Regresó leal smple.- Itroduccó....- Dagrama de dspersó... 3 3.- Especfcacó del modelo de regresó leal smple... 4 3..- upuestos del modelo... 7 4.- Estmacó de parámetros... 0 4..- Estmacó medate mímos cuadrados... 5.- Iterpretacó del modelo de regresó... 5 6.- Compoetes de varacó.... 7 7.- Bodad de ajuste... 8.- Valdacó del modelo... 5 9.- gfcacó de los parámetros de la regresó... 3 0.- Predccó... 35 0..- Lmtacoes de la predccó... 38
Regresó leal smple.- Itroduccó El coefcete de correlacó r y, estudado e los putos aterores, permtía coocer la magtud de la relacó supuestamete leal estete etre dos varables. E el presete apartado os troducremos e el cocepto de regresó leal, dode estudaremos la estructura de relacó estete etre tales varables. Ambos coceptos -regresó y correlacó- está ítmamete lgados, metras el prmero especfca la forma de la relacó, el segudo, sobre la base de esta forma, estuda la tesdad de la relacó establecda. De ua maera más cocreta, medate el modelo de regresó especfcaremos la ecuacó de regresó que os permtrá u doble objetvo: a descrbr de ua maera clara y cocsa la relacó estete etre ambas varable y b, predecr los valores de ua varable e fucó de la otra. E u setdo muy amplo, y hablado e térmos puramete estadístcos, podemos afrmar que el aálss de regresó es u método que permte aalzar la varabldad de ua determada varable e fucó de la formacó que le proporcoa ua o más varables Pedhazur, 98. e cocreta, como hemos dcado, e el estudo de relacó etre varables, de forma tal que ua determada varable -varable respuesta, eplcada, depedete o crtero- pueda epresarse e fucó de otra u otras varables - predctoras, eplcatvas, depedetes o regresores-, lo que permtrá predecr los valores de la varable respuesta e fucó de las varables eplcatvas, así como determar la mportaca de éstas. Por otro lado, se especfca que la estructura de la relacó es leal. Este aspecto es mportate por cuato se descarta aquí otros tpos de relacoes. Por esta razó, co certa frecueca os referremos a la regresó leal como modelo de regresó leal, e el setdo de que se aplca ua certa cocepcó -modelo- que teemos de la realdad merced a la cual se supoe que las relacoes etre varables sgue ua certa estructura -la estructura leal.-. Hemos de decr, auque sólo sea por curosdad hstórca, que el térmo "regresó" se debe a r Fracs Galto 8-9 estudado la relacó de la estatura etre padres e hjos. Observó que los padres altos teía hjos altos, auque o ta altos como sus progetores. Igualmete, los padres bajos tedía a teer descedeca de baja estatura auque más altos que sus respectvos padres. E ambos casos, pues, estía ua certa tedeca a la estatura meda, o dcho e térmos de propo Galto, estía ua "regresó a la medocrdad". Auque hoy día el térmo de "regresó leal" está muy lejos de sus prmeras tecoes ha quedado así acuñado, auque co otros propóstos. Es evdete el terés el modelo de regresó leal aplcado a Cecas Humaas y de la alud, dode o podemos ecotrar relacoes eactas como ocurre e otras áreas de la ceca, pero sí certas tedecas susceptbles de ser cuatfcadas. upógase, por ctar ta
sólo alguos posbles casos de estudo, el efecto de ua certa terapa sobre las respuestas de los pacetes sometdos a ella, los gastos de publcdad de ua empresa y el cosumo cudadao, el efecto del tabaco sobre el cácer, el clma laboral y la productvdad e ua empresa o la caldad de eseñaza y el redmeto académco. E todos ellos hay algú aspecto de la coducta que os teresa prever y e últma staca, cotrolar. Merced a la lgazó que preseta la coducta co algua varable relevate y que se etede mapulable por el vestgador podemos ejercer algú tpo de cotrol sobre aquella tervedo sobre la varable que cde sobre la msma. De esta forma, lograremos uestros propóstos e cuato a salud, por ejemplo, elmado el cosumo de tabaco, o be ua determada terapa cogtvo-coductual se mostrará efectva e la remsó de la depresó. Como se ha dcado, e el presete capítulo, os lmtaremos al estudo de la regresó dode se estuda la relacó que sobre la varable de respuesta ejerce ua úca varable eplcatva. Este tpo de regresó -la más seclla de las posbles- se deoma por esta razó regresó leal smple..- Dagrama de dspersó Prevo a todo aálss, resulta coveete ua prmera speccó vsual de los datos al objeto de comprobar la coveeca o o de utlzar el modelo de regresó smple. e recurre a este respecto, a la represetacó cojuta de los datos medate el dagrama de dspersó o ube de putos. Ua smple ojeada os permtrá determar se etede grosso modo: a s este relacó o o etre las varables y b s ésta es o o leal. Además puede etraerse otras formacoes de terés, como so: c el grado de estrechez de la ube de putos, dcadora de la tesdad de la relacó, d s este valores aómalos que dstorsoa la posble relacó, o e, s la dspersó de los datos a lo largo de la ube de putos es uforme, lo que tedrá su mportaca, tal como veremos e los prómos apartados. La formacó obteda es mportate para ecarar la actuacó más coveete. Ua ube redodeada y s cotoros defdos fg. a es dcadora de auseca de relacó. La varable eplcatva es rrelevate y o merece la pea segur co el modelo e cuestó. E la fguras b y c se sugere ua relacó leal, más fuerte e la fgura b, debdo a su mayor estrechez, auque e ambos casos u aálss estadístco posteror se hace ecesaro para cofrmar co segurdad la relacó suada e los gráfcos. E la fgura d la relacó es claramete curvlíea como ocurre s relacoamos asedad co redmeto y o procede a aplcar el modelo leal de regresó. Aquí podemos optar por trasformar los datos a efecto de lograr lealdad, o lo que puede ser más coveete, respetar los datos y elaborar el modelo pertete. E la fgura e, la dspersó o es costate a lo largo del recorrdo de los datos -heterocedastcdad-, lo que mposblta, como se tedrá ocasó de comprobar, la aplcacó del modelo leal de regresó. Por otro lado, e la fgura f u par de datos aómalos -outlers- ejerce ua dstorsó mportate sobre el modelo, lo que oblgará a replatearse la coveeca de elmarlos o be clurlos e el modelo, co la cosguete trasformacó del msmo. 3
