Tem 4.1: Integrl urvilíne. Crterizión de l existeni de primitiv Fultd de Cienis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo En este tem se front el problem que en Vrible Rel se onoe omo Teorem Fundmentl del Cálulo: existeni o no de primitiv (y su rterizión) pr un funión dd. Al igul que en el so rel, hbremos de de nir el onepto de integrl, hor y en sentido omplejo; y, por tnto, l integrión lo lrgo de urvs preerá de modo nturl. Este problem se enuentr en l bse de l llmd Teorí de ls Funiones Anlítis, estudid por Cuhy (llá por 1840). L ondiión que rterizrá l existeni de primitiv será l tesis que preerá en ls próxims leiones, en los llmdos teorems de tipo Cuhy; sber, que f 0 donde f será un funión holomorf en un bierto del plno omplejo y un mino en ; más un hipótesis diionl que preisremos (uns vees sobre el dominio, otrs sobre l funión, otrs sobre el mino). Observión: nótese lo poo prátio que resultrí estr l esper de probr este tipo de hipótesis ( pr tod funión y pr todo mino, ddo un bierto!, por ejemplo). Nuestr espernz es de tipo teório: enontrr ess hipótesis diionles y logrr dih ondiión. Por tnto, un pln de trbjo podrí ser (y v serlo) el siguiente: 1. Dremos l de niión de integrl de Riemnn pr funiones omplejs de vrible rel: R b f 2 C: 2. De niremos l integrl lo lrgo de un urv regulr trozos: R f 2 C. 3. Estudiremos l dependeni de R f respeto de l urv ; y sí, podremos onsiderr l funión F (z) : f (w) dw: z Integrl de Riemnn de funiones omplejs de vrible rel. De niión. Se un funión f : [; b] R! C. Diremos que f es integrble Riemnn en [; b] si ls funiones reles de vrible rel Re f e Im f lo son 1
(en el sentido y estudido en un vrible rel). En este so, llmmos integrl de l tl funión l número omplejo b f : b (Re f) + i b (Im f) : (Siempre que se pued, se evitrá l expresión R b f(t)dt en fvor de R b ) Denotremos por R C ([; b]) l lse de tods ls funiones omplejs integrbles Riemnn en [; b] : De niión. Sen un funión f : [; b] R! C y P : ft 0 ; t 1 ; :::; t n g 2 ([; b]), un prtiión de [; b]. Diremos del omplejo que es un sum integrl de f respeto de P, si existen x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 [; b] tles que x k 2 [t k 1 ; t k ] ; k 1; 2; :::; n y nx f (x k ) (t k t k 1 ) : Notremos por P (f; P ) l onjunto de tods ls sums integrles de f respeto de l prtiión P. Proposiión. Se un funión f : [; b] R! C. Son equivlentes: k1 i. L funión f es integrble. ii. Existe un omplejo I tl que 8" > 0; 9 > 0 : P 2 ([; b]) ; diám (P ) < 2 P (f; P ) ) j Ij < ": Demostrión. i. ) ii. es evidente. Por otro ldo, pr probr ii. ) i., bst er en l uent de que si 2 P (f; P ) ; entones Re 2 P (Re f; P ) e Im 2 P (Im f; P ). Teorem de Lebesgue. Se un funión f : [; b] R! C otd. L ondiión neesri y su iente pr que f 2 R C ([; b]) es que el onjunto de puntos de disontinuidd de f se un onjunto de medid nul. Demostrión. Llmemos D(f) l tl onjunto. Como se tiene D(f) D (Re f) [ D (Im f) ; podemos plir lo que sbemos de l integrl de Riemnn en un vrible rel. Enunimos ontinuión lguns onseuenis de este heho sobre ls propieddes de R C ([; b]). Proposiión. L lse R C ([; b]) es un álgebr y el funionl f! R b f es linel. 2
Demostrión. L linelidd del funionl de nido sobre R C ([; b]) es evidente. Pr eslres ; 2 C; ls funiones f + g y fg están otds si lo están, su vez, f y g. Además, si son elementos de R C ([; b]), omo D (f + g) D (f) [ D (g) y D (fg) D (f) [ D (g) ; se tiene lo desedo. Ahor, un propiedd de "modulridd": Proposiión. Si f 2 R C ([; b]), entones jfj 2 R C ([; b]). Además, b b f jfj : Demostrión. El teorem de Lebesgue nos proporion l modulridd de R C ([; b]). Pr el "demás", pongmos b b f : e i ; : f : Como b e i f b e i f 2 R; entones (ojo, que no hy uiddo on el orden: hor estmos trbjndo on reles): b b e i f Re e i f b e i f ; por tnto, lo desedo. Algunos resultdos se pueden obtener bjo l senill onsiderión de ls prtes rel e imginri de l funión trtr: Proposiión. Sen f 2 R C ([; b]) y g : [; b]! C. Si el onjunto fx 2 [; b] : f(x) 6 g(x)g es nito, entones g 2 R C ([; b]) y ls integrles oiniden. Proposiión. Sen ; b; 2 R y : min f; b; g ; : mx f; b; g. Si f 2 R C ([; ]) ; entones l tres integrles siguientes tienen sentido, y se veri l fórmul: b f Regl de Brrow. Se un funión F : [; b]! C derivble. Supongmos que F 0 2 R C ([; b]). Entones: f + b b F 0 F (b) F (): 3
