= φ(i) Utilizdo φ podemos otr que pr todo m N existe N tl que i= φ(i) m i= i. Por lo que podemos cocluir que mbs sums so igules. El cso geerl se reduce seprdo l port positiv de l egtiv de. Teorem.3 (Riem). Se = u serie covergete, pero o bsolutmete covergete. Ddo c R existe u reordemieto = b de = tl que m i= b = c. = Demostrció. Ddo c R, sume los térmios positivos de ( ) hst que l sum se myor que c. Esto es posible y que l sum de los térmios positivos es igul ifiito. Sume hor los térmios egtivos hst que l sum se meor que c. Esto es posible y que l sum de los térmios egtivos es igul meos ifiito. Procediedo de est mer obteemos u uev serie que es u reordemieto de de l origil. Ls sums prciles o sólo oscil lrededor de c, sio que coverge ese vlor. i..4. Ejercicios Alguos de los siguietes ejercicios prece e los textos de Bor y Khoury [], Bressoud [3], Hrdy [], Lim [4] y del texto de Póly y Szegö [5].. Demuestre que el ífimo del cojuto { } cos A := : N, es igul cero.. Se (,). Demuestre que el ífimo del cojuto es igul cero. A := { : N},
6 Números Reles 3. Determie el ífimo y el supremo del cojuto { } m A := + m + : m, N. 4. Determie el ífimo y el supremo del cojuto { } m A := m + : m Z y N. 5. Determie el ífimo y el supremo del cojuto { } m A := 4m + : m, N. 6. Se A,B R dos subcojutos o vcíos y cotdos de úmeros positivos. Defiimos el cojuto AB := {xy : x A,y B}. Demuestre que AB es u cojuto cotdo y determie el supremo de AB. 7. Dds dos fucioes f,g : [,] R cotds demuestre que el producto f g : [,] R es u fució cotd co sup( f g) sup f supg y íf( f g) íf f ífg. 8. Se f u fucio positiv y cotd superiormete demuestre que sup( f ) = (sup f ). 9. De u ejemplo de u fució cotd que o lcz su supremo.. Demuestre que si A,B R so dos cojutos cotdos tles que pr todo s A y S B se tiee que s S, etoces supa = ífb si y sólo si pr todo ε > existe s A y S B tles que S s < ε.. Utilizdo el Teorem de los itervlos ecjdos demuestre que el cojuto de los úmero reles es o umerble.. Se ( ),(b ) b dos sucesioes tles que = y b = b. Demuestre que ) ( b )=b. b) =, si b. b b 3. De u ejemplo de u sucesió ( ) tl que =, pero l sucesió ( ) o coverge. 4. Pruebe que si (x y )=y x = etoces y =. 5. Se = +. Demuestre que l sucesió es moóto decreciete y cotd. Clcule su ite. 6. Determie si l sucesió defiid por = 3, + = ( ), coverge. 7. Pruebe que pr todo úmero rciol r Q se tiee que 8. Clcule los siguietes ites: ) ( + r ) = e r.
.4 Ejercicios 7 ( + ), b) c) ( + ) 4, + ( ) (+) + + 3. + + 9. Se yb. Demuestre que + b = máx{,b}.. Demuestre que, si x = etoces x + x +...x =.. Demuestre que si = y todos los térmios de l sucesió so positivos etoces. Demuestre que 3. Clcule 4. Clcule el ite de l sucesió defiid por =... =. 4 ( + )( + )... = e. ( + + + ). + + + + + + 3. 5. Clcule 6. Ddo p N fijo, clcule 7. Se,b,c >. Clcule 8. Clcule 9. Clcule los siguietes ites ) b) c) ( + ( + ) + + ) (). p + p + + p. ( ) + b. + c e +. (!) ( 3 ) + 3,,
8 Números Reles 3. Demuestre que l sucesió defiid por + + 3 + + 3. = + + + + + +, es covergete y que su ite pertece l itervlo [/,]. 3. Demuestre que si ( ) es u sucesió de térmios o egtivos tl que existe K (,) de modo que pr todo N se tiee que + K. Etoces =. 3. Se B >. Demuestre que l sucesió defiid por = (B ) coverge. 33. Se ( ) u sucesió creciete y (b ) u sucesió decreciete. Demuestre que si pr todo N se tiee que < b etoces ls dos sucesioes coverge. 34. Se ( ) u sucesió tl que ( + )=c. Demuestre que = c. 35. Se r N u úmero turl y x R u úmero rel. Estudie l covergeci de l sucesió defiid por = r x. 36. Se β >. Cosideremos l sucesió defiid por = ( β ). Demuestre que l sucesió coverge. Defi demás l siguiete fució, f : (, ) R, f (β) := ( β ). Demuestre que f (β) (/β). 37. Se < β <. Cosideremos l sucesió defiid por = ( β ). Demuestre que l sucesió coverge. Pruebe que l fució f : (, ) R, defiid por f (β) := ( β ), stisfce l siguiete propiedd f (/β)= f (β). 38. Se = ( ( ) ). Demuestre que + + + =. 39. Se x R. Clcule el ite π rct(x). E teorí de úmeros l fució defiid por f (x)= π rct(x), es llmd sigo de x. 4. Se x Q u úmero rciol. Estudie l covergeci de l sucesió defiid por = se(!xπ).