Fgura. Posbles dagramas de dspersó 3.- Especfcacó del modelo de regresó leal smple Como se ha observado aterormete, cuado este razoes para supoer la esteca de ua relacó leal etre dos varables, podremos establecer la sguete estructura de relacó: α β ε E térmos gráfcos, esta relacó quedaría epresada medate el sguete dagrama causal: ε dode podemos dstgur las varables, y ε. La varable, orge de la flecha e la fgura. es la varable observada cuya cdeca sobre deseamos estudar. E térmos 4
de la ecuacó. es la varable que srve de base para la predccó. e le deoma varable predetermada, eplcatva, predctora, depedete, eógea o smplemete, regresor. E uestra opó, varable eplcatva o predctora, so los térmos cuyos sgfcados lustra mejor el propósto de estas varables. e dce que es fja s sus valores so establecdos por el vestgador; por ejemplo, cuado aalzamos el efecto que el úmero de mlgramos de ua determada droga tee sobre el tempo de reaccó a certos estímulos vsuales y fjamos prevamete los valores de. Por el cotraro, se dce que es aleatora cuado sus valores o está determados por el vestgador so que se elge ua muestra aleatora de sujetos y se mde ambas varables. Por ejemplo, s queremos vestgar la relacó etre telgeca y redmeto e matemátcas e ños de 4 años, y para ello, seleccoamos ua muestra de la poblacó de ños de 4 años, mdedo, posterormete, su vel de telgeca y su redmeto e matemátcas. Los valores de telgeca obtedos so el resultado de la medcó e la muestra modelo de efectos aleatoros para, pero la muestra estudada o vee codcoada por valores predefdos de telgeca. La varable, puto fal de la flecha, es la varable que el modelo pretede dar cueta e la suele deomar como varable de respuesta, eplcada, depedete, crtero o edógea. El objeto de la regresó va a ser, precsamete, estmar la relacó que preseta co y predecr sus valores e sujetos o meddos e la muestra. Igualmete, e uestra opó, cosderamos más coveete el térmo de varable de respuesta o eplcada. La varable ε represeta el compoete de error e la predccó de la varable debdo la relacó estocástca etre y. e le deoma etre otros ombres como error, perturbacó, o resdual. Debe su valor fudametalmete a dos tpos de factores: a medcó correcta de la varable, y b flueca de otras varables omtdas por el modelo. salmos del esquema determsta que mpera e Cecas Humaas y cocedemos u certo valor al azar y a la espotaedad habremos de añadr a los putos aterores u tercer puto: c varabldad herete a la coducta humaa. Es mportate destacar que aquí os ocupamos de relacoes etre varables eclusvamete leal; esto es, de varables cuya estructura de relacó es del tpo: 5
o obstate puede establecerse otras muchas formas de relacó posble que o so abordables drectamete desde el plateameto leal. Por ejemplo, es be coocda que la relacó etre asedad y redmeto sgue ua U vertda: U pequeño cremeto e los valores de asedad srve para actvar al sujeto, y e cosecueca, aumeta su redmeto, metras que a partr de u certo puto, la asedad desarbola a dcho dvduo mpdédole cocetrarse adecuadamete. Otro tpo de relacó o leal puede observarse e la evolucó de u determado rumor a lo largo del tempo, que sgue ua relacó sgmodal: E los mometos cales hay poca gete co coocmeto del tema, lo que hace que la etesó del rumor sea pequeña. Coforme aumeta el úmero de sujetos coocedores de tal rumor hay más posbldad de teraccó co las persoas descoocedoras del tema, co lo que hay ua gra progresó, hasta llegar a u certo puto e el que cas toda la poblacó está saturada y so ya pocos los dvduos que resta por eterarse de la 6
cuestó, de forma tal que el cremeto es cada vez más reducdo, hasta alcazar el valor de cero, cuado el rumor ha llegado a etederse por toda la poblacó. Este tpo de feómeos es muy coocdo e bología, especalmete e dámca de poblacoes, característco de la evolucó de ua certa poblacó co recursos lmtados. Otro ejemplo. La relacó etre esfuerzo y apredzaje o es leal so tal como se epoe e la sguete fgura: E el comezo, pequeños esfuerzos supoe u apredzaje relatvamete rápdo, pero a partr de u determado puto grades esfuerzos o se ve proporcoalmete compesados recuérdese a este respecto, el apredzaje de domas. o daremos más ejemplos para o aburrr al lector. Ta sólo dejar costaca de que la relacó leal es ua de las relacoes posbles y de que este otros modelos alteratvos. El modelo leal es be coocdo y este ua etesa lteratura al respecto, por lo que es frecuetemete utlzado, auque o sempre co las debdas precaucoes. a veremos más adelate, e el tema correspodete al aálss de resduos cómo tratar toda la casuístca de modelos supuestamete o leales. 3..- upuestos del modelo El modelo de regresó leal smple para la poblacó establece como hpótess estructural básca lo sguete: α β ε la putuacó de u sujeto e la varable crtero depede lealmete de la putuacó del sujeto e la varable predctora más ua perturbacó o error ε. Otra forma de epresar el modelo es: ε 7