Teorem del mbio de vrible. Se un funión ' : [; b]! R monóton y derivble. Supongmos que ' 0 2 R C ([; b]). Se hor un funión f : ' ([; b])! C integrble. Entones se tienen: i. (f ') ' 0 2 R C ([; b]) ii. R '(b) '() f R b (f ') '0 : Integrión sobre urvs. De niión. Se : [; b]! C un urv regulr trozos (o se, un mino). Si f es un funión omplej de vrible omplej, llmremos integrl de f sobre l número omplejo b f : (f ') ' 0 : Está plenmente justi d l ohereni de est de niión: f es ontinu en [; b] y 0 está de nid, slvo un número nito de puntos; onseuentemente (f ') ' 0 2 R C ([; b]). Ejemplo. Se el segmento [z; w] C. L urv [z; w] por él determind, es regulr. Si f es un funión ontinu sobre el segmento ddo, entones 1 f f [(1 t) z + tw] (w z) dt: [z;w] 0 Proposiión. Se un urv regulr trozos y se C ( ) l lse de tods ls funiones omplejs de nids sobre. El funionl sobre l tl lse, ddo por l expresión f! f es linel y ontinuo. En prtiulr: f kfk long () ; donde kfk es el máximo de l funión f sobre (el ompto). Demostrión. L linelidd es evidente. Pr l ontinuidd, rzonmos sí: b b f (f ') ' 0 jf 'j j' 0 j luego ontinuidd. b kfk j' 0 j kfk long () ; 4
De niión. Dos urvs regulres trozos se dien equivlentes si existe un difeomor smo de lse 1, y (estritmente) reiente, que trnsform un en otr. Si llmmos 1 y 2 ls dos tles urvs, denotremos 1 2. Nótese que 1 2 ) 1 2; pero el reíproo es flso. Proposiión. Si 1 2 y f 2 C ( 1), entones f 1 2 Es deir, sobre urvs regulres trozos l funión ontinu integrr no depende de l prmetrizión que se hg de l urv. Demostrión. Todo es elementl hiendo uso del teorem de mbio de vribles. Llmemos ' l difeomor smo de [; b] en [; d] tl que 2 ' 1 : 2 f d b (f 2 ) 0 2 b (f 1 ) 0 1 1 (f 2 ') ( 0 2 ') ' 0 Proposiión. Si es un urv regulr trozos y f 2 C ( ), entones f Demostrión. Cálulos elementles, omo en l demostrión nterior: f (z) dz b b [f ( )] (t) ( 0 ) (t) dt b f ( (b + t)) 0 (t) dt f ( (s)) 0 (s) ds Aquí h sido lve que el difeomor smo que trnsform en su opuest no se reiente! Proposiión. Sen 1 : [; b]! C y 2 : [; d]! C dos urvs regulres trozos tles que 2 () 1 (b). Si f 2 C ( 1 [ 2), entones: f 1 + 2 f + 1 2 5
Demostrión. Un vez más, el teorem del mbio de vribles (usdoen el segundo sumndo pr l últim iguldd, on el mbio s : t b + ) nos drá lo desedo: b+d f [f ( 1 + 2 )] ( 1 + 2 ) 0 1 + 2 b b+d [f ( 1 + 2 )] ( 1 + 2 ) 0 + [f ( 1 + 2 )] ( 1 + 2 ) 0 b b+d (f 1 ) ( 1 ) 0 + b b (f 2 ) ( 2 ) 0 f + 1 2 En l siguiente proposiión nos detenemos en l integrión sobre minos (urvs errds regulres trozos); y nos v deir que, en esos sos, l integrión será independiente del punto que esojmos omo iniio y nl del reorrido. Proposiión. Se : [; b]! C un urv regulr trozos errd. Pr 2 ]; b[, se l nuev urv dd por : [; b + ]! C (t) :::; t b (t) : (t b + ) :::; b t b + : (Nótese que.) Si f 2 C ( ) ; entones f Demostrión. Son álulos (on un mbio de vrible, s : t + b, ómo no): +b b +b f (f ) 0 (f ) 0 + (f ) 0 b b +b (f ) 0 + b (f ) 0 (f ) 0 b b Crterizión de l existeni de primitiv. (f ) 0 + (f ) 0 Lem. Sen un bierto del plno, f un funión ontinu en el bierto y F otr funión holomorf en el bierto y tl que F 0 (z) f(z) en todo punto del bierto. Se : [; b]! un mino. Entones: f F ((b)) F (()): 6