.4 Ejercicios 9 4. Se S := {(,b) N N : b y + b = }. Deotemos por = b + b + + m b m. m Dode ( i,b i ) S. Es decir es el promedio ritmético de los prductos de los todos los pres (,b) S. Demuestre que = 6. 4. Se ( ) u sucesió super-ditiv, es decir, existe u costte C > tl que pr todo m, N se tiee + m < +m +C. Demuestre que el ite o bie existe o bie es igul ifiito. 43. Todo úmero x (,) puede escribirse como frcció cotiu de l form x = + + 3 +... =[ 3...], (.) dode i N. U resultdo clásico e teorí de úmeros firm que x (,) es irrciol si y sólo si su expsió e frccioes cotius es ifiit, es decir x =[ 3...]. Defi los siguietes úmeros rcioles p q =[... ]. Demuestre que p = x. q 44. E [] se sugiere u ltertiv secill pr demostrr que ( + = ) Pruebe que r= y deduzc el resultdo. 45. Se defie recursivmete l sucesió ( ) por ( r! > + > ) r= r= r! = e. r! 3, = ; + = 3, pr =,, 3,... Demuestre que ( ) es sucesió covergete y ecuetre su ite. 46. L sucesió de Fibocci se defie recursivmete por Kepler otó l siguiete relció: = =, y + = + +.
3 Números Reles + = + 5. Demuestre l observció de Kepler. 47. Se,b R co < b. Defiimos recursivmete ls sucesioes (x ) e (y ) por x = b; y = + b ; x + = x y ; y + = x + y, pr >. Demuestre que mbs sucsioes coverge l mismo ite. 48. Clcule los siguietes ites ) b) ((log( + ) log)). + se(π/). + 49. El siguiete resultdo puede ecotrrse e el rtáculo de Joes [8, p.683]. Se ( ) N = u sucesió de úmeros o egtivos. Se { } k := sup + j : k {,...,N }. k Demuestre que 5. Se ( ) u sucesió tl que Demuestre que j= crd{ N : λ} λ + = p. = p. N. = 5. E 65 Glileo otó qu l sucesió de los úmeros impres tiee l siguiete propiedd 3 = + 3 5 + 7 = + 3 + 5 7 + 9 + =. Glileo observó que est es l úic progresió ritmétic co est propiedd. Determie si l firmció de Glileo es correct. Cosidere sucesioes pr ls cules l rzó de l sum de los primeros térmios sobre l sum de los siguietes térmios es costte (ver []). 5. Se ( ) u sucesió o creciete de úmeros o egtivos, + pr todo N. (.3) Deotrremos por C l siguiete codició: Pr cd x > yu R el siguiete ite existe u u< ux Se ( ) tl que stisfce.3. Demuestre que si ( ) tmbié stisfce C etoces existe. El recíproco de este resultdo tmbié es válido (ver [3]). 53. J.H. Cowy cosideró l siguiete sucesió (ver []),.,,,,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9,...
.4 Ejercicios 3 defiid recursivmete del siguiete modo, = = y pr 3 = +. Demuestre que =. 54. L sucesió de Goly-Rudi-Shpiro (ver [4]) se defie recursivmete por =, = y + =( ). Se s()= k= k. Demuestre que pr todo N se tiee que s() >. 55. Dd u sucesió ( ) podemos costruir u uev sucesió (b m ) m del siguiete modo (ver [4]). Se d N, pr cd m N defimos b m como el m ésimo térmio de l sucesió que se costruye coctedo d veces el térmio, del siguiete modo:,..., } {{ },,...,, } {{ } 3,..., 3,... } {{ } d, térmios d, térmios 3d, 3 térmios Por ejemplo si = y d = etoces (b m ) m viee dd por,,,3,3,3,4,4,4,4,... Demuestre que b m = f (m). Dode f : N N se defie por f (m)= m d + y x = mí{ Z : x }. 56. S. Ulm itrodujo l siguiete sucesió, se u = yu =. Costruimos u sucesió creciete de eteros. U úmero etero u perteece l sucesió si puede escribirse de mer úic como l sum de dos úmeros perteecietes l sucesió, es decir u = u m + u k co m,k <. Los primeros térmios so,,3,4,6,8,,3,6,8,6,8,36,38,47,48,53,57,... Aprte de + = 3 puede l sum de dos elemetos cosecutivos de l sucesió perteecer l sucesió, u + u + = u m? Existe gps rbitrrimete lrgos e est sucesió? (ver [6]). 57. Se ( ) y (b ) dos sucesioes tles que Demuestre que l sucesió defiid por es tl que = y =. + +... b + b +...b b r = b + b + 3 b + + b, r =. r + r +...r 58. Se,,..., l eteros positivos distitos de uo y si fctores comues. Deotemos por A el úmero de solucioes eters, o egtivs de l ecució Demuestre que x + x + + l x l =.