dode la putuacó predcha por el modelo de regresó es: α β De la epresó.5 se deduce que el error e la predccó será: ε Los parámetros de la ecuacó.4 -ecuacó de regresó verdadera- α y β so geeralmete descoocdos y ha de ser estmados a partr de los valores observados e ua muestra de sujetos. Para que las ferecas a la poblacó -estmacó- así como los cotrastes de hpótess acerca de los parámetros sea adecuados es ecesaro que las varables mplcadas cumpla las sguetes característcas estadístcas: a Lealdad. El prmer supuesto establece que el valor esperado meda e la varable para cada uo de los valores se ecuetra sobre la recta de regresó "verdadera" de sobre, o dcho de otra maera, la recta de regresó de sobre vedrá determada por los valores medos de para cada valor de. E cosecueca, la esperaza matemátca de los errores será cero. Así: E α β E térmos de los errores: a que: E ε 0 E ε E E E E 0 b Homocedastcdad. El segudo supuesto establece que las varazas de para cada valor de so todas guales σ, esto es, la dspersó de la varable a todo lo largo de la recta de regresó es costate. El terés de esta propedad resde e la vetaja de utlzar u úco valor para todo el recorrdo de a la hora de estmar valores de a partr de, lo que otorga smplcdad al modelo. Así pues: Var σ Obsérvese que la dstrbucó de los errores es la msma que la de la varable depedete e toro a la recta de regresó para valores fjos de. E cosecueca, su varaza cocdrá co la de los errores ya que e la epresó α β ε la varabldad e para u certo valor de lo aporta ε : E α β ε Var E E c Auseca de autocorrelacó. El tercer supuesto establece que las varables aleatoras so depedetes etre sí; es decr, la covaraza o be, correlacó etre dos valores de cualesquera es cero. Cuado los valores de hace refereca a sujetos σ ε 8
dsttos -estudos trasversales- esta propedad suele cumplrse. Otro caso sucede e estudos logtudales dode se efectúa dferetes medcoes de los msmos sujetos a lo largo del tempo, y que por razoes de erca suele presetar autocorrelacó. Así: O be: Cov j 0 Cov ε ε j 0 d ormaldad de las dstrbucoes. Este supuesto establece que la forma de la dstrbucó de para cada valor de sgue ua ley ormal. e cumple, etoces, la codcó de ormaldad. Esta propedad, juto a la codcó de homocedastcdad faclta la fereca estadístca del valor de poblacoal a partr del valor de. Así: µ y, σy e térmo de los errores: ε 0, σ Hay que decr e relacó a este supuesto que le modelo de regresó es bastate robusto frete a volacoes del msmo. Por otro lado, para tamaños de muestras grades, el teorema cetral del límte garatza su cumplmeto. Además de estos requstos ecesaros a efectos de fereca estadístca y cotrastes de hpótess ha de respetarse otros supuestos relacoados co el modelo de regresó e cuato modelo descrptvo. Estos so: a El modelo ha de estar correctamete especfcado, lo que mplca el doble cometdo de o haber ecludo varables depedetes relevates y el o haber cludo varables depedetes rrelevates. Este requsto cumple su verdadera dmesó e la regresó múltple dode las varables depedetes ha de ser seleccoadas cudadosamete. Cuado se trata de ua úca varable depedete, la precaucó ha de cfrarse e esa varable y aquí la evdeca es palpable s el modelo o ha sdo correctamete especfcado. b La varable depedete ha de haber sdo medda s error. e quere decr co ello que las putuacoes empírcas obtedas e so precsamete sus putuacoes verdaderas. Este requsto es u tato deal ya que el error de medda está mplícto e toda medcó. A este respecto hay que decr que e modelos más completos Modelos Estructurales se cotempla la fabldad e la medda. Obsérvese por otro lado, que la eacttud e la medcó o es requsto para la varable, ya que esta crcustaca queda cotemplada e el error γ. 9
4.- Estmacó de parámetros Los datos observados e ua determada muestra preseta ua cofguracó del tpo: deomado dagrama de dspersó o be ube de putos. Dcha cofguracó carece de operatvdad matemátca. o obstate, segú el modelo covedo, la estructura de relacó etre e se supoe leal. Así pues, hemos de determar la recta: que mejor represete la ube de putos correspodete a la muestra observada, y cuyos valores a y b sea bueos estmadores de la verdadera ecuacó de regresó α y β : referete a la poblacó de orge. α β E α β Podríamos utlzar varos métodos e la determacó de la recta que mejor ajuste a la mecoada ube de putos. Todos ellos tedrá, obvamete, como objetvo fudametal reducr al mímo el error global cometdo, lo que se traduce, de algua forma, e mmzar el cojuto de errores e obtedo para el total de las observacoes. A este respecto, podríamos establecer el sguete crtero: e mímo Este procedmeto preseta el coveete de que puede lograrse ua suma de cero estedo grades errores postvos y egatvos que quedaría eutralzados etre sí. Esta stuacó podríamos solvetarla co dos procedmetos: a operado co los valores 0
