0 Demuestr, de form rzond, ls siguientes igulddes: lul el ángulo de elevión del Sol sore el orizonte, se ) ( sen ) ose o se siendo que un esttu proyet un somr que mide otg os tres vees su ltur. ) ( sen ) o s os tg sen sen ) otg os otg os tg, 8,4 8 6 6 En un triángulo, retángulo en, onoemos l ltur d) o s 4 sen sen tg orrespondiente l vértie, que es 7 m, y el teto que es de 9 m. lul el vlor de los ángulos y, del teto os tg e) ( tg ) ( otg ) (s, y de l ipotenus,. en os ) sen os ) se, s en, os ot g os ( sen ) os,ose /sen Sustituimos en el primer miemro de l iguldd: s en os se os os sen os sen os ) sen os tg sen /os os sen sen 7 os os 8 6, y por tnto 7 9 Sustituimos en el primer miemro y simplifimos: 9 os o s sen s or otr prte: sen 4, m y,4 m en sen os 4 En un triángulo retángulo, onoemos l ltur orrespondiente reltiv l ipotenus, que es m, y l ipotenu- os o s s en sen os s, 0 m. lul el vlor de los ángulos gudos, y l ) Ftorizndo y epresndo os sen,se otiene: medid de los tetos. os s (sen ) os en d) Epresndo l difereni de udrdos omo sum por difereni, l sum vle. Luego se sepr el primer miemro en dos friones y se simplifi: o s sen sen os sen os sen os sen os 0 m otg tg tg tg tg tg odemos plnter: y 9 0 e) Epresndo l tngente y l otngente en funión del Esto signifi que l ltur determin sore l ipotenus dos seno y del oseno, y reduiendo omún denomindor segmentos, de 9 m y m. d préntesis, undo se multiplin estos se otiene: os sen os os s (se n os ) En nuestr figur, on : tg / 8 6 6, y por tnto, el otro ángulo gudo en sen os es, proimdmente, 7 4. Triángulos retángulos sen / 0 m 9,49 m y 0 m,6 m Resuelve d uno de los triángulos retángulos de l figur. onoiendo l longitud de l ipotenus de un triángulo retángulo, 6 m, y que l proyeión ortogonl de uno de los tetos sore ell es de 9 m, lul el áre del triángulo. 4 m m ) 90 6 4 os,6 m; 4 sen,69 m ) 90 4,8 m;, m tg sen ) sen 0 0 ; 60 ; m 8,66 m 0 m m 9 m 9 m 6 m Tomndo l ipotenus omo l se del triángulo, podemos lulr l ltur orrespondiente l ipotenus del siguiente modo: tg 9 6 9 6 6 m El áre será: 86 m 6,0 m 7 m m 40 Trigonometrí y números omplejos
6 En un tringulo retángulo, un teto,, mide m y su 9 Uno de los ángulos de un triángulo retángulo mide proyeión sore l ipotenus 4 m. lul l longitud de 7 4 y su teto opuesto, 4 m. uánto miden l ipotenus y del otro teto. los otros ldos y ángulos del triángulo? m 4 m Se l longitud de l ipotenus, y l del otro teto. os 4 m 4 os 4 sen 4 y tg 4 4 40 L ipotenus mide 8,9 m, el otro teto, sen 7,60 m, y el otro ángulo gudo, 6 4 48. tg lul el perímetro del triángulo retángulo, siendo que l longitud del segmento es m. 0 7 8 y omo tmién tenemos que tg tg m 4 or tnto, l ipotenus mide 6, m y el otro teto,,7 m. onstruye un triángulo retángulo uyos tetos midn m y m. lul l longitud de l ipotenus, ls proyeiones de los tetos sore l ipotenus, l ltur orrespondiente l ipotenus y los ángulos gudos de dio triángulo. y plindo itágors, l ipotenus mide y m. prtir de l figur, podemos deduir: sen de lo que se dedue lo siguiente: 7, su omplementrio: 67 48 6 0 4,6 m;,9 m y l otr