TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos, en este so representremos los ángulos respetivmente por ls myúsuls A,B,C y los ldos opuestos por,,. C A B LEY DE LOS SENOS En ulquier tringulo, l rzón entre el seno de un ángulo y el ldo opuesto ese ángulo es igul l rzón entre el seno de otro ángulo y el ldo opuesto ese ángulo SenA SenC L ley de los senos onst de ls siguientes tres formuls: 1.- SenA 2.- SenA 3.- SenC SenC 27
Pr plir ulquier de ls formuls nteriores un tringulo espeifio, deemos onoer los vlores de tres de ls utro vriles, si sustituyes estos tres vlores en l formul propid, podrás despejr el vlor de l urt vrile. Se dedue que l ley de los senos se puede usr pr hllr ls prtes restntes de un tringulo oliuo siempre que se onozn ulquier de ls siguientes dos ondiiones: 1.- dos ldos y un ángulo opuesto uno de ellos (LLA) 2.- dos ángulos y ulquier ldo (AAL o ALA) Uso de l ley de los senos: Cso (ALA) Dos ángulos y ulquier ldo Resuelve ABC ddos A 48º, C 57º y 47 B 48º 57º A 47 C Soluión: 1.- Reuerd que l sum de los ángulos interiores de un tringulo es igul 180º, por lo tnto: A + B + C 180º 48º + B + 57º 180º B 180º - 48º - 57º B 75º 2.- Ddo que se onoen el ldo y los tres ángulos, se puede enontrr "" usndo un form de l ley de los senos donde intervengn, A, y B: SenA Ley de los senos ( sena) Despejr " " 28
47( sen48º) 47(0.743) 34.92 Sustituir, A y B 36 Sen75º 0.965 0.965 36 Resultdo Pr hllr, st sustituir en: SenC ( senc) 47( sen57º) Sen75 41 47(0.838) 0.965 39.386 41 0.965 Cso (LLA) dos ldos y un ángulo opuesto ellos: Resuelve el ABC ddos 12.4 ; 8.7 y B 36.º Hllr A y se proede de l siguiente mner: C 12.4 8.7 B 36º A 1.- Determinr un segundo ángulo: SenA Ley de los Senos Despejr Sen A Sustituir,, B ( senb) SenA 12.4( sen36º) 12.4(0.587) SenA 8.7 8.7 7.288 Resultdo 0. 837 8.7 Sen A 57º 29
2.- Por el teorem que señl que l sum de los ángulos interiores de un tringulo es igul 180º determinr el vlor del ángulo C: C 180 57 36 87 3.- Por Ley de senos determinr l medid del ldo restnte: 8.7 SenC Sen87º Sen36º 8.7( Sen87º ) 8.7(.9986) 8.688 14.78 Sen36º.5877.5877 14.78 LEY DE LOS COSENOS "El udrdo de l longitud de ulquier ldo de un tringulo es igul l sum de los udrdos de ls longitudes de los otros dos ldos, menos el dole produto de ls longitudes de los mismos ldos por el oseno del ángulo entre ellos" De donde: ² ² + ² - 2 os A ² + ² ² os A 2 ² ² + ² - 2 os B ² ² + ² - 2 os C ² + ² ² os B 2 ² + ² ² osc 2 L ul pliremos en l soluión de triángulos oliuángulos en ulquier de los siguientes sos: 1.- Dos ldos y el ángulo entre ellos (LAL) 2.- Tres ldos (LLL) Not: Ddos dos ldos y el ángulo inluido de un tringulo, podemos usr l ley de los osenos pr hllr el terer ldo y reurrimos l ley de los senos pr enontrr otro ángulo del tringulo. Ejemplo: Uso de l ley de los osenos (LAL) 30
Clulr ls prtes restntes del ABC si 5; 8 y B 77º A 8 77º B 5 C 1.- Como B es el ángulo entre los ldos y, empezr por lulr (ldo opuesto B) utilizndo l ley de los osenos: ² ² + ² - 2 os B ley de los osenos ² (5.0)² + (8.0)² - 2(5.0) (8.0) os77º Sustituimos, y B ² 25 + 64-80 (0.225) Simplifimos y lulmos ² 89-18 ² 71 71 8.4 2.- Enontrr otro ángulo del tringulo medinte l ley de los senos, hllr "A", puesto que es el ángulo opuesto l ldo más orto, el ul es : Ley de los senos SeA Despejr seno de A SenA ( senb) Sustituir,, B 5( sen77º) SenA 8.4 5(0.974) 8.4 5(0.974) 4.87 Por lo que: SenA 0. 579 8.4 8.4 A Sen ¹ 0.579 35º 3.- Finlmente determinmos C: Reordr que A + B + C 180º Por lo tnto: C 180º - 77º - 35º 68º Uso de l ley de los Cosenos (LLL) Ddos los tres ldos de un tringulo, se puede usr l ley de los osenos pr hllr ulquier de los ángulos. Siempre enontrremos primero el ángulo más grnde, es deir, el ángulo opuesto l ldo ms lrgo, y que esto grntiz que los ángulos restntes sen gudos 31
Posteriormente se puede enontrr otro ángulo plindo l ley de los senos o l ley de los osenos. Ejemplo: Si un ABC tiene ldos 90, 70 y 40, lulr A, B, C. 1.- De uerdo on l informión previ, primero se enuentr el ángulo opuesto l ldo ms lrgo que es "", por lo tnto se esoge l form de l ley de los osenos donde pree "A" y se proede omo sigue: ² ² + ² - 2 os A Ley de los osenos 2 os A ² + ² - ² Despejr os A os A ² + ² - ² 70² + 40² - 90² Sustituir y simplifir 2 2(70)(40) 4900 + 1600 8100 1600 CosA 5600 5600 2 CosA (- 0.2857) 7 2 A os ¹ ( ) (- 0.2857) 106.6º 107º 7 2.- Podemos usr l ley de los osenos pr hllr el ángulo B: ² ² + ² - 2 os B Ley de los osenos 2 osb + ² ² +² - ² Despejr CosB CosB ² +² - ² Sustituir y simplifir 2 90² + 40² 70² 8100 + 1600 4900 9700 4900 CosB 2(90)(40) 7200 7200 2 B os ¹ ( ) 0.666 48.2º 48º 3 4800 7200 32