absolutos de los errores: e mímo O be, b elevado al cuadrado tales valores: e mímo De estos dos procedmetos, el últmo, deomado crtero de mímos cuadrados es el preferble. Varas razoes lo avala: a El hecho de elevar al cuadrado las putuacoes o solamete resuelve el problema del sgo, so que además magfca los errores grades, lo cual oblga aú más a reducr tales errores. b Algebracamete etraña meos dfcultades operar co sumas de cuadrados que co sumas de valores absolutos. c por últmo, y este es el puto más mportate, las estmacoes de los parámetros de la ecuacó de regresó a y b obtedas medate el crtero de los mímos cuadrados so estmacoes s sesgo, y por el teorema de Gauss-Marov preseta la míma varaza ver al respecto el Apédce A. Además, las estmacoes obtedas medate mímos cuadrados so cocdetes co las logradas por el procedmeto de máma verosmltud. 4..- Estmacó medate mímos cuadrados a Putuacoes drectas. E lo que sgue demostraremos, dado u cojuto de datos ofrecdos e putuacoes drectas, que la ecuacó de la recta a b cuyo ajuste sgue el crtero de los mímos cuadrados es aquella que tee por pedete: y de ordeada e el orge: b r y y a b
Efectvamete, tegamos la epresó: mímo e usttuyedo los errores por su valor: b a b a b a e Esta fucó tedrá u mímo para los valores que aule la prmera dervada respecto a a y b. Así pues, calculemos prmeramete la dervada parcal respecto a a. Hacedo operacoes teemos: 0 b a a e δ δ De dode: b a Para calcular b procedamos de gual maera. Igualemos a cera la dervada parcal respecto a b, y hacedo operacoes: 0 b b e δ δ Despejado b: y y y y y r r b
b putuacoes cetradas Tegamos la ecuacó de regresó e drectas: a b usttuyamos a por su valor: a b b b b b b Dode se os dca que el valor proostcado e es precsamete su meda el valor prevsto e auseca total de formacó más el efecto de la varable. Ahora, s pasamos al prmer membro de la ecuacó: b e observa e el prmer membro las putuacoes cetradas de y e el segudo las putuacoes cetradas de. usttuyedo, etoces, por la otacó adecuada el modelo e putuacoes cetradas queda: y b Como puede observarse, dcha ecuacó preseta la msma pedete que la ecuacó obteda e putuacoes drectas. e dfereca de ésta e que carece de ordeada e el orge. La recta, pues, e cetradas pasa por el orge de coordeadas. Esto es: Obsérvese que las putuacoes cetradas so la cosecueca de restar a los valores su meda y a los valores, gualmete su meda. Por otro lado, sucede, precsamete, que tato la meda de como la meda de satsface la ecuacó de la recta, como se desprede de.0: a b 3
Por tato, la trasformacó e putuacoes cetradas equvale a u desplazameto del orge del sstema de coordeadas al puto,. E cosecueca, la recta de regresó observada tedrá la msma pedete pero carecerá de ordeada e el orge, tal como se observa e la sguete fgura: c Putuacoes estadarzadas Tomemos como refereca la sguete ecuacó coocda: b susttuyamos b por su epresó mímo cuadrátca: b r y y e observa que el prmer membro de la gualdad hace refereca a las putuacoes típcas de, y el segudo membro, a las putuacoes típcas de. usttuyedo por la otacó adecuada: Z r y y Z e comprueba que la ecuacó e putuacoes estadarzadas tee por pedete el coefcete de correlacó smple. 4
Ejemplo.5.- obre los datos del ejemplo., calcular la ecuacó de regresó e putuacoes drectas, cetradas y estadarzadas: OL: a Drectas: b r y y. 579 0. 837 0. 874 0. 975 a b 6. 5 0. 975* 7. 5 6. 70 Por tato: a b 6. 70 0. 975 b Cetradas: c Estadarzadas: y b 0. 975 Z r Z 0. 837Z y y 5.- Iterpretacó del modelo de regresó Como se ha dcado, e el modelo de regresó leal se establece la relacó estete etre las varables e. Esta relacó, para todo sujeto, tee u compoete estructural leal de carácter determsta dcado por a b y u compoete aleatoro e, específco para cada dvduo. Así: a b e dode la parte determsta que permte obteer la putuacó proostcada por el modelo es: a b Dstgumos pues, los sguetes elemetos: a error de estmacó -e-, b putuacó proostcada -Ŷ -, c pedete de la recta -b- y d ordeada e el orge -a-. a Error de estmacó La parte aleatora hace refereca justamete a aquello que el modelo o eplca. Muestra la defceca del modelo, auque es obvo que gú modelo e cecas humaas, dada su 5
complejdad, carecer de error. El estudo del error o putuacoes resduales tee especal terés, como se ver mas adelate e la verfcacó de los supuestos del modelo. Por el mometo, señalemos su esteca. E el ejemplo., el sujeto úmero 4, que preseta u coefcete telectual -C.I.- de 4 putos, ha obtedo ua calfcacó de 7 putos. El proóstco de la ecuacó de regresó será: a b 6. 70 0. 975* 4 7. 788 el error obtedo: e 7 7. 788 0. 788 La terpretacó es obva; para u sujeto de 4 de C.I. el modelo predce 7.788 putos. Ha obtedo 7 putos, luego la parte que o eplca el modelo correspode a -0.788 putos. b Putuacó estmada Mayor terés tee por el mometo que os cocetremos e la parte estructural del modelo. A este respecto hay que decr que el valor Ŷ obtedo al aplcar la ecuacó de regresó sobre u determado valor hace refereca al valor promedo prevsto para todos aquellos sujetos que ha obtedo e la varable el valor de. Por ejemplo, e el caso que os cocere para el sujeto que ha logrado 4 putos de C.I. la putuacó prevsta ha sdo de 7.788. e terpreta como la calfcacó meda de todos los sujetos de 4 putos e telgeca. Es obvo que o todos los sujetos de gual telgeca sacará eactamete la msma putuacó. Depededo de otros factores motvacó, persoaldad... etc uos obtedrá más y otros meos. Al fal es el valor más probable promedo el especfcado por la ecuacó de regresó. c Pedete de la recta La pedete de la recta tee ua terpretacó seclla e matemátcas; muestra el cambo e por cada udad de cambo e. Como la ecuacó de regresó opera medate el procedmeto de mímos cuadrados sobre la base del dagrama de dspersó, la terpretacó, e este caso, tal como quedo de mafesto e el apartado ateror, es la sguete: la pedete b dca el cambo medo e asocado a cada udad de cambo e. Por ejemplo, e el caso que estamos tratado, la pedete vale 0.975. e terpreta e el setdo de que por cada puto de cremeto e el C.I. los sujetos, por térmo medo, mejorará e 0.975 putos su redmeto académco. Ua pedete de cero dca claramete que la varable o srve para ada, pero ua pedete grade o dca lo cotraro, ya que para esto hace falta coocer las escalas de las varables, y lo que es más mportate, la dspersó de la ube de putos. U dagrama de dspersó mas be redodeado, auque co ua recta mplícta de gra pedete o sgfca gra cosa e térmos de relacó. 6