proyeión, y, será: y 44,077 m, y os,077 m En un triángulo retángulo, l ltur sore l ipotenus l divide en dos segmentos de 4, y 7,8 m. lul: ) Los ángulos gudos del triángulo. ) Su áre. ) L longitud de los tetos. y m 4, m 7,8 m prtir de l figur sen 7,8, Luego podemos lulr 9,7 m ) on podemos lulr los ángulos del triángulo: 4 4, su omplementrio: 6 6 ) El otro teto, y, se puede lulr por itágors o prtir del ángulo, y result ser y 7, m. ) on los dos tetos se puede lulr el áre del triángulo, que es de,04 m,proimdmente. m os 0 m m, puesto que el ángulo 4 or itágors, m. El perímetro es pues: 6 0,4 m rolems de pliión 4 Un irunfereni mide 48,6 m y ls dos tngentes trzds desde un punto eterior formn un ángulo de. lul l distni del entro de l irunfereni dio punto. En primer lugr, lulmos el rdio de l irunfereni: r 48, 6 7,7 m or y se puede llr l distni pedid: r r sen, D sen D,7 m D, 4 Los rdios de dos irunferenis tngentes eteriormente son de m y 8 m, respetivmente. lul el ángulo que formn sus tngentes omunes. m r 4 90 8 m or semejnz de triángulos: 8 6,9 m or lo que sen 8 7,79,48 6 6 D,. Trigonometrí I 4
4 jo un ángulo de 90, un ro divis dos pltforms petrolífers. Se se que l distni un de ls pltforms es de 6,8 km, y que l distni l líne imginri que ls une es de 6 km. lul l distni que y entre ls pltforms y l distni del ro l segund pltform. 47 El ángulo desigul de un triángulo isóseles es de. Los ldos igules miden 7 m d uno. lul el áre del triángulo. 7 m 7 m 6,8 km 6 km y r lulr l ltur del triángulo emos: 7 os, 6,84 m or lulmos l mitd de l se: 7 sen,, m 44 4 46 Se l distni l segund pltform e y l distni entre ls pltforms: 6 sen 6,8 De est iguldd se dedue el ángulo y prtir de él, tenemos que: 6,8 tg,7 km 6,8 y 4,4 km o s Ls distnis son, proimdmente, 4,4 km y,7 km, respetivmente. lul los ángulos de un romo siendo que l longitud de sus ldos es de m y que sus digonles miden 6 m y 8 m. prtir de l figur, se puede deduir que: 4 tg 4 or lo que,. Y omo es el ángulo omplementrio de, vle 6,87. or lo tnto, los ángulos del romo de l figur son, proimdmente, 06,6 y 7,74. Desde un elióptero que vuel 00 m de ltur se oserv un puelo, jo un ángulo de depresión de. lul l distni del elióptero l puelo medid sore l orizontl. tg 0 0 64, m El ángulo desigul de un triángulo isóseles mide 4 6. El ldo desigul mide 7 m. lul el áre del triángulo., tg 6 8 7, 4, m tg 6 8 48 49 0 El áre del triángulo es: 0, m El áre de un triángulo retángulo es 0 m,y su ipotenus mide m. verigu el vlor de los ángulos gudos de dio triángulo. 0 y De sen se dedue que 7, luego 90 67 48 Los ángulos gudos son, proimdmente 67 48 y 7. Un grupo de omeros intent llegr on un esler de m de longitud un ventn de un edifiio que está situd 4 m del suelo, de donde sle un dens nue de umo. qué distni de l pred del edifiio rán de olor los omeros el pie de l esler pr poder entrr por l ventn? Simplemente por itágors, d 4 m Situdos en un punto de un terreno orizontl, el ángulo que form l visul dirigid l punto más lto de un árol on l orizontl, es de 60. uál será el ángulo que se formrá si nos lejmos un distni