Demostrión. Con l yud de l regl de Brrow pr funiones de R en C: b b b f (f ) 0 f () 0 F 0 () 0 b (F ) 0 F ((b)) F (()): Abmos de probr que si un funión dmite primitiv, su integrl no depende, pr nd, del reorrido de l urv, sólo de sus vlores extremos. En onseueni, un ondiión neesri pr l existeni de primitiv es que su integrl no depend del mino que se reorre. Así, si el mino es errdo, su integrl será nul. Csos prtiulres, destbles, se expliitn en los siguientes orolrios. Corolrio. Sen p : C! C un polinomio y C(; r) un irunfereni ulesquier. Entones: p 0: C(;r) Corolrio. Pr ulquier mino errdo en C : dz zdz 0: Demostrión. Es onseueni del orolrio nterior; pero si se quiere un demostrión utónom, bst onsiderr los sos respetivos en los que F se un orrespondiente primitiv y plir el lem d un de ells: z! z y z! z2 2 : L propiedd dd por el lem nterior rteriz, de heho, l existeni de primitiv: Lem de onstruión de Primitivs. F :! C. Supongmos que Sen C, f 2 C (), y y 8 2 ; 9 > 0 : D (; ) F (z) F () + f; 8z 2 D(; ): Entones, f dmite primitiv en ; onretmente: F 2 H () y F 0 (z) f(z); 8z 2 7
Demostrión. Se jo, pero rbitrrio, en. Objetivo: probr que F es derivble en on F 0 () f(). Por l ontinuidd de f, y on l notión de l hipótesis, pr d " > 0, existe 2 ]0; [ tl que Rzonmos pr jz j < : jf (z) F () f()(z )j luego jw j < ) jf(w) f()j < ": z! ) F (z) z f f()(z ) f f() jf f()j " j zj ; F () f()! 0; [f f()] y, por tnto, existe F 0 () f(). L rbitrriedd de nos d lo desedo en. Teorem. Sen C y f 2 C (). Son equivlentes: i. f dmite primitiv en : R ii. f 0 pr todo mino errdo on soporte en : Demostrión. i. ) ii. y nos lo dió l onseueni de un lem nterior. Probemos hor, on l yud del lem de onstruión de primitivs, que ii. ) i. No hy pérdid de generlidd si suponemos que es un dominio ( por qué?): pr y z en, se z ulquier mino (de soporte) en de origen y extremo z. De nmos F (z) : z Vemos que, en efeto, podemos onsiderrl omo un buen de niión; es deir, que no depende del reorrido esogido pr ir de z. Si y son dos tles minos, el nuevo mino + ( ), será errdo; luego: 0 f f + f ) f f +( ) Vmos y probr l derivbilidd de F : pr 2, existe > 0 tl que D(; ). Se z 2, rbitrrio: F (z) f F () + f; + luego el lem de onstruión de primitivs nos d lo desedo. Y es sbido por nosotros, pero hor lo probremos on otrs ténis, que: 8
Corolrio. L funión z! 1 z no dmite primitiv en ningún bierto que onteng l irunfereni unidd T: Demostrión. Como T dz z ie it dt i2 6 0; eit no veri ii. en el teorem nterior y, por tnto, tmpoo i. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Dibuj ls siguientes urvs: () (t) : os t + ib sin t; 8t 2 [0; 2] ; (; b > 0) (b) (t) : osh t + ib sinh t; 8t 2 [0; +1[ ; (; b > 0) () (t) : t + i t ; 8t > 0; ( > 0) (d) (t) : t os t + it sin t; t 2 [0; 2] ; determin su longitud. 2. Pr ; b 2 R, < b, determin l longitud de l urv (; b) : e t+it ; t 2 [; b] : Clul lim (; b) :! 1 3. Se un urv diferenible de lse C 1 ([; b]), (t) : (x (t) ; y (t)). Prueb que: () l urv es reti ble; es deir ( n ) X sup k (t k ) (t k 1 )k ; ft 0 ; t 1 ; :::; t n g 2 ([; b]) < +1; k1 (b) su longitud viene dd por long () : b k 0 (t)k dt b q (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 dt: () no tod urv es reti ble. Consider, pr ello, l urv dd por x (t) : t; y (t) : (t) : (x (t) ; y (t)) t sin 1 t ::::t 2 ]0; 1] 0::::::::::::::::t 0 9
4. Enuentr l longitud de ls siguientes urvs: () (t) : re it ; t 2 [0; 2] (irunfereni de entro en el origen y rdio r; es deir, rt) (b) (t) : t ell.) 5. Se l funión ie it ; t 2 [0; 2] (l iliode; hz un representión de f(z) : z3 4z + 1 (z 2 + 5) (z 3 3) y l urv dd por l irunfereni de entro 0 y rdio r, (t) : re it ; t 2 [0; 2] : Prueb que f(z)dz r r3 + 4r + 1 (r 2 5) (r 3 3) : 6. Pr x; y 2 R, prueb que jsin (x + iy)j p osh 2y: Consider hor l urv dd por l sum, en este orden, de los segmentos 1 : [ + i; i] 2 : [ i; i] 3 : [ i; + i] : Prueb que sin z 2 dz 6p osh (4 2 ): 7. Se el dominio : Cn f i; ig y l funión f(z) : 1 ; 8z 2 : 1 + z2 Prueb que f no dmite primitiv en : 10