c Ordeada e el orge Como se sabe, la ordeada e el orge hace refereca al valor e cuado 0. E la ecuacó de regresó, ya que la recta está elaborada sobre los putos medos del dagrama de dspersó, hace refereca a la putuacó meda de cuado el valor de es cero. o sempre es terpretable este valor e Pscología. Por ejemplo, e uestro caso la ordeada e el orge es -6.70. Es evdete que u sujeto o obtedrá esta calfcacó cuado 0. Los valores egatvos e redmeto carece de terpretacó. Por otro lado, ha de teerse e cueta que o es posble ecotrar ua telgeca de valor cero; el rago de varacó e las varables o ha de estar fuera de los observados e la muestra, ya que éste ha sdo el puto de refereca para determar la ecuacó de regresó. Por tato, auque la recta pueda prologarse hasta el fto o es lícto operar co valores fuera de los márgees estudados. o obstate, frecuetemete, puede terpretarse el valor de la ordeada e el orge. upogamos que relacoamos la varable Igresos co Años de estudo y obteemos la sguete ecuacó de regresó: 600 0 E este caso, los sujetos que carece de todo tpo de estudo gaa por térmo medo 600 euros, de tal maera que por cada año de estudo ve cremetado su salaro e 0 euros. Así, u sujeto que haya estudado 0 años tedrá u sueldo de 6000*0800 euros. 6.- Compoetes de varacó. Iteresa e este apartado aalzar la capacdad predctva del modelo de regresó leal. upuesto que los datos observados se ajusta a ua ecuacó leal hemos determado e el puto ateror aquella recta que mejor cumple dcha codcó e el setdo de geerar la míma catdad de errores cuadrátcos posbles. Veremos ahora, e ua prmera staca, cuato, e térmos de varacó, eplca el modelo leal del cojuto de los datos observados bodad de ajuste para tratar más adelate de la lógca de la decsó que permte aceptar o rechazar la hpótess del modelo leal para u determado cojuto de datos valdez del modelo. Epodremos, prmeramete, los dsttos compoetes de varacó que puede recoocerse al aplcar el modelo regresó sobre u determado feómeo observado. Dgamos que todo modelo es u teto de eplcar la realdad. los modelos estadístcos se aplca, precsamete, cuado la realdad estudada es mperfectamete coocda. e observa, así, que ua parte del comportameto del feómeo queda eplcado por el modelo, metras que otra parte se sustrae al msmo. Para aclarar estas deas, supogamos e prmer lugar que dspoemos de dos varables e pero descoocemos la aturaleza de la relacó etre ambas varables. E este supuesto, s os pde el valor e para u sujeto que haya obtedo u certo valor e, daremos como valor más probable la meda de. Es razoable tal respuesta, ya que e auseca de formacó para ua varable que sgue ua ley ormal el valor de máma probabldad es 7
precsamete su valor medo. Así pues, como se observa e el sguete gráfco el valor de estmado para cualquer valor de será: De esta forma, e auseca total de formacó, la ecuacó de regresó será: Para u sujeto e partcular que dado u valor haya obtedo, cometeremos u error de predccó: tal como se lustra e la sguete fgura: e upogamos ahora que teemos coocmeto de la relacó leal que lga las varable e. esta relacó es segú la ecuacó coocda 8
a b El error cometdo será etoces: segú se lustra e la sguete fgura: e observa que e este caso el error es más pequeño que el estete formacó. tomamos el valor: e auseca de como dcatvo del error cometdo cuado carecemos de la formacó proporcoada por el modelo y lo defmos como desvacó total respecto a la meda para u determado sujeto, etoces el valor: hará refereca a la parte que de la desvacó total eplca el modelo de regresó. e deoma desvacó eplcada por el modelo de regresó. Queda, etoces, u resto: 9
0 que o logra eplcar el modelo -desvacó o eplcada-. De esta forma, segú lo epuesto, podemos establecer la sguete gualdad: Para el sujeto la desvacó total del valor co respecto a la meda puede descompoerse e la desvacó eplcada por el modelo de regresó más la desvacó o eplcada. elevamos al cuadrado ambos membros de la gualdad.30: se cumple esta gualdad para cada uo de los sujetos, se cumplrá gualmete para la suma de todos ellos. Así pues: Dode: 0 ya que los errores aleatoros o correlacoa co gua otra putuacó Obsérvese que el sumatoro ateror es el umerador de la covaraza etre los errores y las putuacoes predchas por el modelo de regresó. E cosecueca: Esto es: uma de cuadrados total uma de cuadrados eplcada uma de cuadrados o eplcada tomamos las sumas de cuadrados aterores como umeradores de varazas que so como u ídce de la varabldad de los datos teemos que: Varacó Total Varacó Eplcada Varacó o Eplcada. Merece destacarse la mportaca de esta gualdad. Del cocete etre la varacó eplcada y