del árol el triple de l iniil? Medinte un esquem y llmndo l distni iniil, tenemos que: tg 60 / tg 60 tg tg / 0 Desde el suelo, vemos l terrz de un rsielos jo un ángulo de 40. on qué ángulo l verímos desde un distni que fuer l mitd de l nterior? Medinte un esquem y llmndo l distni iniil, tenemos que: tg 40 / tg tg 40 9 7 tg / L ipotenus de un triángulo retángulo mide el triple que uno de los tetos. verigu el vlor de los ángulos de este triángulo y l relión entre l ipotenus y el otro teto. or itágors, el otro teto mide del primero, por lo que l relión entre l ipotenus y él es. Luego los ángulos gudos miden 70 44 y 9 8 6. 4 Trigonometrí y números omplejos
El rdio terrestre, R, mide lrededor de 6 70 km. uál es l longitud proimd del prlelo que ps por Sevill? (Ltitud de Sevill: 7 0 ) 7 Un pentágono regulr está insrito en un irunfereni de rdio 0 m. lul: ) El áre del pentágono. ) El áre de l oron irulr que formn di irunfereni r y l irunfereni insrit en el pentágono. ) El ángulo entrl del pentágono mide 7. Si l es el ldo: l/ 0sen 6,88 m l,76 m 7 0' R L potem mide: 0os 6 8,09 m 0sen 6 0os 6 7,76 m Del diujo deduimos: r R os 7 0 064,9 km. or tnto, l longitud del prlelo será r 8,8 km. 4 lul los ángulos que determin l digonl de un j de zptos de 0 m on d un de ls rs. D 0 80 m on l r de 0: sen 0 4 8 80 0 on l r de : sen 7 4 80 on l r de 0: sen 4 7 44 80 Un retángulo de m 4 m está insrito en un irunfereni. Hll uánto miden los ros que determin en ell. m 4 m m, m L digonl del retángulo mide m y el rdio,, m. Los ángulos que determinn ls digonles son: tg, 06,6 y, por tnto, el otro, ángulo será 7,74. Los ros medirán, dos dos: 06,6 6, 0 4,64 m; 7,74, 6, m 0 6 Hll el áre de un otógono regulr insrito en un irunfereni de m de rdio., m 8 9 60 ) El rdio de l irunfereni insrit es 0os 6 8,09 m (0 8,09 ) 08,4 m lul el rdio de l irunfereni insrit y irunsrit un deágono regulr de m de ldo. 6 m Este deágono se puede desomponer en diez triángulos isóseles de ángulo desigul 6 y de ldo desigul m. El rdio de l irunfereni irunsrit mide lo que uno de los ldos igules de estos triángulos,. El rdio de l irunfereni insrit mide lo que l ltur de uno de estos triángulos,.,, 40,4 m 8,47 m se n 8 tg 8 Un lu náutio dispone de un rmp pr efetur sltos de esquí uátio. Est rmp tiene un longitud de 8 m y su punto más elevdo se enuentr m sore el nivel del gu. Si se pretende que los esquidores slgn desde un punto, m de ltur, uántos metros y que lrgr l rmp sin vrir el ángulo de inlinión? Se de mntener sen 0, si el ángulo de inlinión de ser el mismo; sí, pr sltr desde, m de ltur se neesitrán,/0, 0 m, es deir, y que lrgrl m. Un trpeio regulr tiene un ltur de 4 m y sus ses miden 8 m y 4 m, respetivmente. lul su perímetro, su áre y el vlor de sus ángulos. 8 m irunfereni insrit irunfereni irunsrit 4 4 m El otógono se puede dividir en oo triángulos isóseles uyo ángulo desigul es de 4 y sus ldos igules miden m. prtir del diujo se oserv que: os, 4,69 m sen,,87 m El áre del otógono es el áre de oo triángulos igules: 8 4 70,708 m 4 m omo se oserv en el diujo, 4, por tnto: 4 8 m 8 4 4 44 m Sus ángulos gudos tienen por tngente 4/, es deir, son, proimdmente, de,, y por lo tnto, sus ángulos otusos vlen, proimdmente: 90 6,87 6,87. Trigonometrí I 4