3 Números Reles A l = l (l )!. 59. Demuestre que si ( ) es u sucesió tl que tod subsucesió (b ) es tl que b +, b etoces existe lo más dos putos los que coverge tod subsucesió covergete. 6. De u ejemplo de u sucesió ( ) N tl que pr todo m N existe u subsucesió ( ) Nm, de modo ést que coverj m. 6. Se ( ) u sucesió cotd tl que, pr todo N. Demuestre que existe u subsucesió (b ) tl que l sucesió ( ) b+, coverge (ver [5]). 6. Utilizdo l defició de ite superior dd e el ejemplo.4 demuestre que ) sup(x + y ) supx + supy. b) sup(y x ) (supx )(supy ). Costruy ejemplos dode ls desigulddes so estricts. 63. Se ( ) u sucesió de úmeros positivos tl que b =. Demuestre que existe ifiitos ídices i N pr los que i > m, dode m N es tl que m > i. 64. Demuestre que log( + ) =. log 65. Demuestre que 66. Se (x ),(y ) dos sucesioes, demuestre que! =. ) Si x =+ e (y ) es cotd iferiormete, etoces (x + y ) = +. b) Si x =+ y existe c > tl que y > c pr todo N, etoces c) Se x > pr todo N, etoces x y =+. x = =+. x 67. Se (x ) e (y ) dos sucesioes tles que x,y. Demuestre que () Si existe c > tl que x > c pr todo N y si y =, etoces (b) Si (x ) es cotd y y =+, etoces x =+. y
.4 Ejercicios 33 68. Se ( ) u sucesió tl que x =. y m + < m+ < m + +. Demuestre que el siguiete ite existe. Es más, si deotmos por ω el vlor del ite etoes ω < < ω +. 69. Se ( ) u sucesió de úmeros positivos y se t = + + +. Se Demuestre que ) si α < etoces l sucesió (t ) coverge, b) si α > etoces l sucesió (t ) diverge. 7. Defiimos el -ésimo iterdo de l fució seo por Demuestre que si sex > etoces Es más loglog sup = α. se x = sex y se x = se(se x). se x =. 3 se x =. 7. Se ( ) y (b ) dos sucesioes de úmeros reles. Supog que (b ) es estrictmete creciete y o cotd y que el siguiete ite existe + = L. b + b Demuestre que 7. Se ( ) l sucesió defiid por = L. b = + + 3 +.... Demuestre que pesr de que ( ) es divergete, pr todo p N teemos que ( +p )=. 73. El siguiete resultdo lo utiliz P. Wlters e su demostrció del Teorem de Oseledets [7, Lemm]. Demuestre que si,b > pr etoces
34 Números Reles ( ) sup log( + b )=máx sup log,sup logb y ( if log( + b ) máx if log,if ) logb. 74. Costruy u sucesió de úmeros turles ( ) (cero o es cosiderdo como úmero turl) tles que + + + =, mietrs que <. Observe que cd sucesió de úmeros turles se le puede socir, medite l descomposició e frccioes cotius, u úmero rel e el itervlo [, ]. Los ejemplos costruídos e este ejercicio puede etederse como ejemplos de úmeros reles pr los que su descomposició e frccioes cotius posee ls propieddes tes meciods. Es posible demostrr que csi todo úmero rel e [,] stisfce ls propieddes requerids (ver [6, p.83]). 75. Costruy u sucesió de úmeros turles ( ) tles que + +... sup <, y uo de los siguietes ites exist mietrs que el el otro o: + +... y 76. El siguiete resultdo prece e [3, Lemm 3.]. Se ( ) u sucesió de úmeros reles y se c = sup. Existe u sucesió (b ) de úmeros reles positivos tles que y b exp( s)= = b =. b + { fiito s > c. s c, 77. Diremos que u sucesió ( ) coverge e el setido de Cesáro si el siguiete ite existe: ) Se ( ) =(,,,,,,,...). Clcule i= i. b) Costruy otros ejemplos de sucesioes que o coverge, pero que se covergetes e el setido de Cesáro. c) Demuestre que si u sucesió ( ) coverge etoces coverge e el setido de Cesáro y el ite es el mismo. 78. Se (p ) N {} u sucesió de térmios positivos tles que i= i.