la total obtedremos la proporcó de varacó eplcada por el modelo, lo que permtrá haceros ua dea del ajuste del modelo al feómeo observado -bodad de ajuste-. Por otro lado, a partr de estos datos calcularemos la varaza eplcada y o eplcada, permtédoos su cocete tomar la decsó de s el modelo leal es u bue dcador del comportameto de los datos observados -valdez del modelo-. A estas cosderacoes dedcamos los dos prómos apartados. 7.- Bodad de ajuste Tomaremos como ídce de la bodad de ajuste del modelo la proporcó de varacó eplcada por el msmo; esto es, el cocete etre la suma de cuadrados eplcada por el modelo y la suma de cuadrados total. De esta forma, podemos haceros ua dea de cuáto eplca el modelo de la realdad estudada. u epresó es: R Obsérvese que este cocete lo hemos deomado como R. Cocde, precsamete, como demostraremos a cotuacó co el valor de r y al cuadrado, també deomado coefcete de determacó. E este setdo, e relacó al umerador de la epresó.3 se sabe que la ecuacó de regresó e putuacoes cetradas es: b Elevado al cuadrado y sacado sumatoros: b Por otro lado, se sabe que represeta el umerador de la varaza de. Así pues: Igualmete, e relacó a : y
Por tato, podremos epresar.3 de la sguete maera: y y b b R usttuyedo b por su epresó mímo cuadrátca: y y y y y r r b R De dode se comprueba que la proporcó de varaza eplcada correspode co el valor de y r. De esta forma, la terpretacó de R es etremadamete seclla y clarfcadora. E el ejemplo. se obtuvo r y 0.837. Por tato, el cuadrado de este valor, R 0.837 0.6933 os dca que el 69.33% de la varacó observada e el redmeto es debda a la telgeca. Queda, e cosecueca, u 30.67% de varacó debdo a otros factores motvacó, horas de estudo,..etc. Resulta patete, pues, la utldad de R para haceros ua deal cabal del efecto de ua varable sobre otra. E térmos práctcos, para calcular la bodad de ajuste del modelo bastar co elevar al cuadrado el coefcete de correlacó r y que se supoe ya ha sdo obtedo e su mometo ver fórmula.9 o equvalete. També podemos aplcar la fórmula.33, s dspoemos de las varazas de y de. Podemos, gualmete, aplcar drectamete la epresó.3 o be, s operamos e base a las putuacoes drectas utlzaremos la sguete: b b R Por otro lado, podemos replatear la fórmula.3 e fucó de R. De esta forma logramos ua mejor compresó de dcha gualdad, al msmo tempo que al epresarse e térmos de proporcó quedamos lberados de los problemas de las escalas. Para ello dvdamos los dos membros de la gualdad.3 por la suma de cuadrados total:
3 Esto es: Prop. varabldad total prop. varabldad eplcada prop. varabldad o eplcada Es fácl deducr que: Prop. var. o eplcada - R Luego la epresó.35 devee: R R Gráfcamete el reparto de varabldad podemos represetarlo e el sguete dagrama de Ve. La terseccó de los círculos dca la proporcó de varabldad eplcada por la regresó:
Ejemplo.6.- Determar los compoetes de varacó y la proporcó de eplcada por el modelo de regresó leal de los datos del ejemplo.. varacó OL: Comezaremos co la epresó orgal.3, que o es precsamete la fórmula más smple de realzar, pero tee la vetaja de ser la que mejor refleja la lógca de la bodad de ajuste. Permte dstgur para cada putuacó de los dsttos compoetes de varacó desvacó eplcada, o eplcada y total: R Calculemos, e prmer lugar, la suma de cuadrados total: 4 6. 5 8 6. 5 6. 5 7 6. 5 9 6. 5 9 6. 5 3 6. 5 0 6. 5 7 6. 5 6 6. 5 66. 5 Ates de proceder a calcular la suma de cuadrados eplcada, hemos de determar los valores predchos por la ecuacó de regresó para los dsttos valores de. Así pues: 6. 70 0. 975* 05 4. 03 6. 70 0. 975* 6 6. 04 3 6. 70 0. 975* 03 3. 637 4 6. 70 0. 975* 4 7. 784 5 6. 70 0. 975* 37 0. 35 6 6. 70 0. 975* 7 8. 78 7 6. 70 0. 975* 5. 44 8 6. 70 0. 975* 9 8. 77 9 6. 70 0. 975* 8 6. 599 6. 70 0. 975* 05 4. 03 0 Ua vez obtedas las putuacoes estmadas por el modelo procedemos a calcular la suma de cuadrados eplcada: 4. 03 6. 5 6. 04 6. 5 3. 637 6. 5 7. 784 6. 5 0. 35 6. 5 8. 78 6. 5 5. 44 6. 5 8. 77 6. 5 6. 599 6. 5 4. 03 6. 5 46. 08 De aquí se deduce que la suma de cuadrados o eplcada será: 66. 5 46. 08 0. 39 4
la proporcó de varabldad eplcada: R 46. 08 66. 5 0. 6933 Otra fórmula más útl para el calculo de R es: R b 75 0. 975 3945 0 65 489 0 46. 08 66. 5 0. 6933 O más seclla aú: R b y 0. 975 * 0* 0. 874 0*. 579 46. 08 66. 5 0. 6933 8.-- Valdacó del modelo. Como se ha dcado, hay dos de varacó e todo feómeo de base estadístca: la fuete de varacó especfcada por el modelo y que costtuye su estructura, y ua fuete de varacó aleatora, o cotrolada, que mprme ua certa deformacó sobre el modelo cocebdo. Desde esta perspectva, la valdacó del modelo cosste báscamete e comprobar s persste la estructura del modelo a pesar de la deformacó a por la fluctuacó aleatora de los datos. A vel estadístco, se trata de comparar la varaza eplcada, que defe el modelo, co la varaza o eplcada, que lo desdbuja. la varaza eplcada es mayor que la o eplcada será dcatvo de que se recooce algo a pesar del rudo, s ocurre lo cotraro, el rudo, la deformacó que mpoe la varaza aleatora mpedrá toda posbldad de recoocmeto y el modelo o será valdado. La prueba estadístca que permte comparar varazas y tomar decsoes e cuato a su 5