6 En un írulo de 4 m de rdio, lul el perímetro de un setor irulr orrespondiente un ángulo entrl de 40. 64 Oservmos l im de un montñ jo un ángulo de elevión de 67. Si nos lejmos 00 m, el ángulo de elevión es de 7. lul l ltur de l montñ. 40 son 40 0,698 rd, por tnto, l longitud del ro 8 0 de irunfereni que determin un ángulo de 40 en este írulo de rdio 4 m es, proimdmente: 4 0,698 9,77 m r 9,77 7,77 m 6 lul el áre del segmento irulr orrespondiente un ángulo entrl de en un irunfereni de m de rdio. 7 67 00 tg 67 r m tg 7 (00 ) (tg 67 tg 7 ) 00 tg 67 tg 7 9,04 m Deemos lulr el áre de l zon somred. lulmos primero el áre del setor irulr y, ontinuión, le restmos el áre del tringulo isóseles uyo ángulo desigul mide y sus ldos igules, m: setor,80 m 60 or se lul l ltur del triángulo orrespondiente uno de los ldos igules: sen Y el áre del triángulo es: triángulo sen 0,96 m or tnto, el áre del segmento irulr es de:,80 0,96,84 m 6 r medir l nur de un río, dos migos se olon en un de ls orills seprdos un distni de 0 m. Los dos miden el ángulo que form su visul un árol punto de l orill ontrri on l ret que los une y resultn 9 y 7, tl omo indi l figur. uál es l nur del río? tg 7 (0 ) tg 9 7 0 m 9 99,8 m río 6 Dos oservdores ven el punto más lto de un torre jo un ángulo de 8 y 7, respetivmente, tl omo indi l figur. L distni que los sepr es de metros. lul l ltur de l torre. 66 Desde dos puntos distntes entre sí km se oserv un gloo sond. El ángulo de elevión desde uno de los puntos,, es 4 y desde el otro,, 6. uál es el punto más próimo l gloo sond? Y l ltur del gloo? Del enunido no se dedue si el gloo está situdo en un punto entre y, o si está un mismo ldo de y. omo se oserv en los diujos, en ulquier so está más próimo. 8 7 m on el siguiente diujo, podemos plnter un sistem: 6 4 km 4 6 km tg 8 tg 7 Se otiene 8 m. 8 7 m so ) tg 6 /,40 km; 0,88 km tg 4 /( ) so ) Hy que resolver el sistem: tg 6 / 4,748 km;,40 km tg 4 /( ) 44 Trigonometrí y números omplejos
67 Desde un punto oservmos l op de un árol jo un ángulo de 40. Desde ese mismo punto, pero un ltur de m, vemos l op jo un ángulo de 0. lul l ltur del árol y l distni l que nos enontrmos de él. 69 Desde un punto situdo un iert distni de l fd de un edifiio, oservmos su punto más lto jo un ángulo de 49, tl omo se indi en l figur. Nos lejmos 60 m, jndo uns eslers, y desde un punto 0 m por dejo del nterior, vemos el mismo punto en lo lto del edifiio jo un ángulo de 6. lul l ltur del edifiio. 0 40 omo se oserv en l figur, se puede plnter este sistem: 0 m 49 60 m 6 68 tg 40 tg 0 (tg 40 tg 0 ) tg 40, m y 4, m El ángulo de elevión del Sol sore el orizonte es de 48. lul l longitud de l somr que proyetrá un est lvd vertilmente en el suelo si su longitud es de, m. uál serí l longitud de l somr de l est si est estuvier inlind respeto de l vertil? 