magtud relatva es, como se sabe, el aálss de la varaza. A dcha prueba os remtmos cuado hablamos de valdacó del modelo. A este respecto, la varaza eplcada tedrá por valor: edo el umerador la suma de cuadrados eplcada por la regresó y el deomador los grados de lbertad asocados al compoete de varacó eplcado, dode dca el úmero de varables depedetes a cosderar. Por otro lado, la varaza o eplcada será: dode el umerador hace refereca a la suma de cuadrado o eplcada por el modelo, y el deomador sus grados de lbertad asocados hace refereca al úmero de dvduos y al úmero de varables depedetes. El aálss de la varaza queda, etoces, de la sguete maera: F el valor obtedo de F es superor al de las tablas para y -- grados de lbertad y al vel de sgfcacó de α, rechazaremos la hpótess de gualdad de varazas co u resgo mámo α. Cocluremos, e cosecueca, que muy probablemete las varables e está relacoadas. Así: F > F,, α e rechaza la H 0 E caso cotraro, s el valor obtedo de F es gual o feror al de las tablas, cocluremos co u resgo β descoocdo que ambas varazas so guales, y por tato, o estaremos e codcoes de rechazar la H 0. Cocluremos, por tato, que muy probablemete las varables e o estará relacoadas. Esto es: 6
7 H 0 la acepta e F F,, α Auque la fórmula.40 es sufcete para determar la valdez del modelo, habtualmete se recurre a la sguete tabla dode queda desglosados los dsttos elemetos que cofgura dcha fórmula. De esta forma se ve de ua maera más clara los compoetes de varacó del modelo así como sus grados de lbertad asocados. FUETE DE VARIACIÓ UMA DE CUADRADO GRADO DE LIBERTAD VARIAZA F Eplcada ep. ep. Var o Var F o eplcada Total Podemos aplcar la fórmula.40 drectamete o be utlzar algua fórmula alteratva más seclla. De esta forma, e relacó a la suma de cuadrados debda a la regresó podemos utlzar la epresó coocda: b dspoemos de las putuacoes drectas de la varable, resulta más smple: b b Más fácl aú, s coocemos la varaza de, que se supoe ha sdo calculada prevamete: b b
8 a que: e relacó a la suma de cuadrados o eplcada o resdual, ésta puede epresarse como la dfereca etre la suma de cuadrados total y eplcada: de ua maera más seclla e base a lo epuesto aterormete: y b egú utlcemos ua u otra epresó tedremos dferetes alteratvas a la fórmula.40. Por ejemplo, s operamos e putuacoes drectas: b b F O be e térmos de varazas, s éstas se cooce: b b F y
9 Podemos smplfcar aú más el cálculo de F, y epresarlo e térmos de R segú la sguete fórmula: R R F Para ello, ta sólo teemos que dvdr el umerador y el deomado de.4 por la suma de cuadrados de. Así pues: R R F / / Ejemplo.7.- Calcular la valdez del modelo de regresó leal del ejemplo.. OL: lo hacemos e térmos de las putuacoes drectas: 088 8 8 39 0 08 46 0 0 75 3945 975 0 0 65 489 0 75 3945 975 0..... b b F
Buscado e las tablas: F,, 8 0. 05 5. 38 Comparado: 8.088 > 5.38 Luego se rechaza la H 0 co u resgo mámo de 0.05. Puede cosderarse váldo el modelo. operamos e térmos de varazas: F y b b 0. 975 * 0* 0. 874 0*. 579 0. 975 * 0* 0. 874 8 8. 088 Más fáclmete podemos aplcar la epresó.43 para el cálculo de la valdez. Así: F R 0. 837 R 0. 837 8 8. 088 se desea, a efectos lustratvos de los dsttos elemetos que compoe el aálss de la varaza, podremos elaborar la sguete tabla: FUETE DE UMA DE GRADO DE VARIACIÓ CUADRADO LIBERTAD VARIAZA F Eplcada 46. 08 46. 08 F 8. 088 o eplcada 0. 39 8. 549 Total 66. 5 9 7. 389 30
9.- gfcacó de los parámetros de la regresó. La sgfcacó de los parámetros del modelo de regresó revste especal terés e el coteto de la regresó múltple, dode pudera ocurrr que la prueba F del aálss de la varaza mostrara que e térmos globales el modelo fuera váldo, metras que el efecto de alguas varables del modelo fuera ulo, o lo que es lo msmo que alguos coefcetes de regresó o ejercera gú efecto sgfcatvo sobre la varable depedete. E el caso de la regresó smple -ya que este ua sola varable depedete- la prueba de sgfcacó de los coefcetes de regresó puede cosderarse como ua prueba equvalete a la prueba del aálss de la varaza també de la sgfcacó del coefcete de correlacó r y. De los dos coefcetes de regresó del modelo a y b os teresa ta sólo la pedete de la recta, que es precsamete el coefcete que os muestra el efecto de la varable sobre. E cocreto comprobaremos s su valor es estadístcamete gual a cero o o. dcha pedete o dfere sgfcatvamete de cero cocluremos que el modelo o aporta formacó relevate. E caso cotraro, daremos el modelo como váldo. Esto es, tegamos la ecuacó de regresó e putuacoes cetradas: b Despejado : b e observa que cuado la pedete vale cero: la putuacó proostcada es precsamete la meda de, que, como proóstco cuado el modelo carece de formacó algua tal como sguete gráfco: se sabe, es el se refleja e el 3
La recta de regresó es pues, paralela al eje de las abscsas. Cualquer cambo e mplca sempre el msmo valor e. Ambas varables o está, por tato, correlacoadas. Por otro lado, como es fácl comprobar, cuado la pedete de la recta es dferete de cero cremetos e el valor de supoe cremetos efectvos e la varable : E esta stuacó las varables está relacoadas, el modelo aporta formacó relevate e térmos predctvos y es, por ello, váldo. Así pues, como se ha dcado, la valdez del modelo puede comprobarse també además de la prueba F cotrastado la pedete asocada al modelo de regresó. se demuestra que la pedete es sgfcatvamete dferete de cero, el modelo tedrá capacdad predctva, y por tato, será váldo. Por el cotraro, s la pedete o fuera 3
estadístcamete dferete de cero su capacdad predctva o rá más allá de predccó e auseca de formacó y el modelo o será váldo. E térmos estadístcos se trata de comprobar s la pedete b observada e ua certa muestra puede o o proceder de ua poblacó cuya pedete β vale cero. Esto es, se cotrasta la hpótess ula: frete a la hpótess alteratva: H 0 : β H : β 0 0 E este supuesto, se demuestra ver Apédce A que la dstrbucó muestral de coefcetes b procedetes de ua poblacó cuyo valor es cero, se dstrbuye segú ua ley de tudet de meda cero y desvacó tpo: res b res De esta forma, s se desea saber s u determado coefcete b observado e ua muestra procede de ua poblacó de β 0, calcularemos el úmero de desvacoes tpo que se ecuetra de la meda de dcha dstrbucó, segú la fórmula coocda: t b β b b 0 res Posterormete comparamos este valor t co el de las tablas t α, para el vel de sgfcacó α y - grados de lbertad: t t α, e acepta la hpótess ula. El modelo o es váldo t > t α, e rechaza la hpótess ula. El modelo es váldo 33
Ejemplo.8.- Determar la sgfcacó del coefcete de regresó de ejemplo.3. OL: Aplquemos.45: t b 0 res 0. 975. 549 8. 5 4. 53 Buscamos la t de las tablas para α 0. 05 y 8 grados de lbertad: t 0 05 8. 306., Comparádolo co el valor obtedo: 4.53 >.306 La pedete es sgfcatvamete dstta de cero. Este, pues, relacó etre ambas varables. 0.- Predccó. Ua vez valdado el modelo de regresó que lga las varables e puede ser coveete utlzarlo para establecer predccoes de la varable. Por ejemplo, s coocemos para ua certa muestra de vededores la relacó estete etre ua determada prueba pscológca y el éto profesoal de los msmos, puede teresaros, s dspoemos de u caddato a vededor, aplcar dcha prueba a efectos de su capacdad e vetas. para la elaboracó del modelo dspuséramos de los datos de toda la poblacó sucedería que la ecuacó de regresó obteda sería precsamete la ecuacó regresó verdadera α β E este supuesto, el valor más probable e para u sujeto que haya obtedo u certo valor e sería el reflejado e la ecuacó de regresó.46: 34
deseamos afar algo más y ofrecer ua estmacó por tervalo, sabemos por los requstos del modelo de regresó que para u certo valor o la dstrbucó lgada de los valores sgue ua ley ormal de meda el valor predcho e la ecuacó de regresó y de varaza la varaza resdual. De esta forma, para los sujetos que ha obtedo o habrá ua proporcó α de ellos que tedrá e putuacoes compreddas e el sguete tervalo: ± t, α e 0 E térmos de probabldad, dremos que u sujeto que ha obtedo ua certa putuacó o tedrá ua probabldad α de estar compreddo e los ctados límtes. E la práctca, o obstate, sucede que descoocemos la recta de regresó verdadera; ta sólo dspoemos de la recta de regresó obteda e ua muestra. E cosecueca, etre la ecuacó de regresó estmada y la verdadera habrá ua certa dfereca tal como se muestra e la sguete fgura: o podemos especfcar el valor eacto del error ya que descoocemos los parámetros poblacoales. Lo que sí podemos cuatfcar es la dstrbucó e el muestreo de los dsttos valores Ŷ o e toro al valor real o. Esto es, hemos de determar la Var o. A este respecto, se sabe que: a b e 0 0 Luego: Var Vara b e Var a Var b 0 0 0 res 35
36 Pero sabemos ver Apédce A que: res Vara E cosecueca: 0 0 res res res Var Hacedo operacoes: res Var 0 0 Por tato, el tervalo de cofaza será: ± res t 0 0, α sedo 0 es el valor especfcado de sobre el que se desea la predccó. Obsérvese cómo cuato más alejado se ecuetre este valor de la meda mayor dspersó habrá para el tervalo de cofaza de la 0 Ŷ. E el sguete gráfco se muestra dos líeas lgeramete curvas que dca las dsttas ampltudes de los tervalos de cofaza a lo largo del recorrdo de la ecuacó de regresó. Tales ampltudes so meores cuato más cerca se ecuetre de la meda :
Ejemplo.9.- Tomado como refereca los datos del ejemplo.3, determar el la calfcacó verdadera para ua persoa que preseta 5 putos de C.I. OL: Aplcado la ecuacó de regresó teemos que la putuacó proostcada para este sujeto será: 0 a b 6. 70 0. 975* 5 6. 0 el tervalo de cofaza α 0. 05 dode espera ecotrarse el parámetro correspodete: 0 ± t, α res 0 6. 0 ±. 306. 549 0 5 7. 5 8. 5 6. 0 ± 3. 87. 40 9. 88 37
Este ua probabldad de 0.95 de que u sujeto que presete u C.I. de 5 obtega etre 9.88 y.40 e redmeto. Obsérvese la magtud del tervalo que hace posble práctcamete cualquer calfcacó de suspeso a sobresalete debdo a la muestra ta pequeña 0 sujetos que por motvos ddáctcos ha sdo utlzada. 0..- Lmtacoes de la predccó Es precso hacer alguas cosderacoes e relacó al alcace de la predccó Auque la ecuacó de la recta puede prologarse defdamete e sus dos etremos, hay que teer la precaucó de o etrapolar los valores más allá de los datos de observacó. La ecuacó de regresó ha sdo obteda a partr de uos determados valores muestrales, y a estos valores hay que ateerse. Pudera ocurrr que detro del rago de observacó estese ua relacó leal, pero al msmo tempo, fuera de ese rago la lealdad dejara de estr. Por ejemplo, supogamos que estudamos el efecto de la asedad sobre el redmeto detro de u rago de 0 a 0 e veles de asedad. Podríamos obteer u gráfco de las sguetes característcas: a cotuacó estudásemos esta msma relacó pero para u rago e asedad de 0 a 0 putos, magemos que la relacó fuera de este tpo: 38
upogamos que u determado vestgador que descooce el segudo estudo trabaja co u sujeto cuyo vel de asedad es de 5 putos. E base a lo que cooce del tema se setrá clado a etrapolar los valores segú el sguete gráfco: El error ha sdo cosderable. Ha supuesto que el redmeto aumetaba cuado e realdad ha dsmudo. De aquí se deduce que hemos de operar co suma precaucó a la hora de realzar predccoes estadístca y lmtaros sempre al rago de valores sobre los que se ha elaborado el modelo, ya que o teemos formacó de lo que ocurre fuera de los límtes observados, y pudera ocurrr que la lealdad quedara desvrtuada fuera de tales márgees. 39
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