70 Se l ltur del edifiio y l distni del edifiio l primer punto de oservión, se puede plnter este sistem: tg 49 tg 6,44 m 0 60 r lulr l ltur de un murl, relizmos dos mediiones desde dos puntos y, omo se indi en l siguiente figur. lul l distni de mos puntos l murl, y l ltur de este., m s 48 0 Si l est está lvd vertilmente, según l figur: 0 s 7,0 m tg 48 70, m, m Se l distni del murl l punto. lntemos este sistem: s Si l est está inlind «en ontr del Sol» respeto de l vertil, según se oserv en l figur: s s s s 0 sen, m s 0 os s 7,94 m 6,6 m tg 48 s 48 7 tg 70 tg 0,m,,0 m,, L distni de l murl es de, m y l distni de l murl es de, m. L ltur del murl es de,0 m. Se oserv l im de un promontorio de ltur 00 m jo un ángulo de 7. Nos ermos un iert distni y entones el ángulo de elevión es de 0. lul qué distni nos emos erdo. s s Si l est está inlind «i el Sol» respeto de l vertil, según se oserv en l figur: s 0 sen, m s 0 os 6,6 m tg 48 or tnto: s 0,8 m 48 s 00 m 0 7 d tg 7 0 0 7,08 m 00 tg 0 d,880 m d Nos emos erdo,88 m proimdmente.. Trigonometrí I 4
7 El poste entrl de un rp se sujet on les l suelo. En el punto de fijión del le on el suelo, el ángulo que form el le on el terreno, supuestmente orizontl, es de 4, y se gstn m más de le que si el le y el terreno formn un ángulo de. Si en flt 6 les pr relizr un sujeión segur del poste, verigu uánto le e flt si gstmos l menor ntidd posile, y uál es l ltur del poste. 7 r lulr l ltur de un punto inesile, dos migos, y, n relizdo ls mediiones que se reflejn en l figur. Siendo que el ángulo O es reto, lul l ltur del punto, perpendiulr l plno O. 7 tg,6 m, 0,9 m tg 4 Luego en flt 7,7 m de le, proimdmente y l ltur del poste es de 0,4 m, proimdmente. Queremos verigur l nur de un voldizo situdo 8m de ltur. Desde un mismo punto relizmos dos mediiones y otenemos los ángulos que se indin en l figur. lul l nur del voldizo. 4 O Llmemos l distni entre O y. Llmemos y l distni entre O y. Se umple lo siguiente: y Llmndo L l longitud del segmento O, tenemos este sistem: tg 0 L 0 tg L y tg 0 y tg m omo y 6, tenemos que 8 m 44 4 76 tg 0 6 tg Resolviendo est euión se otiene: 4,44 m y L tg 0 9,77 m. En un triángulo retángulo de ldos 6 m, 8 m y 0 m se onsider un punto, que dist m del teto más lrgo y de l ipotenus. Desde este punto trzmos perpendiulres los dos tetos, de form que qued diujndo un retángulo. uál es l superfiie de este retángulo? tg 4 8 8 tg 44 0,9 m 74 Desde un ro se divis l luz de un fro jo un ángulo de 4, y su se, que está en un pequeñ elevión de l ost, jo un ángulo de 0. Un r,, situd m del punto de l ost en que está el fro, ve su luz jo un ángulo de 6. lul uánto mide el fro desde su se st su luz. y m m H m 0 H tg 6 Est distni es l mism que l que y entre y l ost, y que el ángulo jo el que se divis l luz desde es de 4. or tnto, l ltur del pequeño promontorio o elevión será: H tg 0 tg 6 H tg 0 tg 6 tg 6 tg 0 tg 6 0,46 m 4 Oservndo los triángulos pequeños de los ángulos indidos, que son igules por onstruión, se oserv que son semejntes y semejntes l triángulo myor. Se puede esriir: y 0 y 0 8 8 6 0 8 8 Si m, l se del retángulo mide m y su áre, m. 46 Trigonometrí y números omplejos